2025年高考数学压轴训练8

2025年高考数学压轴训练8

一.选择题（共10小题）

1.（2024•贵州模拟）设方程3七Ilogsx|=1的两根为五，马（西<龙2），则（）

A.0<Xj<1,x2>3B.占>一C.0<<1D.占+为>4

2.（2024•包头三模）冰箱、空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使

臭氧量。呈指数函数型变化.当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式。=2-/顺.，其中

。。是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，f是时间，以年为单位.若按照关系式。二与江少皿”推算，经

过,。年臭氧量还保留初始量的四分之一，则力的值约为（加2。0.693）（）

A.584B.574年C.564年D.554年

3.（2024•太原模拟）已知函数=苍'1,若方程/（尤）-左|x+2|=0恰有三个不同实数根，

1—x+4JC—1,x>1

则实数左的取值范围是（）

A.（0,8-2屈）D（1，+℃）B.]

33

C.（―,8—JD.,8+2A/13）

4.（2024•江西模拟）已知函数/（x）=Y_|尤2一%一9|在区间（-8,-3）,（1,+刃）上都单调递增，则实数”的

取值范围是（）

A.0<“，4B.0<«,8C.0<^,12D.0<^,16

5.（2024•浙江二模）已知正实数不，x2,£满足片+2犬1+1=%2西,入22+3%2+1=%23巧，龙+4毛+1=毛4均，

则玉，元2，工3的大小关系是（）

A.x3<x2<xiB.Xy<x2<x3C.xx<x3<x2D.x2<xx<x3

—x?+4x,工,4,

6.（2024•中山市校级模拟）设函数/（%）=<若关于％的方程/（%）=，有四个实根须

\log2(x-4)\,x>4,

元3，%4（不<%2</<X4），贝I%+%2+4七+；%4的最小值为（）

4547

A.—B.23C.—D.24

52

7.（2024•重庆模拟）荀子《劝学》中说：“不积陛步，无以至千里；不积小流，无以成江海所以说学

习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把（1+1%产5看作是每天的“进步”率

都是1%,一年后是1.0产。37.7834；而把(1-1%严看作是每天“退步”率都是1%,一年后是

1Hi365

0.99365。0.0255；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的R而。1481倍.那么当“进步值”是“退

0.99365

步值”的5倍时，大约经过()天.(参考数据：值101。2.0043,/g99«1.9956,/g2«0.3010)

A.70B.80C.90D.100

8.(2024•回忆版)设函数/(X)=Q(X+1)2-1,g(x)=cosx+2ox(a为常数)，当xw(-1,1)时，曲线y=/(x)

与〉=冢幻恰有一个交点，则〃=()

A.-1B.-C.1D.2

2

I---------1

A/4X—x2—,0轰k12

2'=/(%)+：是奇函数・记

9.(2024•抚顺模拟)函数/(%)满足:当工.0时,9(%)=,

2M+-,A:>2

3

m

关于x的方程/(x)-履+：=0(左eR)的根为玉，x,.7

2x,“,若则上的值可以为()

Z=1

A.HB.”cD.1

18121

10.(2024•灌云县校级模拟)已知函数/(x)=12%2，X-0,若存在唯一的整数X,使得幺上L<0成

l-4|J;+1|+4,X<0,x-a

立，则所有满足条件的整数。的取值集合为()

A.{-2,-1,0,1}B.{-2,-1,0}C.{-1,0,1}D.{-2,1}

二.多选题(共5小题)

H.(2024•西湖区校级模拟)已知函数/(月=上一苫2,乂.0,其中/%)=于(b)=f(c)=几，^a<b<c,

则()

A./[/(-2)]=-32

B.函数g(x)=/(x)-/(㈤有2个零点

C.a+b+ce(4+log3,4)

D.abc6(^log35,0)

2—logi%,0<茗，2

•袁州区校级模拟)已知函数，))。，贝

12.(2024/(x)=2g(X=/(X-U()

