2025年高考数学二轮复习热点题型专项突破：函数的基本概念及其性质（解析式定义域值域）（解析版）

专题2-1函数的基本概念（解析式，定义域，值域）

近4年考情（2020-2024）

考题统计考点分析考点要求

函数的解析式与定义域、值域问

2021年浙江卷：第12题，5分题是高考数学的必考内容.从近

（1）了解函数的含义，会求

几年的鬲考情况来看，鬲考对函

简单函数的定义域和值域

年浙江卷：第题，分数的概念考查相对稳定，考查内

2022145（2）会根据不同的需要选择

容、频率、题型、难度均变化不

恰当的方法（图象法、列表

大，函数的解析式在高考中较少

年北京卷：第题，分法、解析法）表示函数

2023115单独考查，多在解答题中出现.

（3）7解简单的分段函数，

高考对本节的考查不会有大的

并会应用

2024年上海卷，第2题,5分变化，仍将以分段函数、定义域、

值域及最值为主.

模块一

【题型11函数的概念...................................................................2

【题型2】同一函数的判断..............................................................3

【题型3】已知函数类型求函数的解析式（待定系数法求解析式）...........................5

【题型4】建立方程组求解析式（方程思想）..............................................6

【题型5】求嵌套函数的解析式（换元或配凑）............................................7

【题型6】求具体函数的定义域...........................................................9

【题型7】已知定义域求参数............................................................10

【题型8】抽象函数的定义域问题........................................................12

【题型9】分离常数法求值域............................................................14

【题型10】换元法求函数的值域.........................................................15

【题型11］对勾函数值域问题...........................................................16

【题型12］已知值域求参数范围.........................................................17

【题型13】分段函数及其应用...........................................................19

模块二、核心题型•举一反三

［题型1］函数的概念

基础知识

一般地，设/、B是非空的实数集，如果对于集合/中的任意一个数x,按照某种确定的对应

关系人在集合3中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称了:为从集合/到集合3的一个

函数，记作广信）.

1.下列关系中是函数关系的是（）

A.等边三角形的边长和周长关系B.电脑的销售额和利润的关系

C.玉米的产量和施肥量的关系D.日光灯的产量和单位生产成本关系

【答案】A

【解析】根据函数关系的定义可得，

选项A中，当等边三角形的边长取一定的值时，周长有唯一且确定的值与其对应,

所以等边三角形的边长和周长符合函数关系；

其他选项中，两个量之间没有明确的对应关系，所以不是函数关系故选：A

2.下列图象中，表示函数关系y=/（x）的是（）

【答案】D

【分析】利用函数的概念即可求解.

【详解】根据函数的定义知，一个x有唯一的y对应,由图象可看出，只有选项D的图象满足.

3.如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（)

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】①②③这三个图所示的对应法则都符合函数的定义，

即/中每一个元素在对应法则下，在3中都有唯一的元素与之对应,

对于④⑤，/的每一个元素在5中有2个元素与之对应，.二不是4到5的函数,

对于⑥，/中的元素。3、%在5中没有元素与之对应，・••不是/到5的函数，

综上可知，是函数的个数为3.故选：A.

【巩固练习1】下列图象中，能表示函数y=/（%）图象的是（）

A.①②B.②③C.②④D.①③

【解题思路】根据函数的定义判断可得出结论.

【解答过程】解：・・,一个支只能对应一个y,・••①③符合题意，

对于②中，当%>0时，一个为对应两个y,不符合函数的定义；

对于④中，当％=0时，一个久对应两个y,不符合函数的定义.

【巩固练习2】设集合M={x|0VxW2},N=刨0VyV2}.下列四个图象中能表示从集合M到集合

N的函数关系的有（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

【答案】C

【分析】根据集合/到集合N的函数定义即可求解.

