2025年高考数学复习特训：双切线问题（学生版+解析）

第76讲双切线问题

知识梳理

双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用

同构法.

解题思路：

①根据曲线外一点P（x0,%）设出切线方程y-%=左（尤-%）.

②和曲线方程联立，求出判别式A=0.

③整理出关于双切线斜率左、%的同构方程.

④写出关于尢、心的韦达定理，并解题.

必考题型全归纳

题型一：定值问题

例1.（2024.河南.高三竞赛）已知抛物线C：炉=2?与直线/：>="-1没有公共点，尸为

直线/上的动点，过尸作抛物线C的两条切线，A、B为切点.

（1）证明：直线A2恒过定点。；

（2）若点P与Q的连线与抛物线C交于M、N两点，证明：|加||。叫=户训。叫.

例2.（2024•高二单元测试）已知抛物线C：丁=2/（0>0）的焦点F与椭圆：+：=1的

右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA,MB分别与抛物线C相切于

点A,B.

(1)求抛物线c的标准方程及其准线方程；

(2)设直线MA,MB的斜率分别为《，k2,证明：勺•网为定值.

例3.(2024・贵州贵阳•校联考模拟预测)已知坐标原点为0,抛物线为G:x2=2py5>0)

22

与双曲线工-上=1在第一象限的交点为尸，尸为双曲线的上焦点，且△OPF的面积为

33

3.

(1)求抛物线G的方程；

(2)已知点过点M作抛物线G的两条切线，切点分别为A,B,切线MB

分别交x轴于C,D,求aMAB与AWCD的面积之比.

变式1.(2024•安徽合肥•高三合肥一中校联考开学考试)已知抛物线E:x?=2py(P为常

数，P>。).点〃(七,几)是抛物线E上不同于原点的任意一点.

⑴若直线/：了=，%-％与E只有一个公共点，求〃；

⑵设P为E的准线上一点，过P作E的两条切线，切点为且直线R4,PB与x轴分

别交于C,。两点.

①证明：PAA.PB

PC-AB

②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

PB-CD

变式2.（2024.河南信阳・信阳高中校考三模）已知抛物线£：/=2/（2>0）上一点。（1,°）

到焦点的距离为3.

⑴求a,P的值；

⑵设P为直线尸-1上除卜1,-6），卜1,6）两点外的任意一点，过P作圆

C2：（x-2F+y2=3的两条切线，分别与曲线C1相交于点A,B和C,D,试判断A,B,

C,。四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.

题型二：斜率问题

例4.（2024•全国•高三专题练习）已知椭圆C:1+A=l（a>6>0）的离心率为姮国尸2是

ab4

椭圆的两个焦点,尸是椭圆上任意一点，且△尸为F2的周长是8+2

(1)求椭圆C的方程；

4

(2)设圆T:(尤-2)2+y2=§,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E产两点，求直线

的斜率.

例5.(2024•全国•高三专题练习)设点P为抛物线「丁=》外一点，过点p作抛物线「的两

(I)若点P为(TO),求直线的方程；

(II)若点P为圆(x+2>+y2=i上的点，记两切线％,PB的斜率分别为勺，k2,求

I；I的取值范围.

K]k2

例6.(2024・全国•高三专题练习)已知椭圆C：W+《=l(a>b>0)的离心率为姮，耳,

ab4

工是椭圆的两个焦点，尸是椭圆上任意一点，且△尸月外的周长是8+2而.

⑴求椭圆C的方程；

(2)是否存在斜率为1的直线L与椭圆C交于A,8两点，使得以AB为直径圆过原点，若

存在写出直线方程；

4

⑶设圆T：(尤+9/=',过椭圆的上顶点作圆T的两条切线交椭圆于E、尸两点，当圆

心在x轴上移动且丘(1,3)时，求斯的斜率的取值范围.

变式3.(2024・河南洛阳•高三新安县第一高级中学校考阶段练习)已知圆

M:(x-a)2+(y-£>)2=9,圆心Af在抛物线C：尤?=2py(p>0)上，圆M过原点0且与C的

准线相切.