—九？+8x—11,x>2,

A.若g(x)有2个不同的零点，贝|2vav5

B.当1=2时，g(/(%))有5个不同的零点

C.若g（x）有4个不同的零点七，X2,元3，%4（玉<%2<工3<%4），则玉工2工3工4的取值范围是（12,13）

D.若g（x）有4个不同的零点七，元2，兀3，％4（X〈电〈毛〈兀4），则啊X2+V■的取值范围是（6,9）

一a

13.（2024•吉安模拟）已知函数/（九）=sinx|sinx|-cos2x,则（）

A./（%）的图象关于点（肛0）对称

B./（%）的值域为［-1,2］

C.若方程/（x）=-L在（0,加）上有6个不同的实根，则实数机的取值范围是（小，也］

463

6

D.若方程［/（尤）］2_24（尤）+/=1（昕氏）在（0,2万）上有6个不同的实根由=1,2,6）,贝无，的

1=1

取值范围是（0,3万）

14.（2024•怀化二模）已知函数了=苫+/的零点为玉，y=x+加（:的零点为马,则（）

A.工］+%>°B.xtx2<0

x

C.e'+lnx2=0D.玉%一为+工2>1

15.（2024•定西模拟）已知函数/'（X）=|2*-1|-a,g（x）=x2-41x|+2-a,则（）

A.当g（无）有2个零点时，/（x）只有1个零点

B.当g（x）有3个零点时，/（x）只有1个零点

C.当“X）有2个零点时，g（无）有2个零点

D.当/（元）有2个零点时，g（x）有4个零点

三.填空题（共5小题）

,71、71

ClyX+-X<—

.TT

16.（2024•浦东新区校级四模）已知函数/（%）=<cosx，w领Jr7i给出下列四个结论:

e~x+71+4〃,x>7i

①若“X）有最小值，则。的取值范围是［-工,0］;

71

②当a>0时，若式》=/无实根，贝心的取值范围是［初，4a］|J［4a+l，+8）；

③当④-工时，不等式/（尤2+2）>/（闭例）的解集为（-2,2）；

2

④当。..1时，若存在王〈马，满足一1</（玉）=/（%2）<°，贝!!玉+工2>。.

其中，所有正确结论的序号为

xlnx,x>0,

17.（2024•南开区校级模拟）已知函数/（%）=1若函数g（x）=/（/（x））-400+1有唯一零点，

——x,x<0,

则实数。的取值范围是.

18.（2024•湖北模拟）关于x的方程2历（办+1）="十+1有实根,则"+k的最小值为.

19.（2024•浦东新区校级四模）如图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙工厂与甲工厂在河的同

侧，且位于离河岸40Am的3处，河岸边。处与A处相距50也7（其中两家工厂要在此岸边建

一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，供水站C建在岸边距

离A处Am才能使水管费用最省.

20.（2024・天津模拟）设函数小）=1二W若函数y=一,恰有4个零点，则实

数a的取值范围为.

四.解答题（共5小题）

21.（2024•孝南区校级模拟）已知函数/'（x）=#^sin（yx-；costyx-根，其中（y>0.

（1）若函数/（X）的最大值是最小值的5倍，求机的值；

（2）当机=e时，函数/（X）的正零点由小到大的顺序依次为玉，%,W，，若9-2不=二，求。的

236

值.

22.（2024•辽宁模拟）某地区未成年男性的身高x（单位：cm）与体重平均值y（单位：像）的关系如下

表1:

表1未成年男性的身高与体重平均值

身高60708090100110120130140150160170

/cm

体重6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05

平均

值

/kg

直观分析数据的变化规律，可选择指数函数模型、二次函数模型、塞函数模型近似地描述未成年男性的身

高与体重平均值之间的关系.为使函数拟合度更好，引入拟合函数和实际数据之间的误差平方和、拟合优

度判断系数尺2（如表2）.误差平方和越小、拟合优度判断系数尺2越接近1,拟合度越高.

表2拟合函数对比

函数模型函数解析式误差平方和R2

指数函数y=2,OOVO197%6.67640.9976

二次函数y=0.0037%2-0.431尤+19.69738.26050.9971

哥函数y=0.00lx2102974.68460.9736

（1）问哪种模型是最优模型？并说明理由；

（2）若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位，是生长发育的基础.假设身高与

骨细胞数量成正比，比例系数为勺；体重与肌肉细胞数量成正比，比例系数为履.记时刻f的未成年时期

骨细胞数量GQ）=G。”,其中G。和/分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率，记时刻t的未成年时期肌

肉细胞数量J（t）=J-,其中Jo和u分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率.求体重y关于身高x的

函数模型；

12r

（3）在（2）的条件下，若——尸=0.001,2=2.1029.当刚出生的婴儿身高为50a”时，与（1）

rx

的模型相比较，哪种模型跟实际情况更符合，试说明理由.

