2025年高考数学二轮复习讲义：直线与圆几何问题题型深度剖析与总结（解析版）

专题16直线与圆几何问题题型深度剖析与总结

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03知识梳理•方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测............................................................6

05核心精讲•题型突破...........................................................14

题型一：直线的方程14

题型二：圆的方程18

题型三：直线、圆的位置关系22

题型四：圆的动点与距离问题26

题型五：阿氏圆29

题型六：米勒定理与角度问题33

题型七：圆的数形结合37

重难点突破：与距离问题有关的最值41

差情;奏汨•日标旦祐

直线与圆是高考数学的重点内容。考查形式多为选择题、填空题，难度中档。常考求直线（圆）方程、

点到直线距离、判断直线与圆位置关系，以及简单弦长与切线问题。其中，直线方程、圆的方程、两直线

平行与垂直关系等是基础考点，需熟练掌握相关公式和判定方法，注重数形结合解题.

考点要求目标要求考题统计考情分析

掌握直线方程，运2024年北京卷第3题，4分

直线与方程2025年高考数学可能

用数形结合解题2023年I卷第6题，5分

会涉及直线与圆的方程，

包括直线方程的一般形

2024年甲卷（理）第12题，5分

理解位置关系，渗2023年甲卷（理）第8题，5分式、圆方程的标准形式等。

直线与圆的位置关系

透数学思想方法2023年II卷第15题，5分同时，可能会考察直线与

2022年H卷第15题，5分圆的位置关系，如相交'

相切、相离等，以及相关

圆与圆的圆的位置关掌握判定方法及

2022年H卷第14题，5分的计算和应用。

系应用

平面内到定点的距离等于

一j定长的点的集合（轨迹）

'、、叫圆.

圆的标准方程：。-0）2+0"）2=/，

圆心坐标为（。，b）,半径为r（r>0）

圆的一般方程：Y+y,+Dx+B，+尸=0（少+上工4/>0）,

IMI心坐标为（-々，-9），半径r=8+E7F

《圆的四种方程：一2

圆的方程

网的直径式方程：若/（MJi）出口”队），

则以线段45为直径的圆的方程是（.v7rlX.\・.vJ+（广广『）=0

x=a+rcos0

网的参数方程:（9为参数）

j=b+rsin。

点与圆的位置关系

二什）直线与圆相交，有两个公共点二）

直线与圆的位置关系（2）直线与圆相切，只有一个公共点;

J3）直线与圆相离，没有公共点.

直线与圆几何问题判断电线/。圆C的方程组成的方程组是否右解.

题型深度剖析与总如果有解，在线八:i圆C有公共点.

行两组实数解时，百线八J恻c相交；

结

有一组实数解时，江线八JMC相切：

无实数解时，百线/，圆C相离.

直线与圆的位置关系的判定

由圆。的圆心到直线/的距离d与圆的半径r的关系判断:

当*r时，直线/与同C相交；

（I何法

'1d=r时，有线/与圆6相切；

当rf>/•时，直线/与圆C相离.

（1）圆与国相交，有两个公共点；

圆与圆的位置关系（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；

（3）圆与圆相离（内含或外高），没有公共点.

判断两圆的方程组成的方程组厘否有解.

有两组不同的实数解时，两圆相交；

代数法

有一组实数解时，两圆相切；

方程组无解时，两圆相离.

圆与圆的位置关系的判定设0a的半径为小的半径为/•?,两例的阴心距为d.

当公〃〈*/*1+/2时,两国相交;

当r1+r产加寸，两圆外切;

■何法

当，i+r2VMi寸，两圆外离;

当1y』=耐，两圆内切;

当匕-〃>耐,两圆内含.

//40w

1、直线与圆的位置关系

（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）

圆心（a,b）到直线Ax+By+C=O的距离，则d=12班+口：

VA2+B2

d<ro直线与圆相交，交于两点尸,Q,\PQ\=2y/r2-d2；

d=ro直线与圆相切；

d>ro直线与圆相离

（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）

fAx+By+C=0

由i（x-a）2+（y-b）2=/'

消元得到一元二次方程加2+衣+/=0,加2+衣+”0判别式为八，则：

A>00直线与圆相交；

A=0o直线与圆相切；

A<0o直线与圆相离.

2、圆与圆的位置关系

用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

设两圆的半径分别是（不妨设R>r）,且两圆的圆心距为d,贝U：

d<R+r=两圆相交；

d=R+r<=>两圆外切；.

