2025年高考数学第二次模拟考试卷（天津卷）（全解全析）

2025年高考数学第二次模拟考试（天津卷01）

全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的）

1.已知集合/=Wx<2},B={xeN|0Wx<3},则（）

A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2}

C.{0,1}D.{152}

【答案】C

【解析】由题意N={xeZ|TVx<2}={T0』},8={xeN|0Vx<3}={0』,2},所以/口8={0,1}.故选：C.

2.设0,6都是不等于1的正数，贝上麻”沙口且岸洲随三僧小的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】。，6都是不等于1的正数，

由log03>l0gz,3>1,得l<a<b<3,.13。<3。

反之，由3°<33得”6,若0<。<1,b>\,则log.3<0,故log03>10gz,3>1不成立.

“log”3>log,3>1”是"3"<3"”的充分不必要条件.

故选：B.

)

A.r2<r4<r3<rxB.Qv4<G"C.r4<r2<rx<r3D.r2<r4<rx<r3

【答案】A

【解析】由给出的四组数据的散点图可以看出，

图1和图3是正相关，相关系数大于0,图2和图4是负相关，相关系数小于0,

图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以。接近于1,々接近于-1，

由此可得4<4<0<4<勺.故选:A.

4.下列函数不是奇函数的是()

A.y=x+sinxB.y=sinxcosx

2.2taiu

C.y=cosx-sinxD.y=------z—

l-tan2x

【答案】C

【解析】对于A,定义域为RJ(-x)=-x+sin(-x)=〃x),所以/■(》)为奇函数，

对于B,定义域为R,且/(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx=-/(x),所以/(x)为奇函数,

对于C定义域为R,且/(-x)=cos2(-x)-sin2(-x)=cos2x-sin2无彳(x),所以/(x)为偶函数,

JT__ITTT

对于D,定义域满足tanxw±1且xW—+痴,左£Z,所以xw土一+左兀,左EZ且xw—+痴,左EZ,

242

故定义域为[』-]+®<》<_]+版或-：+E<x</+E或9+配<无<^+加，左ez],故定义域关于原点

[|244442J

/、tan(-x)-tanx/、

对称，且/7},，=/X，所以为奇函数，

1-tan(-x)1-tanx

故选：C

QA3

5.^a=5,b=0.2°,c=log024,则q,b,c的大小关系为()

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

01

【解析】67=5>5°=1,0<6=0.2°3<0.2°=1,c=log024<log02l=0,故。>6>c.

故选:B.

6.设〃?，〃是两条直线，a,仅是两个平面，则下列命题为真命题的是()

A.若羽_La,〃_L尸，m/In,则a_L/7

B.若ac0=m,n/!a,nl!(3,则机//〃

C.若％utz,〃u尸，mJIn,贝必〃.

D.若a_L尸，mlla,nl/(3,则机_L〃

【答案】B

【解析】“，，〃是两条直线，a,4是两个平面，

对于A,若加，c,n±jB,m//n,则由面面平行的判定定理得a〃夕，故A错误；

对于B,若arV=7〃，”〃a,n\\/3,则由线面平行的性质得加〃〃，故B正确；

对于C,若mua,"u0,m//n,则a与4相交或平行，故C错误；

对于D,若々_1_£,机||。，n\\j3,贝！]〃z与"相交、平行或异面，故D错误.

故选：B.

7.函数/(x)=2sin(2x+0)，<9<3的图象关于直线x=]对称，则〃x)在方兀上的最小值为()

A.-2B.-V3C.-1D.一夜

【答案】A

[解析]由题意2x3+0=:+痴，后eZ,则夕=g+析，4eZ,又0<9党,

1223/

所以°则/(x)=2sin(2x+g),

4「兀1r"兀「4兀7兀r.»TT-J3

在不，兀上，2x+—G[—,—],故sin(2x+—)£[-1,——],

」33332

所以八%)最小值为-2.故选：A

22

8.已知双曲线上-斗=1(%>0),以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相

4b2

交于/、B、C、。四点，四边形/BCD的面积为26,则双曲线方程为()

【答案】D

【解析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为d+r=4,双曲线的两条渐近线方程为

,b

y=±2Xf

不妨设N在第一象限，则/x>0,1,四边形4BCD的面积为2b,

；・由对称性可得=26,又x>0,/.x=1,

将/卜'10代入—+r=4，可得1+,=4,二/=12,

22

.•.双曲线的方程为土-匕=1,

412

故选：D.

