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文档简介
备战2025年高考数学模拟试卷02(新高考全国II卷)
(考试时间:120分钟试卷满分:150分)
第I卷(选择题)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要
求的。
1.设全集U=1x[g<0,xez1,集合A={1,2,4},3=<2,xeN),则3c&A)=().
A.{0,3,5)B.{0,1,3)C.{0,3}D.{3,5}
已知复数z满足(l+i)z=3+5i,则目=(
D.厉
3.已知向量。=(2,m),Z?=(m+l,l),且Z与B方向相反,若c=(2,l),则Z在2方向上的投影向量的坐标
是()
A.[XiB.匿[C.U口.—]
4.按从小到大顺序排列的两组数据:甲组:27,31,37,m,42,49;乙组:24,〃,33,44,48,52,若
这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等,则W+H=()
_,71
5.已知一<。<兀,.若tana=3*,tan4二3一”,贝!J左=(
6.定义在R上的奇函数/*),对任意0<%<[都有<1,若/⑴=1,则不等式〃x)-x>。的
解集是(
A.(^»,-l)u(l,+oo)B.(-l,0)u(l,+o))
C.(f-1)50,1)D.(-l,0)U(0,D
7.古希腊数学家阿波罗尼奥斯所著的八册《圆锥曲线论(Conics)》中,首次提出了圆锥曲线的光学性质,
其中之一的内容为:“若点尸为椭圆上的一点,月、工为椭圆的两个焦点,则点尸处的切线平分/可尸片外角
22
根据此信息回答下列问题:已知椭圆C:a+亍=1,0为坐标原点,/是点尸(2,忘)处的切线,过左焦点耳
作/的垂线,垂足为M,则|。闾为()
A.20B.2C.3D.2y/3
8.已知点P在棱长为2的正方体表面上运动,A3是该正方体外接球的一条直径,则西.而的最小值为()
A.-2B.-8C.-1D.0
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的
要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.已知函数〃对=心皿(3+夕)N>0,。>0,|夕|<外的部分图象如图所示,下列说法正确的是()
B.函数人尤)的图象关于对称
-121L
C.函数/(幻在的值域为[-2,否]
O3
D.要得到函数g(x)=Acos(©x+0)的图象,只需将函数Ax)的图象向左平移;个单位
10.如图,在四棱锥尸-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,ZADC=60°,A/W)为正三角形,。为
AD的中点,且平面皿>,平面ABC2M是线段PC上的一点,则以下说法正确的是()
A.OMLPD
B.OMA.BC
C.若点河为线段PC的中点,则直线OA///平面PLB
D.若瞿=!,则直线A〃与平面尸AB所成角的余弦值为题
PC310
1L下列式子中最小值为4的是()
A.sin2x+——B.2X+22-x
sinx
C.—^-+—D.41n“%2+1-%)+ln“%2+1+%)
sinxcosx\'
12.已知抛物线石:Y=2py5>0),过其准线上的点A(-1,-1)作石的两条切线,切点分别为氏C,则下列
说法正确的是()
A.抛物线E的方程为f=2yB.AB1AC
C.直线8C的斜率为D.直线8C的方程为x+2y-2=。
第II卷(非选择题)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知募函数/(无)=(疗-2〃L2)X*I在区间(0,+8)上单调递减,则加=.
14.已知圆M的圆心在直线y=-x-3上,且过(1,-2),(-1,0),则圆M的方程为一.
15.已知二项式,x+十)(〃eN*)的展开式中只有第4项的二项式系数最大,现从展开式中任取2项,则
取到的项都是有理项的概率为.
x1,x<0
16.已知函数"》)=%,若关于x的方程/(同一2/(龙)+2机-1=0恰有4个不同实数根,则实数
—T,尤>0
m的取值范围为.
四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17.记数列{%,}的前w项和为S“,对任意正整数小有2S“=s,且的=3.
⑴求数列{4}的通项公式;
⑵设勿=空,数列{2}的前〃项和为《,求证:T“<4.
c
18.在AABC中,角A,B,C所对的边分别为。,b,c,已知=2cosC.
acosB+bcosA
⑴求角c;
⑵C£>是NACB的角平分线,若CZ)=£叵,c=26,求AABC的面积.
3
19.如图,在直三棱柱ABC-中,ZACB=90°,AC=BC=CCl,〃为A8的中点,。在A4上且
4。=3£>4.
(1)求证:平面CME>_L平面
(2)求直线CM与平面C8。所成角的正弦值;
⑶求二面角B-CD-M的余弦值.
20.后疫情时代,为了可持续发展,提高人民幸福指数,国家先后出台了多项减税增效政策.某地区对在职
员工进行了个人所得税的调查,经过分层随机抽样,获得500位在职员工的个人所得税(单位:百元)数据,
按[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]分成九组,制成如图所示的频率分布直方图:
假设每个组内的数据是均匀分布的.