302

R-r<d<R+r。两圆相离

d=R-r=两圆内切；

0<4<氏-r=两圆内含（d=0时两圆为同心圆）

设两个圆的半径分别为R,r,R>r,圆心距为d,则两圆的位置关系可用下表来表示:

位置关系相离外切相交内切内含

几何特征d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r

代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解

公切线条数43210

3、关于圆的切线的几个重要结论

2

(1)过圆Y+y2=r2上—^点尸(%,%)的圆的切线方程为xQx+yoy=r•

(2)过圆(x—[)2+(y_彷2=尸2上一点尸(%,%)的圆的切线方程为

2

(%-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r

(3)过圆^+,+6+可+户=^^上一点尸色。,先)的圆的切线方程为

x+x

u+%y+o•——0

(4)求过圆/+y2=「外一点尸(%,打)的圆的切线方程时，应注意理解:

①所求切线一定有两条；

②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为、_%=左。_%)，利用圆

心到切线的距离等于半径，列出关于人的方程，求出左值.若求出的k值有两个，则说明斜率不存在的情形

不符合题意；若求出的女值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意.

0

/八真题研标•摘毓II.\\

1.（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线依+勿-°+2。=。与圆C：/+/+4、一i=o交于A,B两

点，贝U|AB|的最小值为（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解析】因为直线6+勿一々+2人=0,即a（x-l）+b（y+2）=。，令x-l=0,

则x=l,y=-2,所以直线过定点设P。,-2）,

2

将圆C：x+/+4y-l=0化为标准式为f+（y+2）2=5,

所以圆心。（0,-2）,半径厂=括，|PC|=1

当尸€:，9时，|4国的最小，

止匕时\AB\=2Jr2Tpe『=2x5斤=4.

故选：C

2.（2024年北京高考数学真题）圆Y+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为（）

A.72B.2C.3D.372

【答案】D

【解析】由题意得V+/一2x+6y=0,即（无一I）?+（y+3）z=10,

|1-（-3）+2|厂

则其圆心坐标为（1,-3）,则圆心到直线x-y+2=0的距离为:仔+（[）2=3"2.

故选：D.

3.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b是见。的等差中项，直线办+勿+。=0与圆f+；/+4丫-1=0

交于A,B两点，贝1]|的最小值为（）

A.1B.2C.4D.2辨

【答案】c

【解析】因为。，瓦c成等差数列，所以26=。+。，c=2b-a,代入直线方程依十b十°=0得

"1=0fx=l

ax+by+2,b-a=0,即a（x-l）+b（y+2）=0,令।on得｛

[y+2=0[y=-2

故直线恒过。，-2）,设尸圆化为标准方程得：C:f+（y+2?=5,

设圆心为C,画出直线与圆的图形，由图可知，当尸时，最小,

T

|PC|=l,|AC|=|r|=V5,此时=2|AP=2dAe?-PC?=2A5l=4.

4.（2024年天津高考数学真题）已知圆（尤-1）2+9=25的圆心与抛物线/=2px的焦点/重合，且两曲线

在第一象限的交点为A,则原点到直线AF的距离为.

4

【答案】y/0.8

【解析】圆。一1）2+/=25的圆心为厂（1,0）,故5=1即。=2,

由，（：T）=25可得/+2尤_24=0,故x=4或尤=-6（舍），

y=4x

故A（4,4）,故直线4斤：>=：（》一1）即4工一3>-4=。，

故原点到直线AF的距离为d=g=:，

4

故答案为：—

5.（2023年新课标全国H卷数学真题）已知直线/：%—切+1=0与〔C:（x—1了+丁=4交于A,B两点,写

Q

出满足“VABC面积为丁的m的一个值____.

【答案】2中任意一个皆可以）

【解析】设点C到直线AB的距离为d,由弦长公式得|AB|=2j4-/，

所以S'c=；xdx2j4-屋=[,解得：]=述或d=拽，

2355

11+11224#22亚1

由所以I——干二工一或/二二一，解得：加=±2或加=±彳.

71+m?Vl+m2Vl+m25a+疗52

故答案为：2（2,-2,g,-g中任意一个皆可以）.

6.（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数满足/+丫2-4工-2、-4=0,则x—y的最大值是

（）

A.1+呼B.4C.1+3点D.7

【答案】C

【解析】法一：令x-y=k,则尤=k+y,

代入原式化简得2丁+（2左一6）y+S—4A—4=。，

因为存在实数y,贝IJAZO,即（2左一6）2—4x2（公—必一4）20,

化简得上2—2左一1740,解得1—左W1+3近，

故1-V的最大值是30+1,

法二：x2+y2-4x-2y-4=0,整理得（x—Zj+（y—I7=9,

令％=3cos9+2,y=3sin6+l,其中。£[0,2兀],

则x-y=3cos8-3sin8+1=3应cos[^+—|+1,

JTJTIJlT<JTf^TT

同0,2句，所以。+片,则。+：=2兀，即”子时，x-y取得最大值30+1，

法三：由炉+J_4x_2y—4=0可得(x—2)2+(y—l)2=9,

\2-1-k\

设x—y=%,则圆心到直线=上的距离[=<3,

解得1-3正4%V1+3a

故选：C.

