2025年高考数学二轮复习《数列》专项测试卷+答案解析

《数列》专项测试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知数列满足：的=3,°+—匚=1,则=()

anan+l

A.|3B.j2C.2D.3

【答案】A

【解析】【分析】

本题考查数列的递推关系式的应用，属于较易题.

利用数列的递推关系式，逐步求解即可.

【解答】

解：数列｛。九｝满足：的=3,----1-------=1,即册+i——2T>

anan+l。九一工

„_的_3

一而一了

。3=会=3,

«4=-^-7=|，

2

3

故=3,=2'

故选4

2.已知等差数列｛%｝前〃项和为%,若也=导，则部=()

39

P124

2B

A-13nD3

【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查等差数列前〃项和公式的应用，根据等差数列性质转化为项之间的关系是解决本题的关键.

根据等差数列的性质进行转化求解.

【解答】

13(。1+町3)

解：在等差数列中，斗c得讦_13x207_13a7_1312_4

X-?

9（。1+初）-9x2a5-9a5-T133

故选：D.

3.已知等比数列｛册｝中，的+夫2=3,a3+a4=12,贝：的+为=()

第1页，共15页

A.3B.15C.48D.63

【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查等比数列的项的计算，根据条件建立方程关系或者利用等比数列的性质是解决本题的关键.

根据等比数列的性质进行求解即可.

【解答】解：：ar+a2=3,a3+a4=12,

2

5+a2')q—a3+a4,=4,

2

则(25+a6=(a3+a4)q=12x4=48,

故选：C.

4.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比

例为“衰分比”.如：已知N,B,。三人分配奖金的衰分比为20%,若/分得奖金1000元，则£。所分

得奖金分别为800元和640元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780

元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与

丁所获得的奖金分别为()

A.20%,14580元B.10%,14580元C.20%,10800元D.10%,10800元

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查等比数列的通项公式的应用，注意“衰分比”的定义，属于基础题.

根据题意，设甲、乙、丙、丁获得的奖金组成等比数列｛%｝,设“衰分比”为根,则数列的公比为1-机,

由等比数列的通项公式可得=68780,进而计算可得相与口,的值，即可得答案.

【解答】

解：根据题意，设甲、乙、丙、丁获得的奖金组成等比数列｛%｝，

设“衰分比”为加，则数列的公比为1-n

则有｛+。2+。3+。4=68780

则有+。4=32580,

=36200

则有1一皿=器|=°9则根=0.1=10%,

则有油*+=32580,解得=14580,

即“衰分比”为10%,丁所获得的奖金14580,

故选：B.

第2页，共15页

x+2

5.设函数/(%)=\x^:「财（击）+/（击）+/扁）+…+/■瑞）的值为（）

11,%

A.199B.200C.201D.202

【答案】C

【解析】【分析】

本题考查的是倒序相加求和法，难点在于利用函数的解析式找出函数值的规律，属于中档题.

先将式子/（彳加■）+f+/（彳卷）+…+/（■^；）进行首尾组合,利用规律：当％1。1,冷。L且久1+初=

2时，/（%1）+/（%2）=2成立.易得本题结论.

%+2

【解答】解：・函数f（%）=卜-1,x1

11,X

二当XA1时，/（%）=当=1+言,

二当力1,0父L且巧+g=2时，有:

33

"叼）+/（久2）=1+京口+1+口

_9I3(%1+%2)—6_D

1,201_

,，而+而=2Q'

1201

,■,/(101)+/(101)=2-

同理/•岛）+〃黑）=2；

3199

“而)+f(而)=2；

100102

/(Toi)+/(ToT)=2'

又有）=/⑴=L

123201

"E+/(ToT)+/(Toi)+,"+/(ToT)=20L

故选：C.

6.在数列｛an｝中，(11=2,an+1-an+ln(l则％=()

A.2+InnB.2+(n—l)lnnC.2+nlnnD.1+n+Inn

【答案】A

【解析】【分析】

第3页，共15页

本题主要考查利用数列的递推关系求数列的通项公式，考查“累加求和”以及对数的运算法则，属于基础

题.

根据已知条件得到册-an-i=也3，n>2,累加即可得到答案.

