2025年高考数学压轴题分层练习：平面向量（20题）

2025年3月2日高中数学作业

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

工是非零向量，工-各与3的夹角为60。，,-囚=2,(c-a)(c-/?)=-|,则X/2eR,常同

1.已知a，b>

的最小值为（)

R下「A/2—1n—1

D.-----C.-----------U.----------

2.在边长为2的正方体中，取3条棱的中点构成平面a,平面a截正方体的截面面积为S,从剩余9条棱

的中点在平面a的投影为4记…,12},当S最大时，则阿•内的最小值为（）

,14

A.—B.—C.—2D.—1

23

3.已知平面向量"2，%,同二归卜同=1,（"2）=60。.若对区间g,l内的三个任意的实数4,为4,都有

14G+46+与+4,则向量用修夹角的最大值的余弦值为（）

A3+^6口3+A/503—A/6八3—^/5

6666

4.己知VABC中，|纲=8,|衣卜2,且1■血+（2-2㈤左（&R）的最小值为2石，若P为边AB上任

意一点，则而.前的最小值是（）

51「49八25

AA.——B.——C.——D.——

441616

5.已知平面向量6、X、c满足同=|画=无不=2,且区+岗2对任意实数力恒成立，贝。

1-1一

3的最小值为（）

A.6+1B.2A/3C.6+小D.*

二、多选题

6.窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花

图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形A3CDEFG”的边长为2,尸是正八边形ABCDEFGH边上任意

一点，则下列说法正确的是（）

FE

图1图2

A.OA+OC=^OB

B.西.方的最大值为12+8行

TR

C.AG在前方向上的投影向量为——

2

D.若函数〃x）=|诟-法司,则函数〃x）的最小值为2+及

7.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形

四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知Af是VABC内一■点，£\BMC,

△AMC,AAMB的面积分别为L，SB,Sc,且％•丽A+SB•磁+S,•碇=0.以下命题正确的有（）

A.若SJSB：SC=1：1：1,则M■为VABC的重心

B.若M为VABC的内心，则2C.而+AC.而g+A5.就=。

C.若M为VABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0^贝！ItanNBAC:tan/ABC:tan/BC4=3:4:5

D.若4L4C=45°,ZABC=60°,〃为VABC的外心，则丛：S8:Sc=6：2:1

8.在中，Q4=l,QB=2,ZAO3=120。，点尸是等边VABC（点。与C在AB的两侧）边上的一动点,

^OP=xOA+yOB,贝lj有（）

19

A.当尤=；时，点尸必在线段A3的中点处B.x+y的最大值是；

22

C.而.丽的最小值是-1D.用.丙的最大值为:

9.己知Z，人Z是互不相等的非零向量，其中2,B是互相垂直的单位向量，Z=<+yWx,yeR）,记次=配

试卷第2页，共4页

OB=b^沃=，，则下列说法正确的是()

A.若R-")@T=O,则o,A,B,C四点在同一个圆上

B.若-0=0,则。的最大值为2

C.若同=1,则仅-。@-司的最大值为1+1

D.若忖=1,则》的最小值为-近

10.已知平面向量次，OB，诙满足网=1,画=2,W+反卜伊.词，则()

A.点C轨迹是圆B.|而|的最大值是3

C.罔的最小值是1D.|叫的取值范围是[0,5]

三、填空题

11.设d>0,集合〃={(x,y)||x|+木码.若对任意方eM,均存在反和满足1一礼"，

a=Zfe+(l-A)c,则d的最大值为.

12.已知抛物线。：y=4了的焦点为凡点M,N,P在C上，S.MF+2NF+2PF=0,则I而I的取值范围

是,I而|+2|而|的最小值为.

13.在平面中，非零向量4石/满足同+W=2,旧-刈=|5-2|=|2-向=6，则同的最大值为.

14.已知。为坐标原点，向量砺，砺满足|函|+|网=8,将函绕点。按逆时针方向旋转90。，得到向量

OC.若丽+南=(—3,3)1=(1,0),贝M函+砺)彳的最大值为.

