2025年高考数学模拟试卷（二）含答案

数学（二）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.如图，已知矩形U表示全集，A,8是U的两个子集，则阴影部分可表示为（）

A.B.Q（ACB）

C.（QB）CAD.（QA）CB

2.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边

长分别为明b,c,则三角形的面积S可由公式5=1川0-0）（0-6）（0-0）求得,其中P为三角形周长的一半，

这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足。=6,a+b=8,则此三角形面积的最大值为

（）

A.185/3B.473C.873D.9a

3.已知点A是抛物线。：/=2°工（。＞0）上一点，若A到抛物线焦点的距离为5,且A到x轴的距离为4,则。=

（）

A.1或2B.2或4C.2或8D.4或8

4.圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,母线长为4.已知尸为该圆台某条母线的中点，若一质点从点尸出

发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P则该质点运动的最短路径长为（）

5.将数字L2,3,4,5,6,7,8,9随机填入3x3的正方形格子中，则每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字

之和都相等的概率为（）

6.定义：已知数列｛a“｝（"eN*）的首项q=1,前〃项和为5“.设几与人是常数，若对一切正整数"，均有

1/4数学（二）

4,-S：=然；成立，则称此数列为“2&左”数歹/若数歹!J{4}（〃eN*）是“曰&2”数列，则数列{«„}的通项公式an=

（）

ri(〃=i)ri(〃=i)

A.3X4'TC.4X3"-2

'[3x4n^2(n>2)・[4x3n-2(n>2)

7.在(x+1)(%+2)(x+ni)(x+")的展开式中，含Y的项的系数是7,则根+〃=()

A.1B.2C.3D.4

8.已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+8）单调递减，若aeR+,且满足

/（log3«）+/log,«<2/（2）,则a的取值范围是（）

I37

A.：9B.C.1,2U[9,+oo）

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.欧拉公式e，=cosx+isin无（i为虚数单位，xeR）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函

数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（）

A.学的虚部为1

B.e疝=-l

e2

C.eX1|-|cosx|+|sinx\

D.e7的共筑复数为-i

23,P（B|A）=1,则（）

10.对于随机事件aB,若尸（A）=y,P®=M

319-1

A-P(AB)=-B.P(A|B)=-C.尸(A+5)=—D.P(AB)=-

102

II.如图，正方体ABCD-A4GB的棱长为1,动点P在对角线2A上，过户作垂直于的平面C,记平面。与

正方体耳G2的截面多边形（含三角形）的周长为L,面积为S,BP=x,xe（0,V3）,下面关于函数

〃x）和S（"的描述正确的是（）

B.在x=4时取得极大值;

2/4数学（二）

C.在。，岑上单调递增，在上单调递减；

D.S(x)在，，孝]上单调递增，在£市上单调递减

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理.

如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCD杯G8,其中■=1,0为正八边形的中心，则

ABHD=.

13.已知数列满足4=2,%=1,%=—3，且a“+2=4%+6zn+1,则%=

+2x+3x<0-

14.已知函数,若存在实数占,々，彳3且不<彳3，使得/(尤1)=/(尤2)=/(三)，则

mx,尤>。

x1/(x1)+x2/(%2)+w/(%)的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知锐角aABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,若a-c=2ccosB.

(1)证明：B=2C；

(2)若a=2,求c当os、C+上1的取值范围.

bc

16.已知数列｛4,｝的前〃项和为S“，且q=2,%+]=S.+2.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵设b“=log2^-11,求数列｛h|｝的前n项和Tn.

17.如图，四边形ABCD为菱形，PB1.平面A8C£>.

3/4数学(二)

p

c

(1)证明：平面上4C，平面PBD；

(2)若R4LPC,二面角A-3P-C的大小为120。，求尸C与她所成角的余弦值.

„22Q

18.已知椭圆C:二+当=1(。>6>0)的两个焦点分别为耳耳，离心率为半，点P为C上一点，APKE周长为

ab2

20+2，其中。为坐标原点.

⑴求。的方程；

⑵直线/：y=x+机与c交于A3两点,

(i)求△OA3面积的最大值；

(ii)设丽=西+丽，试证明点。在定直线上，并求出定直线方程.

19.已知函数〃x)=aln(x+l)-xe同.

⑴当4<0时，求“X)的单调区间；

(2)若函数“X)存在正零点七，

(i)求。的取值范围；

(ii)记X］为的极值点，证明：x0<3x1.

4/4数学(二)

数学（二）答案

1.D2.B3.C4.A

5.A【详解】符合题意的填写方法有如下8种:

294618492816

753753357357

618294816492

672438276834

159951951159

834276438672

Q

而9个数填入9个格子有9!种方法所以所求概率为尸=或，故选：A.

