2025年高考数学二轮复习易错题：直线和圆的方程

专题10直线和圆的方程

---题型一：平行线求距离问题0、易错点：使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错

_______________________-题型二:直线的考点€（易错点：求有关截距相等问题时易忽略截距为零的情况

直线和圆的方程

,一-题型三:求有关圆的切线问翘易错点：求有关圆的切线问题易混淆"在""过"

一题型四：与圆的代数结构有关的最值问题日、易错点：忽略斜率是否存在

易错点一：使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错（平行线求距离问

题）

距离问题

技巧总组

①两点间的距离：已知耳（七，M）,乙（法，＞2）则I耳El=J（%2—可产+（%—%）2

②点到直线的距离:d=瓯：现：a

A2+B2

③两平行线间的距离：两条平行直线k-.Ax+By+C^Q与4：Ax+无\+。2=。的距离公式

易错提醒：在求两条平行线间距离时，先将两条直线无,y前的系数统一，然后代入公式求算.

例.已知直线乙：4x-3y+3=0,4:(m+2)x-O+l)y+〃2=0(meR),贝!]()

A.直线4过定点（1,2）B.当机=2时，18[

c.当〃Z=T时，^1/2D.当时，4,4之间的距离为（

\x—y+l=0fx=l,

【详解】由4：7批+2工一7孙一，+7"=加。一，+1）+2X一,=0,令,可得｛,所以4过定

[2x-y=0[y=2

点(1,2),A对

〃z=2时，/2:4x-3y+2=0,而乙：4x-3y+3=0,即///g,B对

机=-1时，Z2:x-l=O,而4：4x-3y+3=。，显然不垂直，C错

//〃2,则—3（相+2）=—4（加+1）,可得根=2由上知,之间的距离为了主=1

D对.故选：ABD

变式1.曲线y=e2*cos3x在点（0,1）处的切线与其平行直线/的距离为石，则直线/的方程可能为（）

A.y=2x+6B.y=2x-4

C.y=3x+1D.y=3x-4

2x2x2xr

【详解】V=2ecos3x+e（-3sin3x）=e（2cos3x-3sin3x）,y|x=0=2

所以曲线y=e2、cos3x在点（0,1）处的切线方程为y-l=2（x-0）,即2x-y+l=0

|Z—11G

设直线/:2x—y+”。依题意得后不=«,解得r=6或

所以直线/的方程为y=2x+6或y=2x-4故选：AB

22

变式2.已知直线4：y^kx+1,l2：y^mx+2,圆C：（x-1）+（y-2）=6,下列说法正确的是（）

A.若4经过圆心C,贝!）左=1

B.直线4与圆C相离

C.若乙〃4,且它们之间的距离为。，则左=±2

D.若％=-1,4与圆C相交于M,N,贝!||肋V|=2

【详解】对于A,因为圆心C（l,2）在直线、=丘+1上，所以2=%+1,解得％=1,A正确，对于B,因为直线

l2:y=mx+2恒过点（0,2）,且（0-叶+（2-2丫<6

即点（0,2）在圆C内，所以4与圆C相交，B错误，对于C,因为则加=左

故依-、+1=0与丘一>+2=0之间的距离=好，所以％=±2,C正确

7F7T5

对于D,左=-1时，直线4：y=—尤+1,即x+y-l=0

因为圆心C（l,2）到直线x+y-1=0的距离人=7备=拒,所以|"N|=2m^i/=4,D错误,故选：AC

变式3.已知直线4：4%-3>+4=0,/2：（机+2）%-（%+1）丁+2加+5=0（m£R）,则（）

A.直线4过定点

B.当〃2=1时，4-L4

C.当机=2时，I/2

D.当〃〃2时，两直线44之间的距离为1

x-y+2=0,,x=-3

【详解】依题意，直线4：(x-y+2)根+(2x-y+5)=0,由2x-y+5=。解得:

y=-l

因此直线4恒过定点(-3,-1),A不正确

当力=1时，直线4：3x-2y+7=0,而直线4：4x-3y+4=0,显然3x4+(-2)x(-3)力。

,即直线4,4不垂直，B不正确

4-34

当〃1=2时，直线(：4x-3y+9=0,而直线乙：4x-3y+4=0,显然一=一中一,即

4-39

,C正确

当////,时，有竺吆=上工片网土I,解得加=2,即直线。：以-3了+9=0,因此直线4，/2之间的距离

4-34

,|9-4|1

d=#+(-3)2=■D正确故选：CD

1.若直线2元一＞一3=0与4x—2y+a=0之间的距离为右，则。的值为()

A.4B.75-6C.4或-16D.8或-16

【答案】C

【分析】将直线2x-y-3=0化为4元-2y-6=0,再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可.

