2025年高考数学解答题解题技巧全攻略（含解析）

2025年高考数学解答题解题技巧全攻略

布考解答题解墓技巧会攻暗

------------------------------------------------------------------------°0------------------------------------------------------------------------

方法一构建答题模板.................................................................1

方法二用七步答题.....................................................................6

方法三方法三分类讨论..............................................................9

方法四数形结合....................................................................12

方法五特殊值探路..................................................................16

方法六正难则反...................................................................19

Q（解法探究）

方法一构建答题模板

构建答题模板，步步为营，不因缺少步骤或者部分条件而导致扣分，是所有技巧的基础。

【典型例题】

1.（2024•广东江苏・高考真题）记△ABC的内角48、。的对边分别为a,b,c,已知sinC=方cosB,a?

+b2—c2=V2ab

⑴求B;

（2）若△ABC的面积为3+四,求c.

•M

【变式训练】

一、解答题

2.（24-25高三上•江苏•阶段练习）记4ABC的内角ABC的对边分别为a,b,c,面积为S,已知b2=2s

+abcosC

⑴求A;

（2）若BC边上的高为1且3bcosC=ccosB,求△ABC的面积S.

3.（2024•吉林•三模）已知数列｛an｝满足电=1,册+1=2册+2”+1.

（1）证明：数列｛爹｝为等差数列，并求通项an；

（2）求数列｛册｝的前ri项和S”.

4.(24-25高三上•江苏•阶段练习)如图,在直四棱柱ABCD-4向。。中，44」平面ABCD,AD±

48,8。，8,其中718=4。=2,44=2斯，。是瓦。1的中点，Q是DA的中点.

B

(1)求证：。F〃平面CBiQ；

(2)若异面直线BC、B.Q所成角的余弦值为空，求二面角B.-CQ-D的余弦值.

O

5.（2024•陕西宝鸡•模拟预测）统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下

表为2020年-2024年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中2020年-2024年对应的代

码依次为1—5.

年份代码212345

市场规模沙3.984.565.045.866.36

5

歹—5.16,1.68,夕。彩产45.10,其中幼=

i=l

参考公式:对于一组数据（%,%）、（”2,例）、…、（—外），其经验回归直线g=b”+Q的斜率和截距的最

n

〉2号，仇一几可

小二乘估计公式分别为b=y------------,ax1.83.

Z说一TZ/亍

（1）由上表数据可知，若用函数模型4=bG+a拟合夕与C的关系，请估计2028年我国在线直播生活

购物用户的规模（结果精确到0.01）；

（2）已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率P,现从我国在线直播购物用

户中随机抽取5人,记这5人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X,若P（X=5）=P（X=4）,求

X的数学期望和方差.

27[2

6.(2024高三•全国•专题练习)已知双曲线C:%—2=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为瓦用，实轴长

azbz

为2,M为C的右支上一点,且(\MF1\-|A^|)min=3.

(1)求。的方程；

⑵设。的左、右顶点分别为AB，直线Z与。交于PQ两点,与立轴交于点(一；,0)，直线AP与8Q

交于点G,证明：点G在定直线上.

7.(24-25高三上•天津•阶段练习)设函数/(x)=Ina;-矶力-l)e*其中aER.

⑴若a=—1,求曲线y=f(x)在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)若0VaV――，

e

⑴证明：函数/(力)恰有两个零点；

(w)设g为函数f⑸的极值点，g为函数f(x)的零点，且力i>g,证明:3g—力>2.

方法二跳步答题

解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时,我们可以假定某些结论是正确的往后推，看能

否得到结论,或从结论出发，看使结论成立需要什么条件。如果方向正确，就回过头来，集中力量攻

克这一卡壳处。如果时间不允许，那么可以把前面的写下来，再写出证实某步之后,继续有一直做

到底，这就是跳步解答。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若

题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作已知,先做第二问,这也是跳步解答。

【典型例题】

8.(2024.全国.高考真题)如图，平面四边形ABCD中，AB=8,CD=3,AD=5V3,/4DC=90°,

ABAD=30°,点E,F满足AE=^-AD,AF=:存，将AAEF沿EF翻折至APEF,使得PC=

o/

4V3.

