2025届高中数学复习《解三角形的要素》练习（含解析）

微专题31解三角形中的要素

一、基础学问：

1、正弦定理：一心=—也=」一=2R，其中R为ABC外接圆的半径

sinAsinBsinC

正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具

备齐次的特征。假如齐次则可干脆进行边化角或是角化边，否则不行行

例如：(1)sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C<»a2+b~-ab=c2

(2)ZJCOSC+ccosB=a=>sinBcosC+sinCcosB=sinA(恒等式)

,、besinBsinC

(3)—=--------

a~sinA

2、余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA

什少,、.b2+C1-a1

变式：⑴cosA=----------

2bc

①此公式通过边的大小(角两边与对边)可以推断出4是钝角还是锐角

当。2+02>42时，cos4>0,即A为锐角;

当〃+,2=。2(勾股定理)时，cosA=0,即A为直角；

当〃+02<。2时，cosA<0,即A为钝角

②视察到分式为齐二次分式，所以已知a,A,c的值或者a:b:c均可求出cosA

22

(2)«=(/?+C)-2/?C(1+COSA)此公式在已知3+c和be时不须要计算出仇c的值，进

行整体代入即可

3、三角形面积公式：

(1)S=-a-h(。为三角形的底，为对应的高)

2

(2)S=—absinC=—bcsinA=—acsmB

222

(3)S=-(a+b+cYr(r为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径)

2'7

(4)海伦公式：S=-—-p=g(a+)+c)

(5)向量方法：S=g>H4-(-4(其中。力为边所构成的向量，方向随意)

证明：S=-absinC^S2=-a2b2sin2C=-aV(1-cos2C)

244v7

s=「，而卜=abcosC

坐标表示：a=(xpjj),Z>(%2,j2),则S=曰七力—犬2%|

4、三角形内角和A+5+C=»(两角可表示另一角)。

sin(A+B)=sin(^—C)=sinC

cos(A+B)=cos(^-C)=-cosC

5、确定三角形要素的条件：

(1)唯一确定的三角形：

①已知三边(SSS)：可利用余弦定理求出剩余的三个角

②已知两边及夹角(SAS)：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理(或正弦定理)求

出剩余两角

③两角及一边(AAS或ASA)：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边

(2)不唯一确定的三角形

①已知三个角(AAA)：由相像三角形可知，三个角对应相等的三角形有多数多个。由正弦定

理可得：己知三个角只能求出三边的比例：a:b:c=sinA:smB:sinC

②已知两边及一边的对角(SSA)：比如已知a,。,A,所确定的三角形有可能唯一，也有可能

zyAA

是两个。其缘由在于当运用正弦定理求5时，——=——nsin5=--------，而

sinAsinBa

Be］。,?］［三/］时，一个sin，可能对应两个角(1个锐角，1个钝角)，所以三角形可

能不唯一。(判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点，详细可参考例1)

6、解三角形的常用方法：

(1)干脆法：视察题目中所给的三角形要素，运用正余弦定理求解

(2)间接法：可以依据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求

解

7、三角形的中线定理与角平分线定理

(1)三角形中线定理：如图，设AO为「A3C的一条中线，则AB2+AC2

（知三求一）

证明：在，中

AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosADB①

AC2=AD2+DC2—2Ao-DCcosADC②

D为BC中点、:.BD=CD

ZADB+ZADC=7icosADB=—cosADC

：.①+②可得:

AB2+AC2=2(AD2+BD2)

(2)角平分线定理：如图，设AD为A3C中/BAC的角平分线，则任=也

ACCD

证明：过。作DE〃AC交AB于E

BDBE

ZEDA=ZDAC

DC~AE

AD为NBAC的角平分线

:.ZEAD=ZDAC:.ZEDA=ZEAD

E4O为等腰三角形:.EA=ED

吧=里=里而由.BEDB4C可得:BEAB

DCAEEDEDAC

ABBD

~AC~~CD

二、典型例题:

