2025年高考数学分层练习（压轴题）：空间向量与立体几何（30题）

空间向量与立体几何

一、单选题

1.已知空间四边形。PQR的四个顶点。，p,Q,R的坐标分别为（。,。,。），（-1,0,1）,（2,1,1）,

若S为平面P0R上的一个动点，贝ij当尸5=叵，且所，丽的夹角6取得最小值时，I网=（）

211

*X_RA/5「A/6八3瓜

A•二D.Cz•U,------

2222

2.三棱锥A-3co的四个顶点都在半径为5的球面上，并且AB=8,8=6,则三棱锥A-BCD的体积的

最大值为（）

A.56B.48C.32D.58

3.在四面体ABCD中，BC=2,^ABC=ZBCD=90°,且AB与CD所成的角为60°.若该四面体ABCD的体

积为士8,则它的外接球半径的最小值为（）

2

A.^3B.2C.3D.加

4.在直三棱柱A3C-A耳G中，ZBAC=90°，AB=AC=AAl=4,E,R分别是BC,4G的中点，。在

线段BG上，则下面说法中不正确的是（）

A.EF//平面948

B.直线EF与平面ABC所成角的余弦值为拽

5

C.直三棱柱ABC-A4G的外接球半径为2/

D.直线8。与直线EF所成角最小时，线段8。长为3也

5.三个相似的圆锥的体积分别为匕，匕，匕侧面积分别为邑，S2,邑，且%=%+%,aS^S2+S3,

则实数。的最大值为（）

A.啦B.近

c.V2D.73

二、多选题

6.已知在正三棱柱ABC-ABC中，AC=2CCl=2,M,H,N分别为棱A。，AA,,AC的中点，动点P在

侧面ACCA内，动点Q在底面ABC内，贝I（）

A.4N〃平面MC4

B.沿该三棱柱的表面从点M到达点B的最短路径的长为"4+后

C.若点P在线段“G上（点P与点”不重合），则尸

D.若点尸在线段A4上，且尸。=2,则线段PQ中点的轨迹所形成图形的面积为三

7.如图，在直四棱柱A8C£>-A4GA中，底面ABCD为菱形，ZBAD=6Q°,AB=AAi=2,尸为CQ的中

点，点Q满足加=几成+〃函'（彳式。』,〃©［。』），则下列结论正确的是（）

B.若AQ=6，则点Q的轨迹为一段圆弧

C.若△43Q的外心为O,则A豆率为定值2

D.若4=1且〃=：,则存在点E在线段AB上，使得AE+EQ的最小值为J9+2M

8.如图，在直三棱柱44G-ABC中，点。，E，歹分别是棱A8,4A,48的中点，直线平面EFC,

直线A3与平面gBCC所成角为45。，若AB=2,AC=3C且AC_L3C则下列说法正确的是（）

A.=A/2

试卷第2页，共10页

B.点G到平面瓦C的距离为更

3

c.五面体4石尸4。1。的体积为迪

3

D.三棱柱A4G-A3C的外接球的表面积为6兀

9.如图1所示，在四边形ABC。中，ZABC=ZACD=~,ZCAD=y,A3=3C=2#.如图2所示，把VA3C

26

沿AC边折起，使点8不在平面AC。内，连接80.则下列选项正确的是（）

图1图2

A.当面ABC上面ACD时，点C到面ABD的距离为勺叵

5

ITT7T

B.异面直线AB与CD所成角的取值范围为彳,彳

[42J

C.当二面角8-AC-。的大小为g时，三棱锥3-ACD的外接球的体积为止叵

63

D.三棱锥3-ACD的外接球的表面积的最小值为64兀

___.1____

10.在棱长为2的正方体ABCD-AgG，中，E为棱CD的中点，R为棱A片上一动点，引0=]A与，点

尸在平面a所内运动，下列说法正确的是（）

A.三棱锥D-GE尸的体积为定值

B.在动点R由A运动至瓦的过程中，二面角E-R0-3先增大后减小

C.平面C,E尸截正方体ABCD-AB.QD,所得截面图形可能是等腰梯形

D.若R为棱A4的中点，2P与平面GE尸所成角为则点尸的轨迹长度为生旦

33

三、填空题

11.若E,尸为平面上两个定点，则满足的.而为常数的动点”的轨迹是直线，满足屉.存=0的动点N