(1)证明：EFLPD；

(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.

【变式训练】

一、解答题

9.(24-25高三上•河北•期中)已知数列｛册｝的前n项和为S”,且S“一2册=9一1.

(1)求证:数列｛册-告｝为等比数列；

⑵若鼠=(2n+1)得一aj,求数列｛6„｝的前几项和Tn.

10.(2024高三・全国・专题练习)记△ABC的内角。的对边分别为a,b,c,已知(a+6)sinB

csin(A—B).

(1)证明：a=2b；

(2)若a=2,点。在线段48上，且5初=3屈，乙4CD=2NBCD,求CD.

11.（24-25高三上•河北•期中）如图，在平面五边形耳瓦刀中，取=瓦7=2,AB//CD,AB=CD=3,

AB±BC,^/\PAD沿AD翻折，使点P到达点R的位置，得到如图所示的四棱锥R—ABCD,且

=，叵，E为的中点.

（1）证明：AELEC；

（2）若BD=22,求平面ABE与平面BCE夹角的余弦值.

方法三方法三分类讨论

解题时常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行下

去,这是因为被研究的对象包含了多种情况,这就需要对各种情况加以分类,并逐类求解，然后综合归

纳得解，这就是分类讨论。

引起分类讨论的原因很多,数学概念本身具有多种情形,数学运算法则、某些定理、公式的限制，图

形位置的不确定性，变化、不等式的求解等均可能引起分类讨论。在分类讨论解题时,要做到标准统

一，不重不漏。

【典型例题】

12.(2024.全国.高考真题)已知函数/(①)=(1—aa?)ln(H-3；)—x.

(1)当a=—2时，求/(6)的极值；

(2)当土50时,/(土)>0,求a的取值范围.

【变式训练】

一、解答题

13.(23—24高三上•山东威海・期末)已知函数/㈤=~x4+日炉+"f——a(aGR).

(1)当。=一1时，求/(①)的单调区间；

(2)设函数g(c)=(62+0)田一/^",若力=0是9(力)的极大值点，求a的值.

x—1

14.(23-24高二上•浙江宁波・期末)已知数列｛为｝的首项©=!■，且满足册+尸(九E"*)•

O~।-L

(1)求证:数列(--1)为等比数列；

⑵若⑥=(6—n)(2九+1),令4=a7Al，求数列｛\cn\｝的前n项和S^.

10

15.（2024高三•全国・专题练习）已知椭圆Ci：4+与=1@>优>0）与椭圆G：与+£=

aibi谢&2

l（a2>b2>0）的离心率相等，G的焦点恰好为G的顶点，圆炉+夕2一（2+0）2+272=0分别经过

G，G的一个顶点.

（1）求G，&的标准方程.

（2）过。2上任意一点A作。2的切线与G交于点M,N,点B是G上与双，N不重合的一点，且砺=

4向+〃曲（点O为坐标原点），判断点是否在定圆上.若是，求出该圆的方程;若不是，请说明

理由.

•M

方法四数形结合

数形结合法:对于一些含有几何背景的题，若能根据题目中的条件,作出符合题意的图形，并通

过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果.这类问题的几何意义一般较为明显，如一次

函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等.

【典型例题】

16.(2024•上海松江•模拟预测)已知O为坐标原点，对于函数/(力)=QsinN+bcosc,称向导OM—(a,b)

为函数/Q)的互生向量，同时称函数/Q)为向量OM的互生函数.

(1)设函数/(①)=COS(~^+N)+cos(—力)，试求/(化)的互生向量OM；

(2)记向量而=(四,—1)的互生函数为/(%),求函数g=/(20在上的严格增区间；

⑶记OAf=(2,0)的互生函数为/(力),若函数gQ)=f(x)+2，^|cosc|-力在［0,2兀］上有四个零点，

求实数k的取值范围.