【解答】

解：Gn+1=Qn+1n（l+、）,

•••an+i-«n=ln（l+：）=ln/，

an-an_i=In^-,n>2,

・•・当九N2时,

二（an—an-l）+（an-l—an-2）----1"（。2—al）+al

nn—1

=In-n---—--T1-+Inn---—---2H-------1-ln2+2

=Inn+2.

当九二1时，%=2也符合上式.

故斯=Inn+2.

故选4

n

7.数列｛an｝中，已知对任意瞪GN*,的+敢+。3+—Fan=3—1,则山+堵+城+—卜成等于()

11

A.(3n-l)n2B，4(9n-1)C.9n-1D.i(3?l-1)

Z4

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查数列的求和，考查数列通项公式的确定及等比数列的判断与求和公式的综合应用，属于中档题.由

n

ai+a2+a3+-+an=3-l,可求得an,从而可知成，利用等比数列的求和公式即可求得答案.

【解答】

解：,*,Qi+。2+。3+…+=371—1,①，

+。2+。3+•,,+@九+1=3九+1—1,②,

n+1nn

②-①得：an+1=3-3=2x3巴..・an=2x3一二

当九二1时，Qi=31—1=2,符合上式，

n2

a九=2X3九-1..•・W=4x9九-1,.••山=4,常/=9,

第4页，共15页

・・・｛碎｝是以4为首项，9为公比的等比数列，

蝠+a"aj+-+臂=号与叫=1(9n-1).

故选8.

8.设a,b&R,数列｛%｝中的=a,an+1-d^+b,nEN*,贝！］()

A.当b=1■时，di。>10B.当b时，a10>10

C.当b=—2时，aw>10D.当b=—4时，aw>10

【答案】A

【解析】【分析】

本题考查命题真假的判断，考查数列的性质等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理论证能力，属于

难题.

1

对于/,证明｛an｝递增，可知?124时，等>|，可证明国0>10判断/选项，对于2,取的=：,二a?=

11

%••,%=3<10判断3选项，对于C,取的=2,a2=2,…，an=2<10判断C选项，对于D,取的=

1+V171+V171+V17uz，［hbr.八'AETIH

...做=丁—，…，册=一二<1dn0判断。选项；

【解答】

解：对于A,a2=a2+^>^,。3=(02+y)2+J2,，

ZZZZ4

422

a4=(a+a+!)+|>^+|=^>1,

又因-=吗+那=(后可>°,所以小｝递增，

1

当几24时，皿=%+工〉1+4=目，

,L

anan22

u

。4L

J>|

.•・<，>(I*),,・,.di。>x>10.故4正确.

。4Z。4lo

£10>2

<。92

11

对于5,令下―4+彳=。，得4=—J

4Z

TT111

取=2，**,a2="2f'*'rQ九=5<10，

・•・当b=(时，a10<10,故5错误；

第5页，共15页

对于c,令"—2—2=0,得a=2或a=—i,

取=2,的=2,•,,,an=2<10,

・,・当b=-2时，a10<10,故C错误；

对于。，令万—A—4=0,得2=

而1+AAI71+AH71+AAI7

九<10,

取％=-2—，•••a2=---a-2-

.・・当。=一4时，％0<10,故。错误;

故选：A.

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1,2,3,9填入3x3的方格内，

使得三行、三列、对角线的三个数之和都等于15,便得到一个3阶幻方.一般地，将连续的正整数1,2,3,

…，层填入几乂几个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作〃阶幻方.记

〃阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为%,如S3=45,那么下列说法正确的是（）

洛书幻方

492

flE«I83I5J67

A.S5=325

B.9阶幻方第5行第5列的数字为41

C.6阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为222

D.10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为505

【答案】ABD

【解析】【分析】

本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的前n项和公式，属于基础题.

【解答】

依题意，55=•些;"25=325,故/正确；

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(1+81)x81

9阶幻方第5行第5列的数字为o京l=41，故8正确；

56=(1+3：)X36=666,故6阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为111,故C错误；

S］。=Q+吗”I。。=5050,故10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为505,故。正确.