(1)求抛物线C的方程；

⑵点。(0,-1),点、P(与Q不重合)在直线/：y=T上运动，过点尸作抛物线C的两条切

线，切点分别为A3.求证：ZAQO=ZBQO.

变式4.(2024.陕西咸阳・统考模拟预测)已知P(4,%)(%>0)是抛物线C:y2=2px(p>0)上

一点，过P作圆。：。-4)2+丫2=产(0<厂<4)的两条切线(切点为A3),交抛物线C分别

点M,N,且当厂=1时，1pAi=5/疗.

(1)求抛物线C的方程；

(2)判断直线的斜率是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由.

变式5.(2。24・湖南岳阳•统考模拟预测)已知耳、心分别为椭圆的左、右焦

点，M为：T上的一点.

⑴若点M的坐标为(1,〃>0),求△耳班的面积;

3

⑵若点M的坐标为(0,1),且直线y=&-五keR)与「交于不同的两点A、B,求证：

MB为定值，并求出该定值；

(3)如图，设点M的坐标为(sj),过坐标原点。作圆M:(x-s)2+(y-f)2=/(其中厂为定

值，0<厂<1且卜卜厂)的两条切线，分别交「于点P,Q,直线OP,。。的斜率分别记为

卜,融•如果快为定值，求|。斗|。。|的取值范围,以及|。斗|°@取得最大值时圆M的方程.

题型三：交点弦过定点问题

例7.(2024•陕西宝鸡•校考模拟预测)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个

焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为2的正方形(记为。).

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点尸在直线x=Y上，过点P作以原点为圆心短半轴长为半径圆。的两条切线，切点

为M,N,求证：直线MN恒过定点.

例8.(2024・河北唐山•开滦第二中学校考模拟预测)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点

为F,尸(4,4)是C上的一点.

⑴若直线PF交C于另外一点A,求|AP|；

(2)若圆E：(x-2)2+y2=/(o<r<2),过P作圆E的两条切线，分别交C于M,N两

点，证明：直线过定点.

例9.(2024・陕西西安・西安市大明宫中学校考模拟预测)已知动圆加恒过定点尸(0$

圆心M到直线y=-;的距离为=同+：.

⑴求M点的轨迹C的方程；

⑵过直线y=x-i上的动点。作C的两条切线44,切点分别为A3，证明：直线A3恒过

定点.

变式6.(2024•宁夏石嘴山•石嘴山市第三中学校考三模)已知抛物线C：f=2py(p>0),

过抛物线的焦点厂且斜率为1的直线/与抛物线相交于不同的两点A,B,\AB\=^-.

(1)求抛物线C的方程；

(2)点M在抛物线的准线上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为尸，Q,在平

面内是否存在定点N,使得直线与直线尸。垂直？若存在，求出点N的坐标；若不存

在，请说明理由.

22

变式7.(2024.河南•校联考模拟预测)已知椭圆C:二+==1(。>6>0)的焦距为2,圆

ab

d+,2=4与椭圆C恰有两个公共点.

(1)求椭圆C的标准方程；

22

(2)已知结论：若点(%,%)为椭圆二+与=1上一点，则椭圆在该点处的切线方程为

ab

誓+嵋=1.若椭圆C的短轴长小于4,过点T(8")作椭圆C的两条切线，切点分别为

ab

A3,求证：直线AB过定点.

变式8.（2024•重庆九龙坡•高三重庆市育才中学校考开学考试）如图所示，已知尸（0,1）在

椭圆「:土+当=1（0<6<2）上，圆。：（尤-1）2+,2=/（厂>0）,圆C在椭圆「内部.

4b

⑴求『的取值范围；

⑵过尸（0,1）作圆C的两条切线分别交椭圆「于A,8点（A,2不同于尸），直线A3是否过定

点？若AB过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.

变式9.（2024•内蒙古呼和浩特•高三统考开学考试）已知点。为平面直角坐标系的坐标原

点，点尸是抛物线C：y2=4x的焦点.

TT

⑴过点尸且倾斜角为7的直线/与抛物线C交于A,8两点，求一AOfi的面积；

⑵若点T为直线x=-2上的动点，过点T作抛物线C的两条切线，切点分别为M,N,求

证：直线过定点.