【详解】①中：因为在集合“中当1<X42时，

在N中无元素与之对应，所以①不是；

②中：对于集合”中的任意一个数x,

在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；

③中：x=2对应元素了=3eN,所以③不是；

④中：当x=l时，在N中有两个元素与之对应，

所以④不是；因此只有②满足题意

【题型2】同一函数的判断

基础知识

两个函数相同需要满足的条件是：1.定义域相同:2.解析式相同.

4.(2024•重庆•二模)下列函数中，与y=x是相同的函数是

A.y-B.y—lgl0%

C.y=fD.y=J(久一1尸+1

【解题思路】求出各选项函数的定义域，并对解析式进行化简，要求所选函数的定义域和解析式都

与函数y=x的定义域和解析式一致，可得出正确的选项.

【解答过程】对于A选项，函数y=疡=㈤定义域为R,其解析式与函数y=x的解析式不一致，

两个函数不是同一函数；

对于B选项，函数y=lgl()x=x的定义域为R,其解析式与函数丫=久的解析式一致，两个函数是同

一函数；

2

对于C选项，函数y=七的定义域为{%|久W0},和函数y=%的定义域不一致，两个函数不是同一^函

数；

对于D选项，y='(%一1)2+1=1%一1|+1的定义域为R,但其解析式与函数y=%的解析式不一

致，两个函数不是同一函数.

【巩固练习1](2024・山东•一模)下列各组函数中，表示同一函数的是()

A./(%)=elnx,.(%)=%

~一4

B./(x)=—

C-fM=^,gM=sinx

D.f(x)=|x|,g(x)

【解题思路】根据同一函数的定义对四个选项中的两个函数进行比较即可.

【解答过程】选项A:函数八>)的定义域是x>0,函数g(x)的定义域是全体实数，故这两个函数不是

同一函数；

选项B:函数/(%)的定义域是工。-2,函数g(%)的定义域是全体实数，故两个函数不是同一函数；

选项C:函数/(%)的定义域是％Hk7i+](/cEZ),函数g(%)的定义域是全体实数，故两个函数不是同

一函数；

选项D:函数/(%)和g(%)的定义域都是全体实数，且g(%)=\6记=|%],对应关系相同，所以是同一

数，故故选D.

【巩固练习2](2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)下列各组函数中，表示同一个函数的是()

A./(%)=%,g(%)=亍B./(%)=GR),g(%)=x(xGZ)

C./(X)=|幻，9(久)={H：°0D./(x)=X,g(x)=(V^)2

【解题思路】分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解.

2

【解答过程】对于A中，函数/(x)=x的定义域为R,函数g(X)=?的定义域为(-8,0)U(0,+8),

两函数的定义域不同，不是同一函数；

对于B中，函数/0)=双支6/?)和90)=%(>€2)的定义域不同，不是同一函数；

对于C中，函数/(尢)=㈤=与9(无)=｛之；；］的定义域相同，对应法则也相同，所以

是同一函数；

对于D中，函数〃>)=x的定义域为R,g(x)=(近>的定义域为［0,+8),两函数的定义域不同，

不是同一函数.

故选：C.

【题型3】已知函数类型求函数的解析式(待定系数法求解析式)

基础知识

待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.

5.若二次函数人x)满足於+1)—/)=2几且次0)=2.求加)的解析式

【答案】/(x)=x2-X+2;(2)m<0

【解答】解：/(x)=ax2++c,由次0)=1得c=2,故/(工)=。X2+bx+2.

因为/(x+1)—/(x)=2x,所以a(x+l)2+b(x+l)+2-(ax2+Z?x+2)=2x.

2a=2a=1

即2ax+a+6=2x,所以q+b=o，匕=—i,

所以/(x)=x2-x+2

【巩固练习1］已知二次函数/(%)满足/(x+l)=/(x)-2X+2,且/(o)=2.求/(%)的解析式

【答案】f(^)=—x2+3x+2

【思路点拨】设+区+°(。。0),利用/(x+l)=/(x)-2x+2建立恒等式求解即可；

【详解】设二次函数/(%)=办2+及+。(”wO),

因为/(0)=。=2,所以/(x)=加+云+2.