⑴求这500名在职员工的个人所得税的中位数(保留到小数点后一位);
⑵从个人所得税在(6,8],(14,16],(16,18]三组内的在职员工中,采用分层抽样的方法抽取了10人,现从这10
人中随机抽取3人,记年个税在(14,16]内的员工人数为X,求X的分布列和数学期望;
(3)以样本的频率估计概率,从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工,记年个税在(14,18]内的员工人
数为Y,求F的数学期望与方差.
21.在△尸月乙中,已知点耳卜6,0),乙(坞,0),尸片边上的中线长与尸工边上的中线长之和为6,记月工
的重心G的轨迹为曲线C.
⑴求C的方程;
⑵若圆O:/+丁=1,醺0,T),过坐标原点。且与y轴不重合的任意直线/与圆。相交于点A3,直线胡,4
与曲线C的另一个交点分别是点M,N,求AEMN面积的最大值.
22.己知函数/(x)=xTn(x+a)的最小值为0,其中a>0.
⑴求。的值;
⑵若对任意的xe[0,+«>),有依2成立,求实数上的最小值;
n2
⑶证明:E7—;-ln(2«+1)<2(«eN,).
i=l2%—1
参考答案
(考试时间:120分钟试卷满分:150分)
第I卷(选择题)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要
求的。
12345678
CDBDBCAA
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的
要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得。分。
9101112
ACDBCDBCBCD
第II卷(非选择题)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.-114.(x+l)2+(y+2)2=415.116.
四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17.(10分)
【答案】⑴。”=3(〃-1)
(2)证明见解析
【分析】(1)根据数列递推式25“="%,利用。“=5”-51(〃22)可得3=1,利用累乘法,结合验证
首项,即可求得答案;
(2)由(1)可得〃=空的表达式,利用错位相减法可求得7“,即可证明结论.
【详解】(1)由题意对任意正整数",有25"=〃%,
则—1时,2S]—,即2〃[=0;
当〃22时,2s“+i=(〃+1)%,则2%旬=(〃+1)。“+1,
即(〃-㈣,,即7=Q'
n-1n-2…。3=35一1),
故〃22时,4
an-\4-2n-2〃一3
4=0也适合上式,故(=3(〃一1);
(2)证明:由(1)可得2=竽=2异,
-1473,1-53,1-2
n=-+^+-+.:+—+—
mJ.1473/7-53n-2
则广矛+3+吩+…+丫+k
3n—2
2M+1
3九+4
2"1
e,3〃+4,十*,,3n+4八
故(=4——,由于〃eN*,故技=>°,
故….
18.(12分)
【答案】⑴三;
⑵26.
【分析】(1)由正弦边角关系及已知得cosC=1,即可得角C;
2
(2)由余弦定理得」='+”-12,由»曲=久48+5力8及面积公式得仍=4。+6),求得必=8,进而
22ab3
应用面积公式求面积.
【详解】(1)由-----------=2cosC,得:------------------=上上=l=2cosC,即cosC=—,
acosB+bcosAsinAcosB+sinBcosAsinC2
7T
又CeQit),所以C=1.
(2)在AASC中,coSC):,--得:1=巴"”①,又S,ABC=S,CD+S》CD,
2ab22ab
c
得:—a&sin—=—a-^^--sin—+—,化简得:②,
232362363V
由①②得:ab=8,所以S8ABe=26.
19.(12分)
【答案】(1)证明见解析
⑵出
17
⑶萼
【分析】(1)证明推出CM,平面AB耳A,进而可得结论;
(2)以C为原点,C4为x轴,CB为y轴,CQ为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法求直线CM与
平面C8。所成角的正弦值;
(3)利用向量法求二面角的余弦值.
【详解】(1),••直三棱柱ABC-A冉£中,AC=BC=CCt,M为AB的中点,
:.CM±AB,平面ABC,CNu平面ABC
CM±A4j,又A4]r|A5=A,A^,A5u平面,
「.CM_L平面A55]A],又CMu平面CMD,
A平面CMD_L平面ABBX\;
(2)以。为原点,C4为1轴,CB为>轴,CG为z轴,建立空间直角坐标系,
设AC=3C=CG=4〃,
则C(0,0,0),3(0,4a,0),D(a,3a,4a),M(2a,2a,0),
BD=(a,—a,4a),BC=(0,-Aa,0),CM=(2a,2a,0)
设面BDC的法向量。=(X,y,Z),
n-BD=xa—ya+4ZQ=0
则取z=l,得力=(TO,1),
h-BC=-4ya=0
设直线aw与平面CB。所成角为e,
2^34
sina=|cos<CM,n>\=—;=----
7812.71717
->
(3)设面CDM的法向量为m=(Ry',z),又CD=(a,3a,4a),CM=(2a,2a,0),
in-CD=x'a+3y'a+4z'〃=0一,、
—.,取%'=2得m=(2,—2,1),
m^CM=2x,a+2y,a=Q
/—_\m-n-8+17^/^7
cos{m,n)=匚i----=/—/一二------
、/m-|n|A/16+1-V4+4+151,
所以二面角B-CD-M的余弦值为△叵.