变式10.（2024.重庆沙坪坝•高三重庆一中校考阶段练习）已知f=2外他>0）的焦点为

F,且经过b的直线被圆（XT）?+[>+£[=9截得的线段长度的最小值为4.

（1）求抛物线的方程；

（2）设坐标原点为。，若过点（2,0）作直线/与抛物线相交于不同的两点p,Q,过点p,Q

作抛物线的切线分别与直线OQ,。尸相交于点M,N,请问直线MN是否经过定点？若

是，请求出此定点坐标，若不是，请说明理由.

变式11.(2024•辽宁沈阳・沈阳二中校考模拟预测)如下图所示，已知椭圆

C：/+.=l(a>6>0)的上顶点为A,离心率为内，且椭圆C经过点1,

⑴求椭圆C的方程；

⑵若过点A作圆加：。+1)2+;/=产(圆加在椭圆C内)的两条切线分别与椭圆C相交于

氏。两点(&£)异于点A),当「变化时，试问直线3。是否过某个定点？若是，求出该定

点；若不是，请说明理由.

题型四：交点弦定值问题

例10.(2024•全国•高三专题练习)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点P(0,c)(c>0)到直

线］:尤7-2=0的距离为£1.

2

(1)求抛物线C的方程；

⑵设点户(%,%)为直线/上一动点，过点P作抛物线C的两条切线E4,PB,其中A,B

为切点，求直线的方程，并证明直线A3过定点Q;

(3)过(2)中的点。的直线加交抛物线C于A,B两点，过点A,B分别作抛物线C的切

线乙，4,求4，4交点”满足的轨迹方程.

例11.(2024.全国•高三专题练习)如图，设抛物线方程为炉=2外。>0),M为直线

y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A,B.

(1)求直线与》轴的交点坐标；

(2)若E为抛物线弧上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形的边MA,MB

分别交于点C,D,记2=宗迪，问彳是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理

、AMCD

由.

例12.(2024・全国•高三专题练习)已知抛物线(3:了2=2°宜0>0),尸为焦点，若圆

E:(x-1)2+3=16与抛物线C交于两点,S.\AB\=4y/3

(1)求抛物线C的方程；

⑵若点尸为圆E上任意一点，且过点产可以作抛物线C的两条切线尸河,PN,切点分别为

M,N.求证：|同卜|丽恒为定值.

变式12.(2024.山东青岛.统考二模)已知0为坐标原点，双曲线

C：.-,=l(a＞0,b＞0)的左，右焦点分别为耳，F2,离心率等于半，点尸是双曲线c

在第一象限上的点，直线尸耳与》轴的交点为Q,尸。耳的周长等于6a,

附「卡欧=24.

(1)求C的方程；

(2)过圆O:f+y2=l上一点W(W不在坐标轴上)作C的两条切线，对应的切点为A,B.

证明：直线A3与椭圆£＞：!+/=1相切于点T,S.\WT\-\AB\=\W^-\WB\.

题型五：交点弦最值问题

22

例13.(2024.江西抚州.临川一中校考模拟预测)椭圆E：工+2=1(。＞匕＞0)的离心率为

ab

且，焦距为2月.

2

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设G(m,〃)是椭圆E上的动点，过原点。作圆G：(X-机厂=1的两条斜率

存在的切线分别与椭圆E交丁点A,B,求|。闻+|。8］的最大值.

例14.(2024•全国•高三专题练习)已知抛物线C的方程为尤2=4y,尸为其焦点，过不在

抛物线上的一点P作此抛物线的切线尸A尸8,为切点.且上41PB.

y

(I)求证：直线AB过定点;

(II)直线尸尸与曲线C的一个交点为R,求4?.A5的最小值.

例15.(2024・河南•襄城高中校联考三模)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在》轴的

正半轴上，圆一+(y-l)2=l经过抛物线C的焦点.

(1)求C的方程；

(2)若直线l：mx+y-4=0与抛物线C相交于AB两点，过A,2两点分别作抛物线C的切

线，两条切线相交于点尸，求—4道面积的最小值.