注：6。*2.67781,5O21029-3739.07；婴儿体重ye[2.5,4）符合实际，婴儿体重ye[4,5）较符合实际,

婴儿体重ye[5,6）不符合实际.

23.（2024•北京模拟）如图，某大学将一矩形ABCD操场扩建成一个更大的矩形。EFG操场，要求A在上

上，C在。G上，且3在EG上.若49=30米，DC=20米，设。0=X米0>20）.

（1）要使矩形DEFG的面积大于2700平方米，求x的取值范围；

（2）当。G的长度是多少时，矩形DEFG的面积最小？并求出最小面积.

24.（2024•长宁区校级三模）设函数y=/（x）的定义域为。，对于区间/=[〃，W^D）,若满足以下两

个性质之一，则称区间/是y=/（x）的一个“好区间”.

性质①：对于任意尤0仁/,都有/(尤o)e/；性质②：对于任意不©/,都有/(飞)^/.

(1)已知函数/(幻=-/+2%，xeR.分别判断区间［0,2］,区间［1,3］是否为y=/(x)的“好区间”，

并说明理由；

(2)已知相>0,若区间［0,根］是函数/(x)=；Y-f-3x+12,xeR的一个“好区间”，求实数m的取

值范围；

(3)已知函数y=/(x)的定义域为R,其图像是一条连续的曲线，且对于任意都有/(a)-f(b)

>b-a,求证：y=/(尤)存在“好区间”，且存在x°wR,x0为不属于y=/(x)的任意一个“好区间”.

25.(2024•江西模拟)某公园有一个矩形地块A3CD(如图所示)，边至长&千米，AD长4千米.地

块的一角是水塘(阴影部分)，已知边缘曲线AC是以A为顶点，以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部

分，现要经过曲线AC上某一点P(异于A,C两点)铺设一条直线隔离带MN,点N分别在边回，

BC上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘.设点尸到边4)的距离为f(单位：千米)，的

面积为S(单位：平方千米).

(1)请以A为原点，4?所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，求出S关于f的函数解析式；

(2)是否存在点尸，使隔离出来的ABMN的面积S超过2平方千米？并说明理由.

n;

AB

M

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参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2024•贵州模拟）设方程3-|log3尤1=1的两根为不，%2（%<%2），则（）

A.0<%vl,x2>3B.x1>—C.0<xxx2<1D.jq+x2>4

x2

【答案】c

【考点】函数的零点与方程根的关系

【专题】构造法；函数思想；转化思想；数学运算；函数的性质及应用

【分析】问题转化为玉，％为Ilogs%1=（；厂的两根，构造函数/。）=|1083彳|-（；厂，x>0,结合零点存在

定理及指数函数，对数函数的性质检验各选项即可判断.

【解答】解：因为3母|1083划=1的两根为玉，x?即为|log3x|=（g）"的两根，

令/（X）=|log3xI-（g）”>X>。，

则/⑴=-1<0,f（3）=||>0,/（1）=1-£>0,

因为玉<x2,

所以0<%<1<%2<3,A错误；

XloX

因为|log3x21一（1）%=1log3玉I一（［）*=。，得Ilog32I-IS311=（1产一（5“，

XXXX<

由0Vxi3可得log32+1°§31=log3（12）=（；）巧一g）为0，

故0Vxi/〈I，C正确；

所以玉<,,5错误；

x2

玉+/<无，e（2,—），D错误.

-X23

故选：C.

【点评】本题主要考查了指数函数及对数函数在函数零点范围求解中的应用，还考查了零点存在定理的应

用，属于中档题.

2.（2024•包头三模）冰箱、空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使

臭氧量Q呈指数函数型变化.当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式。=a-e4°°2”，其中

以是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，f是时间，以年为单位.若按照关系式。=2推算，经

过年臭氧量还保留初始量的四分之一，则/。的值约为(历2“0.693)()

A.584B.574年C.564年D.554年

【答案】D

【考点】根据实际问题选择函数类型

【专题】综合法；函数的性质及应用；函数思想；数学运算

【分析】由题意得，解不等式。=2・1侬5；；2即可.

00025,

【解答】解：由题意可得，Q=Q0-e-„^Q0,,0.0025r..2/〃2=1.386,J5544.

故选：D.

【点评】本题主要考查指数型函数的的应用，属于中档题.