15.如图，边长为4的等边VABC,动点尸在以8C为直径的半圆上，若万5=4而+〃/,则X+；〃的

取值范围是.

A

BiC

P

—.—.3___.1—.

16.在梯形ABC。中，AB//CD,AD=1,AB=3,CD=1,=—，点M满足—贝lj

23

ZBAD=；若3。与。0相交于点P,N为线段AC延长线上的动点，则而.丽的最小值为.

17.已知两点A/上百,0),N(百,0),动点P满足NMPN=6(T,直线彳-⑺=。与动点尸的轨迹交于A、3两

点.当加=1时，|AB|=；当〃zeR时，旧•砺的最小值为.

18.已知平面向量心b，E满足同=1,忖=2,/=£Z，2：="1贝小一歹+卜一5『的最小值为.

19.已知A(-l,0),3(l,0),点C满足：|ACF+|3C|2=10,过点。(U)分别作两条相互垂直的射线。M,DN

分别与点C的轨迹交于M,N两点，记MN的中点为E,记E的轨迹为:T,过点C分别作轨迹V的两条切线，

切点分别为G,尸，则函.涛取值范围为.

20.已知平面向量a,B的夹角为凡5-0与H的夹角为3。，同=1,a和5-1在5上的投影为X,»则

x(y+sin6>)的取值范围是.

试卷第4页，共4页

《2025年3月2日高中数学作业》参考答案

题号12345678910

答案DBABBBDABCBCADBD

1.D

【分析】首先设出几何图形，确定给定向量的位置，结合给定条件得到CE=g,再对彳的取值进行讨论,

求解最值即可.

【解析】设苏=Z，OB=b^OC=c^所以2—加=丽，

因为,一同=2,所以网=2,即54=2,

因为1-3与Z的夹角为60。，所以NQ4B=60。，

----3

因为*="-日，~BC=c-b^(c-a)(c-Z?)=--,

4

__.__.3__»__.3

所以而•前=一，故百•屈=一，

44

如图，取中点E,作EG_LOM,作CM_LQ4,连接EM,C。，

因为NQ4B=60。，所以NAEG=30。，iiEG=—,AG=~,

22

所以南^LcB2LcB，cA

+LCA+t

442

,——*21——.21——.231一一。1一一。3

故CE=—CB+-CA一一=-(c-Z>)2+-(c-fl)2――,

448448

1-2---21-2——-23

=—(c-2-b-c+b)+—(c-2-a-c+a)——,

448

____3_2______3

因为(c—Q)(c-匕)=—，所1以c—a，c—b*c+a，b=—,

44

I—»|c1—►21—»21—»—»

因为卜-可=2,所以/一2£石+5=4,得到［b+-«^+-a-b,

答案第5页，共28页

1-21--1一一1-21-231--1-*21一一1--3

故一c----b-c----a-c+—b+—a——=\+—a-b+—c-----b-c-----a-c——,

22244822228

由c—a*c—b，c+a，b=—Rfc—----卜a・c+b，c—a，b,

44

1一一1-21-一1-一3

故1+—〃•/?+—c----b-c-----a-c——

22228

।一一31—一1厂一1一厂31

l+—a-b----b-c-----a-c——H-a-c+—b-c——a-b——=—,

222822284

----21I---J]]

即CE=“解得陷=5,故CE=5,

因为CE=；,所以C在以E为圆心，g为半径的圆上,

由题意得卜一切=区-2河，而■一彳词=瓯+彳殉,

当且仅当4=1时，AAO^AO>

此时酝+/L相=|反+殉=|相—CM,

由三角形边长性质得GW+CEWEN,当且仅当C,E,M共线时取等,

在直角三角形MGE中，所以EAfNEG,故C做+CE2EG,

代入数据得CM无，解得CM2更二L

222

此时瓯+2码2今L即匹+几网的最小值是与1,

当％时，AAO^AO,此时2而的终点不在。，

通过平移，使其终点到达。，同时设起点为Q,

此时O,A,Q三点共线，所以2而=函,

所以W+X狎=区+因=®=CQ2CM,

由三角形边长性质得GW+CENEM,当且仅当C,E,M共线时取等，

在直角三角形MGE中，所以EMNEG,故CM+CENEG,

代入数据得CM走，解得CM2避二L

222

此时匹+Xld2与L即瓯+2河的最小值是牛

综上，国+2码的最小值是与1,故D正确.