的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题：已知点ABC为空间中四个定点，

|OB|=3|OA|=3|OC|=6,且丽西方两两的夹角都是60。，若动点尸满足赤•历=12，动点Q满足

QA-QB=0,则|题|的最小值是.

12.我国南北朝时期的数学家祖晅提出了计算体积的祖晒原理：“鼎势既同，则积不容异”，其意思可描述为：

夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积

22

总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，阴影部分是由双曲线土-匕=1与它的渐近线以及直线

42

y=±4应所围成的图形，将此图形绕》轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为.

13.《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似地下车库入口形状的几何体.如图，

羡除ABCDEF中，四边形ABCD,4珥下均为等腰梯形，AB,CD,EP互相平行，平面平面4狙尸，

梯形A3C。，ABE下的高分别为2,4,且AB=3,CD=5,EF=7,则4。与平面所成角的正切值为

异面直线AD与BE所成角的余弦值为

14.已知球。的表面积为16兀，正四面体A5CD的顶点&GD均在球。的表面上，球心。为△3QD的外心,

棱AB与球面交于点尸.若A€平面%，Be平面a2,Ce平面a3,De平面a^ajlaM(i=1,2,3)且火与

%+i(i=l,2,3)之间的距离为同一定值，棱ACAD分别与附交于点,贝Ucos/PQR的值为—.

15.如图，在直三棱柱ABC-中，ACJ.BC,AC=2AA，该三棱柱存在体积为三的内切球(与侧面、

0

底面均相切)，E为CC］的中点，R为棱8c上的动点，当直线斯、&F与平面A3C成角相等时，

CF=,此时四面体\B.EF的外接球表面积为.

试卷第4页，共10页

16.在四面体A3CD中，点M,N分别为ABCD,V45C的重心，过M作直线与棱即，CD交于点E,F,

已知丽=彳诙，DC=/dDF,则彳+"=.若四面体ABCD的体积为3,则四棱锥N-BCFE的体积最

大值为.

17.若在长方体ABCD-ABCR中，AB=3,BC=2,AA,=4.则四面体ABB©与四面体A^BD公共部分的

体积为.

18.如图，在长方体—中，45=4,&£>=2,">1=6,及"分别为。仁2孰的中点，M在平

JT

面ABC。内运动，且朋N与A3所成的角为在线段硬上运动，若。为AimC的内心，贝IJS’MOD-S.OC

19.已知三棱锥S-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，点A在侧面SBC上的射影反是ASBC的垂心，

三棱锥S-ABC的体积为豆，则三棱锥S-ABC的外接球半径等于.

JT

20.设底面为菱形且高为旧的直四棱柱488-45孰2中，已知底面边长为正整数。且为定值，ZBAD=^,

若矩形C皿G内的点E满足AE=⑺的轨迹长度为g.设点尸为三棱柱ABD-的2的外接球上一点，则四

棱锥尸-BCQB,体积的最大值为

四、解答题

2

21.如图1所示，直角梯形MBCD,MD//BC,BM1MD,S.MD=-BC=2,点A,E分别在线段

8。上，且跖1=3E=1，点尸为的中点，将四边形沿AE折起，使二面角C—AE—3的大小为6.

TT

(1)若AE=l,e=](如图2所示)，求直线AB与平面8co所成角的正弦值；

7T

(2)若9=工，点。为平面ABE内一点，若PQ/平面ABE(如图3所示)，求尸Q的值；

TT

⑶若AE=l,e=5时，点N为线段EC的中点，将ADCN沿DN折起，使gCN与四边形在平面AENZ)

的同侧且平面CDNL平面AOE,点R为四面体内切球球面上一动点，求氏0+3氏。的最小值.