由/(x+1)=/(x)-2x+2,得〃(x+l)2+6(X+1)+2=QX2+bx+2-2x+2,

得af+(2q+b)x+〃+6+2=ax2+(b-2)x+4,

=/、

所以；(2jQ++6=26=—42,得{"a3—1'故〃X)—7+3x+2.

【巩固练习2】已知函数/(%)二—久2一2%+3,则/(%+1)=_—x--4x.

【解题思路】代入函数解析式计算即可.

【解答过程】解：因为/(%)=-久2—2%+3,所以/(%+1)=—(%+1)2—2(%+1)+3=—/—4%,

/(%+1)=-x2—4x.

故答案为：—/—4冗.

【巩固练习3](2024•广东东莞•二模)已知函数/(%)=a%—b(a>0),/(/(%))=4%-3,则

/(2)=.

【解题思路】利用直接代入法结合对应系数相等可得见b的值，将2代入可得结果.

【解答过程】由题意，得=/(ax-6)=a-(ax—b)—b=a2%—(ab+b)=4%—3,

a2=4_

即ab+b=3,解得｛：[：，.•-/(x)=2x-l,因此/⑵=3

a>0

【题型4】建立方程组求解析式(方程思想)

基础知识1

已知关于火x)与或人-X)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过

解方程组求出/(X).

6.(广东深圳实验校考)已知函数T(x)满足2〃x)+/[j=2x,无eR且x/0,则

〃x)=.

4r2

【答案】W

【思路点拨】用工替换X,再解方程组可得答案.

X

【详解】由2〃x)+/[£|=2x①，

用工替换尤，得2dm+〃x)=2②,

XIXJX

74r2

①x2—②，得3/(x)=4x—-,得“x)=p-『.

Xo<JX

1丫

【巩固练习1](广东广雅中学校考)己知〃上)=3，则/(x)=.

Xl-x

X

【答案】丁a。0)

X-71

【思路点拨】令：=得到/(。=看，进而求得函数/(X)的解析式.

11

【详解】令l=/,则X」且fHO,所以1~7=」7，

Xt11t-[t-[

7上

所以函数/(X)的解析式为/(%)=2"(xwO)

X—1

【巩固练习2】若对任意实数x,均有/(x)-2/(-x)=9x+2,求/(x).

【答案】3x-2.

【解析】利用方程组法求解即可；

V/(x)-2/(-x)=9x+2(1)

x)-2/(x)=9(-x)+2(2)

由⑴+2x(2)得-3f(x)=-9x+6,

/(x)=3x-2(xe7?).

故答案为：3x-2.

【巩固练习3】已知定义在R上的函数〃x)满足/3+力(-力=，+工，则函数〃x)的解析式

f(x)=-

2x2+x—

【答案】

1+x2

【思路点拨】根据已知把X换成一X,建立方程组求解.

【详解】因为/(工)+^(-工)=工2+X,把X换成一X有：f[-x)-j(f(x)=x2-X,

22

f(x)+xf(-x)=x+X々TIP/>/\2x+x—x-

联立＜解付〃尸

f(-x)-xf(x)=x2-x'

【题型5】求嵌套函数的解析式(换元或配凑)

基础知识

换元法：已知复合函数虑。))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.

配凑法：由已知条件/(g(x)尸F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以X替代g(x),便得小)

的表达式.

7.函数/(%)满足若f(g(%))=9%+3,g(%)=3x+1,则/(%)=()

A./(%)=3%B./(%)=3

C.f(x)=27x+10D.f(x)=27x+12

【解题思路】对/(g(%))的式子适当变形，即可直接求出/(%).