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是作出图形，利用给定条件得到CE=1,然后对参数

2

答案第6页，共28页

进行分类讨论，得到所要求的最值即可.

2.B

【分析】截面为过棱中点的正六边形，投影为两个正六边形的顶点，在平面中逐类分析眄-耳4的取值情

况，找出最小值.

【解析】

如图：由正方体的对称性知，过3条棱的中点的平面。截正方体的截面面积最大时为过棱中点的正六边形,

其边长为0，

设截面与6条棱交点分别为A，4,A，A，

由正方体知体对角线又AAnA4=A，所以co，平面AAAA4AA，

延长交棱延长线于E,设此棱中点为8,则DB=1,8E=2,

作交平面A4A4AA于4,所以叫，平面A&A4AA，

则4为8在截面的投影，且。4为正△。44边A4的中线，

又空=变=T=—=—^，所以是的重心，

j_=LOE=-4DE^OD4

同理可得其余5条棱的中点在截面的投影4,4,A。，A”A?到。的距离也为逅，

3

由对称性知，六边形4444。4凶2为棱长为逅的正六边形，

3

如图在平面AAAA4AA中建立直角坐标系，

则«冬用,«号用4。,用,&［专用,小多用’

答案第7页，共28页

可得A，4，A”A四点共线，由对称性知A，4,4,也共线,4,4,&),A也共线，

由正六边形性质知“出人为正三角形‘944。为边长半的正三角形’边长

的正三角形,

求呵•哀的最小值先考虑为负值的情况,

当力"•，丘｛1,2,…,6｝时，不妨令i=l,

在呵■中，则我•哀=V^x0cosl2(T=-l,其余结果都非负.

当z"*｛7,8,…,12｝时，则病.豆;=?x/cosl2(T=T，其余结果都非负.

当幻e｛1,2,…,6｝,丘｛7,8,…,12｝时，不妨令i=l,

4号与A4夹角不超过90。，故4可・封？0,

当於｛7,8,…,12｝,_/心｛1,2,…,6｝时,不妨令j=7,

="4x312。。=」,=£辿8sl80。」

333333

「逅X述8s60、2

A7A.44=44,（4A+AA）=4A2+A7A.4区=

I333

所以N44A为钝角，N&A7A为锐角,

4A•4A'>0，

由对称性知AA•琅,kG｛3,4,5,6｝的取值情况同上，

■外4>0,44•=4A•4A•COSZA54A>o,

答案第8页，共28页

底司=半、孚cosl2（r=q,

44•44>o,44,•4A.=44•44>o,,44>。，

--►--►4

综上：A4T4的最小值为

【点睛】关键点点睛：此题关键是找出各棱中点在截面的投影，根据两个正六边形的特点求出画•印4的

所有可能取值.

3.A

【分析】设。3$a$山，）石=次=（1,0）,£=砺=[,曰]最=万=（-3&-$亩。）作出图形，分析出

。炉以飒恒成立，临界处即尸与M重合，G与H重合，且GM不能充当直角三角形斜边，否则可以改变H

的位置，使得忸法卜|的],此时。最小，向量£Z夹角取得最大值，利用三角函数恒等变换和图象得到答

案.

【解析】设C（cos0,sin。）,如图，

不妨设冢=两=（1,0）后=彷

设M为A2的中点，G为OC的中点，尸为3D的中点，E为A。的中点.

^+e^+e^）=GO+OM=GM,

设4]+41+々鼻=彷+而=赤，点P在平行四边形内（含边界）.

由题知陟闫无可恒成立.

答案第9页，共28页

为了使〈3宿〉最大，则思考〈33〉为钝角，即思考c点在第一或第四象限.

