2025年高考数学二轮复习热点题型专项突破：几何体的内接球与外接球阿氏球等17类题型（解析版）

专题8-1几何体的外接球与内接球，阿氏球等17类题型

模块一卜热点题型解读（目录）

【题型1］球的截面问题

【题型2】可以补成长方体的外接球模型

【题型3】直棱柱和圆柱外接球模型

【题型4】正四面体的内切球和外接球结论

【题型5】直棱锥外接球模型（一条侧棱垂直底面）

【题型6】球心在高上（圆锥形）

【题型7】圆台，棱台外接球模型

【题型8】棱锥外接球之切瓜模型（一个面垂直外接圆直径）

【题型9】两个外心+中垂线确定球心

【题型10】外接球之共斜边拼接模型

【题型11］外接球之二面角模型

【题型12］内切球之棱锥，圆锥模型

【题型13］内切球之圆台，棱台模型

【题型14】多球相切问题

【题型15］棱切球问题

【题型16］构造球解决空间中动点构成的直角问题

【题型17］阿氏球问题

模块二\核心题型•举一反三

【题型1］球的截面问题

基础知识

球体的相关计算关键是找出球心到相关平面的距离，再结合勾股定理计算求值

形成方式半圆绕其直径所在直线旋转一周，如图记作：球o

大圆：经过球心的截面圆

-----

球相关概念小圆：不经过球心的截面圆半径大圆

小圆

结构性质两点间的球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长

球的小圆的圆心与球心连线垂直小圆面

【例1】（2。2。.全国2卷TH）已知“g是面积为苧的等边三角形,且其顶点都在球

0的球面上.若球0的表面积为16兀，则0到平面ABC的距离为（）

A.6B.1C.1D.1

【答案】C

【分析】根据球。的表面积和AASC的面积可求得球。的半径尺和AABC外接圆半径"，由球的性质

设球。的半径为R,则4万4=16%，解得：R=2.

设AABC外接圆半径为,，边长为。，

•.•△ABC是面积为攻的等边三角形,

4

球心0到平面ABC的距离d=加=7="b=1.

【例2】（24-25高二上•贵州遵义•阶段练习）已知A,B,C,。四点都在球。的球面上，且A,B,

C三点所在平面经过球心，AB=4y/3,/AC2=m，则点。到平面ABC的距离的最大值为,

球。的表面积为.

【答案】464兀

【分析】利用正弦定理求得VABC外接圆半径，结合题意可得球的半径，再利用球的截面性质与球

的表面积公式即可得解.

【详解】在VA3C中，AB=46,ZACB=1.

nhc

根据正弦定理----=-----=-----=2丫（〃为VA3C外接圆半径），

sinAsinBsinC

这里a=AB=4\/^,C=Z.ACB=—,所以sinC.兀解得厂=4.

3sin—

3

因为A、B、C三点所在平面经过球心O,所以球。的半径尺=厂=4.

因为A、8、C三点所在平面经过球心O,

当0D垂直于平面ABC时，点O到平面ABC的距离最大，这个最大值就是球的半径R,

所以点。到平面ABC的距离的最大值为4.

则孑求的表面积为S=4兀R?=4兀x4?=64兀.

【例3】（23-24高三下•广东江门•阶段练习）已知正四面体A-BCD的内切球的表面积为36兀，过该

四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A-3Q,则所得截面的面积为.

【答案】5472

【分析】由内切球的表面积求出内切球的半径，过点A作平面BCD,连接38并延长交C£）

于点E,且点E为中点，连接AE,记内切球球心为。，过。作。F_LAE,设正四面体边长为a,

然后结合正四面体的性质可求出a,从而可求出截面的面积.

【详解】解：由内切球的表面积S表=4成2=36兀，得内切球半径R=3

如图，过点A作AH_L平面BC。，则点"为等边△3CO的中心

连接并延长交CO于点E,且点E为C。中点，连接AE,

记内切球球心为。，过。作。尸_LAE,设正四面体边长为“，

则BE=AE=-a,BH=-BE=—a,HE=—a,

2336

所以48=VAE2-HE2=,l-a2--a2=—a,

\4363

又因为OH=OF=3,所以AO=芈a-3,

76

?巾AOOF3

由△AO7s\AEH,彳-----=----即告解得a=6^6

/AEHE后

—Cl

6

因为过棱A3和球心O,所以△ABE1即为所求截面

2

^S..„F=-BE-AH=-x^-ax—a=—a=54y/2.