变式13.(2024•浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习)已知椭圆

22

C：工+匕=1,P(x。，%)是椭圆外一点，过尸作椭圆C的两条切线，切点分别为直

164

线MN与直线OP交于点Q,A,B是直线OP与椭圆C的两个交点.

(1)求直线OP与直线MN的斜率之积；

(2)求AMN面积的最大值.

变式14.（2024•新疆喀什・统考模拟预测）已知抛物线C：尤2=2勿（°＞0）的焦点为孔且

F与圆M：Y+（＞+3）2=1上点的距离的最小值为3.

⑴求p；

⑵若点尸在圆M上，PA,PB是抛物线C的两条切线，A,8是切点，求三角形也8面积

的最值.

题型六：交点弦范围问题

例16.（2024.全国•高三专题练习）如图，设抛物线C：V=4x的焦点为R点尸是半椭圆

2

/+?=1（尤＜0）上的一点，过点尸作抛物线C的两条切线，切点分别为A、B,且直线

PA,尸8分别交y轴于点M、N.

（1）证明：FMVPA-,

（2）求|引0卜|可|的取值范围.

22

例17.（2024.全国•高三专题练习）已知椭圆C：工+与=1（。＞匕＞0）的左焦点4（-百,0）,

ab

点。在椭圆C上.

（1）求椭圆c的标准方程；

（2）经过圆0：尤2+产=5上一动点尸作椭圆C的两条切线，切点分别记为AB,直线

PA,PB分别与圆。相交于异于点P的M,N两点.

（0当直线尸的斜率都存在时，记直线PAPB的斜率分别为配网.求证：柩2=7；

5）求拨的取值范围.

例18.（2024・山东•校联考模拟预测）己知圆0:/+/=4,0为坐标原点，点K在圆。上运

动，L为过点K的圆的切线，以L为准线的抛物线恒过点月卜代,。）,耳（也,。），抛物线的

焦点为S,记焦点S的轨迹为S.

⑴求S的方程；

（2）过动点P的两条直线44均与曲线S相切，切点分别为且4的斜率之积为-1，求

四边形PAOB面积的取值范围.

22

变式15.（2024•云南曲靖•统考模拟预测）已知椭圆C：rr+Av=l（a>b>0）的离心率为

ab

中，以椭圆的顶点为顶点的四边形面积为4君.

（1）求椭圆C的标准方程;

行+一

⑵我们称圆心在椭圆C上运动且半径为3的圆是椭圆C的，，环绕圆，，.过原点。作椭圆

C的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆C于A,2两点，若直线的斜率存在，并记为

左，％2,求%人的取值范围

第76讲双切线问题

知识梳理

双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用

同构法.

解题思路：

①根据曲线外一点P(x0,%)设出切线方程y-%=人(尤-%).

②和曲线方程联立，求出判别式A=0.

③整理出关于双切线斜率勺、%的同构方程.

④写出关于尢、心的韦达定理，并解题.

必考题型全归纳

题型一：定值问题

例L(2024•河南•高三竞赛)已知抛物线C：V=2y与直线/：>=区-1没有公共点，P为

直线/上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A、B为切点.

(1)证明：直线恒过定点。；

(2)若点P与。的连线与抛物线C交于M、N两点，证明：

【解析】⑴设点A&J).则

由y=g尤2，得V=x.所以=者.

于是，抛物线C在点A处的切线方程为

y-X=xl(x-xl)=>y^xlx-y1.

设点P(x0,kx0-l).则kx0-l=叫)再一%.

设点3(%,%).同理，kxo-l=xox2-y2.

从而，lAB-.kxo-\=xox-y,即

xo(x-A:)-(j-l)=O.

因此，直线AB恒过定点。(k,1).

(2)设./p°：y=y(x-A)+l

与抛物线y=方程联立，消去y得

24-4万上/一2卜。-2,0.

x0-kx0-k

设点M(玉,则

2kxe-4

%+%4=-%-，

XQ-K

*2①

(2k-2\x0-2k

X3X4=---------；-----

Xo-K

IH!!.\PM\\QM\

要证1PMlQN|=|PN||QM，即证向=向，则只需证明

2尤3%-(左+元o)(%3+x4)+2依)=0,②

由方程组①知2毛%-(左+%)(W+Z)+2辰o

=2(2^-2).0-4^2^-4+

07

x0-k'x0-k°

2(2%22)4k—(k+4)+2kx。—k)

x0-k

=0.