思考临界值即P与M重合，G与//重合，且GM不能充当直角三角形斜边，否则可以改变H的位置，使得

|W|<|GM|,止匕时。最小,

所以说7_L玩,

即—COS61--cos20+^-sin0--sin26>=0.

4242

所以cosN一力=告

所以cos9=cos0-—j+—=cos0--jcos--sin0-—i-sin—

6J6I6)6I6)6

石遭卡13+76

=--X----1---x—=------,

32326

其中向量I与鼻夹角为兀-。，故1与M夹角的最大值的余弦值为-亚亚•

6

故选：A.

【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：

①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的

特征直接进行求解；

②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解

等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.

4.B

【分析】设莅=4数，由题可得G、B、。三点共线，进而可得|而|的最小值为A到即边上的高，根据

几何关系求出/瓦⑦=方，将丽.无化成।丽f-:网:通过几何关系求出|可小勺最小值即可.

【解析】设而=4*，故网=|码=8,^2AB+(4-42)AC=2AB+(l-2)AD=AG,

由2+(1-4)=1,则3,G,。共线,故同，“=4收

答案第10页，共28页

由图得，当私丽时|国有最小值,又网=|码=4困=8,

/.sinZABD=sinZADB==即/AB。=/AO3===,即△ABD为等边三角形.

8233

22222

由余弦定理，|BC|=|AB|+|AC|-2|A^|AC|COSZJBAC=8+2-2X8X2X1=52,

设/为BC中点，而•定=］加一［而:［加+g前］=|加『一J明:

.•.当［两■］取最小值时，丽.定有最小值，

为边上任意一点，

二当丽，丽时，|啊有最小值，

设过点C作CE1AB于点E,贝“CE|=|AOsin/BAC=G,

又PM11EC,尸河为A3CE的中位线，

A|PM|=-|CE|=—,SPIPA/I.=—,

I।2।।2।।nun2

（PBPC）=---x52=--.

\'min444

故选：B.

【点睛】关键点点睛：AD=4AC＞京5+（4-4彳）衣=而构造等边三角形且B,G,。共线，设

M为8C中点，由丽•斤=|两国］（先求出।豆耳），数形结合判断方.元最小户法|与相关线段位

置关系.

5.B

【分析】不等式|商+2日2,两边平方得到关于实数2的不等式，进而得到同=2,再利用模长公式

将^a+b+^b-c转化为a+^b+c-^b,再利用不等式同+|可冲+可即可得解.

【解析】由区+岗24一两边平方得邪+2阳二+矛力2万2-万上

24

答案第11页，共28页

又H=2,^.\a+Ac\>a--c对任意实数4恒成立，

即/X2+42+2-恒成立，所以八=16-4/

即6-4)20,所以^=4,即同=2.

由同=忖=同=2,知g苕+5=M+(5,^-C=

以—u-\-b—b—c=u~b+c——b2区+耳=5/a~+2H.df+=2^3,

1-1-

当且仅当4+与b同向时取等号.

22

故选：B

【点睛】关键点睛：本题考查向量的综合应用，不等式恒成立问题，解题的关键先利用B+彳石2日-;不对

任意实数2恒成立，求得同=2,再利用同+归归日+可求最值，考查了转化思想与运算能力.

6.BD

【分析】以AE为y轴，GC为x轴建立平面直角坐标系，根据向量线性运算可判断A；对于B,取AB的中

点、为M,则苏+丽=2两，⑸-丽=丽=2两，两式平方相减，结合正八边形的对称性取最大值时点尸

位置，然后利用坐标求解；对于C,根据投影向量公式求解可得；对于D,利用坐标运算表示出函数『(%),

根据二次函数性质可得.

【解析】如图所示，以AE为y轴，GC为x轴建立平面直角坐标系,

设|Q4|=a,则在△045中，由余弦定理可得4+6-2/COS：=4,

整理得4=4+20,

,CJ5JV>,E(O,a"[-旦，旦

因为A(0,-Q),3-----a,-------a

I22)(22J

G(-a,O),H.

