2025年高考数学二轮复习讲义：圆锥曲线离心率问题精妙解法（原卷版）

专题17圆锥曲线离心率问题精妙解法

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03知识梳理•方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测............................................................5

题型一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题6

题型二：焦点三角形顶角范围与离心率7

题型三：共焦点的椭圆与双曲线问题9

题型四：椭圆与双曲线的4a通径体10

题型五：椭圆与双曲线的4a直角体12

题型六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题13

题型七：双曲线的4a底边等腰三角形14

题型八：焦点到渐近线距离为b15

题型九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形17

题型十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题18

题型十一：渐近线平行线与面积问题20

重难点突破：数形结合转化长度角度21

差情;奏汨•日标旦祐

关于椭圆或双曲线的离心率，以及与双曲线的渐近线相关的问题，通常以选择或填空题的形式出现,

其难度属于中等水平。

考点要求目标要求考题统计考情分析

离心率问题是高

考数学的必考内容，主

2024年甲卷第5题，5分

要考查圆锥曲线的概

2024年I卷第12题，5分

念和几何性质。在二轮

2023年I卷第5、16题，10分

掌握求解，理解2023年甲卷第9题，5分复习中，应掌握其基本

离心率

应用。2022年甲卷第10题，5分性质和常规处理方法，

2022年浙江卷第16题，4分特别是要从挖掘椭圆

2021年甲卷第5题，5分

和双曲线的几何性质

2021年天津卷第8题，5分

入手，以应对考试中的

相关问题。

匐2

知识导图•思维引航7

顶角为直角的焦点三角形求解离心率

的取值范围问题

焦点三角形顶角范围与离心率

共焦点的桶圆与双曲线问题

牛nt口偏孑里・二注怙工亏

求离心率范围的方法

一、建立不等式法：

1、利用曲线的范围建立不等关系.

22

2、利用线段长度的大小建立不等关系.斗鸟为椭圆二+与=1（a>6>0）的左、右焦点，尸为椭圆上

a2b2

22

的任意一点，|尸娟w[a-c,a+c];斗名为双曲线二—匕=l（a>0力>0）的左、右焦点，尸为双曲线上的

a2b2

任一点，|P^|>c-a.

22

3、利用角度长度的大小建立不等关系.月，月为椭圆0+1=1的左、右焦点，尸为椭圆上的动点，

2

〃2b

若ZFtPF2=e,则椭圆离心率e的取值范围为sin|<e<l-

4、利用题目不等关系建立不等关系.

5、利用判别式建立不等关系.

6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系.

7、利用基本不等式，建立不等关系.

0

心真题砒标•精御皿\\

22

1.（2024年新课标全国I卷数学真题）设双曲线C:「-1=l（a>0,6>0）的左右焦点分别为片、鸟，过F?

ab

作平行于y轴的直线交C于48两点，若|£A|=13,|AB|=10,则C的离心率为.

22

2.（2023年新课标全国I卷数学真题）已知双曲线C:2=1（。>0,。>0）的左、右焦点分别为片,工.点

ab

__9

A在C上，点3在y轴上，F^1F^,^A=--F;B,则C的离心率为.

3.（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C的焦点为（-2,0）和（2,0）,离心率为四，则C的方程为

22

4.（2023年新课标全国I卷数学真题）设椭圆0：3+丫2=1（°>1）6：工+了2=1的离心率分别为0，4.若

a4

e2-yfiel，则〃=（）

A.¥B.V2c.73D.V6

22

5.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆C:二+2=1（。>6>0）的左顶点为A,点尸，。均在C上，

ab

且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为则C的离心率为（）

A.也B.变C.1D.-

2223

6.（多选题）（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C的两个焦点为斗工，以C的实轴为直径的

3

圆记为。，过片作。的切线与。交于M,N两点，且cosN耳Ng=g,则。的离心率为（）

㈤5

孩心精说，题型突破

题型一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题

22

【典例1-1】己知椭圆宗+%=l（a>b>0）上一点A,它关于原点的对称点为B,点产为椭圆右焦点，且满

TT兀、

足AFLBF,设NA即=e,且,则该椭圆的离心率e的取值范围是（）

A.悍,g）B,[f4]C.,用D.忤”