故式②成立.从而，结论成立.

22

例2.(2024・高二单元测试)己知抛物线C：_/=2/(0>0)的焦点厂与椭圆,+]=1的

右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA,MB分别与抛物线C相切于

点AB.

(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程；

(2)设直线MA,MB的斜率分别为《，k2,证明：勺•网为定值.

【解析】(1)因为。2=4万=3,所以/=/一。2=4一3=1,

22

所以c=l,可得椭圆?+事=1的右焦点为(1,0),

可得抛物线C的焦点为产(1,0),；.P=2,

所以抛物线C的标准方程为丁=4x,准线方程为了=-1；

(2)由于点M是抛物线C的准线上任意一点，故可设M(-U),

因为直线AM,MB的分别与抛物线C相切于点A,2点可知直线AM,MB的斜率存在，

且不为0,

设过点的直线方程为y=k(x+l)+t,

y2=4-x,

联立.7,八,消去x得：ky2-4y+4k+4t=0,

y=kyx+X)+t'

其判别式△=16-16左(％+。，令△=(),得F+正一i=o,

由韦达定理知K+&=V，左#2=T，故4"为定值一L

例3.(2024・贵州贵阳•校联考模拟预测)已知坐标原点为。，抛物线为G:x2=2py5>0)

22

与双曲线工-上=1在第一象限的交点为P,尸为双曲线的上焦点，且△OPF的面积为

33

3.

⑴求抛物线G的方程；

⑵已知点过点M作抛物线G的两条切线，切点分别为A,B,切线MB

分别交x轴于C,D,求△M4B与AWCD的面积之比.

22

【解析】（1）双曲线q■-3=1的上焦点为40,而）,设尸（丹力），（与＞0,力＞0）,

由已知得：S^OPF=^-\OF\-xp=^xy/6xxp=3,则与二近，

代入双曲线方程可得巾（"）解得力=3或为=-3（舍去），所以尸（迷⑶,

33

又因为P在抛物线上，所以6=2px3,解得。=1,故抛物线G的方程为f=2y.

2

（2）设点A（x2J,8（孙为），对y方求导得产X,

则切线肱1的方程为y-%=玉（龙-3），

由尤:=2%整理得y=%X-%,

令y=。，贝陵=5，即C六,0,同理可求得。f°•

将M（-2,-1）代入直线M4可得：2玉+%-1=。,

同理可求得直线MB的方程：2x2+y2-l=0,

所以A,8的直线方程2x+y—l=0.

y=1-2x

联立X2消去y得/+4*一2=0,

ry

则韦达定理：X1+x2=-4,XJX2=-2,

则弦长|AB=，1+左［占-X2|=A/5-47+4X2=2底,

点M到直线AB的距离d」2x（一）2［（一1）一1|4

所以5.6=；|明/=6的，

又Ss/c*"中=当，

故a=i2.

、XMCD

变式1.(2024.安徽合肥.高三合肥一中校联考开学考试)已知抛物线E:V=2py(P为常

数，P＞。).点〃(七,几)是抛物线E上不同于原点的任意一点.

⑴若直线/：y=，x-%与E只有一个公共点，求。；

(2)设尸为E的准线上一点，过尸作E的两条切线，切点为且直线R4,尸3与x轴分

别交于C,。两点.