22.如图，P-A3C是底面边长为1的正三棱锥，D、E、R分别为棱石4、PB、PC上的动点，截面DEF〃

底面ABC,且棱台。砂-ABC与棱锥尸-ABC的棱长和相等.(注：棱长和是指多面体中所有棱的长度之

和)

(1)当。为棱AP的中点时，求棱台DM-ABC的体积；

(2)求在二面角。-3C-A的变化过程中，线段即在平面A3C上投影所扫过的平面区域的面积；

(3)设常数ae(0,方，称较小内角为a的菱形为a-菱形.当点。在棱针上运动(不含端点)时，总存在底面

为a-菱形的直平行六面体，使得它与棱台。£户-ABC有相同的体积，也有相同的棱长和，求a的取值范围.

23.如图，己知四棱锥P-ABCD的底面A3CD是平行四边形，侧面RLB是等边三角形，

BC^2AB^2,ABLAC,PBLAC.

试卷第6页，共10页

(1)证明：平面2451平面ABC。；

⑵求C到平面PAD的距离；

⑶设。为侧棱PD上一点，四边形8EQ尸是过B,Q两点的截面，且AC〃平面BEQF,是否存在点Q,使

得平面8EQ尸与平面尸/⑦夹角的余弦值为4至；若存在，求黑的值；若不存在，说明理由.

35PD

24.已知。。：/+^=9与无轴分别相交于AB,过点尸(-1,0)的直线/交圆。于”,N.

(1)当MN=4血时，求直线/的方程；

(2)当的面积取得最大值时，将圆。沿x轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在一点Q,

使平面ONQ与平面的夹角的余弦值为巫，若存在，求出。的坐标，若不存在，说明理由；

5

⑶在圆。上任取一点C,过C作无轴的垂线段C。，。为垂足，当C在圆上运动时，线段CO的中点的轨迹

记为曲线T,曲线「与直线/交于G,H,直线G4与直线相交于S,S在定直线丸上，直线与直线BN

相交于T,T在定直线4上，判断直线4，4的位置关系，并注明.

25.在平面四边形ABCD中，AB^AC^CD=l,44。。=30。,/045=120。，将AACD沿AC翻折至△ACP,

其中尸为动点.

(1)设尸CLAB,三棱锥尸-ABC的各个顶点都在球。的球面上.

(i)证明：平面PAC_L平面A3C；

(ii)求球O的半径

⑵求二面角A-CP-3的余弦值的最小值.

26.已知两个非零向量。，b,在空间任取一点。，作福=「，OB=b^则/A08叫做向量。，方的夹角，

记作依。定义万与万的响量积”为：Zx方是一个向量，它与向量1,匹都垂直，它的模=B阴sin@5).

如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。为矩形，PD,底面ABCD,DP=DA=4,E为A£＞上一点，

⑴求A3的长；

⑵若E为AD的中点，求二面角P-EB-A的余弦值；

⑶若M为PS上一点，且满足而x丽=彳两求㈤.

22

27.已知椭圆C:\+L=l(机＞0,相/近)椭圆C与x轴交于点A，4,直线/与椭圆交于"，N两点(其

加5')

中点M在无轴上方，点N在x轴下方)，设直线/的方程为＞=去+6,如图，将平面X。沿x轴折叠，使点”

移动到点M'的位置，》轴的正半轴经折叠后记为y',且二面角"'-44-N的大小为:

⑴折叠前,若椭圆C的焦点片，尸2在x轴上，且与椭圆上一点尸构成三角形尸耳片，4Pg的周长为8+2«i,

直线/的方程为y=-@x+l.

4

(i)求椭圆C的标准方程.

(ii)求折叠后直线MN与平面4处所成角的大小.

(2)折叠后，是否存在定值%,对于任意6)，OAT_LQN始终成立.若存在，求出％的值；若不

存在，说明理由.