10.设S九是数列｛册｝的前〃项和,%=1,an+1+SnSn+1=0,则下列说法正确的有()

A.数列｛册｝的前n项和为Sn=，

B,数列｛3｝为递增数列

C.数列｛3,｝的通项公式为演=-•片

D.数列｛册｝的最大项为由

【答案】ABD

【解析】【分析】

本题考查了数列的通项公式、数列的递推关系和数列的函数特征，属于中档题.

由已知数列递推式可得一一-六=1,结合六=°=1，得数列为以1为首项，以1为公差的等差数列,

求出其通项公式，可得%,结合册=S.-S-i求数列｛册｝的通项公式，然后逐一核对四个选项得答案.

【解答】

解：由册+i+SnS^+i=得S九+1—Syj=—SnS^+i，

—一一—=-1,即二--工=1,

SnSn+1Sn+1Sn

又A=，=1,.•.数列｛*｝为以1为首项，以1为公差的等差数列，

则方=1+(H-1)X1=H,可得%=故45正确；

当?122时，an=Sn-=------r=1:=—(11、，

""rin—1n(n—i)n(n—i)

l,n=1

an一七,底2,

几N2时，an<0,

・•.数列｛册｝的最大项为的,故C错误，。正确.

故选

11.设｛册｝是各项均为正数的等比数列，其公比为式qW1),正整数m,k,p,尸满足m<p<r<k,且zn+k=

p+r,则()

第7页，共15页

A.\dm-纵|>|CLp-CLr\

C.|*一咽>睇一*D.*+碇>苗+a；

【答案】ACD

【解析】【分析】

本题考查等比中项，等比数列的性质，数列的单调性，简单的幕函数的性质，属于中档题.

由题意知q>0且q*1,再由m+k-p+r,得“以=apar,分q>1和0<q<1讨论，即可求解以+

am>ar+ap,从而判断48选项；根据幕函数的性质和等比数列｛an｝的单调性，同样可以判断C,。选项.

【解答】

解：由题意知q>0且qH1,再由771+k=p+T,得见小卜=CtpClr，

①当q>l时，｛册｝为递增数列，

所以（1加<ctp<<ctk，从而-am>ur-Up>0,

所以|cim—Ct/J>|dp—a/,两边平方，得—Ctm）2>（dy—Clp）2,

即成+*>底+哈

22

所以（。加+afc）>（Gtp+ar）,即。加+ak>ap+ar;

②当0<q<1时，｛an｝为递减数列，

所以dm>Up>dr>CLk，从^而。帆—Clk>CLp-CLr>0,

所以|am—at|>|ap-a,.|,

两边平方，（瞅—<26）2>（tip—a/2,即以+djn>+Gtp,

由①②，可得/正确，B错误;

根据幕函数的性质和等比数列｛须｝的单调性，

得｛成｝是单调数列，或为递增数列，或为递减数列，

根据上面的讨论均可得-根〉睇一硝,%+碇>说+项

故C,。均正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知数列｛a｝满足内-1,a2=2,册+2=--->贝卜2025=_____.

nan

【答案】1

【解析】【分析】

第8页，共15页

本题考查数列的周期性，属于基础题.

根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求。2025・

【解答】

222

解：由题忌知，的=1,匆=2,的=---=-2,=------=-1，=------=1，

。3

。6=一互=2,…，

因此数列｛册｝是周期为4的周期数列，

所以。2025=a506x4+l==1.

故答案为1.

13.已知数列｛an｝是等差数列，数列｛aJ是等比数列,%+的=8兀,b6b7b8=64,则sin6V=_____.

4-D4»10

【答案】一苧

【解析】【分析】

本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项与等比中项的性质是解题的关键，考查逻辑

推理能力和运算能力，属于基础题.

由等差中项的性质可得=4必由等比中项的性质可得几比0=g=16,再代入运算，即可得答案.

【解答】

解：•••数列｛an｝是等差数列,

1

•••a5=-(fli+a9)=47i,

•・•数歹U｛"｝是等比数歹U，工用=b6b8,

又b6b7bg=64,:.by=64,即厉=4,・•・/?4fo10=g=16,

Q54TTnV-3

4-b4bio4-16i3，2

故答案为-苧.