△ABE22234

【巩固练习1］已知VABC是面积为亚的等边三角形，且其顶点都在球。的球面上，若球。的表

4

面积为28兀，则点。到平面ABC的距离为.

【答案】2

【分析】设球。的半径为R,由球的表面积解出R,设VA3C外接圆半径为「，边长为。，解出「，

由勾股定理求解d即可.

【详解】设球。的半径为R,则4成2=28%解得R=币.

设VA3c外接圆半径为「，边长为。，

因为VABC是面积为型的等边三角形，

4

所以工/*且=2叵解得a=3,

224

二=2，

由yfi,所以厂=垂）,

所以球心。到平面ABC的距离d=_产=,7.3=2・

【巩固练习2】已知过球面上A,B,。三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且

AB=BC=1,AC=^,则球的表面积是.

_„_16"

【答案】—

【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出VABC的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出

球半径即得答案.

【详解】在VABC中，AB=BC=l,AC=y/3,则万人。百，sinZBAC=-,

cosABAC--.......=——2

AB2

由正弦定理得VABC外接圆半径r=工x——1——=1,设球半径为R,

2sinABAC

于是K2=（；R>+i,解得R2=g,所以球的表面积是4兀笈=1|土

【巩固练习3】（2024.辽宁丹东.一模）已知球。的直径为A3,C,。为球面上的两点，点”在48

上，^.AM=3MB,AB,平面MCD,若/XMCD是边长为由的等边三角形，则球心。到平面38的

距离为.

【答案】m1

13

【分析】根据球的截面性质，可得球的半径为2,将球心。到平面的距离转化为为M到平面

的距离的2倍，进而根据等体积变换可得.

【详解】因为AM=3Affi,A8为球。的直径，所以=

故球心0到平面BCD的距离即为航到平面38的距离的2倍，

如图

O

设球的半径为R,由题意可知OD=2OA/=R,

由0。2=0"+皿,MD=43,可得OD=2OM=2,故8M=1

如图，

由题意5MJ_平面MCD,

则BC=BD=^BM-+CM-=Jf+（国=2,

设M到平面BCD的距离为d,则由VB_MCD=VM_BCD可得，

-x-xMCxMDxsin-xBM=-x-xCDxBExd,

32332

得工xL岛有xWxlJx^x岳巫xl,得

32232213

则球心0到平面BCD的距离为史叵

13

【题型2】可以补成长方体的外接球模型

基础知识

一、长方体外接球：长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

二、补成长方体

(1)若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如下图所示.

p

图1-3

(2)若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

图2-1

注：《九章算术》中的三棱锥均可补为长方体

【例1】我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥

称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，B4_L平面ABCD,PA=5,AB=3,BC=4,则该

“阳马”外接球的表面积为()

A125-y2/F厂c1ccD500笈

A.——--B.50%C.100万

3,3

【解答】解：把四棱锥P-ABCD放置在长方体中，

则长方体的外接球即为四棱锥的外接球，

-,-PA=5,AB=3,BC=4,.•.长方体的对角线长为J52+4?+32=5四,

则长方体的外接球的半径R二巫,

2

.•.该“阳马”外接球的表面积为5=47&=4%x（处＞=50万.

【例2】在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖腌是指四个面都是直角三角形的四面体.如图,

在直角VABC中，AD为斜边上的高，AB=3,AC=4,现将△极）沿AD翻折成VABZ）,使得

四面体8为一个鳖膈，则该鳖膈外接球的表面积为

【答案】1671

【分析】找出鳖鹿外接球的球心，并得出外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解.

【详解】由题设，△3'CD,AAB'C都是直角三角形，只需平面AB7）即可，

所以鳖臆外接球的球心在过CD中点且垂直于平面？CD的直线上，

而在直角三角形ACD中，AC的中点到点AC少的距离都相等，

所以AC的中点是外接球的球心，所以R=gAC=2,S=47iR2=167t.