【变式训练】

一、解答题

17.（24-25高三上・江苏•阶段练习）已知函数/Q）=QT）e-2.

（1）求函数的单调区间；

（2）求/（力）的零点个数.

⑶9（力）=/（/）—巾在区间［一1,十］上有两个零点，求nz的范围？

18.(24—25高三上•上海松江•期中)在△ABC中，角A,B,。对应边为a,b,c,满足sin(B—⑷+

V2sinA=sinC

(1)求B的大小；

(2)(i)已知b=4,若。在AC上，且8。LAC,求BD的最大值；

⑻延长BC至点河，使得2阮=CM.若ZCAM=j求ABAC的大小.

14

19.（24-25高三上•重庆・开学考试）已知椭圆：写+卷=1的右焦点F与抛物线C噌=2px（p>0）的焦

ao

点重合.

（1）求抛物线。的方程；

（2）已知P为抛物线。上一个动点，直线k-.x=-1,l2-.x+夕+3=0,求点P到直线4,12的距离之和的

最小值；

（3）若点。是抛物线。上一点（不同于坐标原点O）,/是△OQF的内心，求△/可面积的取值范围.

方法五精珠值探路

对于一些定值、定点问题可以利用特殊的点去检验，然后通过方程一般性设值去化简，即使运

算量有些达不到，扣去合并运算的那一步,还是能拿到大部分的分值。特别是在解析几何的位置、

距离、特殊点、特殊值的判断中，不妨转换个角度,根据现有条件猜测和利用数值求出一个可行的答

案，再反向论证即可。还有在数列中求解整数存在可能性，有些题的取值有限，不妨取n=1,2,3,4,

5,6,…等值进行代入运算，如果发现了几个满足题意的值，只需要再进行检验值的唯一性。

【典型例题】

20.（2024•北京通州・二模）已知椭圆E："=l（a>b>0）的长轴长为4,离心率为4.

a2b12

（1）求椭圆E的方程；

（2）直线I过椭圆E的左焦点斤，且与E交于M,N两点、（不与左右顶点重合），点0）在宓轴正半轴

上，直线7M交"轴于点P,直线TN交"轴于点Q,问是否存在；t,使得乔•索为定值？若存在，求

出t的值及定值;若不存在,请说明理由.

•••

【变式训练】

一、解答题

21.（2021•北京丰台二模）已知椭圆。：号+靖=1,过点（-1,0）的直线I交椭圆。于点A,B.

O

⑴当直线Z与工轴垂直时,求\AB\；

（2）在T轴上是否存在定点P,使PA-PB为定值？若存在,求点P的坐标及PA-PB的值；若不存在,

说明理由.

22.（23-24高三下•云南昆明•阶段练习）平面上一动点P（x,y）满足疝与用正-疝词忻=2.

（1）求尸点轨迹「的方程；

（2）已知力（一2,0）,8（1,0）,延长E4交F于点Q,求实数m使得APAB=恒成立,并证明:

NPBQ为定值

23.(24-25高三上•辽宁•阶段练习)已知椭圆E这+4=l(a>6>0)的长轴长是4,0为右顶点，P,

azb‘

Q,河，N是椭圆E上异于顶点的任意四个点，当直线PQ经过原点。时，直线PD和QO的斜率之积

为T

(1)求椭圆E的方程；

(2)当直线MD和ND的斜率之积为定值-2时，直线是否过一个定点？若过定点,求出该定点坐

标;若不过定点,请说明理由.

方法六正难则反

如果题目正面求解比较困难，或者说推翻一个结论性的问题，都可以从反面出发，假设反证或

是举反例寻找矛盾都可以，这样可以简化题型思路。

【典型例题】

24.(2024.北京.高考真题)已知集合河=

|(i,j,fe,w)|i£{1,2},JG{3,4},fee{5,6},{7,8},且i+/+k+u；为偶数}.给定数列AaiQ,…s，和

序列。:耳6,…耍,其中£=鼻4，用,皿)C双(仁1,2,…,S),对数列A进行如下变换:将A的第ii,九

如犯项均加1，其余项不变，得到的数列记作方(A)；将工(人)的第i2,%#2,他项均加1，其余项不变，得

到数列记作班⑷;……；以此类推,得到一…政Z](A),简记为。⑷.