【详解】将直线2x_y_3=0化为4x_2y_6=0,

则直线2X—。与直线4一i=。之间的距离公匕公|。+61

2有

根据题意可得：^,即|。+6|=10,解得。=4或。=一16,

所以a的值为a=4或。=-16.

故选：C

2.若两条直线4：y=2x+m,4：y=2x+〃与圆x2+y2-4x=0的四个交点能构成正方形，贝()

A.475B.2MC.2A/2D.4

【答案】B

【分析】由直线方程知“4，由题意正方形的边长等于直线4、4的距离d，又d=Mr，结合两线距离公

式即可求帆-司的值.

【详解】由题设知：4〃4,要使A,B,C,。四点且构成正方形A8CD,

\rn—n\

・,•正方形的边长等于直线4、4的距离d，则1=%」，

22

若圆的半径为广，x+y-4x=0f即(、—2)2+y2=4,贝！Jr=2,

由正方形的性质知：d=5=20，

।=2&,即有|帆_"=2715.

故选：B.

3.两条平行直线2x-y+3=0和方-3y+4=0间的距离为"，则〃，"分别为()

A.〃=6,d=B.a=—6,d=

33

C.a=—6,d=D.a=6,d=

33

【答案】D

【分析】根据两直线平行的性质可得参数。，再利用平行线间距离公式可得d.

【详解】由直线2x—y+3=0与直线.—3y+4=0平行，

得2x(—3)—(―l)xa=0,解得〃=6,

所以两直线分另ij为2尤一y+3=0和6%—3丁+4=0,即6x—3y+9=0和6x—3y+4=0,

所以两直线间距离d=J望L=坐，

V62+323

故选：D.

4.两条平行直线3元+4>-12=。与分+8>+11=。之间的距离()

23n23〃7八一

A.—B.—C.—D.7

5102

【答案】c

【分析】首先根据两条直线平行求出参数a的值，然后利用平行线间的距离公式求解即可.

【详解】由已知两条直线平行，得2=:，所以。=6,

a8

所以直线3x+4y-12=0可化为6x+8y-24=0,

1-24-1117

则两平行线间的距离d=匕82=5-

故选：C

5.已知直线/1：x-my=。和/2：x-，"y+2（，”T）=0（机eR）与圆C都相切，则圆C的面积的最大值是（）

A.2万B.4%C.8万D.16万

【答案】A

【分析】易得44互相平行，故圆c的直径为44间的距离，再表达出距离求最大值即可得圆c的直径最大

值，进而得到面积最大值

|2(加一1)|

【详解】由题，44互相平行，且故圆c的直径为44间的距离〃=

#+(-m)2

d=2/W2

H故当退町即…=一

令.=m一1,则m=/+1,J12+(/+i)2i

2

时d取得最大值］=2行，此时圆。的面积为5=2»

故选：A

6.若直线4：x+〃y+6=O与4：（。一2）x+3y+2〃=0平行，贝也与乙间的距离为（）

A.V2B.逑

3

C.73D.更

3

【答案】B

【分析】由两直线平行的判定有3-。（“一2）=0且2/—18/0求参数处应用平行线距离公式求4与4间的距

离.

【详解】•.,直线乙：x+ay+6=。与4：（a-2）x+3y+2a=0平行，

2

3—々（。-2）=0且2Q2_18wO,角星得1=一1,，2:-3x+3y-2=0,x-y+—=0.

6二

•••直线4与4间的距离d=.3=80.

JF+(-1)2r

故选：B.

7.已知直线4：(3+22)x+(4+X)y+(-2+21)=0(2eR),/2：x+y—2=0,若"4,则4与4间的距离

为（）

A忘

B.72C.2D.2A/2

2

【答案】B

【分析】由直线平行的结论列方程求力,再由平行直线的距离公式求两直线的距离.