【例3】如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,歹分别是A3,8c的中点，将△AED,ABEF,

△ZXF分别沿DE,EF,Db折起，使得A2,C三点重合于点4,若三棱锥A'-跖D的所有顶点均

在球。的球面上，则球。的体积为（）

【答案】C

【分析】根据题意，把三棱锥Z）_A'EF可补成一个长方体，利用长方体的对角线长求得外接球的半

径尺=如，结合球的体积公式，即可求解.

2

【详解】根据题意，可得瓦A'O，A'£A'E，A2,且A'E=1,A尸=1,A'D=2,

所以三棱锥D—A,E/可补成一个长方体，则三棱锥D_A'E厂的外接球即为长方体的外接球，如图所

示，

设长方体的外接球的半径为H,可得2H=J］2+俨+2?=",所以R=3,

所以外接球的体积为丫=［兀代=［兀.（乎）3=遥无.

故选：C.

【例4】在四面体ABC。中，若AB=CDf,AC=BD=2,AD=BCf,则四面体ABCD的

外接球的表面积为（）

A.2万B.4"C.6TTD.8万

【答案】C

【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCZ）的四个面为全等的三角形，

所以可在其每个面补上一个以g,2,百为三边的三角形作为底面，且以分别x,y,z长、两两垂

22

直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为％,y,z的长方体，并且N+V=3,x+z=5f

y2+z2=4,则有（2R）2=x2+y2+z2=6（H为球的半径），得2也=3,

所以球的表面积为3=4兀尺2=6兀.

【巩固练习1]（24-25高三上・江苏泰州•期中）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖膈是指四个

面都是直角三角形的四面体.在直角VA3C中，AD为斜边BC上的高，AB=1,47=百，现将△ABD

沿翻折成VAB'D,使得四面体AB'CD为一个鳖麝，则该鳖腌外接球的表面积为（）

A.史「13K

B.5兀C.3兀D.——

24

【答案】C

【分析】先求出各个边长，翻折后，使得B，D工B'C,由勾股定理得9C=&,此时

B'C2+B'A2=2+1=3=AC2,由勾股定理逆定理得B'A，3'C,故满足四面体AB'CD为一个鳖臆，

取AC中点G,连接B'GOG,得到G4=GC=GD=G3'，故点G即为该鳖月需外接球的球心，半径

为B,从而求出外接球表面积.

2

【详解】因为直角VA3c中，AD为斜边BC上的高，AB=1,AC=g,

ABAC

所以80=717^=2,AD=^_

BC=2

___1___________________o

BD=^AB2-AD2=CD=^AC--AD-=-,

22

如图，翻折后，使得B'D工B'C,由勾股定理得B'C=JZ）C2-3Z）2=

此时3'。2+3幺2=2+I=3=AC，

由勾股定理逆定理得B'A_LEC,

结合AD_LBZ>,ADCD,故满足四面体AB'CD为一个鳖月需,

取AC中点G,连接B'G,DG,

因为AD工CD,B'A±B'C,故GA=GC=GO=GB=工AC=立，

22

故点G即为该鳖臆外接球的球心，半径为且

2

故该鳖月需外接球的表面积为为=3兀.

【巩固练习2]将边长为2百的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正

方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

【答案】1871

【分析】作出三棱锥的直观图，将三棱锥补成长方体，可计算出该三棱锥的外接球的半径，结合球

体的表面积公式可求得结果.

【详解】在边长为2道的正方形ABCD中，设E、尸分别为AB、3C的中点，

△AED、AEBF、AFCD分别沿DE、EF、即折起,

翻折后，则有4D_LA'E,ADLAF,AErAF,

将三棱锥£)_A'E/补成长方体A'EMF-DPNQ,

其中A'E=A;F=JLA'D=273,

设三棱锥D-A'EF的外接球的半径为R则

2R=>JA'E2+A'F2+A'D2=J(A/3)2+(A/3)2+(2A/3)2=3&,

:.R=^巨,故该三棱锥的外接球的表面积为S=4兀R?=18兀.

