2025年高考数学二轮复习讲义：立体几何常见压轴小题（原卷版）

专题14立体几何常见压轴小题全面总结与归纳解析

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

m占nt口马囱.田摊己I白?rq

03知识梳理•方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测............................................................6

05核心精讲•题型突破............................................................9

题型一：球与截面面积问题9

题型二：体积、面积'周长、角度、距离定值问题10

题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题12

题型四：立体几何中的交线问题14

题型五：空间线段以及线段之和最值问题16

题型六：空间角问题18

题型七：轨迹问题20

题型八：翻折问题22

重难点突破：以立体几何为载体的情境题24

差情;奏汨•日标旦祐

高考对这一部分的考察主要集中在两个关键点：一是判断与空间线面位置关系相关的命题真伪；二是

涉及一些经典且常出现于压轴位置的小题，这些小题通常具有中等或偏上的难度。

考点要求目标要求考题统计考情分析

对于2025年高考的预

掌握球截面性质，2021年天津卷第6题，5分

球与截面面积问题测，关于几何题目的出现

会求截面面积2018年I卷第12题，5分

形式和热点，可以重新表

述为：

2023年甲卷第16题，5分

掌握求解方法，解

2022年乙卷第9题，5分(1)预计几何题目将

最值与范围问题决最值与范围问

2022年I卷第8题，5分以选择题或填空题的精炼

题

2021年上海卷第9题，5分形式呈现，旨在全面检验

学生的逻辑推理与综合分

析能力。

2024年II卷第7题，5分

(2)考试的几何热点

2023年天津卷第8题，5分

掌握角度计算，解内容可能会聚焦于基础几

角度问题2023年乙卷第9题，5分

决立体几何难题何体的表面积与体积计

2022年浙江卷第8题，4分

2022年甲卷第9题，5分算、空间中的最短路径求

解，以及几何体的截面形

状与性质等关键问题。

㈤3

1、几类空间几何体表面积的求法

（1）多面体：其表面积是各个面的面积之和.

（2）旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和.

（3）简单组合体：应弄清各构成部分，并注意重合部分的删、补.

2、几类空间几何体体积的求法

（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算.

（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，

有时可采用等体积转换法求解.

（3）锥体体积公式为丫=jsh,在求解锥体体积时，不能漏掉

3、求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆

锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形.

4、球的截面问题

球的截面的性质：

①球的任何截面是圆面；

②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；

③球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为内=r2+d2.

注意：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数

量关系；选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素

之间的关系），达到空间问题平面化的目的.

5、立体几何中的最值问题有三类：一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面的

面积和体积的最值；二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；三是在空间几何

体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系.

6、解决立体几何问题的思路方法：一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关

系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求

最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题；涉及某

些角的三角函数的最值，借助模型求解，如正四面体模型、长方体模型和三余弦角模cos6=cosacos£

为平面的斜线与平面内任意一条直线/所成的角，。为该斜线与该平面所成的角，£为该斜线在平面上的射

影与直线/所成的角）.

7、立体几何中的轨迹问题，这是一类立体几何与解析几何的交汇题型，既考查学生的空间想象能力,

即点、线、面的位置关系，又考查用代数方法研究轨迹的基本思想，培养学生的数学运算、直观想象等素

养.

8、解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法.对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中

的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，

熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义.二是代数法（解析法）.在图形中，建立恰当的空间直角坐

标系或平面直角坐标系.

9、以立体几何为载体的情境题大致有三类：

（1）以数学名著为背景设置问题，涉及中外名著中的数学名题名人等；

（2）以数学文化为背景设置问题，包括中国传统文化，中外古建筑等；

（3）以生活实际为背景设置问题，涵盖生产生活、劳动实践、文化精神等.

10、以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来

解决问题.图形怎么阅读?一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所

读出的信息进行提升，实现“图形―文字—符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图

形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去

阅读图形.

0

心真题砒标•精御皿\\

1.（2024年北京高考数学真题）如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形，上4=依=4,

PC=PD=2V2＞该棱锥的高为（）.

A.1B.2C.72D.73

52

2.（2024年新课标全国D卷数学真题）已知正三棱台ABC-A4C］的体积为AB=6,A4=2,则

与平面ABC所成角的正切值为（）

A.；B.1C.2D.3

3.（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）在正方体中，=4,0为4和的中点，若该正

方体的棱与球。的球面有公共点，则球。的半径的取值范围是.

4.（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在正方体ABCD-ABIGA中，E,尸分别为AB,G?的中点,

以跖为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点.