14.小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有M层(20<n<30,neN*),设第1

层的“环境满意度”为1,且第左层(2三/£371水6可*)比第卜—1层的“环境满意度”多出3k2—3k+1；

又已知小王有“恐高症”，设第1层的“高层恐惧度”为1,且第后层(2WkWn,keN*)比第k-1层的“高

层恐惧度”高出箫.在上述条件下，若第左层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为秋，bk,记小王对第

第9页，共15页

后层“购买满意度”为以，且以=肾，则小王最想买第层住宅.(参考公式及数据：12+22+32+-+

几2=n(n+l,2n+l),也2=0.6931,ln3-1.0986,，笈1,1006)

【答案】10

【解析】【分析】

本题考查数列的综合应用，考查数列的函数特征，考查分组求和法，考查等比数列与等差数列的综合应用，

属于较难题.

23

由题意可得的-l,ak-a1=3fc-3k+l(k>2),br=L二L=1■，根据累加法求出依=fc(fceN*),

bk-l§

根据等比数列的通项公式求出比=G)":故以=翁=餐，作商可得数列｛〃｝的最大值为C10,从而可求

解.

【解答】

2

解：由题意可得的=l,ak-在-1=3fc—3k+l(fc>2),

bi=1,=§即瓦=Qi(k22).

故k22时，dk=(ak—Gfc-i)+…+(a2—a。+

=3(22+32+•••+/c2)—3(2+3+…+k)+k

=3(12+22+…+fc2)―3(1+2+…+k)+k

=3XM-l)(2k+l)_3*k(k+l)+卜=卜3,

62

又的=1满足以=k3,所以以=fc3(fcG又).

又｛瓦｝是首项为i,公比为g的等比数列，所以为=G)":

所以*=督=4.

所以%.乌二=1(警)3.

Ckf4\Kk64\k/

令号M•(警Cl，则牛>*1，。。6，

当k=10时，牛=1.1<1.1006,

k

当k=9时,毕■=当Q1.1111>1.1006,

k9

又y=H=1+］单调递减，

Jkk

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所以当l4k49(keN*)时，2>1,当k>10(keN*)时，生*<1,

'ckck

又7>0,所以Cio>c9>…>C1，c10>cn>c12>…，

所以数列｛*｝的最大值为Cio，

所以小王最想买第10层住宅.

答案为10.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知等差数列｛时｝的所有项和为150,且该数列前10项和为10,最后10项的和为50.

(1)求数列｛an｝的项数；

(2)求。21+。22+…+。30的值.

【答案】解：(1)据题意，得%+a2+a3H---1-aw-10,an+an_x+an_2H---I-an_9=50,

(cii+an)+(a2+an_^)+(G3+CLn-2)+…+(aio+nn_9)=60,

又根据等差数列性质知，+an=a2+an_r=a3+an_2=■■•=aw+an_9,

10(ax+an)=60,

*,•a1+a九=6,

又叫迎=150,

解得?i=50,即数列｛%｝的项数为50.

(2)设等差数列｛册｝的公差为d,

+的。=6

,10x9,1八，

10。1H———a=10

即+49d=6

即(2%+9d=2'

(11

,%=而

,1I,1,

10

•••。21+a22+a23+…+。30=~2~(“21+a30)

=5(2%+49d)=5(2x芳11+49x点1)=30.

【解析】本题考查等差数列的通项公式、等差数列的性质以及等差数列的前〃项和公式，考查运算求解能

力，是基础题.

(1)推导出(@i+an)+(a2+an_t)+(a3+an-2)+---+(a10+an_9)=60,由等差数列性质得到10(%+

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an)=60,由此能求出数列｛%｝的项数.

(2)推导出凰：由此能求出结果.

16.(本小题15分)

记数列时的前"项和为％,对任意正整数n,有25汽=nan,且a?=3.

(1)求数列册的通项公式;

(2)对所有正整数〃?，若耿<2想<耿+i，则在耿和帆+1两项中插入2ffS由此得到一个新数列｛%｝,求｛“｝

的前40项和.

【答案】解:

(1)由2Sn=nan,贝！J2Sn+1=(n+l)an+1,

两式相减得:2an+1=(n+l)an+1-nan

fln+1

整理得：(九—1)册+1=nany即九22时，=.

Qn

所以九N2时，an=-•’”―i...—,0.2—,--,3=3(n—1).