3.(2024•太原模拟)已知函数=苍’1,若方程/(尤)-左|x+2|=0恰有三个不同实数根,

I—x+4x—1,x>1

则实数左的取值范围是()

A.(0,8-2屈)D(1，+℃)B.]

33

C.(j,8—2\/13)k_J(l,-^—JD.,8+2A/13)

【答案】C

【考点】函数的零点与方程根的关系

【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算

【分析】作出函数y=/(x)的图象，方程/(尤)-左|x+2|=0恰有三个不同实数根，等价为y=f(x)与

y=A;|x+2|的图象有3个交点.讨论左>0,且x>-2时，丫=左(》+2)与丫=/'(*)的位置关系，结合直线

和曲线相切的条件，求得左，以及直线y=A(x+2)经过点(1,2),(l,e+l),可得左的取值范围；当晨0时，

>=/(*)与丫=笈1*+2|的图象只有1个交点，可得结论.

【解答】解：作出函数y=/(无)的图象，如右图：

方程/\x)-左|x+21=0恰有三个不同实数根,等价为y=f(x)与y=^x+2]的图象有3个交点.

—k(^x+2),x,,—2

y=k\x+2\=

左(x+2),x＞-2

y=k\x+2\的图象恒过定点(-2,0),

当x>-2时，y=/x+2)与y=e£+l相切，设切点为(%,%),可得-=左，且左(占+2)=e*+1,

可化为(±+l)e西=1,设g(x)=(x+l)e"%＞一2,可得g")=(x+2)e，＞0,g(x)在(-2,+oo)递增，且g(0)=1,

贝|西=0,k=l,此时y=/(x)与y=Z:|x+2|的图象有2个交点，

又>=依尤+2)的图象经过(l,e+l),可得e+l=3左，即有％=亍，

则1〈鼠、一时，y=/(x)与y=4lx+2|的图象有3个父点；

当x>-2时，y=A(x+2)经过点(1,2),即有2=3左，解得左=§,

由(yk{x+T),可得尤2+(左_4)彳+2左+1=0,

[y=-x+4尤一1

由丁=人(尤+2)与y=-f+4x-l相切，可得△=(%—4)2—4(2%+1)=0,解得k=8-2屈(8+2万舍去),

由图象可得，§<%<8-2可时，>=/(幻与、=人|尤+2|的图象有3个交点；

当晨0时，丫=/(%)与丫=左|*+2|的图象只有1个交点.

综上，可得实数左的取值范围是(M8-2^3)U(l,—].

33

【点评】本题考查函数的零点和方程的关系，以及直线和曲线相切的条件，考查数形结合思想、方程思想

和运算能力，属于中档题.

4.(2024•江西模拟)已知函数/(x)=Y_|尤2一%一9|在区间(-8,-3),(1,+刃)上都单调递增，则实数”的

取值范围是()

A.0<自，4B.0<d，8C.0<12D.0<16

【答案】C

【考点】由函数的单调性求解函数或参数；分段函数的应用

【专题】转化思想；数学运算；计算题；方程思想；函数的性质及应用；综合法

【分析】根据题意，设g(x)=X?-芋-9,分析可得g(x)必然有两个零点,设其两个零点为m,n,5.m<n,

写出了(x)的解析式，结合二次函数的性质可得关于。的不等式组，解可得。的取值范围，即可得答案.

【解答】解：根据题意，设g(x)=V-_|x-9,g(x)为开口向上的二次函数，且g(0)=-9,

则g(x)必然有2个零点，设g(无)的两根零点为m、n,且机<〃，

a八

—+9,x<m

3

f(x)=x2-\x2--|x-9|="2x2---9,n,

3

—+9,x>n

3

若〃尤)在区间(-oo,-3),(1,+oo)上都单调递增，必有。>0,

贝U有1g(-3)=a>0,故相>一3,

则f(x)在(-a),-3)上一定递增,

只需满足y=—$_9在(l,+oo)上递增即可，必有gl，解可得@12,

综合可得：0<区,12.

故选：C.

【点评】本题考查分段函数单调性的判断，涉及二次函数的性质，属于中档题.