9.疣殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”,如图

（1）所示.现有如图（2）所示的虎殿顶式几何体/3CDW,其中正方形/BCD边长为3,

3

MN//AB,MN=~,且〃N到平面48C。的距离为2,则几何体48coMN的体积为（）

15

D.一

2

【答案】D

【解析】取/88的中点分别为尸,E,连接NE,EF,NF,

可得几何体ABCDMN分割为一个三棱柱ADM-FEN和一个四棱锥N-FBCE,

将三棱柱ADM-尸EN补成一个上底面与矩形ADEF全等的矩形的平行六面体，

可得该三棱柱的体积为平行六面体的一半，

119

贝!J三棱柱力。加一尸EN的体积为匕=5x2x5x32=-,

四棱锥N-用CE的体积为匕=；xgx9x2=3,

915

所以该几何体ZgCDMN的体积为3+,=万.故选：D.

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.

10.已知复数马=i/2=2+i,那么马丁2=.

【答案】-l+2i

【解析】由题意可得：z「Z2=i(2+i)=-l+2i.

11.256,

若I的展W开式中二项式系数之和为则展开式中常数项是_______，

【答案】28

(1Y

【解析】因为/一名的展开式中二项式系数之和为256,

所以2"=256,故〃=8,即该二项式为卜一六］=卜-『"

(2、左2

2

设其展开式的通项为如，则如=c：(x厂(-琰”=(-琰或/2号，

当16-2%-g左=0时，即左=6,此时该项为C：x(_l)6=28

12.已知抛物线一=勺，斜率为的直线交抛物线于A,8两点.若以线段为直径的圆与抛物线的准

线切于点P,则点尸到直线的距离为.

【答案】亚

【解析】设直线的方程为y=-gx+6,联立抛物线的方程公=4y，消去y得一+2工-必=0,所以

A=4+16Z?>0.

设4(%,必)风X2，歹2)，所以石+々=-2,再・々=-4b.

因为尸(土产,-1”尸(-1,-1).所以"=(再+1,%+1),丽=因+1,%+1)-

因为以线段为直径的圆与抛物线的准线切于点P,所以

即沙•丽=(%+l)(x2+1)+(必+1)(%+1)=0,1

所以直线的方程为丁=-夭+1,即x+2y-2=0

|-1-2-2|

因为玖-1,-1),所以点尸到直线N5的距离为

Vl2+22

13.甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项

目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共

有一种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件/为丙和丁参加的项目不同，事件3

为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则P（8|N）=.

【答案】301

【解析】依题意，甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方案共CjA：=36种，

其中甲、乙参加同一项目的方案A；=6种，

则所求的参赛方案一共有36-6=30种；

因为甲、乙两人不能参加同一项目，所以丙、丁两人不能参加同一项目，

则甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，这里有C；C；A；=24种方案，

若甲单独选择跳台滑雪，则丙、丁可分别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一，

故总共有A；C；=4种不同的方案；

若甲和一人一起选择跳台滑雪，则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2个人分别选择2个项目，

故共有C；A；=4种不同的方案；

同理，乙单独选择跳台滑雪，有A；C；=4种不同的方案;

乙和一人共同选择跳台滑雪，有C；A；=4种不同的方案，总共有16种方案.

16

所以「⑵小器302

24§

30

14.在边长为2的菱形/5CD中，ZABC=120°,£是5。的中点，/是边。＞上的一点，DE交AF于

若尸是CZ）的中点，而=2罚+〃前，则/+〃=;若尸在边上（不含端点）运动，则初.丽

的取值范围是.

【答案】I[°』

【解析】（1）如图所示:

B

EC

设而"方=/(而+g确=灰+1■刀,

由三点共线，

=kAD+(l-k)AE

——1—

=kAD+(1-k)(AB+-AD)

则有,7?解得：/=4%

-=\-k

12

—•4—2—6

AH=-BC+-AB,即2+〃=不

(2)如图所示：当点尸与点C重合时，此时最长,

易知A4DHS&CEH,且相似比为2:1,

NDCB=60°,在△DCE中，由余弦定理得：

DE2=DC2+CE2-2DCxCExcos600=3,

所以DE=VL此时满足出+出=必，所以OELCE,

所以NADE=90。，此时。=友，

33

由图可知，/^(。，罕)，

-------►►2I.124

则AH・DH=(AD+DH),DH=AD•DH+DH=\DH\e(0,-).