7.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设。为平面坐标系的坐标原点，在区域｛（x,y）|lw/+y2<4｝内

,JT

随机取一点，记该点为4则直线OA的倾斜角不大于7的概率为（）

4

A.—B.—C.-D.；

8642

【答案】C

【解析】因为区域｛（X,y）|ivx2+y2<4｝表示以0（0,0）圆心，外圆半径R=2,内圆半径r=l的圆环,

TTTT

则直线CM的倾斜角不大于7的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角NMON=:,

44

结合对称性可得所求概率p3兀义:1.

r=-----------=—

3兀4

8.（2023年新课标全国I卷数学真题）过点（0,-2）与圆了2+y-以-1=0相切的两条直线的夹角为a,则

sin<7=()

A.1B.姮C.叵D.也

444

【答案】B

【解析】方法一：因为炉+/_4,”1=0,即(x-2y+y2=5,可得圆心C(2,0),半径厂=占,

过点尸(0,-2)作圆C的切线，切点为

因为|PC|=小22+(-2『=20,贝l]|P4|=—产=6

-=T-ZB-Z4QA-,__VlO/了在厂_石_屈

口JsinNA尸C=—f==---,cosNAT5C=—==,

2V242V24

2sMpce必PC=2弯邛=限

贝ljsinZAPB=sin2ZAPC=

cosZAPB=cos2ZAPC=cos2ZAPC-sin2ZAPC=

即ZAPS为钝角,

所以sina=sin(7i-ZAPS)=sin/APB=

4

法二：圆上+/-4工-1=0的圆心C（2,0）,半径厂=百,

过点尸（0,-2）作圆C的切线，切点为A,B,连接A3,

可得|pc|=^22+（-2）2=2近，则\PA\=\PB\=^|PC|2-r2=杷,

因为|PA「+归却一21PA卜户目cosZAP3=|G4「+一2|04卜|。目cosZACB

且ZACB=n-ZAPB,贝!]3+3—6cosZAPB=5+5—lOcos（兀一ZAPB）,

即3—cosZAPB=5+5cosZAPB,解得cosZAPB=--<0,

4

即ZAPB为钝角，则cosa=cos（兀-/APB）=-cos/APB=；,

且a为锐角，所以sina=Jl-cos2a=把5；

4

方法三：圆V+y2-4x-l=0的圆心C（2,0）,半径”石，

若切线斜率不存在，则切线方程为x=0,则圆心到切点的距离d=2>r,不合题意;

若切线斜率存在，设切线方程为>=履-2,即日-丁-2=0,

\2k-2\I-

则।=~~=事,整理得左？+8左+1=0，KA=64-4=60>0

设两切线斜率分别为《&，则匕+N=-8,kxk2=1,

可得上_周=J（勺+.）2-4秘2=2715,

所以tana=+：?=9,即"4=岳，可得cosa=2詈，

1+勺左2cosa715

i7i1i.22-2sincc

贝1]sina+cosa-sinaH--------------=1,

15

|=Lae（O,兀），则sina>0,解得sine=哼~.

故选：B.

9.（2022年新高考天津数学高考真题）若直线工-尹祖=0（机＞0）被圆（＞1）2+（k1）2=3截得的弦长为，"，

则机的值为.

【答案】2

【解析】圆(x-l『+(y-l)2=3的圆心坐标为(1])，半径为后,

11—1—|—IVY1

圆心到直线X-y+加=0(加＞0)的距离为--万一-=五，

由勾股定理可得1美)=3,因为m＞0,解得机=2.

故答案为：2.

10.(2022年新高考全国II卷数学真题)设点A(-2,3),3(0,4),若直线A3关于丫=。对称的直线与圆

(x+3)2+(y+2＞=1有公共点，则a的取值范围是.