5.（2023年北京高考数学真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以

勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两

个面是全等的等腰三角形.若AB=25m,BC=AD=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面

与平面ABCD的夹角的正切值均为巫，则该五面体的所有棱长之和为（）

5

B.112m

C.117mD.125m

6.（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形,

PC=PD=3,ZPCA=45°,则△尸3C的面积为（）

A.2V2B.3&C.40D.672

7.（多选题）（2023年新课标全国I卷数学真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正

方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

8.（多选题）（2023年新课标全国II卷数学真题）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径，

ZAPB=120°,E4=2,点C在底面圆周上，且二面角P—AC—O为45。，则（）.

A.该圆锥的体积为兀B.该圆锥的侧面积为4百兀

C.AC=26D.AB4c的面积为6

9.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知VA2C为等腰直角三角形，为斜边，AABD为等边三

角形，若二面角C-AB-O为150。，则直线与平面A8C所成角的正切值为（）

A.-B.也C.BD.-

5555

10.（2022年新高考浙江数学高考真题）如图，已知正三棱柱43（3-48£,城=相，£,F分别是棱BC，AG

上的点.记所与AA所成的角为a,访与平面ABC所成的角为夕，二面角/-3C-A的平面角为/,则

()

A.a<p<yB.P<a<yC./3<y<aD.a<y</3

H.（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均

在球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

工PA/3血

A.BI.------un.—

3-I32

12.（2022年新高考北京数学高考真题）已知正三棱锥尸-ABC的六条棱长均为6,S是VABC及其内部的

点构成的集合.设集合T={QeS|PQV5},则T表示的区域的面积为（）

3TT

A.—B.乃C.2兀D.3九

4

13.（2022年新高考全国I卷数学真题）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体

积为36%,且34”3石，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

27812764

A.B.丁彳C.D.[18,27]

14.（多选题）（2022年新高考全国H卷数学真题）如图，四边形ABCD为正方形，中，平面ABCD,

FB//ED,AB=ED=2FB,记三棱锥E-ACD,F-ABC,P—ACE的体积分别为匕匕,匕，则（）

C.匕=匕+%D.2匕=3匕

㈤5

孩心精说，题型突破

题型一：球与截面面积问题

【典例1-11（24-25高三上江苏常州•期末）已知正方体438-A*；，的棱长为2,点M为棱。〃的中点，

则平面ACM截该正方体的内切球所得截面面积为（）

71-2兀——4兀

A.-B.—C.ITD.—

333

【典例1-2】已知棱长为3的正四面体的几何中心为0,平面a与以。为球心的球相切，若。与该正四面体

的截面始终为三角形，则球。表面积的取值范围为（）.

球的截面问题

球的截面的性质：

①球的任何截面是圆面；

②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；

③球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为A?=r2+d2.

【变式1-1X2024・河南开封•二模）已知经过圆锥SO的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO

分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（）

A.1:8B.1:9C.1:26D.1:27

【变式1-2］（2024•江苏南通•二模）在棱长为2的正方体ABC。-中，p,Q,R分别为棱BC,CD,

CG的中点，平面PQR截正方体ABCD-A与G2外接球所得的截面面积为（）

1.已知四面体ABCD的各个顶点都在球。的表面上，BA,BC,3。两两垂直，且A3=而，BC=3,BD=4,

E是棱8C的中点，过E作四面体ABCZ）外接球O的截面，则所得截面圆的面积的最大值与最小值之差是（）

A.7兀

题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题

【典例2-1】半正多面体（semiregidarsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的

多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的.它由八个正三角

形和六个正方形构成（如图所示），点K满足瓯=丽+〃丽,〃则直线与平面ABE所成角的正

弦值（）

'为定畔

B.存在最大值，且最大值为1

D.存在最小值，且最小值为3

C.为定值1

6

【典例2-2]如图，已知正方体ABC。-ABIGR,点尸是四边形A[B]GA的内切圆上一点，。为四边形A2CD

的中心，给出以下结论：

①存在点P,使例〃平面。0尸；

②三棱锥A-DOP的体积为定值；

③直线AA与直线OP所成的角为定值.

其中，正确结论的个数为（）

DC

A.0B.1C.2D.3

几类空间几何体体积的求法

（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算.

（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，

有时可采用等体积转换法求解.