①证明：PA.LPB

PC-AB

②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

PB-CD

【解析】(1)将直线与抛物线E：Y=2py联立，

消去》可得2-弋苫+%=0,由题意可知该方程只有一个实数根，

所以A=1■-4x.xy°=0,又点〃(4,%)在抛物线上，即x；=2p%；

可得乎-2=。，解得P=2

4P

(2)①易知抛物线=2py的准线方程为y=-§；

不妨设尸切点人⑷,%),以%,%),如下图所示：

，X

将f=2py求导可得y=—,

则切线上4的斜率3=方，切线24的方程为y-y=。（二玉）,

又x；=2p%,R4的方程可化为玉尤-2py-无；=0；

同理可得尸B的方程可化为无2左-2外-尤;=0；

又两切线交于点P,所以卜2f2=：

[x2xp+p-x2=0

因此可得玉，々是方程/一元尸“-〃2=。的两根，因此玉+九2=%,石元2二一2？；

所以如小才,竽r

因此R4±PB

②设直线PA和PB的倾斜角为斗,仇,直线AB的倾斜角为4,

1

所以％=tanq=上五="x{+x2_xp.

x2-王x2-x12p2p

又tan/PCD=tan=kPA=—•tanO2=kPB=—

~P，P

xpx2

tanZPBA=tan（…）=「an%"=2r1=M-%）；

XX2

1+tantan02\P22p+x2xp

2Pp

所以tan/PCD-tanZPBA=

p2P2+x2xp

2

2夕2（玉+%）+xrx2xp-xpp

2

将石+/=Xp,XxX2=~p代入可得

22c222

2p（x1+x2）+x{x2xp-xpp2XpP-Xpp-Xpp_0

tan/PCD-tanZPBA=

p（2夕2+%4）p（2p2+%%）

则可得tanN尸CD=tanNPB4,即NPCD=ZPB4；

又PA_LPB,所以RtPCDRtPBA,

IPCPB则局㈱:1为定值.

可得叵'一万

变式2.（2024•河南信阳・信阳高中校考三模）已知抛物线6：/=22%（夕>0）上一点。（1,a）

到焦点的距离为3.

⑴求。，P的值；

⑵设P为直线x=-l上除卜1,-6）,卜1,0）两点外的任意一点，过P作圆

。2：（》-2）2+，=3的两条切线，分别与曲线C1相交于点A,B和C,D,试判断A,B,

C,。四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.

【解析】（1）根据抛物线的定义，到准线尤=-光的距离为3,

1+■=3,/.p=4；

抛物线的焦点坐标为（2,0）,.•.历/=3，•••q=±20;

（2）设尸（—1,%）,过点P的直线方程设为/：y-%=%（x+l）,

2

[y=8x,?

由<./1、得，与7—8y+8y0+8左=0,

厂为=心+1）

若直线AB,CD的斜率分别为左，％2,设A,B,C,。的纵坐标分别为％,>2,为

丁4,

8（%+仁）_8（%+左2）

：，y3yL；

kxk2

・・・。2至卜的星巨离1=网+/=君,.•.6%2+6y/+y：-3=0,

1+k

.・.k+k=-y,k，2=—―-

x206

64［匕&+（勺+&））o+y；］_64（%他-y；+¥）_

kxk2kxk2

，A,B,C,。四点纵坐标之积为定值，且定值为64.

题型二：斜率问题

例4.(2024•全国•高三专题练习)已知椭圆C:二+《=1(°>6>0)的离心率为巫再,仍是

ab4

椭圆的两个焦点,尸是椭圆上任意一点，且△PBB的周长是8+2

(1)求椭圆C的方程;

4

(2)设圆T:(x-2)2+y2="过椭圆的上顶点”作圆T的两条切线交椭圆于E产两点，求直线石厂

的斜率.

【解析】试题分析：

(1)由椭圆的离心率为反可得a=4b,c=415b,然后根据的周长可得

4

b=l,a=4,从而可得椭圆的方程.(2)由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜

率，设其方程为产丘+1,由直线与圆相切可得32N+364+5=0,从而得到

95

K+&=__^2=~,然后分别求出两切线与椭圆交点的横坐标号和尤F，最后根

o51

据斜率公式求解即可.

试题解析：

(1)由题意得6=£=巫=也F,

a4a

.\a=4b,

.\c=y/15b.

,..△PFiB的周长是8+2715,

工2a+2c=2（4+啊6=8+2A，

.\b=l,

.\a=4.

椭圆c的方程为t+jM.