(1)给定数列41,3,2,4,6,3,1,9和序列£2:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),写出。(A)；

(2)是否存在序列。，使得0(A)为Qi+2,电+6,03+4,。4+2,。5+8,。6+2,Q?+4,。8+4，若存在,写出

一个符合条件的若不存在,请说明理由；

(3)若数列A的各项均为正整数，且Qi+03+%+。7为偶数，求证「存在序列◎，使得。(⑷的各项都

相等”的充要条件为“Q1+。2=。3+。4=。5+。6=。7+。8”•

•••

【变式训练】

一、解答题

25.(24-25高三上•山西吕梁•阶段练习)对于给定的数列｛飙｝以及正整数小，若三"CN*,使得am+n=

am+%成立,则称｛册｝为“小阶可分拆数列”.

(1)设a“=cos子，证明：｛an｝为“3阶可分拆数列”；

(2)设｛%｝的前几项和为&=3"—a(a>0),若｛册｝为“1阶可分拆数列”，求实数a的值；

(3)设册=2。+滔+12,是否存在小,使得｛时｝为“rn阶可分拆数列”?若存在，请求出所有m的值;若

不存在，请说明理由.

26.（24-25高三上•山西•期中）在数列｛册｝中，若河CR满足:对于VnCN*,都有an+1-an＞河，则称数

列｛4｝为“为类差数列”.

（1）设S,为等差数列｛册｝的前71项和，已知出=1,若数列｛飙｝是“河类差数列"（河eN*），且S71V

2025"+n恒成立，求/的最大值；

（2）已知等比数列｛4｝是“2类差数列”，且册CN*,数列｛,）不是“1类差数列"，设0=景，若数

列仍“｝是"3类差数列”:

①求数列｛0｝的通项公式；

②证明：数列｛看｝中任意三项都不构成等差数列.

27.（2024•北京石景山•一模）已知集合5九={X|X=（力i,g,…，纵）{0,l},i=l,2,…,n}（口＞2）,对于A

_n_

=（电,电,…，勰），B=（仇也，…也）ES九，定义A与8之间的距离为d（A,8）=2仙一”|.

i=i

（1）已知4=（1,1,1,0）CS4,写出所有的BeS4,使得d（48）=1；

（2）已知）=（1,1,-.1）eS”,若并且d（1,A）=d（1,B）=p&n,求d（A,B）的最大值;

（3）设集合PGSn，P中有巾（小＞2）个元素，若P中任意两个元素间的距离的最小值为t,求证：mW

LZEJ

方法一构建答题模板.................................................................1

方法二跳步答题.....................................................................8

方法三方法三分类讨检............................................................13

方法四散形结合....................................................................17

方法五精殊值«..................................................................23

方法六正难则反...................................................................27

（解法探究）

方法一构建等题模板

构建答题模板,步步为营,不因缺少步骤或者部分条件而导致扣分,是所有技巧的基础。

【典型例题】

1.（2024.广东江苏.高考真题）记△ABC的内角4B、C的对边分别为a,b,c,已知sinC=J^cosB,a?

+b2-c2=V2ab

⑴求3

（2）若4ABC的面积为3+4,求c.

【详解】（1）由余弦定理有a2+fe2—c2=2abeos。，

对比已知a?+〃-c?=,

可得cosC=—c?=芈半=玲,（注意公式书写和化简）

2abZab2

因为CG（0,兀），所以$111。＞0,

从而sin。=Vl—cos2C=J]—j=,

又因为sinC=2cosB,即cosB=],

注意到Be（0,兀），（容易忽略）

所以B=三.