6.B【详解】因为数歹£与｝（小*）是，数列，则2=亭左=2,

111

所以而S“+「S“=%’

•.-a„>O,...S„+1>S„,...V-Sj>0-

11/?1

•・fSJ=q（S"+f）2,

・••（S：-4）2=g⑸--s））（sj+4），

S“+J-SJ=-（S„+J+^）,-.S“1=2S.5,;.S“M=4S”，；.s,=4'I,

・・・S]=4=1,5.=4〃T,.•.4=4i-4〃-2=3・尸,几22,.•.氏=鼠平_2故选：B

7.D【详解】由题意可知展开式中含元3的项：x3+2x3+mx3+n¥3=（l+2+m+zz）x3=7x3

.,・加+〃=4,故选：D.

8.D【详解】依题意，"X）是偶函数，且在区间[0,+«0单调递减，

/、

由〃1。83。）+/log/<2〃2）得〃题3。）+〃-1。83。）=2/（1083。）<2〃2）,

\3）

所以/（logs。）W7（2）,J5ffy.log3a<-2^1og3a>2,

所以。<。<（或"29,所以。的取值范围是，,gU[%+8）.故选：D

9.ABD【详解】对于A中，由/=cosq+isinq=L+^^i,其虚部为心，所以A正确;

33222

对于B中，由e711=cos7i+isin?i=-l,所以B正确；

1/8数学（二）答案

对于C中，由/=cosi+isinx,则町=Jcc^x+sii?%=1,所以c错误；

对于D中，由S=cosP+isina=i,故启的共轨复数为-i,所以D正确.故选：ABD.

22e

/、（/、/211

10.BCD【详解】对A：因为P（B|A）=P丸A＜By=＞尸.（叫=尸⑷P（3|Ax）=：X：J,故A错误;

=/故13正确;

o31Q

对C：因为尸（A+B）=P（A）+P⑻-尸（幽=,+]-而=木，故C正确;

对D：P（B）=P（A）-P（B|A）+P（A）-P（B|A）=＞|=|x|+|-P（B|A）,

所以：P（B|A）=|.

所以尸画=尸（孙尸伍|可=*=；.故D正确.故选：BCD

11.AD【详解】当xe。，孝时，截面为等边三角形，如图：

因为BP=x,所以所="x，

所以："x）=3瓜，5（尤）=浮尤2,乎

此时L（x）,S（x）在0,彳上单调递增，且"x）V3后，S（x）44

当xe（5n,后2反一、时截面为六边形，如图：

2/8数学（二）答案

设AE=/,则AE=AF=CG=CH=B]N=B]M=X

所以六边形EFGHMN的周长为：3M+3后（1-。=30为定值；

做NN】_L平面ABCD于乂，脑/_L平面ABCD于M.

设平面EFGHMN与平面ABCZ）所成的角为二，则易求cosa=^~.

3

所以SEFDHMN,C°Sa=SFANMCG，

所以SE的MN+”产），

在N。』上递增，在《别上递减,

所以截面面积的最大值为石F+m=挛，此时/=1，即片旦

（224）422

所以S（x）在上递增，在^~,一，上递减.x=@时，S（x）最大，为.

132）（23）24

当后时，易得：

L（X）=3V6（A/3-X）,s（x）=¥（g-x『

此时L（x）,S（x）在[竿，内上单调递减，"x）＜3后，S（x）＜^-.

综上可知：AD是正确的，BC错误.

故选：AD

12.1+&##&+1【详解】在正八边形ABCDEFG8中，连接“C,则"C〃AB,

而NABC=135。，即/BCH=45。，于是/HCD=90。，在等腰梯形ABC”中,

3/8数学（二）答案

CH=l+2xlxcos45°=1+72;所以血,访=lx|赤卜osNCHD=|明=1+四.故答案为：i+应

13.1［详解】当〃=1得。3=4al+4，又4=2,4=I,/=—3得—3=2/1+1,解得4=—2.

则4+2=-2。〃+an+1，

以。4=—2〃2+%=—2x1—3=—5,%=—2〃3+&=—2x(―3)—5=1.

故答案为：L

14.-6+3e3【详解】根据题意作出函数y=/Q)的图象，如图所示，

令y=2,解得％=-1或％=e?,

令y=3,解得％=-2或x=0或％=匕3,

由题意可知：、=〃与丫=/(%)有三个交点，则2<aW3,

止匕时一2W再<一1<冗2<0<e?<%3(匕3,且玉+兀2=—2,

^/(x3)=lnx3=a,可得£=e",

则玉/(石)+xif(%2)+%3/(入3)=+aX2+ax3=-2。+〃e"，

令g(〃)=-2〃+〃e",2<aW3,贝|g'(〃)=-2+(a+l)e">-2+3e2>0,

可知g(〃)在(2,3］内单调递增，则g(a)的最大值为g(3)=-6+3e3,

所以再〃再)+//(%)+(当)的最大值为-6+3e3.