【解答过程】因为/(g(%))=9%+3,g(%)=3x+1,

所以/(3%+1)=9%+3=3(3久+1),则/(%)=3x

8.若函数f[g(x)]=6尤+3,且g(x)=2x+l,则〃x)等于()

A.12x+9B.6x+lC.3D.3x

【答案】D

/-I

【解析】令g(%)=2x+l=Z,则x=-

.•./(^=6x^y-+3=3Z,即〃x)=3x故选:D.

【巩固练习1]已知函数f(l—无)=p(久大0),则/(久)=()

A.占-1(久力。)B.小-1(力1)

4.4.

C.-^-7-l(x^0)D.1)

(x-1)2')(x-1)2'J

【解题思路】利用换元法令力=1-汽，运算求解即可.

【解答过程】令t=1—x,则久=1—t,且％H0,则tH1,

可得/。)="=小一1，«力1),

,1、

所以/(%)=-^—^2-1(%H1).

【巩固练习2】已知函数/(%)满足：/(%-§)=/+&则/(%)的解析式为()

A./(%)=%2+2B./(%)=X2

C./(x)=%2+2(%H0)D./(%)=x2—2(%。0)

【解题思路】通过化简即可得出函数的解析式.

【解答过程】因为/(久―£)=/+5=(久一,+2,.•./(>)=/+2,

【巩固练习3】设函数+j=2x+l,则〃x)的表达式为()

A1+%/

C1+X7八c.£("T)_2x/

A.二("I)B.-D

X—L-由"

【答案】B

【解析】令/=1+：931),则可得X(八I)

所以/(7)=—^―+I=HI),所以/(X)=l+X(尤R]),故选：B

%—1t—\X—1

【题型6】求具体函数的定义域

基础知识

求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等

式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.

9.函数/(幻=,3—1+/_2)。的定义域为

(I尸

【答案】(L2)U(2,3]

【解析】f3_x>0

<x-1>0nx£(1,2)U(2,3]

x—2w0

/(2x)

10.已知函数/(x)的定义域为[3,6],则函数了一Jbgj2_x)的定义域为

【答案】1,2^

【解析】由函数〃x)的定义域是[3,6],得到3号.小，

23.「3

故<2-x>0即<2>x,解得：万。<2；所以原函数的定义域是：—,2

log1(2-x)>01<%<2

【巩固练习1]函数/Xx)=•的定义域为()

A.(-oo,3]B.(1,+oo)C.(1,3]D.(-co,1)U[3,+oo)

【解题思路】由函数形式得到不等式组，解出即可.

【解答过程】由题意得｛©—?。，解得i<xw3,则定义域为(1,3]

2v2

【巩固练习2】函数/(x)=?=+(2x—1)°的定义域为(

)

y/1-X

A.O

中。04吗

【答案】D

1-x>0,

【解析】由题意得，解得％V1且xwl

出一120,2

【巩固练习3](2024・山东泰安•三模)己知函数人乃=击，则函数筌的定义域为()

A.(-00,1)B.(-8,-1)

C.(-co,-1)U(-1,0)D.(-co,-1)u(-1,1)

【解题思路】先求得函数/(X)的定义域，再运用复合函数的定义域求解方法可得选项.

【解答过程】因为/。0=竟/，所以*—#>o解得x<o,所以函数/(式)的定义域为(一8,o),

所以函数丛0需满足尤-1<0且久+1丰0,解得久<1且X力一1

x+1

【题型7】已知定义域求参数

基础知识

函数定义域是研究函数的起点，常涉及到两大问题：一是求函数定义域，二是已知函数的定义

域求参数.

一个带参数的函数，已知函数值域求参数的问题，这类问题就是按照求值域的思路并与已知的

值域建立联系求参数的值，本质上是已知不等式的解集求参数值，解题时从不等式的角度入手比较

容易.

11.若函数的定义域为R,则实数人的取值范围是()

y/kx2+kx+l

A.(0,4)B.[0,4)C.[0,4]D.(0,4]

【解题思路】由题意可知质2+依+i>o的解集为R,分k=0,时0两种情况讨论，即可求解.