51
20.(12分)
【答案】(1)9.3百元
(2)分布列见解析,E(X)=|
(3)10,9
【分析】(1)根据频率分布直方图的性质求得。,利用中位数计算公式计算即可.
(2)求得X的所有可能取值和对应的概率即可得到分布列,再由数学期望公式计算即可.
(3)由题意得F〜3(100,0.10),由二项分布的数学期望与方差公式直接计算即可.
【详解】(1)设这500名在职员工的个人所得税的中位数为
贝岫频率分布直方图得2x(0.02+0.03+0.05+0.05)+(〃一8)x0.15=0.5,
解得。=壬9.3,
所以这500名在职员工的个人所得税的中位数为9.3百元.
0.05
(2)由题意抽取的10人中,年个税在(6,8]内的员工人数为10x-=---5--人---,-------------
0.05+0.04+0.01
0.04
年个税在(14,16]内的员工人数为10x----------------------=4人,
0.05+0.04+0.01
0.01
年个税在(16,18]内的员工人数为10x----------------------=1人,
0.05+0.04+0.01
若现从这10人中随机抽取3人,记年个税在(14,16]内的员工人数为X,
则X的所有可能取值为0』,2,3,
所以尸"=3)=詈/哈小=2)=詈喑$
C2cd15x4_120_1
P(X=1)=音P(x=o)=#
Jo120-2jo120-6
所以X的分布列为:
X=k0123
131
P(X=k)
6j_1030
2
X的数学期望为:E(X)=3x-^-+2x-1-+lxl+0xl=^.
(3)由频率分布直方图可知年个税在(14,18]内的概率为(0.04+0.01卜2=0.10,
从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工,恰有女(。父4100,此N)个员工的年个税在(14,18]内的分布
列服从二项分布丫〜8(100,0.10),
由二项分布的数学期望、方差公式可得E(y)=iooxo.io=io,r>(y)=iooxo.iox(i_Qio)=9,
即y的数学期望与方差分别为10,9.
21.(12分)
【答案】(1)j+y2=l(ywo)
【分析】(1)根据椭圆的定义求得曲线C的方程.
(2)直线应欣为,=—,通过联立方程组等求得两点的坐标,求得AEMV面积的表达式,利用换
元法以及函数的单调性求得AEMN面积的最大值.
【详解】(1)设尸片的中点为S,p玛的中点为T,所以怩G|=§S闾,由G|=(s|,
所以忸G|+|乙G|=g(|S耳|+1*1)=4,所以国G|+优G|=4>国闻=2石,
所以G点的轨迹是以月入为焦点,长轴长2a=4的椭圆.所以。=2,
所以C=VLb=l,所以曲线。的方程为]+y2=l(yw0)
%
P
FiOF?x
(2)设直线为丁=丘-1(不妨设左>0),设NG,%),
嚏冬三
E
所以]:::[_,x2+4(^V-2fcr+l)-4=0,(4公+1
40卜2—8斯=0,
解得王=7^=(玉=。舍去),则%=管一一1=竺二,
由于AB是单位圆的直径,所以AE_LBE,
所以直线EN的斜率为一直线硒的方程为"
同理可求得"/,V=14,贝5=一>「:-1=4一产
7二」A'
8k4左2f一8k4_廿]
由上述分析可知M4r+l'4/+lJ/+4'公+4J,而E(O,—1),
118k\产-1小2
99_8kY(4-k,YJ
所以/谢=/四|x|EN|=-xZF+iJ+〔41+i+,X
「HEJj
k+-
1
所以心施=25X——吉—,^s=k+->2Jk--=2,
4k2++17
k2
当且仅当后=:,左=1时等号成立,
k
c_o5x'_32
则之EMN-4s2—8+17-4S+2,函数y=4s+Z在[2,+a))上单调递增,
s
3265
所以当s=2时,S公EMN取得最小值为4x2+2一王,
2
【点睛】关键点睛:在圆锥曲线中,求解三角形面积最值、范围等的有关问题,关键点有两点,第一点是
求得三角形面积的表达式,可考虑根与系数关系、点到直线的距离公式等等来进行求解;第二点根据面积
的表达式,使用基本不等式、二次函数等知识求得面积的最值或取值范围.
22.(12分)
【答案】(1)1;
⑵g;
(3)证明见解析.
【分析】(1)对〃元)进行求导,已知/(无)最小值为0,可得极小值也为0,得1(0)=0,从而求出。的值;
(2)由题意任意的xe[0,w),有成立,可以令g(x)=&-〃x)先通过g(0)=0,g⑴NO大
致确定%取值范围,再利用分类讨论法求出g(x)的最值;
112
(3)由(2)知:令4=一得:%-皿%+1)W_f令x=_—«=2,…,九)得:
222z—1
221(11।
j-[ln(2f+l)-ln(2z-l)]<-^—yj,累加即可的证.
【详解】⑴由函数〃x)=x—ln(x+a)
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