Io

⑵由（1）得椭圆的上顶点为M（0,l）,

又由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率，设其方程为/：尸丘+1,

二•直线y二丘+1与圆丁相切，

|2k+1|2

,•Vi7F-3,

整理得32庐+36女+5=0,

95

・：勺+左2二一飞印?=-

y=kxx+\

由1f消去y整理得（1+16公）］2+32所x=0,

——+V=1

116,

一32匕

XE=.，2.

1+1A6占

_32k

同理可得打=,

1+1OK2

9

♦k—%—力_%1%石-_k、+k?____8_3

EF4，

••xE-xFxE-xF1—1611.16X』

32

故直线硬的斜率为:3.

4

例5.（2024•全国•高三专题练习）设点。为抛物线「：尺二兀外一点，过点p作抛物线「的两

（I）若点尸为（-L。），求直线的方程;

(II)若点P为圆5+2)2+)?=1上的点，记两切线R4,尸8的斜率分别为％,右，求

的取值范围.

k、k2

【解析】(I)设直线PA方程为工=叫'-1,直线PB方程为x=〃“T，

\x=m,y-\.

由2，可得V-吗y+l=O,

U=尤

因为PA与抛物线相切，所以4=0,取%=2,则为=1,4=1,

即A(1,1).同理可得B(1,-1).所以AB：x=l.

(H)设尸(x。,%),则直线PA方程为了=勺％-勺%+%,直线PB方程为

y=k2x-k2x0+y0.

由匕2也+%可得幻—+%=。.

因为直线PA与抛物线相切，所以△=>的(—5。+%)=4%片—4%匕+1=0.

同理可得4%o片-4%左2+1=。，所以尢,左2时方程4%女2-4%左+1=。的两根.

所以左+左2=中，ktk2=—.则|匕-左2|=1国-"L:

x。4xo"飞闯

又因为(％+2)2+克=1,则-3<尤0<-1,

所以?一：|=|与六=4J上一%=4-(尤0+2)2-1

鼠1鼠2||人港2

=4Ja+5e.

r2v2/7T

例6.(2024•全国•高三专题练习)已知椭圆。:3+方=l(a>b>0)的离心率为手，耳,

A是椭圆的两个焦点，尸是椭圆上任意一点，且△尸片乙的周长是8+2厉.

⑴求椭圆C的方程；

(2)是否存在斜率为1的直线L与椭圆C交于A,8两点，使得以为直径圆过原点，若

存在写出直线方程；

4

⑶设圆T：(x-r)-?+y2=5,过椭圆的上顶点作圆T的两条切线交椭圆于E、尸两点，当圆

心在X轴上移动且re（1,3）时，求所的斜率的取值范围.

【解析】（1）令椭圆半焦距为c,因6=皿，即£=亚，又4=。2+。2,则有。=劭,

4a4

c=y/15b，

因△尸耳鸟的周长是8+2后，即2a+2c=8+2后，解得b=l,a=4,

所以椭圆C的方程为：+尸=1.

fy=x+m

（2）设直线£方程是,=尤+根，4%,%），B（x2,y2）,由《？”2必消去》得:

[%+16y=16

17x2+32mx+16（m2—1）=0,

A=322m2—64xl7（m2-1）>0,即苏<17,贝、再+%=—,益马=16（：7—―，

弦形的中点（-岩，今

"3而+—="行耳还，

以A3为直径的圆的方程是（尤+詈）2+（y-针=32c信）,因此圆过原点，

则有生匚+£=32（17；/）,解得加=±±叵，显然满足公>0,

所以存在符合条件的直线L,其方程为y=x±岩.

（3）由（1）知，椭圆的上顶点为M（Ql）在圆T外，显然过点〃的圆T的切线斜率存在,

\kt+l\2

设过点M与圆T相切的直线方程为，=履+1,于是得后上=§,即

（9产一4）左2+18%+5=0,

1Qf5

设切线3ME的斜率分别为此，有上-一.，她=目'

\y=lcx+\032%

由消去卜得,"16吠9+322。，于是得点后的横坐标4=-用京,

同理得点F的横坐标号=-1+/，直线EF的斜率:

32^2132kl18r

（左+1）—（左2%F+1）1+16Z：1+16代k、+k29/―46t_6

XX28-3厂28

E~F_32kl+32k?1-16左他]_]6・----Dl

1+16Z；1+16后9产一4

显然函数苗工在，e(l,3)上单调递增，则有不落二"，

tt

所以所斜率的取值范围为号』8).