28.如图，己知直三棱柱A3C-A4G，CA，CB,CA=C3=CG=2,点JF为棱CG的中点，点。、E分别为

棱用再用上的动点，记平面£)E尸与平面ABC所成角为a

试卷第8页，共10页

G

4

D

A

s

⑴求证：COS0=-^

、&DEF

(2)若AD=87，请完成以下两个问题:

①求证：平面DEF，平面AB4A；

②当角。取最大时，在平面£>£F与平面A3C的交线/上存在一点M,计算直线GM与平面ABC所成角的

正弦值的最大值.(可以使用(1)中结论)

29.如图，四棱锥尸-ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA±^ABCD,ZABC=60°，PA=^AB=1,E,

R分别是线段8。和尸C上的动点，且BEMBD,PF=2PC(O<2<1).

(1)若EF//PA,求X的值；

(2)当;1=；时，求直线DF与平面PBC所成角的正弦值；

⑶若直线AE与线段8C交于点M,AH上PM于点、H,当C"的长度最小时，求九的值.

ULUU1

30.从。点引出三个不共面的向量6,62,63,它们之间的关系和右手拇指、食指、中指相同，则这个标架

｛。后,最矶构成右手标架，如图所示.规定：为一个向量，它的长度为同卡卜in万，石，它的方向与向量

均垂直，且使｛。;a,5zx5｝构成右手标架.该运算满足：ax(A石)=4(ax5)；(&+b)xe=axo+5xc；

八(a+5)=^xi+八万GJ》为单位正交基底，且｛o；fj左｝符合右手标架，以7J,♦的正方向为x轴、y轴、

z轴的正方向建立空间直角坐标系，若?ji=;ri+W+zA,贝!］记访=(x,y,z).

⑴证明：axB=—(5x@；

⑵已知向量西=(1,2,0)石=(1,0,3),求ZxB的坐标表示;

(3)①三棱锥O—ABC中，国x砺=(1,2,2),历=(2,1,2),求三棱锥O—ABC的体积％…。；

②请结合“X”与“数量积，，的几何意义，用罚，罚，斌表示平行六面体ABC。-44G2的体积.

试卷第10页，共10页

《空间向量与立体几何》参考答案

题号12345678910

答案CABBAABABDACDABDACD

1.C

【分析】根据题意利用空间向量求直线0P与平面PQR的夹角，可知结合向量运算求模长.

【解析】由题意可得：5=(-1,0,1),而=”,-2),心=(3,1,0),

n•PQ=x+y-2z=0

设平面PQR的法向量为。=(x,y,z),则，

n•PR=3x+y=0

令x=-l,则y=3,z=l,可得为二(-1,3,1),

设直线OP与平面PQR的夹角为a

LlLUl[

uunOPn2

贝Usina=cos(OP,nuuuIr

。■向n，

,________3

由题意可知：,贝

|iMi|।uun,uunur,uuin|,uiT|JO73

l.|PO|=|(9P|=V2,PO-PS=|P(9|.|P5|cos<z=V2x-^-x-^==3,

|UIT||Uiruun।[wjn_uuff^uuuuir11

所以|oq=pS-PO|=«PS+PO-2PO-PS=J2+--6=

故选：C.

【点睛】结论点睛：直线/与平面。内任一条直线的夹角的最小值即为直线/与平面a的夹角.

2.A

【分析】设球心为。，连接。4,OB,OC,OD,结合匕-BCD=(匕-OAB+%—OAB)+(匕-OC£>+%—OC£))及棱锥的

体积公式求最大值，注意取值条件.

【解析】设球心为O,连接。A,OB,OC,OD,

答案第11页，共53页

设点c、D到平面0A8的距离分别为4、久，点A、8到平面OCD的距离分别为％、儿,

则4+饱48=6,h3+h4<AB=8,S^OAB=1x8x3=12,SA0CD=-x6x4=12.