5.(2024•浙江二模)已知正实数,x2,与满足片+2玉+1=菁2画,422+3w+1+4忍+1=/4电，

则%，%,冗3的大小关系是()

A.x3<x2<x^B.xx<x2<x3C.xi<x3<x2D.x2<xx<x3

【答案】A

【考点】不等式比较大小；函数与方程的综合运用

【专题】数形结合；计算题；数学运算；转化思想；函数的性质及应用；综合法

【分析】根据题意，将3个等式变形，由函数与方程的关系分析菁，x2,七的几何意义，作出函数

y=x+^(x>0)和>=2,一2、y=3'-3、〉=4、'-4的图象，结合图象分析可得答案.

X

【解答】解：根据题意，若片+2占+1=%2百，变形可得不+工=2*-2,

%

则为是函数y=x+』(x>0)与函数>=2，-2图象交点的横坐标；

X

x

同理：xl+3x2+l=x23',变形可得为+工=3*-3,

x2

则尤2是函数y=x+」(*>o)与函数y=3*-3图象交点的横坐标，

X

X|

xf+4X3+1=X33,变形可得%+口~=4与一4,

工3

则W是函数y=%+^(x>。)与函数>=4"-4图象交点的横坐标，

X

作出〉=尤+,（彳>0）和丫=2工一2、？=3"一3、y=4'—4的图象,

X

结合图像可得毛<x2<xr.

【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及指数函数、对数函数的性质，属于中档题.

6.（2024•中山市校级模拟）设函数/（x）=<若关于x的方程小）=,有四个实根办

元3，%4（不<%2</<%4），贝I%+%2+4七+；%的最小值为（）

4547

A.——B.23C.——D.24

52

【答案】B

【考点】函数的零点与方程根的关系

【专题】数学运算；综合法；函数的性质及应用；数形结合法；函数思想

【分析】根据题意，作出函数/（X）的图象，结合图象可得玉+为=4,尤3=」一+4,然后再由基本不等

4-4

式，代入计算，即可得到结果.

【解答】解：作出函数/（x）=的图象如图所示:

由图可知，玉+%=4,由|log2（尤-4）1=/（2）=4,可得了=奂或x=20,

16

所以Sv%<20,

又因为log2(玉-4)+log2(x4-4)=0,

所以(%—4)(%—4)=1,

1114iH4

所以4尤3+7%=4(^7^+4)+14=^3^+1(4_4)+17..2j](/_4)-^3^+17=19,

当且仅当工(又-4)=」一，即％=8时取等号，

4X4-4

所以芯+%+4退+—x4的最小值为4+19=23.

故选：B.

【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想及基本不等式的应用，作出图象是关键，属于

中档题.

7.（2024•重庆模拟）荀子《劝学》中说：“不积畦步，无以至千里；不积小流，无以成江海所以说学

习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把（1+1%）湖看作是每天的“进步”率

都是1%,一年后是L0J5。37.7834；而把（1-1%产看作是每天“退步”率都是1%,一年后是

1ni365

0.9936520.0255；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的"去。1481倍.那么当“进步值”是“退

0.99365

步值”的5倍时，大约经过（）天.（参考数据：ZglOl-2.0043,Zg99-1.9956,0.3010）

A.70B.80C.90D.100

【答案】B

【考点】根据实际问题选择函数类型；对数的运算性质

【专题】数学运算；综合法；整体思想；函数的性质及应用

【分析】根据题意列方程，然后取对数求解.

【解答】解：设x天后当“进步”的值是“退步”的值的5倍，

贝lj12L=5,

0.99'

即(坦厂=5,

99

即，g(詈)』g5,

即盘喘厂=x/g瑞=x(/gl01->g99)=lg5,

lg5l-lg21-0.3010

所以％=«80

lgl01-lg99~lgl01-lg99~2.0043-1.9956

即x=80.

故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天.

故选：B.

【点评】本题考查了对数的运算，重点考查了阅读理解能力，属中档题.

8.(2024•回忆版)设函数/(冗)=〃(1+1)2-1,g(x)=cosx+2ax(々为常数)，当xw(-1,1)时，曲线y=/(x)

与y=g(%)恰有一个交点，则〃=()

A.-1B.-C.1D.2

2

【答案】D

【考点】函数与方程的综合运用

【专题】方程思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算

【分析】设%(x)=/(x)-g(x)=ax1-cosx+a-1,所求问题等价于〃(x)在(-1,1)上恰有一个零点，由/z(0)=0

即可求解.

【解答】解：函数/'(无)=a(x+l)2-1,g(x)=cos尤+2依，

设h{x)-f(x)—g(x)=ax2—cosx+a-\,

则/z(x)是偶函数，

由曲线y=/(%)与y=g(尤)在(-1,1)上恰有一个交点,

得h(x)在(-1,1)上恰有一个零点,

所以〃(0)=a—2=0,

解得<7=2.