2\x+a\,x<0

15.设aeR,函数〃x)=।2<J、门，若函数V=〃力-|同恰有4个零点，则实数。的取值范围

\x—JX+4,x0

为.

【答案】-1<"0或1<”2

【解析】因为函数了=/（力-阿恰有4个零点，

所以y=/（x）的图象与>=|同的图象有四个交点，当a=0时，如图所示,

N

5

4

3

2

-3-2-'1|O12345*

V=f（x）的图象与V=|办卜。的图象仅有两个交点，与题意不符;

在xe[l,4]上，当/（x）=-4+5x-4与犷=一依相切时,

[y=_―+5x_4

联立,，得+5%+办-4=0,

[y=-ax

贝必=（5+a『-16=0,得a=-l（舍去a=-9）,

由图可知，当。<-2时，丁=同与了=/（x）在（-8,0）有一个交点，在（0,+<»）有两个交点，与题意不符,

所以当-24“<-1时，y=H与了=〃x）在（一°°，°）无交点，在（0,+00）有两个交点,与题意不符，

当a=-l时，y=H与尸/（X）在（一8，°）无交点，在（0,+8）有三个交点，与题意不符，

当时，y=H与了=/（x）在（。，0）无交点，在（0,+功有四个交点，符合题意；

当。>0时，如图所示,

在xe[1,4]上，当/(x)=f2+5x-4与y=»c相切时,

.y——x+5x—4

联立，得一工2+5x—ux—4=0,

[y=ax

贝必=(5-小16=0,得。=1(舍去。=9),

由图可知，当0<。<1时，了=网与^=/'(月在(-8,0)有两个交点，在(0,+8)有四个交点，与题意不符,

当°=1时，了=|ax|与了=/(x)在(-双0)有两个交点，在(0,+8)有三个交点，与题意不符,

当1<°<2时，、=辰|与了=/(》)在(-8,0)有两个交点，在(0,+8)有两个交点，符合题意,

当a22时，了=|"|与y=/(x)在(-双0)有一个交点，在(0,+8)有两个交点，与题意不符.

综上所述，-1<4<0或1<4<2.

四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

16.(本小题满分14分)在非等腰△/5C中，a,b,。分别是三个内角A,B,C的对边，且。=3,

c=4,C=2A.

(1)求cosZ的值;

(2)求△43。的周长；

⑶求cos(2/+f|的值.

【解】(1)在中，由正弦定理三=刍=展，a=3,c=4,

可得吃=。，

sinAsinC

343_4

因为。=24,所以告即

sin/sin24sinA2sin/cosA

2

显然sin4w0,解得cosZ=].

(2)在中，由余弦定理〃=/+o2—2bccos/,

得/一争+7=0,解得z,=3或b=

7

由已知。，b,。互不相等，所以6=

728

所以Cue=^+b+c=3+4+—=—.

(3)因为cosA=—,所以sinA=V1—cos2A=——,

33

所以sin24=2sin/cos4=,cos274=2cos2=,

99

CnV3_4V5l_V34V5

所以cos12力+看=cos2Acos--sin2Asin—=xx=+

66I9)29218

17.(本小题满分15分)如图，四边形48。)是正方形，PZ)_L平面48cZ),PD//EA,

AD=PD=2EA=2,F,G,H分别为BP,BE,PC的中点.

⑴求证：尸G//平面尸DE；

⑵求平面FGH与平面PBC夹角的大小；

⑶求点E到平面PBC的距离.

【解】(D由题意尸,G分别为2尸,2£的中点，

所以FG是ABPE的中位线，

即FG\\PE,

又尸GO平面尸DE,PEu平面PDE,

所以尸G//平面EDE；

(2)由于四边形48。是正方形，平面488,

所以两两垂直，

以。为坐标原点，DC,。尸所在直线分别为X//轴建立空间直角坐标系,

如图所示：

又AD=PD=2EA=2,尸,G,“分别为8尸,8瓦尸C的中点,

则尸(0,0,2),£(2,0,1),3(2,2,0),C(0,2,0),

所以G(2,l,；：F(l,U),〃(0,U)；

PC=(0,2-2),5C=(-2,0,0),GF=f-1,0,=(-1,0,0)

