2025届四川省遂宁市某中学高三年级下册二模考试数学试题（含答案）

2025年四川省遂宁市第二中学校高2022级二模考试

数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.考试结束后，只将答题卡交回。

第I卷（选择题）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知i为虚数单位，复数z满足zi=—2+i,则9=（）

A.l+2iB.-l+2iC.l-2iD.-l-2i

2.已知集合/={-1,0,1},5={x|0<x<3},则()

A.{-1,0}B.{-1,1}C.{0,1}D.[0,1]

3.直线2x+用+3=0的方向向量可以是（)

A.(V2,l)B.(V2,-l)C.(72,2)D.-2)

4.等比数列{%}的前〃项和为S“，且%=2,4%+%=8,则$5=()

A.63B.48C.31D.15

5.已知角口的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点尸（cosl5o-sinl5o,cosl5o+sinl5。），则

tana=()

A.2—\/3B.2+y/3C.-y/6—V2D.V3

22

6.己知片、月分别为双曲线C：1_勺=1（a>0,b>0）的左右焦点，尸为其左支上一点，且

ab

2|「阊=3|尸胤，则双曲线。离心率的最大值为（）

A.3B.4C.5D.6

7.已知甲植物生长了一天，长度为乙植物生长了一天，长度为16a.从第二天起，甲每天的生长

速度是前一天的13倍，乙每天的生长速度是前一天的2:，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（）（

参考数据：取lg2=0.3,lg3=0.48）

A.第6天B.第7天C.第8天D.第9天

2V

8.圆。半径为1,尸4PB为圆。的两条切线，A,8为切点，设4尸。=a,则「组最小值为（）

tan2a

A.-4+72B.-3+V2C.-4+2V2D.-3+2也

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知数据网,孙…％的平均数为10,方差为1，且％=2为+4。=1,2,…,6）,则下列说法正确的是（）

A.数据M，%，…，”的方差为4

B.数据再42,…，无6,%，%，…，”的平均数为17

C.数据%,马，…户6,1。的平均数为10,方差大于1

D.若数据西,马,…％的中位数为加,75%分位数为“，则他＜"

10.如图，在正四面体尸-48C中，48=18,尸分别为侧棱尸4尸瓦尸C上的点，&AD=BE=CF=^PD

,G为斯的中点，。为四边形即CF内（含边界）一动点，4。=65，贝U（）

A.AG1PB

B.五面体/8C-DEF的体积为342夜

C.点。的轨迹长度为6兀

D.与平面P8C所成角的正切值为几

11.对于函数V=/（x）,如果对于其定义域。中任意给定的实数x,都有-xe。，并且/（力〃-%）=2,

则称函数y=/（x）为“比翼函数”.则下列说法正确的是（）

A.函数/(%)=%++2是“比翼函数，

B.若函数歹二/(%)在R上为“比翼函数”，则/(0)=血

x2

C.若函数丁=/(”在R上为“比翼函数”，当X>0,/(x)=^7—y,贝！|x<0,f(x)=2+x

D.若函数了=/(x)在R上为“比翼函数”，其函数值恒大于0,且在R上是单调递减函数，记

2

"("=冗『若"&)+"(切>

3,0,则xi+x2>0

第H卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.函数/(x)=ln(x+l)的图象在点处的切线方程为.

22

13.已知片、耳分别为椭圆C：\+彳=1">6>0)的左右焦点，过耳作圆。：，+/=/的切线与椭

ab

圆。在第二象限交于点〃，且cos4M=”,则椭圆C的离心率为.

210

14.若(x?-2x+2)=a0+a{x+a2xH--i-a10x,则与=,

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本题13分)某公司拟通过摸球的方式给员工发放节日红包，在一个不透明的袋子中装有5个标有红

包金额的球，其中2个球分别标注40元，2个球分别标注50元，1个球标注60元，这5个球除标注的金

额外完全相同.每名员工从袋中一次摸出1个球，共摸”次，摸出的球上所标注的金额之和为该员工所获

得的红包金额.

