2025年高考数学二轮复习易错题：平面向量

专题07平面向量

Q易错点：注意零向量书写及三角形

题型一：平面向量线性运算

\与平行四边形适用前提

题型二：平面向量的基本定理

易错点：忽略基底选取原则

及坐标表示E

题型三：平面向量的数量积及

0易错点：忽视数量积不满足结合律

易错点一：注意零向量书写及三角形与平行四边形适用前提（平面向量线

性运算）

1.向量的有关概念

（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）.

（2）向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的长度，记作|AB|.

（3）特殊向量:

①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.

②单位向量：长度等于1个单位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：。与任一向量平行.

④相等向量：长度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算和向量共线定理

（1）向量的线性运算

运算定义法则（或几何意义）运算律

①交换律

求两个向量a+b=b+a

加法

和的运算a②结合律

三角形法则平行四边形法则(a+b)+c=〃+S+c)

求〃与Z?的

相反向量-。的

减法a—b—tz+(—Z?)

和的运算叫做Qa

与b的差三角形法则

(1)|初=|刈初

求实数彳与

(2)当之＞0时，4a与Q的方向相同；

数乘向量。的积的运(2+]Li)d=Aa+fda

当之vO时，4a与〃的方向相同；

算4(。+b)=Aa+Ab

当4=0时，Aa=O

共线向量定理

向量a(a/O)与6共线，当且仅当有唯一的一个实数几，使得6=

共线向量定理的主要应用：

(1)证明向量共线：对于非零向量d,b，若存在实数4,使4=%＞，则。与6共线.

(2)证明三点共线：若存在实数九使AB=2AC，则A，B,C三点共线.

(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.

平面向量线性运算问题的求解策略：

(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，

三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来.

(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式

等变形手段在线性运算中同样适用.

(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：

①观察各向量的位置；

②寻找相应的三角形或多边形；

③运用法则找关系；

④化简结果.

解决向量的概念问题应关注以下七点：

(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.

(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关.

(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向

量.

(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.

(6)非零向量4与三的关系：工是4方向上的单位向量.

l«I\a\

(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小

易错提醒：(1)向量表达式中的零向量写成0,而不能写成0.

(2)两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重

合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系.

(3)要注意二角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重

合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾

相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件.

(4)向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA-OB=BA，AM-AN=NM，

OA=OB+CA<^OA-OB=CA<^>BA-CA=BA+AC=BC.

苣9

例.如图，在平行四边形ABC。中，下列计算正确的是()

A.AB+AD^ACB.AB+CD+DO=OA

UL1UUUJUUUUlUUIU

c.AB+AD+CD=ADD.AC+BA+DA=0

【详解】对于A,根据平面向量加法的平行四边形法则，则A2+AD=AC，故A正确；

._,___.,uuuuim,uuuuuuuuuuuuuui,,,

对于B,在平行四边形A3CD中，CD=-AB，则AB+C£>+DO=DO片，故B错误;

对于C,AB+AD+CD=AC+CD=AD，故C正确；

对于D,在平行四边形ABC£>中，CD='RA,

uuuuuuuuuuuUUUIuuuumuui

AC+BA+DA=DA+AC+BA=DC+BA=O^故D正确.故选：ACD.

变式h给出下列命题，其中正确的命题为(

A.若AB=C£)，则必有A与C重合，B与。重合，AB与C。为同一线段

17

B.^AD=-AC+-AB,则可知BC=3BQ

uuniuriuiriuun

c.若。为二ABC的重心，贝|尸。=3尸4+]尸8+]尸。

D.非零向量a,b,c满足a与B与c，c与a都是共面向量，则a,b,c必共面

【详解】在平行四边形ABOC中，满足AB=C£>,但不满足A与C重合，8与。重合，AB与。不为同一

线段，A不正确.

-12._.________

因为AO=]AC+]AB,所以3A£>=AC+243,所以2AD-2AB=4C-AD，所以23£)=£)C，所以

3BD=BD+DC，即32£>=2C，B正确.

若。为“ABC的重心，贝UQA+QB+QC=0,所以3PQ+Q1+Q8+QC=3P。，所以3P。=P4+PB+PC,

uuniuriuriuun

^PQ=-PA+-PB+-PC,C正确.