变式3.(2024•河南洛阳•高三新安县第一高级中学校考阶段练习)已知圆

M:(x-a)2+(y-b)2=9,圆心A/在抛物线C：d=2py(p>0)上，圆M过原点。且与C的

准线相切.

(1)求抛物线C的方程；

⑵点。(0,T),点P(与Q不重合)在直线/：y=T上运动，过点P作抛物线C的两条切

线，切点分别为A，2.求证：ZAQO=ZBQO.

【解析】(1),•圆M与抛物线准线相切,

=又圆过(0与和原点,

解得。=4.

；•抛物线C的方程为炉=8力

(2)设4(占,%),85,名)，P(〃z,T),C方程为>=：尤2,

8

/.抛物线在点A处的切线的斜率£网,

切线的方程为y-%=^x1(x-xl),

即%(x-xi)，

化简得：y-~~xi+—,

o4

又因过点尸(私T),故可得-1=-:无；+4光即，

o4

即x；-2xxm-8=0,

同^^可*—2x?m—8=0,

・•・和々为方程V—2e-8=0的两根,

%+/=2m,x1x2=-8,

X+1+为+1_片+8+考+8

•,^AQ+^BQ

xxx28玉8X2

（石+%2）+（%+/）_2m-2m

8石工28

变式4.(2024•陕西咸阳・统考模拟预测)已知尸(4,%)(%>0)是抛物线C：V=2加(p>0)上

一点，过。作圆。：(％-4)2+产=产(0</<4)的两条切线(切点为AI),交抛物线C分别

点监N,且当厂=1时，|/训=&?.

(1)求抛物线C的方程；

(2)判断直线MN的斜率是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由.

【解析】(1)如图，

易知|尸。『=|尸山，|八叶,

即y=（炳2+a=16.

；%>0二%=4,即尸（4,4）.

代入y2=2px得0=2,

，抛物线C：3=4x.

(2)法1:易知尸(4,4),直线PM,PN的倾斜角互补，斜率相反，

设直线PM:y-4=Z(尤一4),直线/W:y-4=-%O-4),

[y2=4xy2

则:7/八ny—4=A(——4),

[y-4=k(x-4)4

BPky2-4y-16k+16=0.

+444484

依题意yM=—,yM=--4,BRM(--—+4,-■-4).

Kkkkk

484

用一人代替女得N(,+丁+4,一：-4),

kkk

44

4)-(---4)

・・・直线MN的斜率为(-------j—=

土2-(3+4)2

综上知，直MN线的斜率为定值

法2：易知尸(4,4),直线的倾斜角互补，斜率相反，

22

设%),N(子,%)，则由女尸“+%PN=。得：

%—4%—4八/、

匚+匚=°"产％)，化简得,+%=-8.

44

,.4_4_1

直线的斜率为式一%+%--8-2.

T-T

综上知，直线的斜率为定值-；.

变式5.(2024.湖南岳阳•统考模拟预测)已知《、工分别为椭圆「《+^=1的左、右焦

4_

点，M为「上的一点.

(1)若点M的坐标为(1,"?)(〃?>0),求△月风的面积；

⑵若点"的坐标为(0,1),且直线>=丘-半keR)与「交于不同的两点A、B,求证：

MB为定值，并求出该定值；

(3)如图，设点〃的坐标为(sj),过坐标原点。作圆M:(x-s)2+(yT)2=r2(其中7为定

值，0＜厂＜1且卜花厂）的两条切线，分别交r于点P,Q,直线。P,。。的斜率分别记为

%,L如果他为定值，求|。斗仇|的取值范围,以及|。山。0取得最大值时圆町的方程.

【解析】（1）由已知条件得I+疗=1,因为机＞0,则m=弓，又耳（-石,0）,丹（山,0）,

m=xx=

因此△月M6的面积为Sq=gIFtF21'~^^~~~■