(1)若〃=1,求一名员工所获得的红包金额不低于50元的概率；

(2)若〃=2,且每次摸出的球放回袋中，设事件/为“一名员工所获得的红包金额不大于100元”，事件3为

“一名员工所获得的红包金额不小于100元”，试判断48是否相互独立，并说明理由.

16.(本题15分)已知函数〃x)=x3_31nx,/'(x)为/(x)的导函数.

⑴求曲线y=/(x)在点(1，/⑴)处的切线方程；

⑵求函数g(x)=〃x)-((无)的单调区间和极值.

p

17.(本题15分)如图，在四棱锥夕中，所有棱长都相等，ABLAD

，E,尸分别是棱尸C,尸8的中点，G是棱上的动点，且就=之方.

(1)若力=3，证明：G尸//平面BDE.

(2)求平面BDE与平面PDG夹角余弦值的最大值.

18.(本题17分)已知，点尸，尸分别是抛物线7：/=2刀(p>0)的焦点

与曲线上一动点，点/(1,2)在抛物线上方，且△取尸的周长最小值为

V2+3.

(1)求抛物线7的方程；

⑵点用C是抛物线上的动点，点。是点民C处抛物线切线的交点，若△88的面积等于32,线段G8为圆

X?+()-1)2=1的直径，求方存.两的取值范围.

19.(本题17分)设｛。“｝是各项均为正数的无穷数列，其前"项和为

⑴若A-««+2=。用对任意〃eN*都成立，且2s华=S”+2.

①求数列｛”,｝的通项公式；

②已知首项为X”公比4满足回<1的无穷等比数列打“｝,当〃无限增大时，其前”项和无限趋近于常数六

,则称该常数为无穷等比数列b“｝的各项和.现从数列｛%,｝中抽取部分项构成无穷等比数列也,｝,且也｝的

各项和不大于求4的最大值.

(2)若。”+2Na“+i对任意〃eN都成立,试证明：(的足月“出生…%+Jd

参考答案

题号12345678910

答案CCDCDCCDABABD

题号11

答案ACD

11c1

12.y=—x+ln2——

22

□V65

13.

9

14.-592

15.(1)一名员工所获得的红包金额不低于50元，即获得50元或60元,

故所求概率为:2+：1=3

(2)由题意，事件45表示“一名员工所获得的红包金额为100元”.

因为100=50+50=40+60=60+40,

所以P(AB)=f->l+-x-x2=—.

'/⑸5525

A="一名员工所获得的红包金额为80元或90元或100元”,

因为80=40+40,90=40+50=50+40,

所以=+-x-x2+—=-.

'/⑸55255

B="一名员工所获得的红包金额为100元或110元或120元,

因为110=50+60=60+50,120=60+60,

所以尸(8)=

所以P(N)尸(8)=南力尸(/团，

所以48不相互独立.

16.(1)因为/(力=丁-31nx的定义域为(0,+oo),f'()=3x2—,

xX

所以“1)=1,/'⑴=0,

所以曲线了=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程为v=1.

o6

(2)依题意，g(x)=/(x)-r(x)-1=x3-31ru-3x2-p贝I」

,236/、3(2-x)3(X3-1)(X-2)

g(x)=3x2-6x---F—=3x(x-2)+—―-——=--------------，

xxxx

令g'(x)=O,解得x=l或x=2.

当x变化时，g'(x),g(x)的变化情况如表所示:

X(0,1)1(1,2)2(2,+与

g'(x)+0—0+

g(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

，函数g(x)的单调递减区间为(1,2),单调递增区间为(0,1),(2,+co).

故g(x)的极小值为g⑵=-7-31n2,g(x)的极大值为g⑴=-8.

17.(1)连接NC,记/CcBD=O,连接。瓦

因为四边形N5CD是正方形，所以。是/C的中点，

因为£是尸C的中点，所以OE〃尸N.