一13'

【答案】飞3

【解析】4(-2,3)关于〉=。对称的点的坐标为4(-2,2”一3),3(0,。)在直线y="上，

所以A3所在直线即为直线/,所以直线/为＞=编工+。，即(a-3)x+2y-2a=0；

圆C:(%+3)2+(y+2)2=1,圆心。(一3,-2),半径丁=1,

I_3_3)—4—2Q]

依题意圆心到直线I的距离d=II,二，-1，

7(«-3)-+22

°013「13-

即(5-5。)24(〃一3)2+22,即ae；

13

故答案为：---

11.(2022年高考全国甲卷数学(文)真题)设点M在直线2x+y-l=。上，点(3,0)和(0,1)均在＜，M上,

则(的方程为.

【答案】(x-l)2+(y+l)2=5

【解析】[方法一]：三点共圆

•・,点M在直线2尤+y-l=0上，

二设点加为(a』-2a),又因为点(3,0)和(0,1)均在上，

二点”到两点的距离相等且为半径R,

7(«-3)2+(l-2a)2=M+(-2a)2=R，

a2—6a+9+4G2—4a+1=5a2,解得a=l,

R=5

M的方程为（x-If+（y+If=5.

故答案为：(I)?+(,+1)2=5

［方法二］:圆的几何性质

由题可知，M是以(3,0)和(0,1)为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线2无+y-l=。的交点=如.

Af的方程为（x-iy+（y+l）2=5.

故答案为：(I)?+(,+1)2=5

12.(2022年高考全国乙卷数学(理)真题)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程

为__________

【答案】（x-2『+（y-3）2=13或（x-2y+（y-i『=5或+1-g［*或"

【解析】［方法一］：圆的一般方程

依题意设圆的方程为/+丁+瓜+£丁+尸=0,

F=QF=0

（1）若过（0,0）,（4,0）,（-1,1）,则，16+40+尸=0解得。=-4,

l+1-D+E+F^OE=-6

所以圆的方程为炉+丁-4尤-6y=。，即(x-2『+(y-3)2=13；

F=0F=0

（2）若过（0,0）,（4,0）,（4,2）,则16+4£>+尸=0解得。=-4,

16+4+4D+2E+F=0E=-2

22

所以圆的方程为/+/一4尤-2y=0,SP（X-2）+（J；-1）=5;

F=0

F=0

Q

（3）若过（0,0）,（4,2）,（-1,1）,则1+1-。+£+尸=。解得0=,

16+4+4D+2E+F=0

Q14

所以圆的方程为/+—丁＞=0,即65

~9

l+l-D+E+F=0

（4）若过（—1,1）,（4,0）,（4,2）,则16+4。+尸=0解得。=-不，所以圆的方程为

16+4+4O+2E+/=0

E=-2

21616(8丫(八2169

元+y--x-2y---=0,BPI,r--I+(y-l)=-：

故答案为："_2)2+(k3『=13或(尤一2y+(y_iy=5或1一：+卜一g)或

+(52=等

［方法二］:【最优解】圆的标准方程(三点中的两条中垂线的交点为圆心)

设点4(0,0),B(4,0),C(-l,l),£>(4,2)

(1)若圆过A、B、C三点，圆心在直线x=2,设圆心坐标为(2,。)，

则4+〃=9+(“-1)2=4=3/="+〃=岳,所以圆的方程为0-2)2+0-3)2=13；

(2)若圆过AB、D三点、,设圆心坐标为(2,。)，则4+/=4+3—2)2=>4=1/="+〃=5所以圆

的方程为(x-2)2+(y-l)2=5；

(3)若圆过A、a。三点，则线段AC的中垂线方程为y=x+l,线段A。的中垂线方程为y=-2x+5,

联立得x=|■，丫=g=>r=—,所以圆的方程为(x-g)2+(y-1)2=£；

(4)若圆过AG。三点，则线段5。的中垂线方程为y=l,线段BC中垂线方程为>=5彳-7,联立得

x=8=1=>r=J2,所以圆的方程为(x1)2+(y_i)2=^.

JJDZD

故答案为:(%—2)2+(y—3『=13或(x-2)2+(y—l)2=5或(%—g［+(T)=竺或

169

+(—)2

25

【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁;

方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解.

㈤5

孩心精说，题型突破

题型一：直线的方程

【典例1-1】已知43,1),B(-l,2),若-ACS的平分线方程为y=x+l,则AC所在直线的一般方程为

【答案】厂2丁-1=0

【解析】直线AB的斜率&5=与g=-。，其方程为k1==(丁-3),即y=_；x+[,

—1—34444

由广丁+屋解得5令屋

1o55

依题意，ZACB的平分线为直线C。，

\BD\_\BC\\AD\\AC\

由正弦定理得.NACB一sinNBDC'.NACB一sinNADC，

sin--------sin--------

22

由此整理得\B周D二BC

由于sin/BDC=sinZADC,

AC

(»|)2+(2一|)2Q+l)2+Q+]2)2

|BD|2_\BC\I2、3

则口，设。亿，+1)/。5，则

师词J(3一3)2+(i一%(t-3)2+(r+l-l)2

整理得5r+⑵一9=0,解得，=一3,则。(一3,-2),k=^-=-,

AC—3—32

直线AC的方程为y+2=g(尤+3),即无一2y—1=0.