在三棱柱ABC-A4G中，令AB=a,AC=b>A\=c,满足a与方，b与c，c与a都是共面向量，但a，

b,"不共面，D不正确.故选：BC.

21

变式2：如图所示，在平行四边形A8CD中，AB=a,AD=b,BM=-BC,AN=-AB.

34

⑴试用向量，,6来表示。N,AM;

(2)AM交。N于。点，求AO:的值.

111

【详解】(1)因为AN=—AB,所以4V=—。，所以rW=4V-Ar>=-a-6,

444

272-

因为府=§2。，所以=,4£>=耳。，

2

^\^,AM=AB+BM=a+-b；

⑵AO=2AM，

贝1100=40-40=/14加-40=/11+京；6=而+序一1,，

因为£>,0,N三点共线，所以存在实数〃使O0=〃r)N=〃[；a-b]=；〃a-〃b,

由于向量a,b不共线，则几=：〃，|/1一1=一〃，解得彳=亮,〃=，，

33

所以AO:AM=—=>AO:OM=—.

1411

变式3：如图所示，在矩形ABCD中，M=4g,网=8,设BC=b,AB=a,BD=c，求卜

【详解】解：在矩形ABCD中，MH叫=4石，网=8,

则向|=J叫+|叫?=,+卜厨=4币,

因为BC=b,AB=a,BD=c，

贝！1。一匕一。=48—3（?—3。=48—4。一即=。8+08=2£>8,

因此，|"6—4=2|网=2*4近=8近.

1.已知a、）为不共线的向量，AB=a+5b>BC=-2a+Sb>CD=3（a-b）,则（）

A.AB,C三点共线B.AC,。三点共线

C.AB,。三点共线D.B,C,。三点共线

【答案】C

【分析】根据平面向量共线定理及基本定理判断即可.

【详解】因为a、b为不共线的向量，所以a、6可以作为一组基底，

对于A：AB=a+5b^BC=-2a+Sb，若存在实数f使得A3=4C,

则。+56=4-2。+86）,所以方程组无解，所以AB与BC不共线，故A、B、C三点不共线，即A

错误；

对于B：因为AB=a+56，BC=-2a+8b，所以AC=A3+BC=a+5b+（-2a+8b）=—。+136,

同理可以说明不存在实数t,使得AC=fC£>,即AC与CD不共线，故A、C、O三点不共线，即B错误;

uum/Fr、

对于C：因为gC=-217+86，CD=3\a-by

所以BO=BC+C£＞=-2a+8b+3（a-6）=a+56,

又AB=a+5b=BD，所以故A、B、。三点共线，即C正确；

对于D：BC=-2a+Sb,CD=3（a-b）,

同理可以说明不存在实数乙使得BO=tCD，即BC与CD不共线，故8、C、。三点不共线，即D错误;

故选：C

2.如图，在平行四边形ABCD中，£是2c的中点，尸是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（）

B.-AB--AD

3333

13

C.-AB--ADD.-AB--AD

3634

【答案】C

【分析】利用平面向量的线性运算求解.

【详解】解：DF=AF-AD=^AE-AD

=^AB+BE^-AD,

=^AB+^AD^-AD,

=-AB--AD,

36

故选：C

3.在四边形ABC。中，^AC=AB+AD，贝U（）

A.四边形45co是平行四边形B.四边形ABCD是矩形

C.四边形ABC。是菱形D.四边形ABC。是正方形

【答案】A

【分析】由AC=AB+A£＞推出BC=AZ），再根据向量相等的定义得5c=4）且,从而可得答案.

【详解】因为AC=AB+AD，故=即2C=A£＞，

故8C=AZ）且3CVMD,故四边形ABCD一定是平行四边形,

不一定是菱形、正方形和矩形，故A正确；BCD不正确.

故选：A.

4.已知A23E分别为.ABC的边BCAC上的中线，设AO=a，2石=九则8。=

「242।4

C.~a~~bD.~~a+~b

J333

【答案】B

【分析】根据向量的线性运算即可联立方程求解.