因为G,歹分别是棱/昆尸8的中点，所以GF//P/,所以G尸〃。及

因为OEu平面G尸(z平面

所以GP//平面及

(2)四边形/8CB为菱形，所以O8JLOC,

由OP_L平面N2CD,OB、OCu平面/BCD,得OP_LO2,OPLOC,

故以。为原点，分别以无，oc,9的方向为x/，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

设/3=4,则/(0,-2亚,0),川2也,0,0),D(-272,0,0),E(0,叵塔,P(0,0,272),

从而刀=仅板,2亚,0),丽=(-40,0,0),5E=(-272,72,72),丽=(2亚,0,2啦).

因为就=AAB=(2届,2届,0),所以G(2722,2722-272,0),

则DG=(2届+2A/2,2A/22-2V2,0),

设平面的法向量为"=

n,BD=-4A/2X,=0,一

则上赤=-2d+9+&=。令得〃=（0,1,-1）.

设平面尸DG的法向量为玩=（尤2，%/2）,

m-DP=2S/2X2+2A/2Z2=0,

贝卜比.虎=仅7^+2加,+（2亚/1_2@%=0,

令rx?—4-1,得加=（X—1,—X—1,—A+1）.

设平面BDE与平面PDG的夹角为。(6为锐角),

因为0W4W1,所以3万_24+3=3（彳-』]+->-,

I3）33

V2”亚一出

所以，33一22+3-J2，

则当2=:时，平面BDE与平面PDG夹角的余弦值取得最大值旦.

32

18.(1)由题意知心，引，过点A向准线作垂线交准线于点4,交抛物线于点乙，连接胃,则有4尸=界4

可知当点尸运动到点稣的位置时，APAF的周长最小,

+2+4=拒+3,解得p=2,

最小值为AF+P0A+FP0=AF+44]=

2

所以抛物线7的方程为V=4y.

1Y

（2）由（1）知7=：/,则y=

42

设点8（x”必）,C（X2/2），D（x（），%）.

因为8,C为切点，则在点3处的切线方程为了=£（x-xj+%=；x-%,且满足%=+%-%.

同理，在点C处的切线方程为了=申（》-马）+%=半工-%,且满足为=三%,

所以直线8c为%=半龙-＞（题眼），

联立]x°x[2y：2%,消去了整理得一一24%=0,

[x=4y,

所以A=4"6%>0,

xxx2=4y0，匹+x2=2x0,

则民-占卜]化-16.%=2&-4%.

作。D7加轴交线段5c于点则点〃的横坐标为飞,代入直线2c的方程有x；=2%,+2%,

解得力,=4-2%=.

D22

2

所以DD'==£-2%,

所以九8=50力卜一再|=J32%•2收-4%=32,

解得X：-4%=16,

所以"-4.

易知点尸恰为圆f+（y-l）2=1的圆心，由极化恒等式得丽•万万=（而+吊）•（而+丽）=|方『-1.

因为V正『=x；+(%―i)2=虫+2%+17,%e[-4,+8),

所以|，『的取值范围是[16,+3）,

所以旄•丽的取值范围是［15,+s).

19.⑴①因为&ja.+2=%+i对任意reN*都成立,所以%,%+2=4，且%>0，所以“乜="2

an+\an

则数列｛七｝是等比数列，又2s.M=S〃+2,几£N*,〃22,2S〃=SI+2,

UL,、I""+11

作差得2a“+i=a"，"eN*,〃Z2,,所以——=7,

an2

又数列｛%｝为等比数列,故数列｛%｝的公比为;,

又因为2s2=d+2,所以2卜］=q+2,所以％=1,

所以｛%｝是以1为首项以:为公比的等比数列,

n-\M-1

所以数列｛0“｝的通项公式为a“=lx

2

n-1m—\

②因为%=II,设数列4=II,公比为I|,其中加，4eN*,

贝_于1；所以

又因为所以

w_L时满足题意,所以仅此［；

16

（2）记%^二纵，HeN\因为•。“+22%+1对任意〃eN*都成立,且“">0,

°n

得4±12驮2…即为+12%>--->q2>q1>0,

。〃+1an%

11

要证：（叽+2）注（。2a3-q+户

只需证：（%。“+2）"2（。2a3…4,+1）2,

只需证：可…q“+J”斗…6…q"）『，