2

【巩固练习3X2024•广东揭阳•高二校联考期中）在三棱锥S-ABC中，SA=BC=5,SB=AC=^>

SC=AB=A/34,则该三棱锥的外接球表面积是（）

A.50兀B.100兀C.150TID.200兀

【答案】A

【解析】因为SA=8C=5,SB=AC=J?T,SC==

所以可以将三棱锥S-ABC如图放置于一个长方体中，如图所示:

B

s

设长方体的长、宽、高分别为。、b、c,

a2+b2=41

则有＜+L=25,整理得/+片+C?=50,

b2+c2=34

则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径,

所以有。2+人2+。2=50=（2R『

所以所求的球体表面积为:

【题型3】直棱柱和圆柱外接球模型

基础知识

汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三

第一步：确定球心。的位置，。］是AABC的外心，则OO1_L平面ABC;

第二步：算出小圆&的半径AQ=r,OQ=1A4,=1/Z（A4,=〃也是圆柱的高）；

第三步：勾股定理：。42=。42+002=4=（,）2+/=R=J/+（E）2,解出氏

【例1】已知正三棱柱A3C-44G所有棱长都为6,则此三棱柱外接球的表面积为（）

A.48兀B.60兀C.64兀D.84TI

【答案】D

【解析】如图，。为棱8C的中点，G为正△回€?的中心，。为外接球的球心

根据直棱柱外接球的性质可知OG//A4,OG=^AA,=3,外接球半径R=OC,

•.•正△ABC的边长为6,则CG=2石

22222

R=OC=OG+CG=3+（2后=21

外接球的表面积S=4兀尺2=84兀.

故选：D.

【例2］设直三棱柱ABC-AB©的所有顶点都在一个表面积是40万的球面上，且

AB=AC=AAi,ZBAC=nOa,则此直三棱柱的表面积是（）

A.16+86B.8+1273C.8+166D.16+12^

【答案】D

【解析】设AB=AC=AA=2相，因为/BAC=120°,所以NACB=3（T.

2m

于是-----二2丫（一是AABC外接圆的半径），r=2m.

sin30°

又球心到平面ABC的距离等于侧棱长AA的一半，

所以球的半径为J（2m）2+疗=y/5m.

所以球的表面积为4兀・（际M）=40兀，解得利=也.

因"匕AB=AC=M=2A/2,BC=2A/6.

于是直三棱柱的表面积是

2x272x272+2^/6x2A/2+2x-x2V2x2V2sinl20°=16+12技

2

A

【巩固练习1]（24-25高三上・安徽亳州•开学考试）已知圆柱的底面直径为2,它的两个底面的圆周

都在同一个体积为鼻石兀的球面上，该圆柱的侧面积为（）

A.8无B.6兀C.57tD.4兀

【答案】A

【分析】利用球的体积公式求出球的半径，结合圆柱半径可得圆柱的高，然后可解.

【详解】球的体积为1兀尺3=m扃，可得其半径氏二占，

圆柱的底面直径为2,半径为厂=1,在轴截面中，可知圆柱的高为/?=/=4,

所以圆柱的侧面积为211rli=8兀.

故选：A.

【巩固练习2】在三棱锥P-ABC中，粉，面ABC,AABC为等边三角形，且尸4=48=也，

则三棱锥P-ASC的外接球的表面积为

【答案】7兀

【解析】因为是直三棱锥，底面是正三角形，所以可以将图补形成为正三棱柱，如图所示,

此三棱锥外接球，即为以AABC为底面以9为高的正三棱柱的外接球,

设球心为。，作OO'_L平面ABC,则O'为AABC的外接圆圆心，连接AO',AO,则%=走，

22

设AABC的外接圆半径为r,三棱锥尸-ABC外接球半径为R,

cAB石c

=_____—___—2

由正弦定理，得-sin600—若一,所以〃=1,

~2

RtAOO'A中，O'A^+OO'^OA2,所以+1?=a,解得R=g,

所以S=4TTR2=7兀.

【巩固练习3】已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球。，球。的表面积为阮，则该

圆柱的体积为（）

A.nB.y/2jrC.2万D.2舱式

【答案】C

【分析】设外接球的半径为R,圆柱底面圆的半径为「，由球。的表面积为8万，得R=®,根据轴

截面为正方形列方程解得r=l,代圆柱的体积公式得解.