（3）锥体体积公式为V=/s〃，在求解锥体体积时，不能漏掉

【变式2-1］（2024广东广州•模拟预测）己知正方体ABGD-ABCQ的边长为1，现有一个动平面。，且a

〃平面当平面a截此正方体所得截面边数最多时，记此时的截面的面积为S,周长为/,则（）

A.S不为定值，/为定值B.S为定值，/不为定值

C.S与/均为定值D.S与/均不为定值

【变式2-2］（多选题）如图，在正方体ABC。-A耳£2中，P为线段AG的中点，。为线段BG上的动点

（不包括端点），则（）

A.存在点Q,使得尸。

B.存在点Q,使得PQ工平面ABC。

C.对于任意点。，尸。，8£»均不成立

D.三棱锥。-AP。的体积是定值

------------------------------------:L

命题预测

1.如图，正方体ABC。-A4G2的棱线长为1，线段42上有两个动点E,F,且EF泻,则下列结论中

错误的是（)

A.ACLBEB.EF//平面ABC。

C.三棱锥A-BER的体积为定值D.异面直线AE,2月所成的角为定值

题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题

【典例3-1］（多选题）如图，在正四面体A3CD中，已知筋=2,。为棱A8的中点.现将等腰直角三角形E4B

绕其斜边A3旋转一周（假设AE钻可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正确的是（）

A.三角形E钻绕斜边A3旋转一周形成的旋转体体积为2

B.0,C,2E四点共面

C.点E到C。的最近距离为女一1

D.异面直线CD与AE所成角的范围为江，刍

42

【典例3-2］（多选题）（2024.全国.模拟预测）如图，在棱长为2的正方体4BCD-ABC2中，E为BC的

中点，若一点尸在底面ABC。内（包括边界）移动，且满足男尸，RE,贝|（）

DiC,

A.与平面CGRD的夹角的正弦值为！B.A点到2E的距离为逑

33

一4

C.线段男尸的长度的最大值为20D.丽与丽的数量积的范围是一寸1

几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐

标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值.

【变式3-1］（多选题）已知正方体ABCD-A耳G，棱长为2,MN为正方体ABCD-内切球。的直径,

点P为正方体ABC。-A与G2表面上一动点，则下列说法正确的是（）

A.当尸为BC中点时，A片与。P所成角余弦值为强

5

4

B.当尸£面3。。4，/.48=§时，点尸的轨迹长度为2啦

C.丽.南的取值范围为［0,2］

TT

D.AM与AG所成角的范围为0,-

【变式3-2］（多选题）如图，在棱长为2的正方体A3。-44GA中，已知N,。分别是棱M，CG的中

点，M,尸分别是棱RG，BC上的动点，下列结论正确的是（）

A.四面体？的体积为定值

B.不存在动点P,使得

JTTT

c.直线CM与平面44。所成角的范围是

04_

D.若M,P分别是棱AG，BC的中点，由平面MAQ分割该正方体，其中截面MNQ上方的部分为几

何体。，某球能够被整体放入几何体O,则该球半径的最大值为上左

命题预测1

卜........»

1.（多选题）（2024•云南昆明•模拟预测）如图，已知正四棱柱ABCD-A4GR的底面边长为1,侧棱长为

2,点E为侧棱C。（含端点）上的动点，直线平面则下列说法正确的有（）

A.直线8片与平面a不可能平行

B.直线CO与平面a不可能垂直

C.若GE=EC且则平面a截正四棱柱所得截面多边形的周长为3夜

（

D.直线48与平面a所成角的正弦值的范围为|0,事

题型四：立体几何中的交线问题

【典例4-1】阅读材料：空间直角坐标系。-孙z中，过点尸（为,为〜）且一个法向量为以=（a,瓦。的平面a的

方程为-%）+6（y-%）+c（z-Zo）=O.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面a的方程为

x-2y+z-7=0,直线/是两平面x-y+l=。与y-z+2=0的交线，则直线/与平面a所成角的正弦值为（）

A.0B.；C.—D.且

222

【典例4-2】（2024•江西景德镇.一模）甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为CH”它是由四个氢原子和

一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分

子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点ABCD处，碳原子位于正四面体的中

心。处.若正四面体ABCD的棱长为1,则平面。R和平面OCD位于正四面体内部的交线长度为（）

A.也B.3C.逅D.1

233

几何法

【变式4-1]（2024•广东广州•模拟预测）在正六棱柱ABCDEF-ABCAKG中，朋=248=6,。为棱的

中点，以。为球心，6为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（）

A.（3+73）7tB.（6+73）7tC.（3+2括）兀D.（6+2A/3）TI

【变式4-2]（2024•宁夏吴忠・模拟预测）在正方体ABCD-A与GR中，点尸为线段8Q上的动点,直线机为

平面4。尸与平面4c尸的交线，现有如下说法

①不存在点尸，使得84〃平面AQP

②存在点尸，使得4P，平面4。尸

③当点P不是22的中点时，都有相〃平面4月8

④当点尸不是的中点时，都有〃71_平面482

其中正确的说法有（）

C.②③D.①④

命题预测J

1.用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直

于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角6不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物