O

⑵由⑴可得B=NcosC=乌，CC（0,兀），从而。=£,入=加一名兀5兀

D/~LOZ12,

r--./5兀、./兀兀、V2V3,V21V6+V2

^smAA-sin（—X—+—

由正弦定理有7

sin瑞sinysin-^-

从而a=•蓼c=^tlc,b=^-2c=平

由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为

Sw3c=JabsinC=•名埴c•答c-4=受③c?,(分解分步,步骤得分)

由已知△ABC的面积为3+可得注亘C2=3+Y5,所以c=22.

O

【变式训练】

一、解答题

2.(24-25高三上・江苏•阶段练习)记4ABC的内角ABC的对边分别为a,b,c,面积为S,已知b2=2S

+abcosC

⑴求A;

(2)若边上的高为1且3bcosC=ccosB,求ZVIBC的面积S.

【答案】(1)£

⑵-4产

【分析】(1)利用三角形面积公式可得b2=ab(sinC+cosC),进而边化角，利用三角恒等变换可求得

tanA=1,可求A;

(2)由已知结合正弦定理可得3tanB=tan。,在△4BC中，作AH±BC于点、H,AH为BC边上的高，即

AH—1,设CH—x,BH=a—力，可得46=a,利用tan/BAC=tan(ZBAH+Z.CAH),可求得Q,从而可求

面积.

【详解】⑴:/uZS+abcosC^S^BcU^absin。

/.b2=ab(sinC+cos。)即b=a(sinC+cosC)

由正弦定理得sinB=sinA(sinC+cosC)=sin[兀一(A+C)]=sin(A+C)

=sinAcosC+cosAsinC,sinAsinC=cosAsinC

,/在/XAB。中，46(0,兀),。£(0,7U),/.sinA>0,sinC>0

sinA=cosA,即tanA=1,VAG(0,7u),A=-^.

(2)3bcosC=ccosB,由正弦定理得3sinBcosC=sinCcosB

3tanB=tanC

在△ABC中，作BC于点、H,AH为石。边上的高，即AH=1

Q1

设CH=x,BH=a—x,-----=一,4：x=a

a—xx

.♦.H为BC上的四等分点，

Rt^ABH中,tan/BAH=%=平

AH4

Rt/\ACH中,tanZCAH=黑=?

A.H4

且tanZBAC=tan（ZBAH+/CAH）=-an乙十tan「梁?

''1-tanABAH-tanACAH

a▲兀T.3।1c.—8+4V7

=-----------=tan—=1,..—a22+a—1=0,；.a=--------------

1-4«24163

16

•.-a>0,.-.a^-8+4V7

o

A

•'•SMBC=4XBCxAH--^-a——1•

3.（2024・吉林・三模）已知数列｛册｝满足期=1,册+1=2册+2"+1.

（1）证明：数列｛宏）为等差数列，并求通项飙；

（2）求数列｛a,J的前n项和S„.

【答案】（[证明见解析，%==-'）•2”;

（2）S„=（2n-3）-2"+3.

【分析】（1）根据等差数列的定义证明，再由等差数列通项公式求解；

（2）用错位相减法求和.

【详解】⑴：-=2册+2叫.•.黄=9+1,即黄-亲=1,

｛崇｝是等差数列，公差为1,

又=!，所以=3+n—1=n——上

222rl22

a„=（n-y）-2n;

232n1

（2）sn=yX2+-|-X2+-1x2+---+~x2",

X22+-|-x23+---+2n~3x2»+2n~XX2n+1,

相减得一Sn=]x2+22+…+2”一丹」x2n+1=1+2n+1-4-（2n-l）-2"=-3—（2n-3）-2n,

所以&=（2n-3）-2"+3.

4.（24-25高三上・江苏•阶段练习）如图,在直四棱柱ABCD-4BGA中，441，平面ABCD,AD±

48,8。，60,其中48=人。=北，441=2"，。是场。1的中点，Q是。。】的中点.

(1)求证：AP〃平面CBiQ；

（2）若异面直线BC、BiQ所成角的余弦值为，求二面角B—CQ-。的余弦值.