例1：(1)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,瓦c，若。=亚力=遥,3=60,则

C=_____

(2))ABC的内角A,3,C所对的边分别为a,瓦c,若c=08=n,C=3O，则6=

hccsinB

思路：(1)由已知瓦瓦。求。可联想到运用正弦定理：——二——nsinC=--------

sinBsinCb

代入可解得：sinC=-o由c<Z?可得：C<B=60,所以C=30

2

答案：C=30

hcAcin「

(2)由已知C,反c求5可联想到运用正弦定理：——=-----nsinB=--------

sinBsinCc

代入可解得：sinB=—,则8=60或6=120,由c<3可得：C<B,所以3=60和

2

B=120均满意条件

答案：3=60或3=120

小炼有话说：对比(1)(2)可发觉对于两边及一边的对角，满意条件的三角形可能唯一确

定，也有可能两种状况，在推断时可依据“大边对大角”的原则，利用边的大小关系推断出

角之间的大小关系，判定出所求角是否可能存在钝角的状况。进而确定是一个解还是两个解。

例2：在,A3C中，BC=2,B=60,若4ABe的面积等于则AC边长为

2

思路:通过条件可想到利用面积S与求出另一条边AB,再利用余弦定理求出AC即

可

ABC2222

AB=1

AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=l+4-2-2-=3

2

AC=6

答案：A/3

例3：(2012课标全国)己知a,。,c分别为.ABC三个内角A&C的对边，且有

acosC+y/3asinC-b-c=0

(1)求A

(2)若a=2,且的面积为G，求心。

(1)思路：从等式acosC+百asinC-b-c=0入手，视察每一项关于。，反c齐次，考虑

利用正弦定理边化角：

acosC+43asinC-Z?-c=0nsinAcosC+A/3sinAsinC-sinB-sinC=0,所涉及式

子与AC关联较大，从而考虑换掉sin5=sin(A+C),绽开化简后即可求出A

解：4cosC+y/3asinC-b-c=Q

nsinAcosC+v3sinAsinC-sinB-sinC=0

=>sinAcosC+^3smAsinC-sin（A+C）-sinC=O

nsinAcosC+V3sinAsinC-sinAcosC-sinCcosA-sinC=0

即V3sinA-cosA=1n2sin[A-?）=1nsin]A-看

62

7C7L.7C57r、

A——=一或A——二——（舍）

6666

A——

3

（2）思路：由（1）可得A=g,再由SMC=J5,a=2可想到利用面积与关于A的余弦

定理可列出仇c的两个方程，解出dc即可

解：5ABe=g匕csinA=G=>Z?c=4

a2=1^+c2-2bccosA^>4=b2+c2-be

b2+c2-be=4-b2+c2=S一即妨b=2

=>可解得<

be=4be=4c=2

小炼有话说：通过第（1）问可以看出，在遇到关于边角的方程时，可视察边与角正弦中是否

具备齐次的特点，以便于进行边角互化。另一方面当角A8,C同时出现在方程中时，通常要

从所给项中联想到相关两角和差的正余弦公式，然后选择要消去的角

例4：如图，在11ABe中，。是边AC上的点，且AB=AD,2AB=6BD,BC=2BD,则

sinC的值为

思路：求sinC的值考虑把。放入到三角形中，可选的三角形有/ABC和一5DC,在BDC

中，已知条件有两边但是缺少一个角（或者边）,看能否通过其它三角形求出所须

要素，在「A3。中，三边比例已知，进而可求出再利用补角关系求出NBOC,从

而,8。。中已知两边一角，可解出C

解：由243=65。可设3。=2左则43=6左

:.AD=Wk,BC=4k

4£>2+§£）2482（辰）+（2/y一（瓜）6

二.在/AD5中,cosADB二

2ADBD—20k•2k—3

.1.cosBDC=-cosADB=：.sinBDC=

33

BDBC.八BD-sinBDC

在，BDC中，由正弦定理可得:----------=>sinC=

sinCsinBDC-------------------BC~~6

小炼有话说：（1）在图形中求边或角，要把边和角放入到三角形当中求解，在选择三角形时

尽量选择要素多的，并考虑如何将所缺要素利用其它条件求出。

（2）本题中给出了关于边的比例，通常对于比例式可考虑引入一个字母（例如本题中的左），

这样可以将比例转化为边的详细数值，便于计算

例5：已知,ABC中，a,b,c分别是角所对边的边长，若ABC的面积为S,且

2S=（a+by-c1,贝UtanC等于

91

思路：由已知2S=（a+〃）~—c?可联想到余弦定理关于cosC的内容，而SugabsinC,所

以可以得到一个关于sinC,cosC的式子，进而求出tanC

,1

解：2s=（4+》）——0?o2・/absinC=a2+/—c2+2ab

而。2=〃2+/-2abcosC.\a2+b2-c2=labcosC代入可得：

absinC—lab+2abcosC=sinC=2+2cosC

,「4

sinC=—

sinC=2+2cosC5

22

sinC+cosC=1「3

cosC=——

4

...tanC——

3

4

答案：tanC=——

3

例6：在AABC中，内角A,3,C所对的边分别为a,瓦c,己知AA3C的面积为3成?,

Z?-c=2,cosA=则a的值为.