则^A-BCD=^O-ABC+^O-ABD+^O-ACD+^O-BCD=(YC-OAB+^D-OAB)+(%-OCD+^B-OCD)

=；SQB（4+a）+：S.z>（4+4）V；xl2x（6+8）=56,

当且仅当CD，平面。43,AB，平面OCD时取等号.

故选：A

【点睛】关键点点睛：利用匕.B8=（%.°AB+bw）+（Go®+Loco），结合点C、。到平面OAB的距离和

%+&VCr>=6,点A、B到平面OCD的距离和4+/74442=8为关键.

3.B

［分析】将四面体ABC。补形为直三棱柱ABE-FCD,设CD=x,b=y,由匕=V=—可得

A~BDCL,DUFr—BDC（^LDf2

冲=9,在RtAOCO?中，由勾股定理可得R2=l+gr>产，利用余弦定理和基本不等式求解.

【解析】依题意，可将四面体ABCD补形为如图所示的直三棱柱ABE-PCD.

因为A3与CD所成的角为60°.所以/DCF=60°或120。.

设CD=x,CF=y,外接球半径记为R,外接球的球心如图点。.

易知AF//平面BCDE,所以点A到平面BCDE的距离等于点尸到平面BCDE的距离，

于是匕be。=：x2x］；孙sin600］=手孙=¥,所以xy=9.

DJ\乙JU乙

1,

22DF2

在RtAOC6>2中,R=OC=OOl+COl=1+=1+-DF,

2smZDCF3

在VC£）/中，由余弦定理得。尸=/+y2—2A；ycosNDCT,

显然当/DCP=60°时，外接球的半径会更小，此时。尸2=1+必-孙，

所以店=I+；（V+y2-xy^>\+^{2xy—xy^=l+-^xy=4,

所以R»2,故它的外接球半径的最小值为2.

故选：B.

答案第12页，共53页

D

【点睛】关键点点睛：本题关键是将四面体48。0补形为直三棱柱ABE-尸CD,转化为求直三棱柱外接球

半径的最小值.

4.B

【分析】建立空间直角坐标系利用空间位置关系的向量证明可得A正确，再由线面角的向量求法计算可得

B错误，确定直三棱柱ABC-4片和的外接球球心位置可计算半径为26，即C正确，利用异面直线向量求

法求出直线8。与直线斯所成角最小时点。的位置，可判断D正确.

【解析】因为ABC-A与G是直三棱柱，所以平面A8C,

又A8,ACu平面ABC,所以用_L_LAC,又/BAC=90°，即

因此AB,AC,44,两两垂直，以A为坐标原点，人氏4（7,441所在直线分别为％,%2轴建立空间直角坐标系，

如下图所示：

对于A,又AB=AC=AA=4,所以E（2,2,0）,尸（0,2,4）,可得访=（-2,0,4）,

显然平面AA48的一个法向量为历=（0,1,0）,

所以丽•苏=0，又EFO平面招用台，所以EF//平面相台出，即A正确;

对于B,易知平面A3C的一个法向量为为=（0,0,1）,

设直线EV与平面ABC所成的角为。，

।—.I阂词42A/5

所以sin*k°s即同=房=公西=亍

答案第13页，共53页

因此直线EP与平面ABC所成角的正弦值为也，余弦值为好，即B错误；

55

对于C,因为、AB=AC=4,/BAC=90°，所以VABC为等腰直角三角形，所以其外接圆圆心为AC的中

点，外接圆半径为2百；

因此可得直三棱柱ABC-A与G的外接球球心即为CC//的中心。，易知OE=2,

则外接球半径为=y/AE2+OE2=42应『+22=2瓜因此C正确;