I22)

对于A,因为OA+OC=(a,—a),03=1a、-a

所以百砺=(半心一4a^OA+OC,A错误；

对于B,取AB的中点为M,贝!］而+而=2两，可一方=丽=2加,

答案第12页，共28页

则例+而『=4-PM2,[PA-PB^=4MA,

两式相减得中•而=两2一而2=瓦/一],

由正八边形的对称性可知，当点尸与点E或点尸重合时，而*2最大,

又"[，所以两=1孝。，--，

所以的'2/立a]+(--a--a]=10+3a^a2=13+872,

I4JI24J4

所以，丽•丽的最大值为西.闻=可7-1=12+8上，B正确；

寸C,AG=(—a,a),AB=j—^―a,a—a,

一旦,+/一旦2

V2

AG-AB22

所以~2，

所以而在通方向上的投影向量为-遮而，C错误;

2

对于D,因为诟=a,----a+a

所以/(x)=—+^^a(l-hx)+a(l-x)

\l22

=J(2+0)02+(2—&)42尤2-2a2尤=2.-(2+应卜+3+2点,

当x=l+1时，函数”X)取得最小值2+及，D正确.

故选：BD

答案第13页，共28页

【点睛】关键点睛：本题解答的关键在于:第一，建立平面直角坐标系，利用坐标运算求解;第二，设

利用。表示坐标，到最后再进行代换，减少计算量；第三，利用对称性分析点尸位置.

7.ABC

【分析】A选项，MA+MB+MC=O,作出辅助线，得到三点共线，同理可得M为VABC的重心;

B选项，设内切圆半径为广，则SA=ggC",SB=^AC-r,k=gARr,代入后得到

BCMA+ACMB+ABMC=OiC选项，得到枭：SR:%=3：4:5,作出辅助线，由面积关系得到线段比，

设=MF=",ME=5f,则4W=3m,5M=2",MC=7f,结合三角函数得到M=逅九，=巫1/,

33

进而求出正切值的比；D选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值.

【解析】A选项，因为力：品名=1:1：1,所以症+标+碇=。，

取BC的中点贝!）而g+祝=2丽，所以2痂=一加，

故A,M,D三点共线，且M4=2ME>,

同理，取A8中点E,AC中点F，可得瓦加,尸三点共线，三点共线，

所以Af为VABC的重心，A正确；

B选项，若/为VA5c的内心，可设内切圆半径为乙

则％=：20厂，Sc=^ABr>

1—,1_.1___._

所以-3C"-M4+—+—A3•小MC=O,

222

WBCMA+ACMB+ABMC=O^B正确；

答案第14页，共28页

C选项，若M为VA3C的垂心，3通5+4砺+5碇=0,

则SA：SB：SC=3:4:5,

如图，ADLBC,CELAB,BF±AC,相交于点

又邑.。=枭+SB+S。，

531

《"-,即AM:MD=3:1,

S4i

三屋=高=.，即MF:BM=1:2,

S5

-^c-=—,即ME:MC=5:7,

\ABC1，

设MD=m,MF=n,ME=5t,则AM=3机，BM=2n,MC=7t,

niTi

因为NC4D=NCM,sinZCAD=——,sinZCBF=—,

3m2n

nm76

所以;;一=>即根=--n>

3mIn3

日工用h汨m5tA/105,,A/70

FJ理可付一=--,即"2=-------1J故九=----1

7t3m32

A/6

m~Tn贝UsinNBMD=

cosZBMD=—=——

2〃In6

故BD=BMsinNBMD=2w•叵=叵〃，

63

YY!QA/105,则sinNCMD=

cosZCMD=—=-^—

7t7t21

故CD=MCsinZCMD=7t-^^=,

213

tanZABC=—,tanZBCA=—,

BDCD

4721

故tanZABC:tanZBCA=^-1^CD4后t4同4

BD屈yfiOn国.呵5

-----n

2

答案第15页，共28页

3

同理可得tanABAC:tanZABC=

4

故tanABAC:tanZABC:tanZ.BCA=3:4:5,C正确；

D选项，若NB4C=45。，NABC=60。，M为VABC的外心，

则NACB=75。，

设VABC的外接圆半径为R,故/BMC=2ZBAC=90°,ZAMC=2ZABC=120°,

ZAMB=2ZACB=15Q°f

2222

故治=工氏去皿90。=工氏2,SR=-Rsinl20°=—7?,Sc=-Rsinl50°=-7?,

22112424

所以J:SB：SC=2:6:1,D错误.