4---------------

思路：已知cosA求。可以联想到余弦定理，但要解出仇c的值，所以找寻解出仇。的条件，

SABC=-bcsinA=3^5,而sinA=Jl—cos?A=正代入可得》c=24,再由匕一c=2

可得a2=b2+c2-2bccosA=(/?-c)2+2bc-2bccosA=64,所以a=8

答案：8

例7：设ABC的内角A,5c所对边的长分别为"c,若人sinA-Gacos3=0,且

zj

b2=ac,则——的值为()

b

A.——B.\/2C.2D.4

2

思路：由bsinA-64cos5=0可得：sinBsinA-^3sinAcosB=G,从而tanB=6,

jr

解得3=—,从尸=ac可联想到余弦定理：b2=a2+c2-2«ccosB=a2+c2-ac,所以

3

a2+c2-ac=ac=>(a-eV=0,从而a=c再由/=a。可得a=Z?=c,所以「+0的

b

值为2

答案：C

Z7_1_

小炼有话说：本题的难点在于公式的选择，〃=ac以及所求——也会让我们想到正弦定理。

b

但是通过尝试可发觉利用角进行计算较为困难。所以在解三角形的题目中，条件的特征确定

选择哪种公式入手；假如所给是关于边，角正弦的其次式，可以考虑正弦定理。假如条件中

含有角的余弦，或者是边的平方项，那么可考虑尝试余弦定理。

例8：设,ABC的内角A,5c所对边的长分别为a,b,c,且/="+如4=2，则。=()

6

TC71371兀-3兀

A.—B.—C.——D.一或——

64444

思路：由片=尸—be的结构可以联想到余弦定理：a1=b2+c2-2bccosA,可以此为突破

口，即根=〃+°2—2ACOSA,代入解得：—1次，进而求出。二号六人，

得到a,瓦c比例代入余弦定理可计算出C

解：由可得：a2=力一队,

a2=b2+c2-2Z?ccosA

b1-bc=b2+C1-2Z?ccosA

c2=^s/3—ljb((逐一l)b代入至

可得:a2=Z?2-(V3-1)Z?2/.a=

:.a:b'.c=]:1：A/3-1

V2

a2+b2-c2

cosC=

lab

4

例9：已知；ABC的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角

的余弦值是（）

3572

A.-B.-C.—D.一

46103

思路：不妨考虑a<Z><c,将三个边设为。=无一11=苞。=无+1,则C=2A,想到正弦定

rsiniwin2A

理一=——=------=2cosA,再将cosA利用余弦定理用边表示，列方程解出x,从而求

asinAsinA

出cosA

解：设则〃=x-l,b=x,c=x+l

cc,csinCsin2A-4

C=2A=------=---------=2cosA

asinAsinA

———=匕———代入〃=x—l,b=x,c=x+l可得:

a2bcbe

x+1x+(x+1)-(x-1)

----二---------U~7------,解得：％=5

x-1x(x+l)

..a=4,b—5,c=6

b1+c2-a23

2bc4

答案：A

小炼有话说：本题的特色在于如何利用“最大内角是最小内角2倍”这个条件，可联想到正

余弦的二倍角公式。本题采纳正弦二倍角公式，在加上余弦定理可之间与题目中边的条件找

到联系。假如采纳余弦二倍角公式，则有cosC=2cos2A-1,即便运用余弦定理也会导致方

程次数过高，不利于求解。

例10：在ABC中，。为边上一点，BD=^CD,ZADB=12Q,AD=2,若，A£>C的

面积为3-石，则NB4C=

思路：要求出ZBAC,可在ABC中求解，通过视察条件

ZADB=12Q(ZADC=120),>10=2,5^=3-73,可从,ADC可解，解出A£),AC,

进而求出6。，再在LABD中解出从而11ABe三边齐备，利用余弦定理可求出NBAC

解：SADC=^AD-DCsinADC=3-y/3

:.BD=-DC=y[3-1

2

AC2=AD1+DC2-2AD-DC-cosADC=22+12(&—1)]—2•2•2(G—^cosg

=6(4-26)

AC=V6.(V3-1)

|H)SAB~=AD2+DB--2AD-DBcosADB

=22+(V3-1)2-2-2-(V3-1)COS^=6

AB=^

222

D_AB+AC-BC6+6(A/3-1)-13(&-1)]1

/.cosBAC=----------------------=------------L'L)二~~-=-

2ABAC2.V6-V6(A/3-1)2

.-.ZBAC=60

答案：ZBAC=60

小炼有话说：(1)本题与例4想法类似，都是把所求要素放入到三角形中，同时要通过条件

视察哪个三角形条件比较齐备，可作为入手点解出其他要素

(2)本题还可以利用协助线简化运算，作40，3c于进而利用在ADM中

ZADC=60,4。=2得4"=百,,。〃=1,再用S加0=3—G解出⑺=2(6—1)