3+2A4+2—2+2A

【详解】由得--*----解得4=1,

11-2

所以直线4：5尤+5y=0,即x+y=。,

所以4与4间的距离为1=

故选B.

8.已知直线4：处一3y+6=。，4：4%-3冲+12=0,若〃〃2，则4,4之间的距离为（）

A12岳8屈「9屈心

•--------DR.-----L.-------n\-J•<13

131313

【答案】A

【分析】由加《-3%）-（-3）-4=。，解得加=±2,m=2时舍去，可得力=-2,再利用平行线之间的距离公式

即可得出.

【详解】由于两条直线平行,得“（-3㈤-（-3>4=0,解得加=±2,

当〃=2时，两直线方程都是2x-3y+6=0故两直线重合，不符合题意.

当m=一2时，4:2x+3y-6=0,/2:2x+3y+6=0,

|6-(-6)|_12A/12

故两平行直线的距离为

13

故选A.

【点睛】本题主要考查了直线平行的充要条件及其距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

9.若两条平行直线4：%-2y+m=0（根>0）与4:2%+利-6=0之间的距离是右,则m+n=

A.0B.1C.-2D.-1

【答案】C

【分析】根据直线平行得到〃=-4,根据两直线的距离公式得到2,得到答案.

1-2

【详解】由4k，得二=一，解得〃=一4,即直线4：x-2y-3=0,

2n

Im-（-3）1r

两直线之间的距离为d=2y='5,解得机=2（加=-8舍去），

所以m+n=—2

故答案选C.

【点睛】本题考查了直线平行，两平行直线之间的距离，意在考查学生的计算能力.

10.已知直线4：3x+4y+5=O,Z2:6%+8y-15=0,则两条直线之间的距离为

5„

A.4B.2C.—D.5

2

【答案】C

【分析】利用两平行直线距离公式即可求得.

【详解】因为/2：3彳+分一?=。，则,—[J_5,故选C.

2a——I-——

2

【点睛】本题考查了两平行直线距离问题，运用平行直线距离公式可以求解，但要注意将两直线一般方程

的羽y系数化为相同的值；也可以在其中一条直线中选取一个特殊点，然后利用点到直线距离公式进行求解,

属于基础题.

易错点二：求有关截距相等问题时易忽略截距为零的情况（直线截距式的

考点）

直线方程的五种形式的比较如下表:

名称方程的形式常数的几何意义适用范围

点斜式y-x=k(x-%)（%,%）是直线上一定点，L是斜率不垂直于X轴

斜截式y=kx+b左是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于X轴

y-_%--

两点式（%,%）,（林必）是直线上两定点不垂直于x轴和y轴

%-必X2-%

截距式2+)=1。是直线在X轴上的非零截距，。是直不垂直于x轴和y轴，

ab

线在y轴上的非零截距且不过原点

Ax+By+C=0(A2+B2?0)

一般式A、B、C为系数任何位置的直线

给定一般式求截距相等时，具体方案如下：

令x=Ony=-gcC

形如：第一种情况Ax+C=0=><=>A=B

第二种情况：Ax+为+C=O〉C=O时，横纵截距皆为0

截距之和为。时，横纵截距都为0也是此类模型

易错提醒：求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0的情况从而漏解

三

例.已知直线/过点(2,1)且在x,y轴上的截距相等

(1)求直线/的一般方程；

(2)若直线/在x,y轴上的截距不为0,点尸(。乃)在直线/上，求3"+3〃的最小值.

【详解】试题分析：(1)当截距为。时，得到x-2y=0；当截距不为0时设直线方程为二+2=1,代入点

tt

坐标即可得方程.(2)由第一问可得/的方程为x+y-3=O,a+b=3,

由不等式得到结果.

(1)①截是巨为0时，l:y=g尤即x-2y=0

②截距不为0时，设直线方程为亍+：=1,代入尸(2,1),计算得t=3,贝恒线方程为x+y-3=0,综上，

直线方程为x-2y=O<x+y-3=O

⑵由题意得/的方程为x+y-3=O:.a+b=3,;.3a+3b22后手=2存了=6后

3*+30的最小值是仇回，当a=b=3时等号成立.