故选：D.

【点评】本题考查函数的性质，属于中档题.

2

V4x-x--,0M1y=/(尤)+g是奇函数.记

2

9.(2024•抚顺模拟)函数f(x)满足:当工.0时,/(x)=-

2M+-,X>2

3

关于x的方程f(x)-Ax+^=0(kGR)的根为％,x,

2Xm,若，7(x,)=-5，则上的值可以为()

1=12

11n17

A.cD.1

1812-1

【答案】C

【考点】函数与方程的综合运用；函数的奇偶性

【专题】整体思想；数学运算；计算题；函数的性质及应用；综合法

【分析】首先判断函数f(x)关于点(0,-1)对称,再画出函数f(x)和y=的图如结合函数的对称性,

判断交点的个数，利用数形结合，即可求解.

【解答】解：若函数y=f(尤)+g是奇函数，则/(r)+g=-/(无)—g，

即f(-尤)+/(x)=-1,则函数f{x}关于点(0,-J对称，所以/(0)=,

而y=区-：也关于点(0,-1)对称，恒过点(0,-1),

方程/(x)-h+；=0的根，即为函数丫=/(%)与y=kx-^交点的横坐标，

因为两个函数都关于点(0,-工)对称，所以交点也关于点(0,-3对称，且其中一个交点是(0,-工)，

如图画出两个函数的图象,

mq

若之/(%)=-，，根据对称性可知，y轴左侧和右侧各有3个交点，如图，

<=|2

当直线y=依-;过点(2,g)时，y轴右侧有2个交点，止匕时左=],

当直线y=依-(过点(2,2)时，y轴右侧有3个交点，此时左=：,

所以满足条件的人的取值范围是6，1),选项中满足条件的只有1.

故选：C.

【点评】本题考查了函数与方程的综合应用，属于中档题.

10.(2024•灌云县校级模拟)已知函数/(x)=12x2，"°，若存在唯一的整数-使得以立。<。成

[-4|x+l|+4,x<0,x—a

立，则所有满足条件的整数。的取值集合为（）

A.{-2,-1,0,1}B.{-2,-1,0}C.{-1,0,1}D.{-2,1}

【答案】A

【考点】分段函数的应用

【专题】数学运算；函数的性质及应用；数形结合法；分类讨论；转化思想

【分析】先作出y=/(x)的图象，把幺包匚<0转化为点。，/(x))与点(a,1)所在直线的斜率，分类讨论,

x-a

即可得出答案.

【解答】解：函数=若存在唯一的整数无，使得小吐1<。成立，

1-41x+11+4,x<0,x—a

作出/(x)的函数图象如图所示:

x-a

可得曲线了(无)上只有一个点(X,/(尤))(X为整数)和点(4,1)所在直线的斜率小于0,

而点(a,l)在动直线y=1上运动，

由/(一2)=0,/(-1)=4,f(0)=0,

可得当-2皴以-1时，只有点(0,0)满足改二1<0；

x—a

当0g女1时，只有点(-1,4)满足幺立1<0.

x—a

又。为整数，可得。的取值集合为{-2,-1,0,1}.

故选：A.

【点评】本题主要考查分段函数及其应用，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题.

二.多选题(共5小题)

11.(2024•西湖区校级模拟)已知函数/«=1"一"，"。，其中/S)=f(b)=f(c)=2,且a<b<c,

[3-x-l,x<0,

则()

A.f[/(-2)]=-32

B.函数g(尤)=/(x)-/(㈤有2个零点

C.a+Z7+c£(4+log3g,4)

D.abcG(-41og35,0)

【答案】ACD

【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用

【专题】综合法；直观想象；数学运算；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用

【分析】先作出函数图象，结合图象逐一判定即可.

【解答】解：/[/(-2)]=f(8)=-32,故A正确；

故y=/(x)，y=/(㈤有3个交点，

即函数g(x)有3个零点，故3错误；

由对称性，b+c=4,而ae(/ogsg。)，

S^a+Z?+ce(4+Zog3^,4),故C正确；

b,c是方程尤2-4尤+4=0的本艮，故6。=九，

令3-"—1=彳，则4=-log3(l+2),

故abc=—2log3(1+A),

而y=4,y=log3(l+2)均为正数且在(0,4)上单调递增，

故abce(-4logj5,0),故。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查了二次函数、指数函数的性质，考查了数形结合思想，属于中档题.