22

【典例1-2】已知椭圆C：3+3=l（a>b>0）上有一点A,它关于原点的对称点为8,点尸为椭圆的右焦

cib

jr

点，且AP_L8F,ZABF=—,则椭圆的离心率为（）

12

A.|B.逅C.3D.—

2332

巧

顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示:

椭圆：e=

双曲线：e=——1——=-------------,根据a范围求解值域.

cosa-sina5+

22

【变式1-1】设A是双曲线'-当=1（。>0,6>0）在第一象限内的点，厂为其右焦点，点A关于原点。的对

ab

称点为8,且E4_LFB,2\FA\<\FB\<4\FA\,则双曲线C的离心率的取值范围是（）

22

【变式1-2】双曲线二-2=1（a>0,b>0）左支上一点A关于原点的对称点为点反/为其右焦点，若

ab

AF±BF9设NABjF=a,且了五则离心率e的可能取值是（）

A-TBYC.fD.萼

命题预测n

22

1.已知双曲线=1（。>0,6>0）右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为反尸为双曲线的右焦点,

ab

若AFLBF,设=且"哈箸则该双曲线的离心率的取值范围为（）

A.(1,A/2)B.(72,2)C.^"\/2,+cojD.(2,+oo)

题型二：焦点三角形顶角范围与离心率

22

【典例2-1】已知点招，鸟分别是椭圆「+谷=l（a>b>0）的左、右焦点，点尸是椭圆上的一个动点,

ab

若使得满足公尸片工是直角三角形的动点尸恰好有6个，则该椭圆的离心率为（）

A.|B.且C.—D.立

2223

22

【典例2-2】己知P为椭圆3=上一动点，工、工分别为该椭圆的左、右焦点，8为短轴一

ab

端点，如果1Ml长度的最大值为助，则使以百尸2为直角三角形的点p共有（）个

A.8个B.4个或6个C.6个或8个D.4个或8个

22

圆居是椭圆二+==1（。>6>0）的焦点，点尸在椭圆上，NRPF-e,贝UcosON-2e?（当且仅当

ab

动点为短轴端点时取等号）.