2

变式1.已知直线/过点(L2)且在x，y轴上的截距相等

(1)求直线/的一般方程；

(2)若直线/在X，y轴上的截距不为0,点P(al)在直线/上，求3"+3〃的最小值.

【详解】(1)因为直线/过点(1,2)且在X，y轴上的截距相等，当截距为0时，则/:y=2x

当截距不为0时，可设/：2+2=1,则一+—=1,即。=3,：.l:x+y-3=0

aaaa

综上，/的一般方程：2x-y=0或％+y—3=。

(2)由题意得/：先+y—3=。，/.a+b=3

3fl+3*>2730-3*=14^=673>当且仅当。=6=5时，等号成立

.•.3"+3〃的最小值为6百

变式2.已知直线4：办+2y-4=0,直线3bx-2y-\=Q,其中用方均不为0.

(1)若4,4,且4过点(L1),求a,b；

(2)若且4在两坐标轴上的截距相等，求乙与4之间的距离.

【详解】⑴当4过点。,1)时，a+2—4=0,所以a=2,

ah

因为所以—5X5=—1,即出7=4,于是〃=2

4

(2)由4：ax+2y—4=0,令％=0,则>=2,令>=。，贝!Jx=—

a

4nh

因为4在两坐标轴上的截距相等，所以2=—,故〃=2,又〃//2,所以-所以人=-2

a22

则4：2x+2y-4=0与32x+2y+l=0之间的距离1所以4与/，之间的距离为逑.

-A/22+224-4

变式3.已知直线(：ax-2y-2a+4=0,直线4:。。+4丁-4/-8=0

(1)若直线4在两坐标轴上的截距相等，求实数”的值；

⑵若412,求直线4的方程.

【详解】(1)由题意可知，"o,直线4在x轴上的截距为网心，在y轴上的截距为上^,则灰心==学

a2a2

解得：a=±2

(2)若贝U4a=—2/且一2x(-4/—8)74x4,解得：。=-2

此时直线4的方程为x+V-6=。

1.已知圆O：/+y2=4,M(x。,%)为圆。上位于第一象限的一点，过点M作圆。的切线/.当/的横纵截

距相等时，/的方程为（）

A.x+v-2-J1=0B.x+y—=0

2

C.x+y-40=OD.x-y-25/2=0

【答案】A

【分析】利用过圆上点的切线的性质可得利用点〃（外,几）表示出切线方程，结合/的横纵截距相

等，即得解

【详解】由题意，点用在第一象限，故过点M的的切线/斜率存在；

点〃（气），儿）在圆上，故。即心谒=T

k-A-

K（）M一•,5k—

%为

故直线i的方程为：y-%=-E（x-xo）o/x+=芯+火=4

%

44

令X=0,y=一；令＞=0,%=一;

%为

44

当/的横纵截距相等时，一=—0%=%

%为

又看+3=4,冗0＞。，%＞。

解得：x0=A/2,yQ=\[l

即\[2x+=4,即x+y—272=0

故选：A

2.“直线/：＞=履+2k-1在坐标轴上截距相等”是“左=-l”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由直线/：丫=尿+2左-1在坐标轴上截距相等得A=:或％=-1,再根据充分条件和必要条件的定义

判断即可.

【详解】解：由题知：左。0,由x=0得y=2左—1；由y=0得，x

k

因为在坐标轴上的截距相等，所以2左-1=:土,解得"=3或左=—1.

KN

所以直线/：＞=依+2左-1在坐标轴上截距相等”是“％=-1”的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】本题主要考查直线的截距与充分条件、必要条件，属于基础题.

3.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()

A.尤-y+l=OB.x+y-3=0C.y=2x或x+y-3=0D.y=2x或x-y+l=O

【答案】D

【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.

【详解】当直线过原点时，其斜率为咨=2,故直线方程为y=2x；

当直线不过原点时，设直线方程为二+且=1,代入点(1,2)可得人+2=1,解得。=—1,故直线方程

a-aa-a

为尤-y+l=O.

综上，可知所求直线方程为y=2x或x-y+l=O,

故选：D.

【点睛】本题主要考查直线方程的截距式以及分类讨论思想的应用，考查逻辑推理和数学运算.在利用直线

方程的截距式解题时，一定要注意讨论直线的截距是否为零.