对于D,易知8（4,0,0）,4（4,0,4）,G（0,4,4）,所以4G=（—4,4,0）,

由。在线段4G上，可设丽=几陪=（—U,440）,其中4e[0,l],

所以诙=鬲+RJ）=（0,0,4）+（T442,0）=（T/L,42,4）,

因此直线3。与直线EP所成的角的余弦值为

EFBD8（X+2）X+2小归+42+4

jcosEF,B£）|=

EF\\BD2氐，16+32万01+2万5V222+1

A/5h2+42+4

Ty222+1

令函数/（上年*,北[。4可得「㈤

易知当Xe0,；，，/'（2）>0,当2e&，l时，尸（#<0，

因此/（彳）在0,1上单调递增，在上单调递减，

所以当2时，/（几）取得最大值，再结合余弦函数单调性可得此时直线即与直线即所成的角最小,

因此丽=；瓦C，即[瓦4=应，

因此线段8。长为攻?+后°=3近，即D正确.

故选：B

答案第14页，共53页

【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是利用空间向量法得到线线角余弦值表达式，再利用导数求出其

最值.

5.A

【分析】设三个圆锥的高分别为4,h2,h3.母线与轴线的夹角为6,分别表示出三个圆锥的体积以及侧

2|3

1+

J(1+1)3

面积，利用匕=%+匕,州=邑+$3可化简得至简-------A，构造函数/(%)=利用导数求

(1+尤3尸

1+

出最大值即可.

【解析】设三个圆锥的高分别为4,h2,h3,底面半径分别为小

母线长分别为4，4,4,母线与轴线的夹角为，,

11jr

则K=§冗片％=—兀(4tan。)2•4=§.tan20,

jTtr^h2=；兀色tan0)2,色=1偌tan20,

匕=

gTir^hy=；兀(％tan。产.勿=；后tan20,

K=

由匕=匕+匕，得用=优+£,

n

Sl=兀"1=7i•("tang)•——=叫?ta],

cos。cos。

tan

S2=71rli2-7i•(/^tan^)->-=冗后^.

cos。cos。

n

S3=叫4=7i••%-=兀后ta°,

cos。cos。

由aSx=S2+S3可得的2=%+后，

令"x)=霭]”e(O,s),得尸(x)=6x(：x):7)

U+x)(1+x)

令/'(x)>0,解得xe(O,l)；令/'(x)<0,解得尤e(l,+oo),

答案第15页，共53页

故，(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,

所以/⑴=2,故/V2,故。2=蚯.

故选：A

xe(O,”)，再利用导数研究函数的最值.

6.AB

【分析】利用中位线定理结合平行四边形的性质得到4N〃MC,再结合线面平行的判定定理判断A,将立

体图形展开为平面图形，利用勾股定理求解不同路径的长度再进行比较判断B,利用线面垂直的性质得到

B.CVCP，再结合三线合一性质得到cc=c蜴，发现其与题干矛盾判断C,结合题意证明轨迹所成图形

的面积小于球的表面积的十二分之一判断D即可.

【解析】对于A,如图所示，因为M,N分别为AC，AC的中点，

45

所以a/〃NC,AM=NC,则四边形4NCM是平行四边形，得到AN〃MC,

又ANC平面MCu平面MC耳，即AN〃平面MCM，故A正确;

对于B,将底面与侧面BCCR沿棱C.B,旋转展平，

如图，作峥皿。，结合等边三角形性质得匹=2=

答案第16页，共53页

A

将侧面ACQA,与侧面BCC固沿棱CG旋转展平，如图，作BC,

易得MQ=1,BQ=1+2,

由勾股定理得MB=7（1+2）2+12=V10，

因为“+若＜而，所以沿该三棱柱的表面从点"

到达点B的最短路径的长为,4+指,故B正确；

对于C,如图，分别取用G，2。的中点G,。，连接AG,GO,〃O，G。,

因为A"//CG〃GO,\H=GO,所以四边形A"OG是平行四边形，

则4G//ao,因为正三棱柱中4G，平面BCGM，且B|Cu面3CG4，

所以AGJ_吕C,故HO_L8C，若尸C=p耳，则POJ_MC,

又POcHO=O,且尸O,HOu面〃G。，则4C_L平面〃G。，

而CQu面"C0,则因为。为8。的中点，所以CC=G4,

与CG=1，与。=2矛盾，故c错误；

答案第17页，共53页

对于D,因为MJ■底面ABC,A0u面ABC,所以AA^AQ,

如图，设尸。的中点为T,由PQ=2,可得AT=1，

jr

又/胡C=§,所以T的轨迹所形成的图形的面积S小于

11JT

以A为球心，以1为半径的球面的白，即5<4万产、==，故D错误.