12.(2024•袁州区校级模拟)己知函数/(x)=<2一0广°</2,g(x)=f(x)_a,则()

—x^+8x-11,x>2,

A.若g(x)有2个不同的零点，贝Ij2vav5

B.当a=2时，g(7■(尤))有5个不同的零点

C.若g(无)有4个不同的零点三，x2,x3,x4(x,<x2<x3<x4),则玉马三遍的取值范围是(12,13)

D.若g(尤)有4个不同的零点%,/，％<x,<x3<x4),则叫x,+士曰■的取值范围是(6,9)

~_a

【答案】BCD

【考点】函数的零点与方程根的关系

【专题】直观想象；函数思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；数学运算

【分析】作出的图象，由g(x)有2个不同的零点，结合图象，可判断A；

由/(/(x))=2，令f=/(x)，得到/'0)=2，求得a=1名=4一,右=4+退，结合图象，可判断3；

由对数的运算性质，求得玉々=1，结合二次函数的对称性得到玉马天吃二三出-三)，进而判断C正确;

由叫々+21=0+结合对勾函数的性质，可判定。正确.

aa

2+logx,0<x,,1

【解答】解：由函数”r)=12”°gM0<x<2,可得〜2

2-logx,1<^,2,

I—x+8x—11,x>22

—x2+8x—11,x>2

作出了(X)的图象，如图所示:

对于A中，由g(x)=/(x)-a=0,可得/(x)=a,若g(x)有2个不同的零点,

结合图象知或2<a<5,所以A错误；

对于3中，当。=2时，由g(/(x))=0,可得/(/(x))=2,

令f=/(x),则有〃(=2,

可得4=1,？2=4-?3=4+A/3,

结合图象知，4=/(x)有3个不等实根，=f(x)有2个不等实根，与=/(>)没有实根,

所以g(7(x))有5个不同的零点，所以3正确；

对于C中，若g(x)有4个不同的零点花，x2,x3,%4(%,<x2<x4),

贝(11<a<2,且log2x2，贝ij\x2=1,

由二次函数的对称性得电+%4=8,则%%2&无4=忍%4=&（8-％3），

结合8知三©（2,4-若），

所以电（8-忍）e（12，13）,

所以玉々七%的取值范围为（12,13）,所以C正确；

对于。中，由叼%2+—+—=〃+■§.,其中lv〃v2,

aa

由对勾函数的性质，可得飘0）=。+号在（1,2）上为单调递减函数，

a

Q

可得〃+—£（6,9）,

a

所以⑼x,+三乜的取值范围为（6,9）,所以D正确.

a

故选：BCD.

【点评】本题考查了二次函数、对数函数、对勾函数的性质，考查了数形结合思想，属于中档题.

13.（2024•吉安模拟）已知函数/（x）=sinx|sinx|-cos2x,则（）

A./（尤）的图象关于点（乃,0）对称

B./（x）的值域为［-1,2］

C.若方程/（尤）=-l在（0,加）上有6个不同的实根，则实数机的取值范围是（也，物］

463

6

D.若方程［/■（尤）］2_24（盼+/=1（小氏）在（0,2万）上有6个不同的实根力0=1,2,6）,则的

Z=1

取值范围是（0,3万）

【答案】BC

【考点】函数与方程的综合运用

【专题】对应思想；分类讨论；数学运算；三角函数的图象与性质；直观想象；综合法

【分析】对于A,判断〃2%-光）=-/（%）是否成立，即可判断；

对于5,分sinx..O、sin丁v0去绝对值,即可判断；

对于。，分sinx..O、sinxvO求解即可；

对于。，由题意可得/（4）=。-1或/（x）=a+l,/（%）=〃-1有4个不同的实根，/（%）=〃+1有2个不同

的实根，列出不等式组，可得。的范围，再结合三角函数的对称性求解即可.

【解答】解：因为/Cx）=sinx|sinx|-cos2x,

所以fQ兀-x）=-sinx|sinx|-cos2xw-/（x）,

所以/（%）的图象不关于点（4,0）对称，A错误；

当sinx..0时/（x）=sin2x-cos2x=sin2x-（l-2sin2x）=3sin2x-1,

所以一孩那sir?%—12,

当sin%v0时，/(x