4.下列说法正确的是()

A.若直线/x-y+l=。与直线无一0一2=。互相垂直，则a=—l

B.己知尸(1,1),2(-2-3),点、P,。到直线/的距离分别为2和4,则满足条件的直线/的条数是2

C.过(看,乙)，(巧，坊)两点的所有直线的方程为2m

D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0

【答案】B

【分析】对于A,利用直线与直线垂直的条件判断；对于B,利用点到直线的距离、直线与圆的位置关系判

断；对于C,利用两点式方程判断；对于D,利用直线的截距式方程判断

【详解】解：对于A,若直线片》一丁+1=0与直线》一世一2=0互相垂直，则/+0=0,解得。=0或。=—1,

所以A错误；

对于B,因为P(U),2(-2,-3),所以|PQ|=J(l+2)2+(l+3)2=5,分别以点尸，。为圆心，2,4为半径作

圆，因为2+4>5>4-2,所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条，所以满足条件的直线/的条数是2,所

以B正确；

对于C,当无产马且丁产％时，过(西，兀)，(%%)两点的直线方程为七江=士生，所以C错误；

%—X龙2—玉

对于D,当截距为零时，设直线方程为y=依，则上=1,所以直线为y=x,当截距不为零时，设直线方程

为二+2=1,则工+工=1,得。=2,所以直线方程为x+y-2=o,综上，经过点（1,1）且在X轴和y轴上截

aaaa

距都相等的直线方程为％+>-2=0或丫=%所以D错误

故选：B

5.过点尸（3,4）,且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是

A.x—y+l=OB.x-y+1=0或4x-3y=0

C.x+y-1=0D.x+y-7=0或4x-3y=。

【答案】D

4

【详解】当直线过原点时，直线方程为y=：x,即4x-3y=0；

当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a.

则3+4=a,得a=7.

二直线方程为x+y-7=0.

过点M（3,4）且在坐标轴上截距相等的直线方程为4x-3y=0或x+y-7=0.

故选：D

6.下列命题中垂误的是（）

A.命题“土°wR芯+1<1”的否定是“VxeRl+izl”

B.命题“若a>b,则2。>23-1”的否命题为“若则2"2”-1”

C.“两直线斜率相等”是“两直线平行”的充要条件

D.若%或g”为假命题，则p,g均为假命题

【答案】C

【分析】利用含有一个量词的命题的否定、否命题的概念、两直线平行的充要条件以及。人4的真假进行判

断.

【详解】对于A,命题“叫wR芯+1<1”的否定是“心€旦./+121”，故A正确；

对于B,命题“若”>b,则2">2&-1”的否命题为“若a<6，则2”2&—1"，故B正确；

对于C,若两直线斜率相等，则两直线平行或重合；但若两直线平行，斜率可能不存在，故C错误；

对于D,若“。或q”为假命题，则p,q均为假命题，故D正确.

故选：C.

7.与圆/+"-1）2=1相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（）

A.2条B.3条C.4条D.6条

【答案】A

【分析】过原点的直线不满足题意，当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为x+y+机=。，根

据圆心到直线的距离等于半径可得加有两解，综合可得结果.

【详解】圆尤2+（y_l）2=l的圆心为（0,1）,半径为1,

由于原点在圆上，显然过原点的直线不满足题意；

当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为x+y+，〃=o,

圆心到直线的距离d=，^=l,解得根=±应-1,此时满足条件的直线有两条，

综上可得：满足条件的直线有两条，

故选：A.

【点睛】本题主要考查圆的切线方程，截距相等问题，学生容易疏忽过原点的直线，属于中档题.

8.已知直线/过点M（-2,3）,且与x轴、＞轴分别交于A,B点、,则（）

A.若直线/的斜率为1,则直线/的方程为y=x+5

B.若直线/在两坐标轴上的截距相等，则直线/的方程为x+y=i

C.若M为AB的中点，贝心的方程为3x—2y+12=。

D.直线/的方程可能为＞=3

【答案】AC

【分析】根据直线点斜式判断A,由过原点直线满足题意判断B,由中点求出A乃坐标得直线方程判断C,

由直线与坐标轴有交点判断D.