【解答过程】函数/(无户4%2二%+：的定义域为R，可知左%2+々%+1>0的解集为R,

若k=o,则不等式为1>0恒成立，满足题意；

若上°,则解得°<k<4.

综上可知，实数左的取值范围是gk<4.

2X-3

12.若函数〃x)=72的定义域为R，则实数a的取值范围是___________.

7ax+ax+\

【答案】[0,4)

【解析】/(x)的定义域是R,则a/+如+1>o恒成立,

4=0时，OX?+QX+1=1〉0恒成立，

ftz>0

时，则L2/八，解得0<“<4,

A=a—4〃<0

综上，0<a<4.

故答案为:[0,4).

【巩固练习1】已知函数/(%)=+(=—3)%+1的定义域为R,则实数m的取值范围是()

A.[1,9]B.(1,9)

C.(-8,1]U[9,+oo)D.{3}

【解题思路】利用题给条件列出关于血的不等式，解之即可求得实数血的取值范围.

【解答过程】由题意得?71/+(771—3)%+1>0对任意％ER恒成立，

当771=0时，不等式可化为-3%+120,其解集不是R,不符合题意；

当7HW0时，由该不等式恒成立可得

m>0

解之得14血49,

—3)2—4m<0'

U综上，实数血的取值范围是14m<9

【巩固练习2】已知函数/(%)=J(Q2一1)%2+(a+1)%+1的定义域为R,则实数〃的取值范围为

()

A.[-1,|]B.(―8,—1)咤,+8)

C.[|,+8)D.(-OO,-1]U[|,+8)

【解题思路】分a=1、a=-l、a力士1三种情况，结合二次函数的性质即可求解.

【解答过程】当a=l时，f(x)=<2比+1,则2乂+120,得—g,即定义域为卜表+刃)，不

符合题意；

当a=-l时，/(x)=1,定义域为R,符合题意；

当Q。士1时，由题意得关于X的不等式(小-I)%2+(Q+1)%+1>0恒成立，

故=(a+I)2-4(a2-1)<0,解得a<一1或。？|

综上，实数。的取值范围是(一8,-1]咔,+8)

【巩固练习3]已知函数/(%)的定义域｛%|次一4a<%V小一8｝是关于％的不等式

(x+a+2)(x-2)>0的解集的子集，则实数a的取值范围是()

A.[2+V6,+oo)B.(-8,2]u[2+V6,+oo)

C.(2,2+V6]D.(2,3]

【解题思路】依题意解不等式即可.

【解答过程】函数/(x)定义域非空集，则a?—4aVa2—8,解得a>2.

记g(%)=(x+a+2)(%—2),

因为-2—a<—2—2=—4,所以g(x)>0的解集为(一8,—a—2)U(2,+8),

依题意有a2—8<—a—2或M—4a>2,所以4+a<6或小—4a—2>0,

又a>2,。2+。>4+2=6,所以aE[2+V6,+8).

【题型8】抽象函数的定义域问题

基础知识

求抽象函数定义域的方法

⑴若已知函数人x）的定义域为则复合函数力g（x）]的定义域可由不等式a名（x）助求出.

（2）若已知函数/[g（x）]的定义域为[a,瓦则於）的定义域为g（x）在工可。向上的值域.

总结：抽象函数的定义域的方法是：整体代换法（括号内取值范围相同）.

13.已知函数＞=/（x+l）的定义域为[1，2],则函数y=/（2x-l）的定义域为（）

-11「31

A.-,1B.—,2C.D.[3,5]

【答案】B

【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.

【详解】,・,函数＞=/（x+l）的定义域为[L2],即l4x«2,可得2＜x+l＜3,

工函数＞=/（x）的定义域为[2,3],

3

令2W2x—1W3,解得

"3-

故函数歹=/（2%-1）的定义域为-,2.