故答案为：—6+3e3.

15.⑴证明见解析(2)\,力

【详解】(1)因为a—c=2ccosB,由正弦定理得sinA-sinC=2sinCcos5,

所以sinBcosC+sinCcosB-sinC=2sinCcosB,

所以sin8cosC-sinCcosB=sinCsin(B-C)=sinC,

而0v5〈兀,OVCVTI,则B—C=C或5—。+。=兀，

即3=2。或5=%(舍去)，故3=2C.

4/8数学（二）答案

o<Y

(2)因为aABC是锐角三角形，所以。<2C<m,解得?<C<S，

2o4

0<7t-3C<-

12

所以cosC的取值范围是更<cosC<3,

22

,一E—T,口bsinB,sinBsin2C小「

由正弦定理可得：一=—^，则6=~7=-C=.C-=2cosC-c,

csinCsmCsinC

uuk]cosC1cosC13

所以「一=二，所以「一+一=不，

b2cbc2c

因为a—。=2ccos3，所以2-c=2ccos2C,

2

所以2-c=2ccos2C，所以c=

2cos2C+l

cosC1_3_3_3(2COS2C+1)_3(4COS2C-1)

所以b+7-五一4一4-4

2cos2C+l

(B

因为cosC£,所以4cos之C-1E(1,2),

I22J

所以呼+卜^^丁。的取值范围是

16【详解】⑴由a〃+i=S“+2,则当“22时/=S,T+2

两式相减得a向一a,,=an,所以a„+1=2a“(n>2).

将％=2代入a.+i=S“+2得，%=4=2%,

所以对于"eN*,a,M=2a“，故｛厮｝是首项为2,公比为2的等比数歹U,

所以4,=2".

(2)bn=log2a^-ll=2n-ll.

2

Bn=bx+b2-\-----\-bn=z?(n-10)=n-lOn,

因为当“W5时4<0,当“26时/>0,

2

所以当〃V5时,Tn=~b1-b2-------bn=-B„=10n-n,

当〃26时，Tn=-bt~b2-----b5+b6+by+—i-bn=Bn—2B5=n~-10/z+50.

\0n-rr,n<5

故(=

/-10n+50,w>6

17.【详解】(1)•.•P3_L平面ABCD且ACu平面ABCD

.-.PBLAC,

5/8数学(二)答案

在菱形ABC。中，BDLAC,且PBcBD=B,PB,BDu平面PBD,

.•.AC_L平面PB。

又rACu平面FAC

平面PAC，平面PBD.

（2）平面ABC£）且ABu平面ABCQBCu平面ABC£>

.■.AB1,BP,BC1BP,即二面角A-BP-C是/ABC,

ZABC=120°,

取AC与BD交点为。，设AB=3C=2,

则AC=2y/3,

PA=PC=V6>PB-V2，

以。为坐标原点，03为x轴，oc为y轴，如图建立空间直角坐标系,

则8（1,0,0）,£>（-1,0,0）,P（l,0,V2）,C（0,73,0）

丽=（2,0,0）,PC=（-1,73,-72）

BDP^_2=V6

BD^PC2X>/66'

所以如，尸C所成角的余弦值为逅.

18.【详解】（1）设焦距为2c,依题意，％解得，

2。+2c=2V2+2,

又/=〃+/,所以〃2=储一。2=1,

所以C的方程为:+V=1.

（2）（i）设4（占,%）,8（%2，%），

-----1-V2=]

因为<2，所以3f+4mx+2m2—2=0,

y=x+m

A=16m2-4x3x（2m2-2）>0,解得病<3,

4m2m2-2

所以玉+々=一~—=——-——

々）2+（%-%）2=3xJ%+々）2-4卯%2~~~~x,24-8加、=1n

6/8数学（二）答案

m

点。到直线/：尤-y+m=。的距离d=\\

万

…面积sf

V2(3-疗)+〃/

=彳,:(3-〃/)加?___7_______L______

2

当且仅当3-毋=机2,即加=±逅时，Z\Q钻面积的最大值为因.

22

（ii）设。（x,y）,由丽=丽+砺,有（须＞）=（再+/，%+%），

X=X]+x2

即

y=Vi+%

4nt2m

因为再+%=—1，所以％+%=再+/+2m=

4m

X~31

故*，于是有》=一?,

2m2

y=——

3

所以点。在定直线y=-gx.

19.【详解】⑴由已知可得“X）的定义域为（-1,+8）,

2x+1

且:")=£_《+xe*+i«-(x+l)e