22

【变式2-1】已知居，F?分别是椭圆1r+方=1e>6>0）的左、右焦点，若椭圆上存在点尸，使得所电=0,

则该椭圆的离心率的取值范围是（）

22

【变式2-2】已知椭圆C的方程为—+4=1（。>匕>0）,耳，耳为其左、右焦点，e为离心率，p为椭圆上一

ab

动点，有如下说法：

①当0<e<曰时，使△尸用工为直角三角形的点尸有且只有4个；

②当£=当时，使鸟为直角三角形的点尸有且只有6个；

③当,<e<l时，使△尸£居为直角三角形的点P有且只有8个；

以上说法中正确的个数是

A.0B.1C.2D.3

命题预测

22

1.已知P为椭圆3+[=l（a>b>0）上一点，与，与分别是椭圆的左、右焦点.若使AP^F?为直角三角形的

ab

点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（）

题型三：共焦点的椭圆与双曲线问题

【典例3-1】已知椭圆E：T+2=l（q>4>0）与双曲线C:吞-与=1（出>0也>。）共焦点，演典分别为

%by%%

左、右焦点，点尸为E与C的一个交点，且4尸6=120。，设E与C的离心率分别为4,4,则e：+e；的取

值范围是（）

A.（忘,+oo）B.（右,+oo）C.（2,+co）D.（3,+oo）

22

【典例3-2】已知以小耳为焦点的椭圆C:=+与=1（°>》>0）与双曲线T共焦点，一动点M在直线/:x=-a

ab

上运动，双曲线7与椭圆C在一象限的交点为P,/月尸耳=],当/月尸乙与相等时，居取得最

大值，则双曲线7的离心率为（）

A.272B.342C.述D.逑

42

.22a

sm——。cos——

2-

____22+.____2T}，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围

e椭e双

2222

【变式3-1】已知椭圆G：土+与=1（0<"<6）与双曲线G：二-一J=1（0<a<4）共焦点%F2,

36n2a216-d

过耳引直线/与双曲线左、右两支分别交于点M,N,过。作Q4，/,垂足为A,且（。为坐标原

4

点），若tanN4N鸟=§,则G与。2的离心率之和为（）

A4+3石D4+3713„4+3464+3万

6633

【变式3-2】椭圆与双曲线共焦点尸|,F2,它们的交点为尸，且/片尸耳=个.若椭圆的离心率为"，则双曲

32

线的离心率为（）

A.B.述C.73D.2

64

命题预测J

22

1.已知椭圆G：二+与=l（a>b>0）的左、右焦点分别为K，B，离心率为G，椭圆C1的上顶点为M,且

ab

MF[MF^=O.双曲线Q和椭圆G有相同焦点，且双曲线c2的离心率为eZ,尸为曲线G与G的一个公共点，

IT

若/4P玛=§,则e?的值为（）

A.2B.3C.好D.渔

22

题型四：椭圆与双曲线的4a通径体

【典例4-1】设双曲线C:+-]=1（4>0力>0）的左、右焦点分别是公、F2,过6的直线交双曲线C的左

ab

支于M、N两点，若|M闾=|耳闻，且21M凰=|N居则双曲线C的离心率是（）

A4R5若3

A.-D.—C.----U.一

3322

22

【典例4-2】已知双曲线C:，-*=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别是乙、F2,M是双曲线C右支上的一

点，片加交双曲线C的左支于点N,若|八胤:悭叫阳国=1:2:2,则C的离心率为（）

A.乖）B.2C.75D.不

Hl

椭圆与双曲线的4a通径体

如图，若Ag_L片耳，易知［A闾=2，若福=彳耳夙;1>1）,则一定有|A耳卜号.2,根据

|A周+|4周=2。可得4±2互=2°，即"1（1一/）=lne=、耳

2a4VA+3

【变式4-1】若椭圆C：=+2=1（%>仇>0）的离心率与双曲线E:二—与=1（a2>0,打>。）的离心

率之积为1,4，F2分别是双曲线E的左、右焦点，M,N是双曲线E的左支上两点，且丽〃西，

|町|+悭段=3%,\MF2\^\MN\,A,尸分别是椭圆C的左顶点与左焦点，|A尸I=3-6，则椭圆C的方程

为（）

.x2y2x2y2x2y2x2j2

32949554

22

【变式4-2］己知乙，工分别是椭圆C：=+3=ig>b>0）的左、右焦点，过点月的直线交椭圆C于

ab

N两点.若|肱^+|町|=2］峥|,且沙，叫，则椭圆Q的离心率为（）

「

A,昱A/2

Vz.--------D-4

命题预测T

22

1.设椭圆C：A+当=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为尸I，F2,过原点。的直线/交椭圆于Af,N两点,

若|MN|=2c,囚6口入闾=1:20,则C的离心率为（）

A.叵口6G3cD36-3

47-1*―7­

题型五：椭圆与双曲线的4a直角体

22

【典例5-1】已知椭圆C:=+々=1（°>6>0）的左、右焦点分别为耳、F2,过乙作直线/与椭圆相交于M、

ab

N两点，NMF°N=90,且4优N|=3优则椭圆的离心率为（）

A.-B.1C.3D.好

3235

22

【典例5・2】设小尸2分别是椭圆石:三+与=1（〃>10）的左、右焦点，过尸2的直线交椭圆于4B两点,

ab

_____k_____,ULMUUU

且砍•伍=0,AB=4FzB,则椭圆E的离心率为（）

A.-B.亚C.6D.立

2234

巧

如左图，若A4_LAB,AB过原点，MAFi=AFlB,可得离心率.

如右图，若如_LAC,AB过原点，且AF2=2尸2c（。<2<1），通过补全矩形，可得AF]_LAC,

|悟|二等『借助公式

可得离心率.

22

【变式5・1】设小尸2分别是椭圆E：・+2=l（4>8>0）的左、右焦点，过尸2的直线交椭圆于A,5两点,

ab

且斯・亚'=0,N瓦=2质，则椭圆E的离心率为（）.