14.已知函数y=/（尤+1）的定义域是[-2,3],则y=/（x-l）的定义域是（）

A.[-2,3]B.[-14]C.[0,5]D.[-4,1]

【答案】C

【分析】根据y=/（尤+1）的定义域求出了（无）的定义域，从而可求解.

【详解】因为函数〉=/（》+1）的定义域是[-2,3],

所以xe[-2,3],所以x+1,即/'（x）的定义域为[-1,4],

所以x-l,解得xe[0,5],即y=/（x-1）的定义域是[0,5].

15.己知函数^=/（刈的定义域为[-2,3],则函数y="2x：D的定义域为（）

X+1

33

A.[--,1]B.[--,-l)u(-l,l]C.[-3,7]D.[-3,-l)o(-l,7]

【答案】B

3

【解析】由题意得：-242%+1«3,解得：—,4工4I,

由x+lwO,解得：xw—1,

故函数的定义域是-'，-,故选：B.

【巩固练习1】已知函数y=/（x—1）的定义域为[1，2],则函数v=/（2x-1）的定义域为

【答案】-,1

_2_

【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.

【详解】：函数y=/（x—l）的定义域为[1,2],即1VXV2,可得OWx—l<l,

二函数y=/（x）的定义域为[0,1],

4>0<2%-1<1,解得工

2

故函数y=/（2x-l）的定义域为g,l.

【巩固练习2】已知函数y=〃x+l）的定义域为[-1,5],则函数/=/（2/）的定义域为（）

A.[0,3]B.[2,50]C.[-V3,V3]D.[-3,73]

【答案】C

【分析】首先求出x+le[0,6],则/（x）定义域为[0,6],再利用2/e[0,6],解出即可.

【详解】,则x+le[0,6],.,./（X）的定义域为[0,6],

所以042—46,解得-JJwxwVL故其定义域为[-6,6]

【巩固练习3】已知函数y=/（2。的定义域是『15，则函数/（logsX）的定义域是（）

A.[-1,1]B.——,3C.[1,3]D.[6,9]

【答案】D

【解析】由得2*e；,2,所以logjXe；,2,所以xe[百,9]故选：D

【巩固练习4]（2024•陕西西安・一模）若函数/（久）的定义域是[0,4],则函数以久）=竽的定义域是

A.[0,2]B.（0,2）C.[0,2）D.（0,2]

【解题思路】根据分式与/（久）的定义域求解即可

【解答过程】要使函数有意义，依题意需有｛。;彳:彳解得，0<xW2.

【题型9】分离常数法求值域

基础知识

一次分式函数：分离常数法+图像法，形如/（x）=ax+b/0）的函数

cx+d

第一步：分离常数，将分子变为常数

aadadad

、ax+b-（cx+ci）+b--&分离出常数3和分子为常数的分式°一;

f（x）=------=---------------=-+——彳,----

cx+dcx+dccx+dccx+d

第二步：结合反比例函数y=J_的值域求函数/（X）的值域.

CX

16.函数歹=2x+l的值域为

X

【答案】（—叫2）U（2,+s）

_、、,2x+12x+2—1111

【详解】因为歹=------=---------=2—,又因为一w0,所以2—。2,

XXXXX

所以函数歹=生口的值域为（―s,2）U（2,+s）.

X

【巩固练习n（广西南宁三中校考）若皿。a，则函数二二的值域为（）

A.[-2,0]B.(-叫-2]U[0,+s)C.[0,1]D.[-2,1)

【答案】A

3

【思路点拨】将函数变现为歹=1-----,结合反比例函数的性质计算可得.

x+1

Y—2Y+1—33

【详解】因为---,又因为尤e[0,2],所以尤+le[l,3],

x+1x+1x+1

所以所以1---e[-2,0],所以函数y=—,xe[0,2]的值域为[一2,0].