3

【答案】（1）证明见解析

⑵—且

''19

【分析】（1）取BC中点河，连接MQ、,证明出四边形PMQD,是平行四边形,可得出PD1〃QM,再利

用线面平行的判定定理可证得结论成立；

⑵取中点“，连接MQ、PA7,分析可知，异面直线BC、所成余弦值即直线5Q、BG所成余弦

值,推导出3©，GQ,可得出cosZGBiQ=?,可得出a的值，然后以点。为坐标原点，04、OB、OO,

所在直线分别为依沙、Z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角Bi—CQ—D的余弦值.

【详解】⑴取BQ中点连接MQ、PM,

在直四棱柱ABCD—中，因为Q是。Di中点，则RQ〃CC、且D.Q=,

因为P是BG的中点，则PMHCC、且，所以，D©〃PM且D.Q=PM,

所以,四边形PMQD,是平行四边形，所以，〃QM,

因为平面CB.Q,QMU平面CB©,所以，〃平面CBQ.

⑵连接GQ,谡BC=BC=a,连接BQ1,

因为BBi〃CCi且BBi=CCi,所以,四边形BBGC为平行四边形，

所以，BC〃BG,

所以，异面直线B。、B©所成余弦值即直线BQ、BC所成余弦值，

在直四棱柱ABCD-4562中，D.Q±面41B1G。，

因为BQiU平面AiBGA，所以，BQi±DrQ,

在Rt/\AXBXDX中，2，且±AQi,则BQ=J4/+4Q；=2,

因为Q为。Di的中点，且DDi=2，^,

所以，在RtABQ'Q中,BQi=2,D.Q=0，则B.Q==3,

因为CG_L平面,BGu平面AXBJGA,则CC、±BG,

因为BG±GA,CC、nCD=G,CG、CQiu平面CCQQ,

所以，5G_L平面CCQQ,

又因为GQu平面CCQQ,则B]Q_LC.Q,

在用AB©。中,cos/GB©=刍与=号=空，则a=同，

oo

连接BD,取其中点O,连接AO,OC,取BQi的中点O.,

因为AB^AD,。为5。的中点，则AO±BD,

以点。为坐标原点，04、OB、OOi所在直线分别为小o、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则0(0,0,0)、Z(1,0,0)、B(0,1,0)、。(0,—1,0)、41(1,0,2瓶)、5(0,1,2斯)、

Z)1(0,—1,2^5)>―^~，°)、G(—"^-,2A/5^>Q(0,—1,A/5),

设平面BQQi的法向量扇=Q,佻n),BiQ=(0,—2,—V5),BrC-(——2〃^),

则r或=TTn=。,取"=回’可-人衣，-2封，

易知面DCQ的一^个法向量n=-BCi=-1个=(l,V3,0),

rh-n8AA

cosm,n=

■rn\'In2V38X219

由图可知，二面角Bi—CQ—D为钝角，因此，二面角Bi-CQ—。的余弦值为

19

5.(2024•陕西宝鸡•模拟预测)统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下

表为2020年-2024年我国在线直播生活购物用户规模(单位:亿人)，其中2020年-2024年对应的代

码依次为1—5.

年份代码X12345

市场规模"3.984.565.045.866.36

5

歹15.16,万11.68,前”45.10,其中Vi=y/xi

i=l

参考公式:对于一组数据(%,%)、电,仍)、…、(—%)，其经验回归直线g=b”+Q的斜率和截距的最

n

^jV^i—nvy

小二乘估计公式分别为b=9------------,a71.83.

2

y~'iVi—nv

i=l

(1)由上表数据可知，若用函数模型夕=口行+。拟合沙与力的关系,请估计2028年我国在线直播生活

购物用户的规模(结果精确到0.01)；

(2)已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率P,现从我国在线直播购物用

户中随机抽取5人,记这5人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X,若P(X=5)=P(X=4)，求

X的数学期望和方差.

【答案】⑴7.77亿人

⑵E(X)=^,D(X)=||

【分析】(1)将题中数据代入最小二乘法公式，求出b的值，即可得出“与，的拟合函数关系式，再将a=9代

入函数关系式，即可得出结论：

⑵由题意可知，X〜石(5,P),由P(X=5)=P(X=4)结合独立重复试验的概率公式可求得P的值，然后

利用二项分布的期望和方差公式可求得结果.