【点睛】结论点睛：点。为VABC所在平面内的点，且次+砺+玄=G，则点。为VABC的重心，

点。为VABC所在平面内的点，且砺.砺=砺.反元，则点。为VA2C的垂心，

点0为VABC所在平面内的点，且网=|词=|因，则点0为VA2C的外心，

点。为VABC所在平面内的点，^.aOA+bOB+cOC=6,则点。为VABC的内心，

8.BC

p'p'

【分析】对于A,过AO的中点作平行线即可判断；对于B,先利用平面向量的性质得到x=OE',>=三一，

从而结合图形的性质推得x+y取得最大值时点P的位置，从而利用余弦定理与三角函数的和差公式求得

EC,EO,从而得以判断；对于C,结合选项B中的结论，推得点P与点B重合时而.丽取得最小值，由此

判断即可；对于D,举反例排除即可.

【解析】对于A,记。为49的中点，过D作DP〃彼交于尸，如图，

答案第16页，共28页

c

此时存在;leR,使得丽=彳砺，则炉=历+丽=,区+/1丽,

2

显然满足了=］，但点P不在线段A3的中点处，故A错误；

2

对于B,延长。4,在0A上任一点£作已产平行于08,如图，

C(P)

—.—.___.0E'—.E'P'—■—.E'P'-.E'P'

则0P=0E'+E'P=——OA+--------OB=OE'OA+------0B,即x=OE',y=——，

0A0B22

易得NCBO=6()o+NABO大于NAO3=12。。的外角，则A0与CB的延长线必交于一点,

故E'产离08越远，其值越大，同时，OE'的值也越大,

显然，当尸'到达P点与C点重合时，OE'与E尸都取得最大值，此时x+y也取得最大值,

止匕时，在△0AB中，AB2=(?A2+OB2-2OAOBcosZA=1+4-2x2x

br~niI-„0A?+AB?—OB?1+7—4

所以所近，则AC",侬的n。==k="'

易知。＜/。＜。,所以。=

05460sinNBA乃

则cos/C4O=cos(N&4O+6()o)=cosNBAOcos60O-sinNBAOsin60。==乂>-0乂6=——\=,

'<72V722V7

故在AQ4C中，0C?=01+3-204.apcos/C4O=l+7-2xgx——==9,

+。。。

0A22-421+9-7_1

所以0C=3,cosZAOC=

20A0C2x3-2

又0。＜/40。＜120。，所以4tOC=60。,

又ECIIOB,403=120。，所以NCEO=60。，贝LECO为正三角形,

答案第17页，共28页

所以EC=EO=OC=3,

EP3Q

所以x+y的最大值为。£+—=3+7=7,故B正确；

222

uuruunlUUTi.uun.(1A

对于C,因为丽=工况+'赤，(9A-OB=|OA|-|OB|COSZAOB=1X2XI--=-l,

所以DP•次=(无西+y宿=尤|西『+,砺.厉=尤_,=0£，_等，

由选项B,结合图像易知OE'的增长速率要比£P大，

F'p'

所以要使得。£-二取得最小值，OE'要取得最小值，

此时OE=0,则EP=O3=2,即点尸与点3重合时丽.西取得最小值，

E'P'2

此时。£———=0--=-1,即无.函的最小值为-1,故C正确；

22

对于D,当点P与点C重合时，cosNCAO=-<0,ZAOC=60°,

所以NC4O>90°,ZAPO=180°-ZCAO-ZAOC<30°,则cos/APO>cos30。=也，

2

贝I」而•西=|丽八丽kos/APO>3x=故D错误.

故选：BC.

p'p'

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用平面向量的三角形法则得到X=OE',，从而确定

x+yx-y取得最值时点尸的位置，从而得解.