X+1X+1X+1

【巩固练习2】函数y二.的值域为

x—1

【答案】（―8,2）U（2,+8）

【详解】因为y=红工2=包二三3=3+工，又因为工wO,所以3+工w3,

x—\x—\x—\x—\x—1

所以函数j=3'+2.的值域为(一8,3)U(3,+oo).

x-1

【题型10]换元法求函数的值域

基础知识

求根式型函数值域：换元法

形如y=+6+slcx+d(acw0)的函数

第一步：把函数中的根式而工Z设为一个变量t,并用t表示x,求出t的取值范围.

第二步：将所求关于X的函数变换为关于/的函数.

第三步：求出y的取值范围，即所求函数的值域.

17.函数/'(x)=-x+24的值域是.

【答案】(-叫1]

【思路点拨】通过变量代换1=&将函数/(x)转化为二次函数，利用二次函数的图象与性质分析运

算即可得解.

【详解】解：由题意，函数/'(x)=-x+26的定义域为[0,+(»),

令/=«,贝卜20,x=t2,函数/(x)转化为g(f)=-『+2乙/>0,

Vg(/)=-f2+2Z=-(Z-1)2+1,对称轴为7=1,最大值为g(l)=l,

.•.当此0时,g(f)41,即g«)值域为(7』,

...函数f(x)=-尤+2。的值域是(-00,1].

【巩固练习1](湖南长沙•高一长郡中学校考)函数y=2x+467的值域为()

A.(一8网B.(-oo,-8]

C.[2,+oo)D.[4,+oo)

【答案】A

【思路点拨】设百二1=人化简函数为了=-2/+书+6,结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】设囱=嚏=3则90,且x=3-

则函数可化为了=2-(3-r)+4=_2产+4+6=-2(-1-+848,

所以函数的值域为(-oo98]

【巩固练习2】函数/(JC)=X3+2,8-X3的值域为()

A.(-a>,4V2]B.[-40,9]

C.(-8,9]D.(-00,8]

【答案】C

【思路点拨】根据换元法以及二次函数的性质求解结果.

【详解】令/=,贝心±0产3=8-”.

设函数8(/)=8-〃+2/=-(/-1)2+9,当(=i时，g(f)取最大值9.

因为120,所以g«)V9.

函数/(无)的值域为(70,9].

【巩固练习3】(2024・湖北•二模)函数y=x—74x—N的值域为().

A.[2-2V2,4]B.[0,4]C.[0,2+2应]D.[2-2近,2+2a]

【解题思路】由4x—%2>0,解得0<%<4.可得函数/'(x)=y—x-V4x-x2的定义域为：

[o,4].军色电.利用导数研究函数的单调性即可得出值域.

V4x—x2

【解答过程】解：因为y=%—V4x—X2

由4x—x2>0,解得0<%<4.

可得函数y=/(%)=%—A/4%—N的定义域为:[0,4].

7尸,丫、—12T_44%-*2-(2-%)

2

令g(x)=V4x-%-(2-%),则g\x)=(2—x)(4x-d)弓+1>Q,即/X%)在[0,4]上单调递增，

令、4x-/-(2-x)=0,解得x=2-鱼，

即-x)在[0,2-夜]上单调递减，在[2—VX4]上单调递增，

所以x=2—&为极小值点，

又f(2-V2)-2-2V2,/(0)=0,f(4)=4.

二函数y-x—，4久-N的值域为[2—2V2,4].

【题型11]对勾函数值域问题

基础知识

对于对勾函数y=ax+—(a.b>0),是修订的必修一教材新增的内容，在P92页以探究的形式出现(看

课本上好像也没有叫对勾函数)，可以通过图像法或构造基本不等式来求值域

18.求函数歹=X+，的值域.

x

【答案】(―8,-2]u[2,+8)

【分析】考虑到和函数的两个和式的积为常数，故可利用基本不等式求其最值，从而得到函数的值

域，注意讨论X的正负.