线、双曲线.因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.记圆锥轴截面半顶角为a,截口

曲线形状与da有如下关系：当。,a时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线：当。时，

截口曲线为双曲线.如图1所示，其中现有一定线段A8,其与平面夕所成角。（如图2）,B

为斜足，夕上一动点P满足=设P点在夕的运动轨迹是「，贝U（）

图1图2

A.当展/时，「是抛物线B•当“=＞比时，「是双曲线

TV7T

C.当。*/二时，「是圆D.当7=：时，r是椭圆

题型五：空间线段以及线段之和最值问题

【典例5-1】棱长为1的正方体ABCO-AAGD中，点P在棱co上运动，点。在侧面AD2A上运动，满

足4。，平面人2尸，则线段P。的最小值为一.

【典例5-2】已知a-/是大小为60。的二面角，C为二面角内一定点，且到半平面以/3的距离分别为3、4,

A、8分别是半平面a、△内的动点.则VABC周长的最小值为.

几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐

标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值.

【变式5-1］如图，棱长为1的正方体ABC。-A瓦G2中，尸为线段A片的中点，M,N分别为线段AG和

棱C］R上的动点，则2PM+也MN的最小值为

【变式5-2］如图，八面体。的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点民CD,E在同一个平面内.若

点加在四边形2CDE内（包含边界）运动，当肱时，点M到BC的最小值为.

A

N

■E

F

F

命题预测

1.如图，在棱长为4的正方体ABCD-A再GR中，已知P是BG上靠近C1的四等分点，点”、N分别在

BC、BL)上,则APAW周长的最小值为.

题型六：空间角问题

【典例6-1】如图，正三棱锥尸-ABC的侧面和底面ABC所成的角为a,正三棱锥Q-ABC的侧面和底面

ABC所成的角为夕，AB=2,P和Q位于平面ABC的异侧，且这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面

上，则/P8Q=,tan(a+0的最大值为.

Q

【典例6-2】如图1,AB是圆0的直径，点C是圆0上异于A,B的点，直线PC,平面ABC,E,歹分别

是P4,PC的中点，记平面3EF与平面ABC的交线为/,直线/与圆。的另一个交点为£>,且点Q满足

国=g而.(如图2).记直线尸。与平面ABC所成的角为。，异面直线尸。与所所成的角为a,二面角

的大小为夕，则下列四个判断中，正确的个数有个.

①a>〃②/FBC=(3③sin6=sinasin尸④cos9=cosacos/?.

D

图1图2

1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角

形的内角，然后通过解三角形求得.求解的一般步骤为：

(1)作图：作出空间角的平面角.

(2)证明：证明所给图形是符合题设要求的.

(3)计算：在证明的基础上计算得出结果.

简称：一作、二证、三算.

2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某

个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上.

3、求直线与平面所成角的常见方法

(1)作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所

成的角即为所求.

(2)等积法：公式sin6=",其中。是斜线与平面所成的角，/z是垂线段的长，是斜线段的长，其中

求出垂线段的长(即斜线上的点到面的距离)既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求

垂线段的长.

(3)证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90。.

4、作二面角的平面角常有三种方法

(1)棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所

成的角，就是二面角的平面角.

(2)面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的

点(即垂足)，斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角.

（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的

角就是二面角的平面角.

【变式6-1］在正方体ABCD-AZC'D中，点P是A4上的动点，。是平面加'C'C内的一点，且满足

A'D±BQ,则平面3DP与平面所成角余弦值的最大值为.

【变式6-2］如图所示，几何体由正方体和正四棱锥组合而成，若该组合体内接于半径为R的球。（即所有顶

点都在球上），记正四棱锥侧棱与正方体底面所成的角为。，则tand=

命题预测

二

1.如图，边长为2的正方形A5CD中，瓦尸分别是ABIC的中点，将AADE,ACDF,ABEF分别沿DE,DF,EF

折起，使A,B,C重合于点P,则三棱锥尸-Z）所的外接球的体积为；设直线与平面DEF

所成角分别为a,/3,y,则sin2a+sin?/+sin?/=.