【详解】分别为,ABC的边BC,AC上的中线，

贝ljAD=8。-3A=；BC-8A,

BE=BA+AE=BA+^AC=BA+^AB+BC^=^BA+BC^,

由于AD=a，BE=b>所以。=5BC—BA,/?=—BA+—BC,

故解得B—C.=2；a+?4,

故选:B

5.如果e”e；是平面a内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（）

①a=&]+〃e2（4,〃eR）可以表示平面a内的所有向量；

②对于平面a内任一向量£，使。二彳弓+伏久尢46口为勺实数对伍⑷有无穷多个；

③若向量与4q+402共线，则今=登

④若实数入〃使得+/ze?=。，则2=〃=0.

A.①②B.②③C.③④D.②

【答案】B

【分析】由平面向量基本定理判断①④②，由共线向量定理判断③.

【详解】解：由平面向量基本定理可知，①④是正确.

对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是

唯一的，故错误；

对于③，当力方=0或〃"，2=0时不一定成立，应为力〃2—%2〃/=0,故错误.

故选：B.

6.给出下歹!J各式：@AB+CA+BC，®AB-CD+BD-AC，®AD-OD+OA，®NQ-MP+QP+MN,

对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】利用向量的加减法法则逐个分析判断即可.

【详解】对于①，AB+CA+BC=AB+BC+CA=AC+CA=O,

对于②，AB-CD+BD-AC=^AB+BD^-^AC+CD^=AD-AD=O,

对于③，AD-OD+OA=^AD+DO）+OA=AO+OA=0,

对于④，NQ-MP+QP+MN=^NQ+QP^+^PM+MN^=NP+PN=O,

所以其化简结果为0的式子的个数是4,

故选：A

7.已知平面向量a,b.c，下列结论中正确的是（）

A.若则°B.若卜卜忖，则°

C.若a〃6，b//ci则a〃cD.若卜+4=,|+忖，则a〃b

【答案】D

【分析】利用向量的概念及零向量判断即可.

【详解】A：若.为非零向量，》为零向量时，有a6但a=b不成立，错误；

B：卜卜忖时，a，6不一■定相等，错误；

C：若b为零向量时，ab,6〃那不一定有。〃。，错误；

D：卜+0=时+卜|说明a，6同向或至少有一个零向量，故&b,正确.

故选：D.

8.设e；与02是两个不共线的向量，AB=3e1+2e2,CB=kei+e2,CD=3el-2ke2,若A,B,。三点共线，则

人的值为（）

4938

A.——B.——C.——D.——

9483

【答案】B

【分析】根据向量共线的判定定理结合向量的线性运算求解.

uunuunuurnirnirnir

[详角军]由题意可得：=（z3弓_2左xzk6]+4）x=（3—左）,_（2左+1）4,

若A,B,。三点共线，所有必存在一个实数九使得=

ITir|-irir-iirir

gp3,+2e2-M（3—左—（2左+l）g=几（3—左）q—2（2左+l）q，

A（3-）t）=3

可得-;1（2左+1）=2'解得'

故选：B.

9.在，。43中，已知画=2,囱=4,尸是AB的垂直平分线/上的任一点，则0P.A8=（）

A.6B.-6C.12D.-12

【答案】B

【分析】设M为A3的中点，结合P为线段AB垂直平分线上的任意一点，则有OP.AB=OM.A8，再将

OM,AB都用04,03表示，结合数量积的运算律即可得解.

【详解】设/为AB的中点，

贝ljOPAB=[OM+MP）-AB=OMAB+MP-AB,

因为尸为线段A3垂直平分线上的任意一点，

所以MPAB=O，

贝ifOPAB=OM.42=3（02+04）（OB—04）=^OB-O^=-6.

故选：B.

10.已知抛物线C：y2=4x的焦点为/，准线为/,点Ae/,线段AP交抛物线C于点2,过点B作/的垂

线，垂足为反，若FA=3FB，贝U()

A.|^|=|B.|AF|=4

C.|叫=3幽D.网=4网

【答案】BC

【分析】利用三角形相似及抛物线定义求解.

【详解】抛物线Cy2=4x的焦点尸(1,0),准线/为％=-1,

由.与△相似得：方，

FA=3FB<AB”A™7I7MF7=I7J|^A7F=|W3

241T4

•：\MF\=2,；.\BH\=-x2=~,即,8卜§,故A错误；

由抛物线定义得书刊尸l=3|BF|=3|8H|=4,

即,目=4,卜尸|=3P川，故BC正确，D错误.