12123

故选：AB

【点睛】关键点点睛：解题关键是判断轨迹图形的面积小于球的表面积，然后求出球的表面积，得到所要

求的结论即可.

7.ABD

【分析】利用平行线的性质结合给定条件判断底面积和高都是定值来处理A,利用圆的定义结合夹角求解

轨迹来处理B,利用三角形外心和向量数量积的性质判断C,将三角形翻折后，利用勾股定理和余弦定理判

断D即可.

【解析】对于A,如图，取。D靠近。的三等分点为N,DC靠近。的三等分点为

连接CD、,MN,

。Ci

因为2+〃=g,所以3几+3〃=1,

^DN=^DD^,DM=^DC,而丽=4就+〃西，

贝U丽=32两'+3〃两，得到。eMN,

因为。A靠近。的三等分点为N,DC靠近。的三等分点为"，所以MN//CR,

而由直四棱柱性质得A4,LAB,

答案第18页，共53页

而AB=M=2,由勾股定理得班=>/22=2&,

在直四棱柱ABS—ABIGQ中，A.DJ/BC,A2=8C,

得到四边形42c3是平行四边形，故网//CR,

则BA//MN,由题意得尸为CG的中点，则AA/P的面积是定值,

而MNU面ABP,即u面A|BP,所以肱V〃面A[BP,

结合QeMN,由线面平行性质得Q到面\BP的距离为定值，

即四面体4BPQ的体积为定值，故A正确，

对于B,如图，在面AMCQ中，过A1作4KLGA，连接K。,

由直四棱柱性质得。21面4田62,则DD、±AK,

而DD,cCQ=Di,DDi，GRu面DDgC,

故AK,面£>£>℃,则AKJ.KQ,

而面ABC。为菱形，则面AQGA为菱形，

因为AB=A4=2,所以AQ1=2,

因为/54。=60。，所以N〃A4=60。，则NKQA=60。，

由锐角三角函数定义得竺二且，解得AK=K,由勾股定理得RK=I,

22

因为AQ=6，所以由勾股定理得KQ=J(否)2-(6)2=应,

则。在以K为圆心，点为半径的圆上运动，

设该圆与交于43,与CA交于4，

1_A/2

由三角函数定义得cos/。陋则？2545。，

&.一2

即点。的轨迹为一段圆弧，故B正确，

对于C,如图，作O/71A8,由题意得△ABQ的外心为。，故H是48的中点,

答案第19页，共53页

4

H"

由已知得司3=2血，因为。H1AB,所以南.邛=0,

而“.郎=率.（而+砌=卒.卡+和率，

------------►1-----►-----►1-----d1I-----J21

=AB-4^=-ABAB=-AB=--|4B|=--8=4,故c错误,

1__,__,1___.

对于D,若九=1且〃=5,此时,

—.1___.1__

因为尸为CG的中点，所以CP=5CG=]£>A，

由向量加法法则得质=成+而，故而=觉+:*，

则点Q与点P重合，此时把AB沿着A,B翻折，

如图，使得A，43,P四点共面，此时AE+EQ有最小值”，

此时的点均为翻折过的点，因为尸为CG的中点，所以CP=C7=I,

由勾股定理得32=亚。=^，如图，连接AG，

由已知得NRABI=60。，则ZQB.A,=120°,

102.r\2_A「2

由余弦定理得-上=小,解得AG=，

22x2x2

由直四棱柱性质得CG，面A4G2，则CG,

则由勾股定理得AP=7（2A/3）2+I2=V13，

答案第20页，共53页

222

则BP+AtB=AtP,故NPB4=900,

而AB=AA=2,则NA%=45。，得到NP54=135。,

由余——

解得AP=,9+2质，故D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体

积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题即可.