【详解】解：当x〉0时，了=》+工22、%,=2,当且仅当x=l取等号,

XX

当x<0时，y=—(―x—工)<—2](—x>'=—2,当且仅当x=l取等号

X\(-X)

故函数y=%+,的值域为(-8,-2]U[2,+8)

19.求函数y=2x+，的值域.

x

(1)%£(；，+8)

(2)xG[—3,——]

【答案】[26+00)；[-y,-2V2]

，3，，

【巩固练习1］求函数歹=x+—+2的值域.

【答案】(-OO,-2V3+2］U［2A/3+2,+OO)

,4

【巩固练习2］求函数y=X+一的值域.

x

(2)%£(14)

(1)xe(l,+oo)

【答案】［4,+8)；

【题型12］已知值域求参数范围

基础知识

这类问题就是按照求值域的思路并与已知的值域建立联系求参数的值。这个例题中，可以通过

判别式法求值域，将值域的范围转化为判别式一元二次不等式中y的范围，进而利用根与系数的关

系求得参数。

1、虽然这类题型往往是已知值域，但在实际做题分析时，仍然从求值域的角度入手分析。

2、辨析值域为R或零到正无穷、定义域为R之间的区别

不要死记判别式的情况，因为内层函数不一定是二次函数，我们要get到的是：为了让值域能达到

XX,我们内层函数最初提供的范围，只能多不能少，因为受定义域限制，多的可以舍掉，但是提供

的少了那可就真不够了。

3、其他一般题型，我们建议多多尝试数形结合。

20.若函数=的值域为［。,+8），则实数加的取值范围是（）.

A.B.(-00,-276]U[2^6,+00)

C.［-276,276］D.［2而,+8）

【答案】B

【思路点拨】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数机的取值范围.

【详解】因为函数/（x）=［Zx2-mx+3的值域为［0,+00）,

所以2x?-"?x+3能取遍所有大于或等于零的实数，

即方程2X?-TMX+3=0在实数范围内有解.

所以A=,”2—4x2x3="?2-24±0,解得机e（―co,—2A/^］u^2>/6,+ooj.

21.（2023上咛波・余姚中学高一校考）已知函数〃月=1咆（2-无）的值域为（-8』，则函数〃2x）

的定义域为

【答案】［0,1）

【思路点拨】首先求出函数的定义域，再利用抽象函数的定义域求解

【详解】由〃x）=log2（2-x）值域为（73,1］,得0<2-xV2,

故0Vx<2,即/（x）的定义域为［0,2）,

令0V2x<2得OWxvl,故0（2x）的定义域为［0,1）

【巩固练习1】（襄阳市第一中月考）已知函数/（无）=,h2一4尤+3的值域为［0,+s）,求实数人的取

值范围

4

【答案】

【思路点拨】才艮据函数/（x）=Jfcc?—4x+3的值域为［0,+/），可得［0,+8）是函数了=任2一4工+3的值

域的子集，再分左=0和左N0两种情况讨论即可.

【详解】因为函数/（x）=-4尤+3的值域为,

所以［0,+8）是函数了=履2一4工+3的值域的子集,

当左=0时，y=—4x+3£R,符合题意，

当左w0时，

依〉04「4'

则L八，解得0<人与，综上所述，ks0,-

16-12^>033

【巩固练习2】（2023•山东省实验中学校考）已知函数尸J加+fcc+c的定义域与值域均为［05,

则实数。的取值为（）

A.-4B.-2C.1D.1

【答案】A

【思路点拨】依题意知y=ax2+fcr+c的值域为[0,1],则方程Q/+6%+°=()的两根为x=0或1可

得。=0,a=-b,从而确定当x=，时，y=a{x-^-\一区取得最大值为1,进而解得〃=—4.

2I2；4

【详解】依题意，>="2+区+。的值域为[0川，且办2+江+。20的解集为[0』，

故函数的开口向下，a<0,

则方程ax2+6x+c=0的两根为x=0或1,

贝Ic=0,