【详解】⑴设u=则y-bv-\-a,

55

因为5.16,万21.68,＞第二=15,

i=li=l

5

的〜,M45.10-5xl.68x5.16

加以,b=—；----------x-----------------------心1.98,

5守15-5XL682

1=1

所以，y与rc的拟合函数关系式为9=1.98①+1.83

当劣=9时，y=1.98X3+1.83=7.77,

则估计2028年我国在线直播生活购物用户的规模为7.77亿人.

(2)由题意知X〜B(5,P),所以，P(X=4)=。*4(1一巧=5pp—。),

P(X=5)=C部5,

由P(X=5)=P(X=4),可得5P(l—P)=P)

因为0VPV1,解得P=*

0

所以,E(X)=5x^=餐,D(X)=5x取1-5)=翁.

666v6736

6.（2024高三•全国•专题练习）已知双曲线4=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为E,£,实轴长

azbz

为2,M为C的右支上一点,且（|环卜|A^|）min=3.

（1）求。的方程；

⑵设C的左、右顶点分别为直线Z与。交于P,Q两点，与c轴交于点（—十,0）,直线4P与8Q

交于点G,证明：点G在定直线上.

【答案】⑴①2—4=1.

O

（2）证明见解析

【分析】⑴由双曲线定义将条件（|上》讣|九园）mm=3转化为（|上/+1）2-1最小值，从而利用|M!Cin=C

一1求最小值解c即可；

（2）由直线PQ过（一：,0）设方程联立椭圆方程利用韦达定理得P,Q坐标关系式，再设直线AP与BQ方

程并联立求得点G坐标的表达式，利用点G横、纵坐标关系可证明点G在定直线上.

【详解】（1）由题知2a=2,即a=1,

又河为。的右支上一点，则\MFl\-\MF,\=2a=2,

所以|诲|•\MF,\=（LI+2）・|财|=（|MFJ|+l）2-b

故当\MF,\最小时，|皿理・|上词最小，

而|AfF^lmin=C—CL—C—1,故（C—1+1）?—1=3,

即。2=4,故〃=C?—Q2=3,故。的方程为%2—卷=1.

O

yt

自4

当直线z的斜率为。时，不满足题意；

当直线Z的斜率不为。时，由［过点（得,0）,可设其方程为±=均一土,

.伍=切—十，

联立彳2期2消去力得（48产一16）g2—24为-45=0,

设PQi,m）,。3,统）,

则%+仇=o，沙曲=_/J5量，故物纺=一号（二+%）（*）,

6力一2481—16o

由（1）知A（—L0）,B（l,0）,

则直线AP的方程为y=（c+1）,直线BQ的方程为？/=（2—1）,

伤+1力2—1

yi(c+1),

联立g+l消去“得号3+1）=肃f（I），

统

(kl),

x2—l

将0=,工2=珈一；代入上式得，

得c=8t吗2+3?—5幼，将（*）代入化简得

3仇+5%

-8x普（%+y2）-（幼+纺）+4（y2-Vi）-20幼一12y?

力=----------------------------------=------------——4

4（%+例）-（例一%）5%+3g2

即XG——4，所以点G在定直线力=—4上.

【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于利用切方2=—粤（%+纺），将不对称的更必关系力=

O

8蛆纣当一5包,利用上式消去参数心从而可以化简求值.

3纺+5%

7.（24-25高三上・天津・阶段练习）设函数/0）=二/一认为一1）巴其中aER.

（1）若Q=—1,求曲线y=f（x）在点（1,/（1））处的切线方程；

（2）若0VaV—，

e

⑴证明：函数/（力）恰有两个零点；

（ii）设g为函数f（x）的极值点，g为函数/（T）的零点，且g>g,证明：3g—g>2.