故选：BC.

11.下列各式中结果为零向量的为（）

A.AB+MB+BO+OMB.AB+BC+CA

C.AB-AC+BD-CDD.OA+OC+BO+CO

【答案】BC

【分析】根据平面线向量加法和减法的运算法则逐一判断即可.

【详解】因为钻+上出+2。+。M=42+2。+6^+〃2=42,所以选项A不符合题意;

因为AB+BC+CAn。，所以选项B符合题意；

因为AB-AC+BD-CD=CB+BD-CD=CD-CD=O,

所以选项C符合题意；

因为OA+OC+8O+CO=（BO+OA）+（OC+CO）=24+0=24,

所以选项D不符合题意，

故选：BC

易错点二：忽略基底选取原则（平面向量的基本定理及坐标表示）

1.平面向量基本定理和性质

（1）共线向量基本定理

如果a=2b（/leR）,则。//6；反之，如果d〃人且丘0，则一定存在唯一的实数X,使。=助.（口

诀：数乘即得平行，平行必有数乘）.

（2）平面向量基本定理

如果q和e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量。，都存在唯一的一对

实数4,4,使得。=4华+402,我们把不共线向量e「4叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为

｛华,弓｝,4勺+402叫做向量。关于基底｛。，弓｝的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量4与e?不共线，平面内的任一向量。都可以分解成形如

a=4q+4e2的形式，并且这样的分解是唯一的.叫做e；,g的一个线性组合.平面向量基本

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.

推论1:若a=,则4=4,4=%.

推论2：若。=4弓+4e2=0,则4=4=。.

（3）线段定比分点的向量表达式

如图所示，在“BC中，若点。是边上的点，S.BD=ADC（2^-1）,则向量怪£>=―+九4。.在

1+A

向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌

握.

(4)三点共线定理

平面内三点A,B,C央线的充要条件是：存在实数尢〃，使OC=2OA+〃OB,其中几+〃=1,。为

平面内一点.此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.

A、B、C三点共线

o存在唯一的实数彳，使得AC=4AB;

o存在唯一的实数2,使得OC=OA+/L4B;

o存在唯一的实数2,使得OC=(1-/1)04+203；

o存在X+〃=1,使得0c=%OA+〃OB.

(5)中线向量定理

如图所示，在△ABC中，若点。上边8C的中点，则中线向量AD=g(AB+AC),反之亦正确.

2.平面向量的坐标表示及坐标运算

(1)平面向量的坐标表示.

在平面直角坐标中，分别取与x轴，y轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向

量基本定理可知，对于平面内的一个向量。，有且只有一对实数工。使。="+历，我们把有序实数对(尤,y)

叫做向量。的坐标，记作。=(无,y).

(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有

向量(尤,y).一对应.向量.一对应一点A(x,y).

(3)设。=(占,％),b=(x2,y2),贝lja+6=(玉+超,%+%),a-b=(xl-x2,yt-y2),即两个向量的和

与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

若。=(尤,y),2为实数，则=U尤"y),即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应

坐标.

(4)设4(占,乂)，3(%,%),则A8=OB-OA=(XI-X2,%-%)，即一个向量的坐标等于该向量的有向

线段的终点的坐标减去始点坐标.

3.平面向量的直角坐标运算

—=

①已知点A(占>%)，B(x?)%)，则AB=(x2—»_y2Ji),IA®lJ(x,-x1y+(%—%)?

②已知。=(占,%),b=(x2,y2),则a±6=(±±%，％土%)，然=(2占，2%),

a-b=x^+y^,|ab&+y：.

a〃6=占%一%%=°，a_L6o±％+X%=0

向量共线(平行)的坐标表示

1.利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量4共线的向量时，可设所求向量

为Xa(2eR),然后结合其他条件列出关于式的方程，求出4的值后代入彳。即可得到所求的向量.

2.利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若。=(4%),

b=(x2,y2'),则&〃匕的充要条件是占%=无2%”解题比较方便.

3.三点共线问题.A,B,C三点共线等价于AS与AC共线.

4.利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒

等变换求解.

用平面向量基本定理解决问题的一般思路

(1)先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行

向量的运算.

(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的

向量表达式.