设平面P8C的一个法向量应=（占,必/1）,

PC±mPC-in=2%一24=0

则＜

BClmBC-in=-2再=0

解得玉=0,令必=1,得Z]=l；

即应=(0,1,1),

设平面FGA的一个法向量为万

r一(—■_1

GF_LnGF-n=—xH—z=0

贝!J一=>?272,

FH_Ln石寸-n

i[FHn=-x2=0

解得x?=0/2=0,令%=1，

即％=（0,1,0）；

设平面FGH与平面PBC夹角的大小为0,

所以cosd=kos（流力|=彳，

11\m\\n\.2x12

TTTT

又。e0,-,所以。=；；

7T

即平面FGH与平面PBC夹角的大小为-；

（3）由（2）平面P2C的一个法向量为而=（0」,1）；

又丽=(0,-2,1),

所以点8到与平面P2C的距离距为:

瓯司—1_72

d

\m\V22

22

⑻（本小题满分15分）已知椭圆片+*1…>。）的离心率吗，左、右焦点分别为小凡，上、

下顶点分别为耳、B2,且四边形片片层外的面积为2省.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）已知点M0,,直线（而N0）与椭圆C交于尸、。两点，与y轴交于点N,^\MP\=\MQ\,

求△的月面积的取值范围.

【解】（1）由椭圆的离心率为，可设。=2f,c=f（f>0）,则6=①，

四个顶点构成的四边形为菱形，其面积为S=；•2c•26=g2•2g/=2舟=,

22

即f=l,所以椭圆的方程为：上+匕=1.

43

22

（2）设尸（项,必）,。（%2，%）,联立直线蚱米+徵与椭圆'+'=1,

消去y可得（3+4左2）/+?）kmx+Am2-12=0,

—8km4m2—12

A=(8加了-4(3+4k2)(4/_12)>0,贝！I/<3+4产,3+4后2,再%―3+4F，

-4km一4km3m)

设尸。的中点为"，则/=三受E，所以

3mV13

因为|前H诙I，所以尸。，所以3+4(12J=T,

-4km

3+4F

所以上一『dk即4%所以…噜（3+4的,

又N(0,加)，所以'叫6=!x2cx|m|=|m|=^y-(3+4F)>^y-x3=^-,

212m212m12

又48=--/=-3,故"7"<一一y=BP一一j=<m<0,

y/LJ7157IS

所以H的取值范围是姮wH<2，

411M

所以△再；与面积的取值范围为手，经渭

19.(本小题满分15分)已知等差数列｛氏｝的前〃项和为九q=2,S4=14,数列｛“｝满足a=4,

加=3〃-2.

⑴求也｝的通项公式:

詈—，”为奇数

⑵设数列｛%｝满足4=<“"，

”为偶数

〔b,

①求｛%｝前2〃项中所有奇数项和盘，②若｛%｝的前"项和为证明：&<白.

16

【解】⑴因为瓦引=3“-2,所以(%「1)=3电一1),且［-1=3x0,

所以m-1｝是首项为3,公比为3的等比数列，所以，-1=3",所以，=3"+1,

所以也｝的通项公式为4=3"+1；

(2)①设｛。“｝的公差为d,因为q=2,S4=14,

所以4%+6d=14,所以d=l,所以4=2+(〃-l)xl=〃+l,

/、

一等―T，〃为奇数111

，〃为奇数

()、(〃+

vH+17)v(«+3741)2("+3)1

所以C“=•，所以9

占，”为偶数」一,“为偶数

13〃+1

又因为所以凡小

20.(本小题满分16分)已知函数=一Qinx+6(a£R).

⑴若曲线产A(x)在X=1处的切线的方程为3x-y-3=0,求实数a,b的值;

⑵当。=1时，/01)=/(%2)，且再。工2，求证玉+%2>2.

(3)若0<。41,对任意匹，x2e(l,2],不等式/(工2)|之加1恒成立，求加的取值范围;

【解】(1)0•*f(X)=—x2-a\nx+b,f\x)=x~—,

2x

V曲线V=<(x)在尸1处的切线的方程为3x-j-3=0,

所以八1)=j=3,〃1)=；+6=0,A«=-2,^=-1；

2

11r—1

(2)当Q=1时，f(^v)=—x2—Inx+/J,(x>0),则%--=-----,

2xx

当0<x<l时，/'(x)<o,/(X)递减，当X>1时，f