【答案】（l）g=（e+l）x—e—1

（2）（i）证明见解析；（加证明见解析

【分析】⑴先广㈤，再求广⑴J⑴，由点斜式即可求解；

（2）⑴求导得/（力）=--aXe，构造g（力）=1—ax2ex并应用导数研究单调性，进而判断（（力）符号确定

x

/(a?)单调性，可求极值点所在的区间为^l,ln—),再证N>1上Inx<a;—1,由此得了011工)=从In!)<

0,结合零点存在性定理即可证结论；

(w)由①结合题设可得=词n?,结合力>1上IncVc—1,即可证结论.

力1—1

【详解】(1)由题设，/(①)=Inx+(①一De。且力>0,则/'(a;)=—+xex,

x

所以r(l)=l+e,又/(1)=0,

所以切线方程为y—0=(1+e)(力-1)，即：y—(l+e)T—1—e.

(2)(i)由f，3)=——axe，令g(力)=1—ax2ex,又0VaV?，

易知g(①)在(0,+oo)上递减,

又g⑴=1—ae>0,g(ln十)=1—(in-)V0,

・・・g(x)在(0,+8)上有唯一零点，即/(%)在(0,+8)上唯一零点，

设零点为四)，则1VNoVIn—,

a

：.0<X<XQ,ff(x)>0,/(T)递增；X>XQ,f\x)<0,/(x)递减；

/.g是/(力)唯一极值点，且为极大值，

令h(x)—inx—力+1且力>1,则无'(力)=——1V0,故h{x)在(1,+oo)上递减，

:.h{x)<h{x)=0,即Inx<re—1,

)=ln(ln-^-)-ln-^-+1=”(1*)<0,又/(g)>/(l)=0,

根据零点存在性定理知/(力)在(g,lnL)上存在零点，又\"(劣)在(g,+8)单调递减；

.,.y(x)在(x0,+oo)存在唯一零点，

又vy(i)=O,/(T)在(o,xo)上单调递增；i<xOf

.二/(力)在(0,/上的唯一零点为1,

故/(/)恰有两个零点；

⑻由题意，黑"，即{般=；…W

则Ing=a二1・e’r。,即^一］。=硬出,

通61一1

当力>1时，In/〈力-1,又g>g>1,则eX1~x°<‘°侬)=xl,

比「I

色一gV21ng，得g一力()V21ng<2(g—1)=2g—2,

即3g—的>2,得证.

【点睛】方法点睛:在利用导数证明不等式时，一般会构造一个函数，转化为求解函数的取值情况进行研究.

方法二跳步答题

解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时,我们可以假定某些结论是正确的往后推，看能

否得到结论,或从结论出发，看使结论成立需要什么条件。如果方向正确，就回过头来，集中力量攻

克这一卡壳处。如果时间不允许，那么可以把前面的写下来，再写出证实某步之后,继续有一直做

到底，这就是跳步解答。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若

题目有两问，第一问想不出来,可把第一问作已知，先做第二问，这也是跳步解答。

【典型例题】

8.(2024.全国.高考真题)如图，平面四边形4BCD中，AB=8,CD=3,AD=5^3,N4DC=90°,

ABAD=300，点E,F满足存=^AD,AF=^-AB，将4AEF沿EF翻折至4PEF，使得PC=

52

4V3.

(1)证明：EFLPO；

（2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.

【详解】（1）由AB=8,AD=5g,症=1~屈,犷=J泰，

得AE=2四,AF=4,又ABAD=30°,在△AEF中，

由余弦定理得EF=y/AE2+AF2-2AE-AFcosABAD=J16+12—2・4・2，S•孚=2,

所以AE2+EF2=AF2，则AE±EF,即EF±AD,

所以EF_LPE,EF_LDE,5^PECDE=E,PE、DEu平面POE,

所以EF_L平面PDE,又PDU平面PDE,

故EF，PD;（可以将第一问证明当作条件应用于第二问）

（2）连接CE,由乙4。。=90",即=3，,8=3,则CE2=ED2+CD2=36,

在APEC中，PG=4V3.PS=273,EC=6,得EC2+PE