A,昱7

以D

2与-1

22

【变式5-2】设月、居分别是椭圆E:二+「=1（。＞6＞0）的左、右焦点，过点耳（-30）的直线交椭圆E于48

ab

两点，若H片1=3区可，且AB_LA鸟，则椭圆E的离心率是

命题预测

22

1.设瓦，歹2分别是椭圆石：=+与=1（"＞匕＞0）的左、右焦点，过点片的直线交椭圆E于A,B两点,

ab

1M|=3怛耳I，若cosNA入3则椭圆E的离心率为（）

A.1B.-C.昱D.也

2322

题型六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题

22

【典例6-1】椭圆C:事+提=1（。＞6＞0）的左、右焦点分别为尸1,F,过点片的直线/交椭圆C于A,B两

ab2

点，若|月耳|=|4工|,苕=2耶，则椭圆C的离心率为（）

【典例6-2】已知椭圆C的焦点为居（TO），g（1,0）,过仍的直线与C交于A,B两点.若IAfJ=2|6冏,

IAB\=\BF],则C的方程为

同角余弦定理使用两次

【变式6-1】己知椭圆C的焦点为耳，F2,过耳的直线与C交于A,B两点，若[4用=忸用=宗忸用，则C

的离心率为（）

A.也B.走C.1D.-

2323

【变式6-2】已知双曲线C的焦点为片（-1,0）,8（1,0）,过4的直线与双曲线C的左支交于A,8两点，若

|明|=2忻讯|至|=|巡|,则。的方程为（）

A.a-6yaB,江一/=1C.4yaD,至一至=1

534334

命题预测I

22

已知双曲线-当（）左右焦点为居,

1.3=10>0/>0F2,过尸2的直线与双曲线的右支交于尸，。两点，且

ab

PFi=2KQ,若4尸。百为以。为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）

A.不B.V2

cV21

D.6

3

题型七：双曲线的4a底边等腰三角形

22

【典例7-1】设工为双曲线c：二-2=1（。>0,6>0）的右焦点，直线/：x-2y+c=0（其中。为双曲线C

ab

的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于M,N两点，若旃•（可7+研）=。，则双曲线C的离心率

是（）

A.-B.-C.姮D.逑

3333

22

【典例7-2】设F?为双曲线C：工-斗=1（”>0,沙>0）的右焦点，直线/：x-3y+c=0（其中c为双

ab

曲线C的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于N两点,若丽.（W+W）=0,则双曲线C的

离心率是（）

BD.

-T2

当优=|鸟邳或者|A.=4a时，令，则一^定存在①忸叫=优却，②e二―,

“vcos2a

【变式7-1】设双曲线C:5-，=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为片，鸟，过点K作斜率为弓的直线/与

双曲线C的左、右两支分别交于M,N两点，且（及质+可）•丽=0,则双曲线C的离心率为（）

A.72B.V3C.6D.2

1命题预测卜

,v23

1.设双曲线C:=-当=1（〃>0*>0）的左、右焦点分别为《，F2,过点耳作斜率为:的直线/与双曲线C

ab4

的左、右两支分别交于M,N两点，且F?在线段MN的垂直平分线上，则双曲线C的离心率为（）

A.6B.73C.77D.券

题型八：焦点到渐近线距离为b

22

【典例8-1】已知双曲线（?:=-与=1（。>04>0）的左、右焦点分别为耳，工，过F?作双曲线C的一条渐近

ab

线的垂线/,垂足为H,直线/与双曲线C的左支交于E点，且H恰为线段EB的中点，则双曲线C的离心

率为（）

A.逝B.73C.2D.75

22

【典例8-2】已知双曲线C：3-1=1（。＞。，6＞。）的左、右焦点分别为尸i，F],过C的右支上一点产

ab

作C的一条渐近线的垂线，垂足为H,若忸M+I牛I的最小值为（2+g）a,则C的离心率为（）

A.V5B.2C.V3D.72

巧

b、

双曲线的特征三角形，如图所示,-x，过右焦点作尸M_!_/]，FN±l2＞

aa

故四=幽上

由于渐近线方程为y=±2x=2,且斜边卜°,故==g'故1°闾=|。时=々,

a'\OM\|ON|

\MF2\=\NF2\=b.