8.ACD

【分析】A项，设出直三棱柱的高，建立空间直角坐标系并表达各点坐标，求出面CE户的法向量，即可得

出结论;B项，利用等体积法即可求出点G到平面EFC的距离;C项，利用作差法即可求出五面体AEFBgC

的体积；D项，求出外接球的位置和半径，即可得出三棱柱A4G-A3c的外接球的表面积.

【解析】由题意，

在直三棱柱ABC中，CG，面ABC,面ABC,

ACu面A3C,BCu面ABC,

直线AB与平面BIBCG所成角为45°,

/.AC±CQ,BC1CQ,BC±BB,,/ABC=45。，

在VABC中，AB=2,AC^BC,

：.ZABC=ABAC=45°,ZACB=90°,

A5r~

...VA3c是等腰直角三角形，AC=BC=j==y/2,AC1BC,

建立空间直角坐标系如下图所示，设直三棱柱高为z°,

（0,0,0）,网后,0,0）,C（0,0,0）,£»[*，¥,0,《0,拒,;

Z。，《60,；z。

Zo）,q（"O,Zo），G（O,O,z。）

答案第21页，共53页

EF=(V2,-72,0),CF=[V2,0,1z0j,Oq=_V2_V2]

在面CEF中，设其一个法向量为而=(%，%，zj,

y/2x-y/2y=0

EFn-0li

一，即-20

r1，解得：＜

CF-n=Q72%]+—ZQZI—0Z1-x\

zo

当番=_也时,3=西,

2I22z0J

2L

一=zo,解得：z=v2,

z°0

故A正确；

B项，连接GE,GF,CD,

秀B

由几何知识得，BF=AE=—,EF=AB=2,CD=AD=BD=-AB=1,

22

AE=AiE=^AAi=^,A4,=CC]=e,

在VBC「中，NCBF=90°,

由勾股定理得，CF=JBC2+BF=叵,

2

在八4。£中，同理可得，CE=CF=^,

2

在△0的中，过点C作于点G,

则G是EF的中点，也是矩形A3d4对角线交点，连接CG,

答案第22页，共53页

c

在ACEG中，EG=FG=-EF=l,

2

由勾股定理得，CG=ylCE2-EG2=—,

2

设点G到平面EFC的距离为d,

点G到平面AB4A的距离为4,

4=CD=1,

ACBC

2

匕1-4玛位=^AEEF4=-x—x2xl=—,

1714Z7Z7Z7rn10010

VrARPr=—AE-EF-CD=—x--x2x1=---，

C-ABFE3323

「

VcCEF=%BC—ABC~^Ci-AiBiFE~^C-ABFE=

…1等邛〃等

解得:t

故B错误;

C项，五面体HE冉GC的体积为：VABC_A、B、C〕VJABFE=丘一号=手，

故C正确;

D项，由几何知识得，AC=CC]=ACI=M=^,ZACC,=90°,

四边形ACGA为正方形，设正方形ACG4中心H,

G是EF的中点，也是矩形对角线的交点，

所以8是CA的中点，

G是BA的中点，所以GH//BC,

因为BC_L平面ACG4,所以GH_L平面ACQA,

所以点G在过正方形ACGA中心A,平面ACC.A的垂线上，

答案第23页，共53页

•••点G到正方形ACC,A的四个顶点距离都相等，^GA=GAi=GC=GC,,

在矩形A41gB中，由几何知识得，点G到矩形441g/的四个顶点距离都相等，有GAMGAMGBMG片,

所以点G为球心，点G到各顶点的距离都等于球的半径，

三棱柱ABC-ABC的外接球的半径为逅,

2

•••三棱柱AB。-A