【详解】对于A,直线/的斜率为1,则直线/的方程为y-3=x+2,即丁=尤+5,故A正确；

对于B,当直线/在两坐标轴上的截距都为0时，/的方程为y=故B错误；

对于C,因为中点M（-2,3）,且A,B在x轴、y轴上，所以A（-4,0）,矶0,6）,故居的方程为三+§=1,

—46

即3x-2y+12=0,故C正确；

对于D,直线y=3与x轴无交点，与题意不符，故D错误.

故选：AC.

9.已知直线乙：x-y+m=0,l2：2x+my-l=Q,则下列结论正确的有（）

A.若/J//2,贝！|租=一2

B.若4_L4，则根=2

C.若4，4在无轴上的截距相等则根=1

D.12的倾斜角不可能是k倾斜角的2倍

【答案】AB

【分析】根据直线平行、垂直的条件判断AB选项的正确性；根据直线的截距、倾斜角判断CD选项的正确

性.

【详解】若〃贝得加=一2,选项A正确；

1-1m

若口4,则1X2T〃=0,得m=2,选项B正确；

11

若4，4在x轴上的截距相等，则-根=],解得加二-万，选项c错误；

当加=0时，/，的倾斜角与恰好是I,的倾斜角；的2倍，选项D错误.

故选：AB

【点睛】解决此题的关键是要弄清楚直线的点斜式和直线的一般式判断两直线平行和垂直的充要条件，其

次还要注意斜率的存在性，一定要注意分类讨论.易错点：两直线平行一定要注意纵截距不等和斜率的存在

性.

10.直线/与圆（》-2）2+丁=2相切，且/在X轴、y轴上的截距相等，则直线/的方程可能是

A.x+y=0B.x+y—2y[2+2=0

C.x-y=0D.x+y-4=0

【答案】ACD

【解析】由于直线/在了轴、y轴上的截距相等，设直线为：》+，-。=0或利用圆心到直线的距离

为半径，即得解

【详解】由于直线/在方轴、y轴上的截距相等，设直线为：x+y“=o或丫=丘

由于直线/与圆（》-2）2+必=2相切,

故圆心（2,0）到直线的距离等于半径r=V2

=&.。=0,4

或d=J2]।=左=±1

+1

故直线的方程为：x+y=0,x+y-4=0,x-y=0

故选：ACD

易错点三：求有关圆的切线问题易混淆“在”“过”（求有关圆的切线问题）

技巧总结

这1类：求过圆上一点（见,光）的圆的切线方程有方

正规方法：

第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率左

第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为-工

k

第三步：利用点斜式y-%=Mx-%）求出切线方程

注意：若左=0则切线方程为x=x0，若左不存在时，切线方程为y=y0

侬杀方法：）

①经过圆/+/=/上一点尸（%0，%）的切线方程为叫）%+%>=r2

②经过圆（％-浦+。一。2=/上一点凡％,%）的切线方程为（不一。）（万一。）+（九一瓦心一瓦）=/

③经过圆V+V+5++尸=0上一点P（x0,y0）的切线方程为

xQx+yQy+D-^^+E-^^+F=0

谖二类：求过圆外一点（%,光）的圆的切线方程而遴）

方法一：几何法

第一步：设切线方程为丁一%=左卜一/），即左x-y-左q+%=0,

第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得左，切线方程即可求出

方法二:代数法

第一步：设切线方程为了一为=左（工一/），即y二-一左毛+及），

第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由A=0可求得左，切线方程即可求出

注意:过圆外一点的切线必有两条，当上面两种方法求得的人只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,

可得数形结合求出.

第三类：求斜率为左且与圆相切的切线方程的方法

方法一：几何法

第一步：设切线方程为y=左％+加，即左x-y+〃z=O

第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得加，切线方程即可求出.

方法二:代数法

第一步：设切线方程为丁=左X+机，

第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由A=0可求得用，切线方程即可求出

方法三：秒杀方法

已知圆/+/=/的切线的斜率为左，则圆的切线方程为y=依土厂再工1

已知圆(%-。)2+6-。2=户的切线的斜率为左，则圆的切线方程为'=依±八庐[1+6—

工具：点与圆的位置关系判断

圆的标准方程为(x-〃)2+(y-6)2=户(厂>0)

1222

一般方程为x+y+Dx+Ey+F=0(D+E-4F>0).