22

【变式8-。已知双曲线的左、右焦点分别为乙、F2,过乙作直线/,使得它双曲

线的一条渐近线垂直且垂足为点。，/与双曲线的右支交于点尸，若线段P。的垂直平分线恰好过c的右焦

点F2,则双曲线c的离心率为（）

A.@B.姮C巫

232

22

【变式8-2】已知双曲线二-谷=1（。＞0,6＞0）的左右焦点分别为耳，尺,以。耳为直径的圆与双曲线的一

ab

条渐近线交于点”（异于坐标原点。），若线段叫交双曲线于点尸，且哂“OP则该双曲线的离心率为

（）

A.72B.6C.与D.76

命题预测

V22

1.已知尸1、尸2分别是双曲线C：二斗=l（a>0力>0）的左、右焦点，过尸2作双曲线C的一条渐近线的垂

ab

线，分别交两条渐近线于点A、B,过点3作x轴的垂线，垂足恰为《，则双曲线。的离心率为（）

A.2B.73C.2gD.至

题型九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形

22

【典例9-1】已知双曲线c：二-2=13>0/>0）的一个焦点为尸，过户作双曲线C的一条渐近线的垂线，

ab

垂足为A.若AOE4（。为坐标原点）的面积等于:。2（c为双曲线c的半焦距），则双曲线C的离心率为（）

A.72B.6C.2D.75

22

【典例9-2］已知双曲线E:=-2=1（。>0*>0）的左焦点为耳,过点耳的直线与两条渐近线的交点分别为

ab

M、N两点（点片位于点〃与点N之间），且砺=2祁，又过点月作月尸，于尸（点。为坐标原点），且

\ON\^\OP\,则双曲线E的离心率0=（）

A.VsB.6C.毡D.好

32

利用几何法转化

22

【变式9-1】过双曲线二-当=1的焦点尸作其渐近线的垂线，垂足为A,直线E4交双曲线的另一条渐近

ab

线于3点，。为坐标原点，若砺+砺=2两，则双曲线的离心率为（）

A.73B.2C.A/5D.3

22

【变式9-2】过双曲线C：二一2r=1（°>0,b>0）的右焦点尸引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于

ab

第二象限，则双曲线。的离心率的取值范围是（）

A.(亚,+8)B.(/，+8)C.(2,+oo)D.(3,+oo)

1命题预测

22

1.已知双曲线C:「-当=l（a＞0,b〉0）,过右焦点尸作C的一条渐近线的垂线/,垂足为点A,/与C的

a2b2V）

­.2-.

另一条渐近线交于点5,若A/=gA3,则。的离心率为（）

A.画B.2C.毡D.叵

532

题型十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题

22

【典例10一1】设乙，尸2是双曲线C：5一当=1（。＞0,6＞0）的左、右焦点，以线段G8为直径的圆与直线

ab

区-◎=0在第一象限交于点A,若tanNA60=2,则双曲线C的离心率为（）

22

【典例10-2】已知片，F2分别为双曲线C：二一2=1（。＞0力＞0）的左，右焦点，以「耳为直径的圆与

ab

双曲线C的右支在第一象限交于A点，直线A8与双曲线C的右支交于B点，点F?恰好为线段A8的三等分

点（靠近点A）,则双曲线C的离心率等于（）

A.72B.V5C.叵D.匕或

32

巧

以耳外为直径作圆，交一条渐近线y=于点3,幽交另一条渐近线于点A,则令，则

a

2

ZBF1F2，e=71+tana

22

【变式10-1】已知双曲线C:三-与=1（〃〉0,。〉0）的左、右焦点分别为片，F2,以耳耳为直径的圆与。的

一条渐近线在第一象限交点为夕，直线耳P与另一条渐近线交于点。.若点。是线段可尸中点，则双曲线。

的离心率是（）

A.73B.2C.5/5D.3

命题预测T

22

1.已知双曲线C：十-}=1（。>0,6>0）的左，右焦点分别为B,尸2,若以为直径的圆和曲线C在第

一象限交于点尸，且APOB恰好为正三角形，则双曲线C的离心率为（）

1+A/3口1+A/5

--------------D.--------------C.1+V3D.1+75

22

题型十一：渐近线平行线与面积问题

22

【典例11-1】已知片，尸2分别为双曲线C：二-2=1（“>0,6>0）的左、右焦点，过尸2作C的两条渐近线

ab

的平行线，与渐近线交于M,N两点.若cosNA^N=《，则C的离心率为（）

A.2B.孚C.75D.|

22

【典