【详解】设外接球的半径为尺,圆柱底面圆的半径为「，因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的

高h=2r,由球。的表面积S=4%彦=8兀,得R=,又R=+.=应厂,得r=1,所以圆

柱的体积V=TZT2-2r=2兀r，=2万

【题型4】正四面体的内切球和外接球结论

基础知识

在棱长为a的正四面体中

设正四面体ABCD的的棱长为。，则有

1、正四面体的高为力

3

正四面体外接球半径为R=《5°

2、

4

3、正四面体内切球半径为r=—a

12

23

4、正四面体体积y

12

［例11（2024•湖北宜昌・宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD的表面积为2月，且4

B,C,。四点都在球。的球面上，则球。的体积为.

【答案】立兀

2

【解析】正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a,

所以该正四面体的表面积为s=4x—X6TX所以a=A/2，

2

又正方体的面对角线可构成正四面体，

若正四面体棱长为夜，可得正方体的棱长为1,

所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所以外接球的直径为石，半径为

所以球O的体积为走兀

2

［例2］（24-25高三上•广东•开学考试）外接球半径为卡的正四面体的体积为（）

A.B.24C.32D.480

【答案】A

【分析】设出正四面体棱长，通过作辅助线表示出四面体的高，解直角三角形表示外接球半径，由

已知外接球半径为布可得棱长，再由三棱锥体积公式可得.

【详解】如图，设正四面体尸-ABC的下底面中心为G,连接PG,则PGL平面A3C,

连接4G并延长，交BC于D,设此正四面体的棱长为x,则人。=立了，

2

AG=^AD=^X,PG斗2-（圣）2=条,即四面体的高力=

设四面体外接球的球心为0,连接AO,外接球半径为我,

则R2=（/x>+（乎化简得R=2X,由H=",

得x=4,即正四面体棱长为4,

所以正四面体的体积%,=L«1X42•逅*4=竺也.

p-ABC3433

【例3】正四面体的外接球与内切球的半径比为（）

A.1:1B.2:1C.3:1D.4:1

【答案】C

【分析】设正四面体S-ABC的外接球球心为。，。1为5c的中心，设棱长为。（。>0）,即可求

出外接球的半径R，利用等体积法求出内切球的半径r,即可得解.

【详解】如图，设正四面体S-ABC的外接球球心为0,。］为44BC的中心，则Sq_L平面ABC,

外接球半径为R=AO=S。，内切球半径为"，设棱长为

在&4BC中，由正弦定理得,=2401,所以

所以S0t=dsN—AO：=半0，由A?=A。；+OO；=AO：+（sq_R?,

即R。=Q+-—fl—R解得R（负值舍去）；

I3JI3J4

由等体积法得到V5TBe=；S表r,所以"3匕_板==浊=£,

3S去4sABC412

所以H:r=^-a:^-a=3:l.

412

故选：C.

s

【巩固练习1】已知正三棱锥A-BCD,各棱长均为百，则其外接球的体积为（）

A9白口810「9&n9石

816816

【答案】C

【分析】抓住正三棱锥的特征，底面是正三角形，边长为百，则高线的投影在底面正三角形的重心

上，则外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等，构造直角三角形，从而即可求出外接球

的半径为,，进而可求出外接球的体积.

【详解】由A-3cD是正三棱锥，底面是正三角形，边长为百，

则高线的投影在底面正三角形的重心上，则外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等，

如图，取C£＞的中点，连接班1,过A作AEJL平面3cD,且垂足为E,则BE=2EF,

A

C

由AB=BC=CO=AD=5。=技

则在RGBCF中，有BFJ可一当=|,

23

所以BE=—x—=1

32

则在RtAABE中，有AE“卜西一1。=血,

设外接球的半径为工

则3E2+（A£—r）2=/，即F+（五一厂）2=/，解得厂=乎,

【巩固练习2】正四面体P-ABC中，其侧面积与底面积之差为2^，则该正四面体外接球的体积

为.

【答案】巫兀

【解析】设正四面体尸-ABC的边长为。，则该正四面体每个面的面积为立/,

4

正四面体尸—ABC的侧面积与底面积之差为空/一立/=且/=2括，解得。=2.

442

过点P作尸D_L平面ABC,垂足为点。，连接AD,可知外接球球心。在尸。上，

设球。的半径为R,AABC的外接圆半径为---=空,PD=dPA2-AD2=巫,

2sin60033

由图可知，OD2+AD2=OA2,即-R+—=R2,解得R=.

因此，正四面体尸-ABC的外接球体积为丫==瓜兀.