9.AD

【分析】对于A选项，(a-c)-(&-c)=0<S>CA_LC§,后由NAO3+NACB=7t可得答案.

对于B选项，由A分析可知，O,A,B,C四点在同一个圆上.又忖=口4，则其长度为圆上弦的长度.

对于C选项，由题可得A,B,C均在以。为圆心、1为半径的圆上，设A(cosa,sina),C(cos/3,sin£),

又函_L砺，贝！J3(-sinacos(z).

表示出仅-斗©-c)后可得答案.

cos/3=xcoscr-ysincr

对于D选项，由"=法+班结合C选项分析，得

sinB=xsina+ycosa

又由M=i,可得/+/=1,后由重要不等式可得答案.

【解析】对于A选项，如图，若-@=o,则囱.在=o,所以①，函，又所以

答案第18页，共28页

ZAOB+ZACB=TT,所以。，A,B,C四点在同一个圆上，故A正确;

对于B选项，若（1。・仅-"）=0,由A选项知，O,A,B,C四点在同一个圆上，

又则其长度为圆上弦的长度.当线段oc为该圆的直径时，「最大，且最大值等于

网=楠两=及,故B错误；

对于C选项，由题可得A,B,C均在以。为圆心、1为半径的圆上,

设。4=(cosQ,sina),OC=(cos夕，sin尸)，又两_L砺，则

7171

—((、(\r\

OB=cos+aj,sin+aj=(一sina,cosa)淇中a,p&|_0,2万).

则

OA-OCj-IOB-OCj=(cosa-cos£)•(一sina-cos0)+(sina-sin£)•(cosa-sin

=sinacos§-sin£cosa-(cosacos0+sinasin£)+1

=sin(o—-cos(。一£)+1=1+^2sin<1+^/2,

当.一£=1时取等号.故C错误.

Feos[3=%cosa-ysina

对于D选项，由C选项分析结合"=坛+仍可知

[sin0=xsina+ycosa

又口=1,则(无cosa-ysin+(%sina+ycos二1

nx2(cos2a+sin2a)+y1Icos2a+sin2a\-2xycosasina+2xycosasina=1

=>%2+y2=],

则由重要不等式有：(X+y)2=Y+y+2盯42(X2+V)=2.

答案第19页，共28页

得x+”-血，当且仅当x=y=-且时取等号.故D正确.

-2

故选：AD

【点睛】关键点点睛：本题涉及向量，三角函数.判断A,B选项关键为能由伍-。・,-@=0得到CU画，

从而可以得到。，A,B,C四点在同一个圆上.

判断C,D选项关键，为利用A,B,C在单位圆上设出其坐标，后利用向量坐标表示结合三角函数，不等

式知识解决问题.

10.BD

【分析】先假设点48固定,即函与赤夹角。是定值，设点A关于。的对称点为A，根据曲+冈="•词

得到口目=|函•砺即点C的轨迹是一个点或以用为圆心，以•砺|为半径的圆；若点A,8不固定，

即厉与赤夹角a不是定值，可判断A错误；

结合网=1,|词=2的几何意义，数形结合得到网x=3,B正确；

C选项可举出反例；

D选项，求出伊•西=2|cos.,得至I］网L=j5+4cosa+21coscz|,求出当a=0时，|反'取得最大值

为5,当cosa=±=*时，|阮L取得最小值0,得到忸4的取值范围.

【解析】对A,先假设点A,2固定，即正与南夹角。是定值.

设点A关于。的对称点为A,由网+西=|况.可得，瓯-卜时卜|元一百H*H两词，

当。=90。时，|市•词=0,此时点C的轨迹是一个点A,

当嫁工90。时，点C的轨迹是以4为圆心，以,砺|为半径的圆.

若点A,B不固定，即次与赤夹角。不是定值，此时点C的轨迹也在变动，故A错误；

对B,=|而|=2,

...点A,点8在以。为圆心，分别以1,2为半径的圆上，|力同=3,.♦.B正确；

IImax

对C,当点A,8固定且e=0时，