故答案为：尤一2尸1=0

【典例1-2]光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射

率.如图，一个折射率为&的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以45。的入射角从空气中射入

点4(-2,0),该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为

【答案】（V3-2）x-y+2-273=0

【解析】如图，入射角&=45。，设折射角为优，，半=应，，sina'=2哈=:，

sma722

则a=30。，:.ZOAB=30°=ZOBA,

所以ZxO3=60。，则XB=2cos（-6（r）=l,=2sin（-60°）=-73,

所以B（l,-石），且尸=45°.

该光线再次返回空气中时，其所在直线的倾斜角为180°-（45°-30°）=165。,

则其所在直线的斜率为tanl65°=-tanl50=-tan（45o-30°）

1一且

tan45°-tan30°

——1=币-2,

1+tan45°tan30°1+1x3

3

二直线的方程为y+石=（石-2）（彳-1）,整理得（6-2卜-〉+2-2/=0.

故答案为：（6-2卜-产2-2石=0

1、已知直线0+6=0,直线/4x+32；y+Q=o,贝！I4///20452—44=。，且AG—46wo

2—-LZ<=>

(或4cB2clw0),lx244+B[B2=0.

2、点尸(尤0,%)到直线/：Ax+By+C=0(A,2不同时为零)的距离d=+为。+0.

VA2+B2

\c-CI

3、两条平行直线4：Ax+3j+G=0,Z2：A^x+B^+C,=0(A,3不同时为零)间的距离。=1J.

VA2+B2

【变式1-1】已知过原点的直线/与圆。：(了-1)2+产=4相交于4,8两点，若a用=乎，则直线/的方程

为.

【答案】y=±巫X

15

【解析】圆C:(x-iy+y2=4的圆心C(l,0),半径厂=2

当过原点的直线斜率不存在时，/的方程为x=0,圆心C(l,0)到直线x=0的距离为1,不符合题意要求;

当过原点的直线斜率存在时，/的方程可设为y=

由悬I’可得I普此时/的方程为y=±若x

综上，直线/的方程为＞=土色x.

15

故答案为：y=±x.

15

【变式1-2】一条光线经过点4(2,3)射到直线无+y+l=0上，被反射后经过点3。/)，则入射光线所在直线

的方程为

【答案】5x—4y+2=0

龙。+

1।%+1+1=0,

22

【解析】设点B关于直线x+y+1=0的对称点为？(%,%),则,解得

%一1

.（T）=T%=-2,

所以夕(-2,-2).又点4(2,3),

3-(-2)55

所以％=或后="直线AB'的方程为y-3=|(x-2),

由图可知，直线A9即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为5x-4y+2=0.

故答案为：5x-4y+2=0.

命题预测

1.过定点A的直线/：ox+y-2a+4=0与圆G：尤?+丁=4交于8,C两点，点B恰好为AC的中点，写出满

足条件的一条直线的方程.

【答案】x+y+2=0或7x+y-10=0

【解析】由直线/：◎+，-2a+4=0,整理可得(x-2)a+y+4=0,当x=2时y=-4,故直线/过定点A(2T),

设则«岩

焉+y；=4

由B,C在圆G：必+y2=4则整理可得%-2%+2=0,

=4

6

联立可得卜C，消去X。可得：5代-8%=0,解得［尤°=/或05

区-2%+2=0［yo=0=8

；°5

当点c的坐标为(-2,0),由两点式方程，可得卷1=13,整理可得x+y+2=0,

68

1—y—

当点C的坐标为［不MJ,由两点式方程，可得一|=—整理可得7x+y-10=0,

2——4—

55

故答案为：x+y+2=0或7x+y—10=0

题型二：圆的方程

【典例2-1］如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为4米,

门在地面处的宽度为4米.现将其截面图放置在直角坐标系尤。X中，以地面所在的直线为x轴，过圆心的竖

直直线为＞轴，则门的轮廓所在圆的方程为（）

【答案】A

【解析】设该圆的半径为「，如图,

由题意知：|。口=4-厂，\BD\=r,\OB\=2,

由勾股定理得：忸叶=|