【巩固练习3]一个正四面体的棱长为2,则它的外接球与内切球体积之比为（）

A.3:1B.73:1C.9:1D.27:1

【答案】D

【分析】作出辅助线，求出外接球和内切球的半径，从而得到体积之比.

【详解】正四面体尸—ABC中，取BC中点。，连接AD,则AD_L3C,

过点P作PE_LAD于点E,

则PE_L平面A3C,外接球球心。在PE上，连接（M,则。4=OP=R,

因为正四面体的棱长为2,所以BD=CD=1,AD=VAB2-BD2=73.

则AE=gAD=¥，PE=dPA2-AE2=,4]=半,

/Z

OE=PE—PO=a2——R,

3

%丫（

由勾股定理得OE12+AE2=AO2,即令_一R+幺—=R2,

、3）I3,

解得R=1,

2

p

R

设内切球球心为Oj,则。1在PE上，过点。［作。1”_LPD于点则。或=。1"=厂，

故尸01=苧—厂，PD=yf3,DE=；AD=*

2瓜

因为"O"S*E,所以器=誓,即气一=/，

解得r=逅，

6

故它的外接球与内切球半径之比为R:厂="：逅=3:1,体积之比为27:1.

26

【题型5】直棱锥外接球模型（一条侧棱垂直底面）

题设：如图，P4L平面ABC,求外接球半径.（一条侧棱垂直底面）

B

解题步骤:

第一步：将AABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD,连接PD,

则PD必过球心。；

第二步：0］为AA5C的外心，所以。平面A3C,算出小圆。1的半径OQ=r（三角

形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得，一=上-=~^=2C，OO^-PA；

sinAsinBsinC2

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①（2R）2=尸42+（2厂）2O

2R=《P#+（2r）2;

@R2=r-+OO^OR=M+oo；.

jr

【例1】已知三棱锥P-ABC的底面ABC为直角三角形，且NAC3=G.若上4,平面ABC,且AB=3,

2

V

PA=4,三棱锥P-ABC的所有顶点均在球。的球面上，记球。的体积和表面积分别为V,S,则《=

（）

5c5r5

A.—B.—C.—D.一

12632

【答案】B

【分析】依题意AABC外接圆的直径为斜边AB=3,设三棱锥P-ABC外接球的半径为H,则

（2R）2=AB2+PA2,求出外接球的半径，再根据球的体积、表面积公式计算可得.

JT

【详解】因为AABC为直角三角形且/AC2=5，则AC1.3C,

又％，平面ABC,AB,3Cu平面ABC,则PA_LAB,24_L3C,

而R4cAC=A，尸A,ACu平面尸AC,于是3C_L平面PAC,又尸Cu平面PAC,

因此PCLBC,取P3中点。i,连接CO1,A。［，则0］4=。2=。|2=0。，

从而点。1即为球。的球心。，设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,

,5

则（2R）=钿2+%2,即4r2=32+42=25,所以R=耳，

43

则丫二方兀氏R5.

~S~4TI7?2~J~6

p

TT

【例2】已知三棱锥P-ABC的底面ABC为直角三角形，且ZACB=不.若PA，平面ABC,且AB=3,

V

PA=4,三棱锥尸-ABC的所有顶点均在球。的球面上，记球。的体积和表面积分别为V,S,则下=

()

【答案】B

【分析】依题意AABC外接圆的直径为斜边AB=3,设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,则

（2R）2=AB2+PA2,求出外接球的半径，再根据球的体积、表面积公式计算可得.

TT

【详解】因为44BC为直角三角形且/AC2=],则ACL3C,

又2A_L平面ABC,AB,3Cu平面ABC,则PA_LAB,以_L3C,

而BlcAC=A,PA,ACu平面上4C,于是3C_L平面上4C,又尸Cu平面PAC,

因此尸CJ_3C,取E5中点。1,连接CQ,AOi,则。14=。/=。8=00,

从而点。1即为球0的球心0,设三棱锥P—ABC外接球的半径为R,

5

则（2R）9=钿2+丛2,即47^=32+42=25,所以R=],

2；p3

则D=R.

【巩固练习1】已知S,A,8,C是球。表面上的不同点，SAL平面ABC,AB=1,2C=应,

若球。的表面积为4兀，则SA=()

A.与B.1C.72D.6

【答案】B

［分析］根据四面体S-ABC的性质可构造长方体模型求得外接球半径即可得S4=1.