题型七：轨迹问题

【典例7-1】（2024•浙江台州•一模）已知球。的半径为3,尸是球。表面上的定点，S是球。表面上的动点,

且满足（2而+点）•丽=0,则线段OS轨迹的面积为（）

A.B.36兀C.6及兀D.6扃

【典例7-2］（24-25高三上・北京西城•期末）如图，在棱长为2的正方体A8CD-ABIGR中，E为棱&A的

中点，P为正方体表面上的动点，且麻，区.设动点尸的轨迹为曲线W,则（）

A.W是平行四边形，且周长为2夜+2君

B.W是平行四边形，且周长为3夜+2石

C.W是等腰梯形，且周长为2近+26

D.W是等腰梯形，且周长为30+26

巧

解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法.对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的

不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟

悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义.二是代数法（解析法）.在图形中，建立恰当的空间直角坐标

系或平面直角坐标系.

【变式7-1】已知点P是正四面体内的动点，E是棱CD的中点，且点尸到棱48和棱C。的距离相

等，则点P的轨迹被平面ABE所截得的图形为（）

A.线段B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分

【变式7-2］（多选题）（24-25高三上•河南•开学考试）如图，在棱长为2的正方体ABC。-4耳弓，中，尸为

棱A4的中点，Q为线段AC上的动点，E为底面ABCZ）内的动点，则（）

A.若察=2,则2QJ-AQ

B.若PE=叵,则动点E的轨迹长度为名昼

39

C.若直线PE与平面BCG与所成的角为:，则点E的轨迹为双曲线的一部分

D.若直线PE与平面BCG片所成的角为g,则点E的轨迹为椭圆的一部分

I命题预测T

1.在直四棱柱ABC。-A片G2中，底面A2CD是菱形，边长为2,NBAD.侧棱长2百，点/为四边

形。CGQ内动点，若"=夜,则点尸的轨迹长为.

题型八：翻折问题

【典例8-1】在正方形A58中，AB=2,E为AB中点，将VADE沿直线3E翻折至△^。石位置，点尸为

线段。C中点.在翻折的过程中，若M为线段AC的中点，则下列结论中正确的是（）

A.三棱锥3-MCE的体积最大值为好

10

B.异面直线3M、所成角始终为60°

C.翻折过程中存在某个位置，使得大小为60°

D.点M在某个圆上运动

【典例8-2】如图，在菱形ABCD中，/皿）=60。，线段AD,8。的中点分别为E,F.现将沿对

角线8。翻折，则异面直线8E与CF所成角的取值范围（）.

7171

B.

6,2

717171271

C.D.

392i'T

【变式8-1］如图，在矩形ABCD中，A8=2,4D=LA/为AB的中点，将八处/沿DM翻折.在翻折过程

中，当二面角A-BC-D的平面角最大时，其正弦值为（）

A.1B.@C.也D.拽

2535

【变式8-2］（多选题）在菱形ABC。中，AB=2,ZBAD=60°,E为AB的中点，将V/WE沿直线OE翻折

至△AOE的位置，使得二面角A-。E-C为直二面角，若尸为线段AQ的中点，贝|（）

B.DPIEC

C.异面直线网，AQ所成的角为三

D.42与平面尸皿所成角的余弦值为这

命题预测

1.（多选题）在正方形ABCD中，AB=2,E为AB中点，将沿直线DE翻折至△4。石位置，使得二

面角A-OE-c为直二面角，若M为线段AC的中点，则下列结论中正确的是（）

A.若点尸在线段OE上，贝14尸|+|尸。的最小值为2后

B.三棱锥3-MCE的体积为好

10

C.异面直线3M、AE所成的角为

4

D.三棱锥A-CDE外接球的表面积为5兀

重难点突破：以立体几何为载体的情境题

【典例9-1］（2024.青海.模拟预测）如图，在正方体ABa>-A4GR中，E,F,M,N,G,H分别为

棱AB,BC,AD,CD,A*,G2的中点，尸为3H的中点，连接EH,FG.对于空间任意两点/,J,

若线段〃上不存在也在线段E",%上的点，则称/,J两点“可视”，则与点用“可视”的点为（）

A.DB.PC.MD.N

【典例9-2］（22-23高三上•河北•期末）由空间一点。出发不共面的三条射线Q4,OB,OC及相邻两射线

所在平面构成的几何图形叫三面角，记为O-ABC.其中0叫做三面角的顶点，面AOB,BOC,C