'an-ian-2u-2n—2n—31

又九二1时，2al=%,得的=0,也满足上式.

故册=3(n-1).

(2)由3=117,所以26<%<27.

又的4=99>26,所以｛0｝前40项中有34项来自｛%｝.

故瓦+b2+…+人40=+。2+…+。34)+(21++•••+2,)

=34(a*4)+2早：1)=1683+126=1809.

LL—1

【解析】本题主要考查通项公式的求解，考查分组求和法的使用，属于基础题.

17.(本小题15分)

2

已知数列｛时｝的前n项和为％,Sn^n+n(jiGN*).数列｛%｝为等比数列，且的+La4+1分别为数列｛“｝

第一项和第二项.

(1)求数列｛an｝与数列｛勾｝的通项公式；

(2)若数列％=总匚+*,设数列｛cn｝的前〃项和为T",证明：

【答案】解：(1)数列｛/｝的前〃项和为Sn,Sn=*+混九eN*)①，

当九=1时，解得的=2,

当n之2时，S九T=(n-I)2+(n-1)②，

①-②得：an=Sn-S-i=2n,

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当九=1时，的=2也满足上式，

故册=2n,nEN*；

数列｛0｝为等比数列，且%+1,以+1分别为数列｛0｝第一项和第二项，

所以=3,历=9,可得q=3,

故"=3x3"i=3%nEN*；

(2)证明：由(1)得：数列cn=+.=2M£+2)=H卜击)+亲

所以7\="(1_抖：后+…+卜击)+借+今+...+*)

1

113

=4(i-^TT)+一

="(1一击)+女1_/)<鸿，

易知｛〃｝为单调递增数列，

11

则〃2加=分

故发-<P

得证.

【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，

分组法，放缩法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

(1)直接利用数列的递推关系式和等比数列的定义的应用求出数列的通项公式；

(2)利用裂项相消法在数列求和中的应用，分组法，放缩法在求和中的应用求出结果.

18.(本小题17分)

同余定理是数论中的重要内容.同余的定义为：设Q,bEZ,THCN*且TH>1.若根|(。-b)则称〃与人关于模

m同余，记作。三bfjnodmXa\v为整除符号).

(1)解同余方程％2-x=0(mod3);

(2)设(1)中方程的所有正根构成数列｛册｝,其中的<a2<a3<<an.

①若bn=an+1-an(nGN*),数列｛bn｝的前n项和为%,求S2024；

n

②若金=tana2n+i-tana2n-i(CN*),求数列｛%｝的前n项和7\.

【答案】解：(1)由题意—1)=0(mod3),所以I=3/c或久—1=3k(kEZ),即1=3k或久=3fc+l(kEZ).

与(九为奇麴，

2

(2)由(1)可得｛为｝为｛1,3,4,6,7,9,10,…｝,所以册=｛n

3又飞。1为偶数).

第13页，共15页

①因为…N*),所以"靠第

$2024=瓦+b+坛+…+^2024=3X1012=3036.

②cn=tana2n+i*tana2n-i=tan(3n+1)-tan(3n—2)(n6N*).

由tan3=tan[(3n+1)—(3n—2)]_tan(3n+l)—tan(3n—2)

l+tan(3n+l)tan(3n—2)?

得tan(3n+1)-tan(3n-2)=四(3w+D-tan⑶L2)_1，

tan3

匚匕I、IF,,tan4—tanl,、,tan7—tan4"、，,tan(3n+l)—tan(3n—2)

所以7n=+C+-C=z(-1)+z(-1)+-+(z—^——--1)

C12ntan3tan3tan3

tan(3n+1)—tanl

=---------------------n.

tan3

【解析】本题考查新定义，数列的分组及并项法求和，两角和与差的正切公式，属于较难题

(1)根据同余的定义得到x(x-1)能被3整除，进而求出x的值得到方程的解；

(2)①首先求出“(分奇偶项)，确定出6n,用并项求和法求和即可；

②求出品，利用两角差的正切公式变形通项公式，结合裂项相消法与并项求和可得答案.

19.(本小题17分)

一农妇原有a°CN*个鸡蛋，现分9次售卖鸡蛋，设每次卖出后