向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.

两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

易错提醒：(1)平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量.

(2)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示

出来.

(3)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相

似等。

三

例.已知向量〃=(2,1),Z?=(-3,l),则()

A.若。=络，-2g，则q_LcB.向量〃在向量人上的投影向量为一;匕

C.〃与的夹角余弦值为手D.(a+b]Ha

【详解】对于A选项，若。=?，-三一，则a-c=2x]+lx-=0,所以a，c,A正确；

\7\7

对于B选项，设向量a在向量。上的投影向量为初，则=即2*(-3)+F=KU,解得2=-g,故

向量a在向量B上的投影向量为-gb，B选项正确；

a-la-b]io2J5

=

对于C选项，a—b=(5,0},cos<a,a—b>=T—\~\-----r~—=一~一，C选项正确；

'7\a[\a-b\V5x55

对于D选项，a+i>=(-l,2),-lxl^2x2,所以o+B与a不共线，D选项错误.

故选：ABC.

变式1.下列说法中错误的为()

A.已知:=(1,2),力=(1,1)且a与〃+奶的夹角为锐角，则实数2的取值范围是

B.向量q=(2,-3),不能作为平面内所有向量的一组基底

C.非零向量％b，满足卜|<||且£与匕同向，贝必>b

D.非零向量°和b，满足“=1|=卜-0,则-与a+b的夹角为30

【详解】对于A,Q«=(l,2),方=(1,1),且a与。+伤的夹角为锐角，

.-.a-(a+A&)=(l,2).(l+2,2+A)=l+A+4+22=3/l+5>0,且九/0(2=0时，a与的夹角为0),所

以且;1/0,故A错误；

对于B,向量G=4e2，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确;

对于C,向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误;

对于D,因为何=卜-61两边平方得，又口=1

|22

则Q.（Q+。=同+4心='!忖a+ba+b+2a•b+b=,\/3|tz|»

「•（a+切割「6

故COS（Q,Q+。）=

恸..+0忖.6忖2

而向量的夹角范围为［o,180］,所以。和a+6的夹角为30,故D正确.

故选：AC.

变式2.（多选）下列说法中正确的是（）

A.若a=（演,％）/=（%,%），且，与W共线,则；=亍

*2%

B.若a=（九］,必）,/?=（九2，%），且则Q与1不共线

C.若A,B,C三点共线.则向量/，炭:，&都是共线向量

D.若向量a=（1,2）,/?二（—2,〃），且〃〃,，则〃=—4

【详解】对选项A,々=0或%=。时，比例式无意义，故错误;

对选项B,若a=（九］,%）,）=（%2，%），Q与Z?共线，则一'定有%%=%2%，故正确；

对选项C,若A,B,C三点共线，则々，病,&在一条直线上，则低,威,&都是共线向量，故正确;

对选项D,若向量「=（1,2）/=（—2/），且则1"=一2x2,即〃=—4,故正确；

故选：BCD

变式3.已知q,弓是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（）

A.若实数如n®mex+ne2=0,贝!jzn=〃=O

B.平面内任意一个向量a都可以表示成a=十几/，其中相，儿为实数

C.对于机，HGR,〃丐+〃与不一定在该平面内

D.对平面内的某一个向量。，存在两对以上实数如n,^a=mex+ne2

【详解】解：根据基底的定义知AB正确;

对于C,对于加，HGR,"1+〃.在该平面内，故C错误;

对于D,m,〃是唯一的，故D错误.

故选:AB.

1.在梯形ABCD中，AB//CD,AB=2CD,E,尸分别是A5,的中点，AC与8。交于M,设=

AD=b^则下列结论正确的是（）

A.AC=—a+bB.BC=——d+b

22

121

C.BM=——a+—bD.EF=——a+b

334

【答案】ABD

【分析】结合已知梯形的性质及向量加法及减法的三角形法则及向量共线定理对各选项进行判断即可.

由题意可得，AC=AD+DC=b+^a,故A正确；

BC=BA+AC=-a+b+-a=b--a,故B正确；

22

?2122

BM=BA+AM=-a+—AC=-a+—b+dx—=—b--tz,故C错误;

EF=EA+AD+DF=--a+b+-a=b--a,故D正确.

244

故选：ABD.