①点在圆上：(玉)—a)?+(y°—b)2=户XQ+J,Q+DXQ+Ey^+F=0

222

②点在圆外：(x0-a)+(y0-Z?)>r•+y]+Z)%。+E为+厂>0

222

③点在圆内：(x0-a)+(y0-b)<r君+*+£>两+Sy。+尸v0

易错提醒：求切线问题时首要任务确定点与圆的位置关系并采用对应方案进行处理

22f1百)

例、圆的方程为必+丁=1,过点上,巨的切线方程

"2J

解：正规方法：

第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率k

2

第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为-4

k

r=--=-—

k3

第三步：利用点斜式y-%=《（x-X。）求出切线方程

秒杀方法：

经过圆V+y2=i上一点尸七右的切线方程为_Lx+、2y=l

■[22）22'

22/3行1

变形1、圆的方程为J+y2—4x+2y+4=0,过点-1的切线方程

、22）

解：正规方法：

第一步：求切点与圆心的连线所在直线的斜率左

V3

圆的一般式转化为标准形式为（x—2y+（y+Ip=1=>左=.=一/

-2

第二步：利用垂直关系求出切线的斜率为-工

k

,1V3

kz=----=----

第三步：利用点斜式y-%=《（x-X。）求出切线方程

秒杀方法：

,2/3石）

经过圆上Y+y2—4x+2y+4=0一点P的切线方程为

3

314X+

—2-+2.+4=0

21212

变形2、圆的方程为x2+/—4x+2y+4=0,过点（1,1）的切线方程

解：由题意的点在圆外

方法一：几何法

第一步：设切线方程为y—l=Hx—1),即左左—y—左+1=0,

第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得左，切线方程即可求出

%2+,2_4%+2,+4=00（》_2）2+6+1）2=］圆心为（2,_1）则］=^1210左=_3

+/4

37

故：——九一y+—=0,x=l

44

方法二:代数法

第一步：设切线方程为y—1=左(％—1),即丁=左左一女+1,

第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由A=0可求得左,切线方程即可求出

x2+(左1—左+1)2—4%+2(左%—左+1)+4=0A=0=>左=——3故：——3%—j+—7=0,x—\

变形3、圆的方程为(x-2)2+(y+l)2=1,切线斜率为1方程为

方法一：几何法

第一步：设切线方程为y=x+m，即龙一丁+根=0

第二步：由圆心到直线的距离等于半径长，可求得加，切线方程即可求出.

113+间

=>机=-3±V2故％-y-3-41=0x—y—3—0

方法二:代数法

第一步：设切线方程为丁=丘+加,

第二步：代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由△=()可求得加，切线方程即可求出

(x-2)2+(kx+m+1)2=lA=0nm=一3±V2

^x-y-3-41=0x-y-3+V2=0

方法三：秒杀方法

已知圆(元—〃)2+(y—人)2=/的切线的斜率为左，则圆的切线方程为丁=依土小庐"1+6—左〃

故x-y_3-V2-=0x—y—3+V2—0

1.在平面直角坐标系中，过直线2x-y-3=0上一点P作圆C:f+2x+y2=i的两条切线，切点分别为AB,

则sin/AP3的最大值为()

B还D

•"I-C-T-f

【答案】A

【分析】由题意圆C：Y+2x+y2=1的标准方程为C：(x+l)+y2=2,如图51!1乙4/>3=511122=251112852,

.AC|

2

又sma=西-所以cosa=Vl-sina=，又由圆心到直线的距离可求出的最小值,

进而求解.

【详解】如下图所示:

由题意圆C的标准方程为。：(x+1)+y2=2,sinZAPB=sin2a=2sinacosa,

sin—品所以.1-帚

a=

又因为CP\

所以sinZAPB=2sinacosa=2

\CP\I\CP\

又圆心c(-1,0)到直线2x-y-3=0的距离为=非

1，。＜£,

所以|C“2d=6,所以不妨设仁

所

/、

1——J

贝I]sinZAPB=2I\cp\)I+;=〃在

又因为在［。［单调递增，所以当且仅当f=g即|CP|=&,即当且仅当直线CP垂直已知直线

2%_y_3=0时,

1276

sinZAPB有最大值(si