【详解】如下图所示：

由SA_L平面ABC可知£4_LA3,SA_LBC,又AB_LBC,

所以四面体S-ABC的外接球半径等于以长宽高分别为SA,A5,8C三边长的长方体的外接球半径,

设外接球半径为R,

由球。的表面积为4兀,可得4兀R。=4兀，即R=1;

又AB=1,BC=yf2,4R2=AB2+BC2+SA2,

所以5A=1.

【巩固练习212023年高考全国乙卷数学(文)T16

已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，AABC是边长为3的等边三角形，平面ABC,则

SA=.

【答案】2

【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.

【详解】如图，将三棱锥S-A5c转化为正三棱柱SMV-ABC,

设AABC的外接圆圆心为。1,半径为厂，

2LAB_3

则sinZACB,可得r=代，

T

设三棱锥S-ABC的外接球球心为。，连接OAOQ,则。4=2,OQ=；SA,

因为。4?即4=3+；SA2,解得&1=2.

故答案为：2.

【巩固练习3】已知三棱锥S-ABC所在顶点都在球。的球面上，且SC，平面ABC,若

SC=AB^AC^2,ABAC=120°,则球。的体积为（）

A20石兀口32K小20兀「32后

3333

【答案】A

【分析】求出AABC外接圆半径，再利用球的截面小圆性质求出球半径作答.

【详解】在iABC中，AB=AC=2,ABAC=120°,由余弦定理得3c=722+22-2x2x2cosl20°=273,

令44BC外接圆圆心。1,则。。1，平面A3C,且QC=—生二=2,

2sin120°

而SC_L平面ABC,因此SC〃OQ,取SC中点。，连接有OD_LSC,

又OCu平面ABC,即有SC_LOjC,OD//O{C,于是四边形CD。。］为平行四边形，

则。。=。8=2,球。的半径尺=后存了5=6,体积为丫=与炉=与义（石）3=等显.

【题型6】球心在高上（圆锥形）

基础知识

如图5-1至5-8这七个图形，P的射影是AABC的外心o三棱锥P-ABC的

三条侧棱相等o三棱锥尸-A3C的底面AA5C在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶

解题步骤:

第一,步:确定球心。的位置,取AABC的外心01,则P,。。三点共线;

第二步：先算出小圆。］的半径AO】=/，再算出棱锥的高Pg=/z(也是圆锥的高);

第三步：勾股定理：0A2=O.A1+O.O2R1^(h-R)2+r2,解出氏=匚土^

2h

方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.

【注意】：若是已知外接球半径R和小圆半径r求圆锥的高，则有2个解

【例1】（2024.浙江台州.高二校联考期末）已知圆锥的底面半径为1,母线长为2,则该圆锥的外接

球的体积为.

【答案】也兀

27

【解析】由题设，圆锥体的高为M=j2?_12=6,

若外接球的半径为,，贝1（省-厂）2+1=/，可得厂=2叵，

3

所以圆锥的外接球的体积为±乃/=.

327

【例2】已知三棱锥尸-ABC的各侧棱长均为2月，且A8=3,8C=石,AC=2石，则三棱锥尸-ABC

的外接球的表面积为.

【答案】16万

过尸点作平面ABC的垂线，垂足为则/■位都是直角三角形,

文PA=PB,：qPMA三APMB,同理可得APMA-APAK,:.MA=MB^MC,

所以M点是AABC的外心；

XAB2+BC2=12=AC2,.•△ABC是以AC斜边的直角三角形，

在底面ABC的射影为斜边AC的中点如下图：

则PMNPC-CM。=J（2«）2_（退1=3,设三棱锥尸-ABC外接球的球心为。，半径为,，

则。在PM上，贝IOC2=OM2+CM2，即（3-厂产+（=/，得厂=2,外接球的表面积为4兀户=16兀:

【巩固练习1】已知球。的体积为36兀，圆锥S。的顶点S及底面圆。|上所有点都在球面上，且底面

圆。।半径为2五，则该圆锥侧面的面积为（）

A.6直兀B.4兀或6

C.8\/§兀或4"兀D.80兀

【答案】C

【分析】先由球。的体积求球的半径H,再