2.已知点A（l,2）,3（3,x）,向量）=（2-x,-l）,AB//a,则（）

A.尤=2+应时AB与d方向相同

B.x=2-0时，A3与a方向相同

C.x=2-应时AB与a方向相反

D.尤=2+0时，AB与a方向相反

【答案】BD

【分析】根据向量平行的坐标表示求出x,再回代验证方向相同或相反.

【详解】A(l,2),B(3,x),可得AB=(2,x—2),

又d=(2—x,-1),AB!IS.，

可得(2-x)(x-2)=-2,解得彳=2±五，

当x=2+应时，A2=(2,应)与e=卜应,-1)方向相反，当》=2-应时，A2=(2,-应)与“方向

相同.

故选：BD

3.已知点A(l,2),B(3,x),向量q=(2-x,-l),AB〃d则()

A.x=3时钙与0方向相同

B.x=2-JI,时四与°方向相同

C.x=3时AB与a方向相反

D.尤=2+忘,时AB与°方向相反

【答案】BD

【分析】根据向量共线的坐标运算求解.

【详解】41,2),B(3,x),可得AB=(2,x-2),

又a=(2-x,-l),AB//a,

可得(2-x)(x-2)=-2,解得x=2土后，

当无=2+忘,时，A8=(2,&),。=(-应,一1)则43=—夜。，

所以与日方向相反，

当x=2-应，时，AB=(2,-拒),。=(&,一1),则AB=&a，

AB与4方向相同.

故选:BD.

4.如果4,4是平面a内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是()

A.彳6+〃e2(X,〃eR)可以表示平面a内的所有向量

B.对于平面。内任一向量使。=几6+〃3的实数对(4〃)有无穷个

C.若向量4G+〃品与4弓+〃2«共线，则有且只有一个实数4，使得4a+402=4（46+402）

D.若存在实数几,〃使得几4+〃02=0,则/1=〃=0

【答案】AD

【分析】由平面向量基本定理可确定AD正确，B错误；通过反例可说明C错误.

【详解】14述2是平面a内两个不共线的向量，可以作为平面a的一组基底；

对于A,由平面向量基本定理可知：4q+〃e2（4〃eR）可以表示平面a内的所有向量，A正确；

对于B,对于平面a内任意向量d,有且仅有一个实数对（2,〃），使得a=%4+〃4,B错误；

对于C,当4=〃1=%=〃2=0时，+〃0与4q+〃202均为零向量，满足两向量共线，此时使得

+〃1g2=彳（4弓+国£］成立的九有无数个，c错误；

对于D,由彳6+〃02=。得：=-//e2,又4，02不共线，.1>1=-〃=0,即2=〃=0,D正确.

故选：AD.

5.已知平面内平行四边形的三个顶点4（-2,1）,3（-1,3）,C（3,4）,则第四个顶点。的坐标为（）

A.（-2,2）B.（4,6）

C.（-6,0）D.（2,-2）

【答案】ABC

【分析】若构成的平行四边形为ABC?,即AC为一条对角线，设。（x,y）,则由AC中点也是B2中点，

利用线段的中点公式求得

同理可求得，构成以A3为对角线的平行四边形ABC2,和以BC为对角线的平行四边形AC。/,对应的。

的坐标.

【详解】若构成的平行四边形为A5CR,即AC为一条对角线，

-2+3x-1

QQ|%=2

设P（x,y）,则由AC中点也是BQ中点，可得；，解得,

1+4_y+3［）=2

所以A（2,2）；

同理可得，若构成以AB为对角线的平行四边形ABC。?，则4(-6,0)；

以为BC对角线的平行四边形ACD3B,则A,(4,6)；

所以第四个顶点。的坐标为可以为：(-2,2)或(-6,0)或(4,6).

故选：ABC.

6.己知椭圆氏++/=1的左、右焦点分别为耳，F2,过下顶点A和右焦点工的直线与E交于另一点3,

36与y轴交于点P,则()

A.AFXLAF2B-忸周

C.△AB片的内切圆半径为走

D.4FlP-3PB=0

2

【答案】ABD

【分析】根据给定条件，求出焦点及下顶点坐标，画出图形，再逐项分析计算、判断作答.

【详解】依题意，椭圆E：；+y2=l的焦点£(-1,0),乙(1,0),下顶点4(0,T),如图，

对于A,\OFl\=\OF2\=\OA\,因此A正确;

Iy=x—141

对于B,直线AB：y=x-1,由［。2。消去y得：3X2-4X=0,则点*7,5，

［X+2y=233

于是|BBI=J(gT)2+(；)2=与B正确；

对于C,..A8久的周长为4应，令其内切圆半径为，，54期=36丹卜耳-(-1)=3，

因此1*4小=金，解得一正，C错误；

233

41414

对于D,,设点尸(0,%),则片P=(l,%),P2=(H，3,而aP//PB,即有］£尸=尸3,

因此4月尸一3尸3=0,D正确.

故选：ABD

7.设0<6<兀，非零向量a=(sin2e,cos。)，b=(cos6>,l),则().

,,1371

A.右tan<9=5，则〃〃Z?B.=—,则q_LZ?

C.存在e,使2a=bD.若a〃b，则tan八^

【答案】ABD

【分析】A选项，验证cos20=sin20即可；

B选项，验证〃./?=();

C选项，由题可得2sin2e=cos。，cos0=—,据此可判断选项正误；

2

D选项，由题可得cos?。=Sin2。，据此可判断选项

【详解】A选项，tan^=—=>=—^>cos=2sincos2=2sin^cos0=sin20,

2cos<92

则”〃匕，故A正确；

B选项，^=—=>sin20=-Leos0=,则。=，b=-,1,

4222

故〃加=0=>a_Lb，故B正确；

C选项，假设存在9,使2a=b，则2sin2，=cos。，cos"；,贝ij可得

4sin9cos0=cos0n2sin0=—=>sin0=—,故可得

24

sin29+cos29w1,则假设不成立，故c错误；

D选项，因a〃。，贝！Jsin28=cos?8,又由题可得cosSwO,贝!j

sin20-cos2夕=>2sin夕cos0=cos2夕=>2sin夕=cos6ntan夕=g，故D正确.

故选：ABD

8.已知向量〃=(2,-l),b=(m,2),则下列结论正确的是()

A.若Q〃Z?,则根=-48.若〃_1匕，则机=1

C.^\2a-b\=\a+b\,则根=1D.若卜+6卜忖，贝1]〃?=-4

【答案】AB

【分析】根据向量平行的坐标表示判断A,根据向量垂直的坐标表示判断B,根据向量的模的坐标表示判断

C,D.

【详解】对于A,因为a〃b，所以2x2=(-l)x相，所以加=Y,A正确;

对于B,因为£_Lb，所以2xm+(—l)x2=0,所以加=1,B正确;

9.9

对于C,因为|2〃一。|=|Q+Z?|,所以3(a)-6a-b=0,所以m=],C错误；

对于D,因为卜+0=忖，所以,『+2〃包=0,所以机=0或a=T,D错误;

故选：AB.

9.如图，在ABC中，5C=12,。石是5C的三等分点，则()

A.AE=-AB+-AC

33

2

B.^AB-AC=Q,则AE在Afi上的投影向量为

C.若AB-AC=9，则A»AE=40

D.若皿AE=4,

【答案】AD

【分析】根据平面向量线性运算的性质，结合投影向量的定义、平面向量数量积的运算性质逐一判断即可.

【详解】对于A,AE=AC+CE=AC+-CB^AC+-（AB-AC）=-AB+-AC,故A正确；

对于B,因为ARAC=0，所以AB1AC,

由题意得E为2C的一个三等分点（靠C点更近），所以AE在AB上的投影向量为;AB,故B不正确；

0D01

对于C,AD=AC+CD=AC+-CB=AC+-（AB-AC\=-AB+-AC,

33、）33

AE=-AB+-AC

33f

2*22-25222-2

t^ADAE=-AB+-AC+-ABAC=-AB+-AC+5,

99999

-V7222

又CB=A3-AC=CB=AB+AC-2ABAC=144，

所以A4+AC?=2A5・AC+144=162，

2-22-2

故AZZAEugAB+-AC+5=41,故C错误；

2.27-25

对于D,ADAE=-AB+-AC+-ABAC=4,

999

—.221/22\

而A3+AC-2ABAC=144^>AB