进而5。=百—1,则在3C上=3。+DM=石,CM=CD—DM=2百—3

所以NB4〃=45,tanMAC=C^~=2—G可得：ZMAC=15,所以/BAC=60

AM

三、近年好题精选

TT

1、设ABC的内角A,5c所对边的长分别为a,A,c,且a=l,3=：,S.=2,贝!JsinA=

（）

A.巫B.巫C.叵D.1

10508210

2、设ABC的内角A,8,C所对边的长分别为a,瓦c,且8=3,c=l,A=23,则a的值为

（）

A.V2B.2A/2C.6D.2A/3

3、在ABC中，D为BC边上一低,DC=2BD,AD=72,ZADC=45，若AC=^AB,

则5£>=（）

A.2+y/3B.4C.2+D.3+

sin2人

4、（2015,北京）在ABC中，〃=41=5,c=6,则------=________

sinC

5、（2015,广东）设ABC的内角A&C的对边分别为a,0,c，若。=百4113=1,。=巴，

26

贝!15=______

6、（2015,福建）若锐角ABC的面积为1。6,且AB=5,AC=8,则等于

答案：7

7、（2015,天津）在ABC中，内角A,&C的对边分别为a,dc,已知ABC的面积为3,

b-c-2,cosA=--,则。的值为

4

8,（2014,天津）在ABC中，内角A,5,C的对边分别为a,A,c,已知b—c=2a,

4

2sin5=3sinC,贝！IcosA的值为

7T

9、（2014,山东）在ABC中，已知A3/C=tanA,当A=—时，.ABC的面积为

6

10、（2014,辽宁）在ABC中，内角A&C的对边分别为a,"c，且a>c,已知

1

BABC=2,cosB=—,/?=3,求:

(1)a,c的值

(2)cos(B—C)的值

11、（2015,陕西）设ABC的内角A&C的对边分别为。，氏c,向量机=,,、&）与

n=(cosA,sinB)平行

(1)求A

（2）若。=近8=2,求ABC的面积

12、（2015,新课标H）在ABC中，。是上的点，AD平分NB4C,的面积

是ADC面积的2倍

⑴求小

sinC

(2)若AD=1,DC=Y-,求AC的长

2

3兀i—

13、(2015,安徽)在A5C中，A=——,A3=6,AC=,点。在边上，AD=BD,

4

求AD的长

JT

14、(2015,江苏)在ABC中，已知AB=2,AC=3,A=—

3

（1）求BC的长

(2)求sin2C的值

习题答案:

1、答案：A

=acsn

解析：SABC~iB-c=4^2

."2="+，—2〃c©os3代入可得：〃="32—214后,克=25

2

.,.5=5

ab.人a.n母

------=-------=>smA=--smB=-----

sinAsin5b10

2、答案：D

解析：A=2BsinA=sin2B=2sinBcosB

:.a=2bcosBcos5="+厂—"

2ac

a2+c2-b2/+1-9

a=2b-=>a=6,

2acla

=3,2—8)2/=24=>a=2百

3、答案：C

解析：设BD=x,则CD=2尤，由余弦定理可得:

|AB|2=\ADf+\BDf-2\AD\-\BD\COS135

|AC|2=|AD|2+|C£>|2-2|A£>|-|CD|COS45,代入可得:

\ABf=2+X2+2X

\AC\=42\AB\

\ACf=2+4x2-4x

2+x-+2x

解得：x=2+亚

22+4X2-4X

4、答案：1

sin2A、sinA„b1+c1-a1a.25+36-164,

解析:--------=2cosA4--------=2---------------------=2----------------------=1

sinCsinC2bcc2-5-66

5、答案：1

|7TJT27rah

解析：由sinB=—及C=—可得：B=-,从而A=——，由正弦定理可得：——=——，

2663sinAsinB

解得匕=1

6、答案：7

解析：由S4Bc=LA3・ACsinA,可得：sinA=—,即4=工，再由余弦定理可计算

ABC223

BC=VAC2+AB2-2AB-ACcosA=7

7、答案：8

解析：cosA=--nsinA=V1-cos2A=

44

/.5ABe=gbesinA=3A/15nbe=24

/.由余弦定理可得：a1=b2+c2-2bccosA=(Z?-c)2+2Z?c(l-cosA)=64

a=8

8、答案：---

4

解析：由2sin5=3sinC可得25=3c代入到人一c即可得到a:Z?:c=4:3:2,不妨

4

222

b+c-a9左2+4左2—16左2

设a=4左,5=3左,。=2左，则cosA=

2bc2,3k,2k4

9、答案：—

6

winA

解析：A5-AC=tanAnbccosA=------

cosA

7sinAsin2A1.1

/.be=——--•q=-Z?csinA=-——--二—tan2A=一

cosA…uABC22cos2A26

10>解析：由BA，BC=2可得：accosB=2

/.ac=6

由余弦定理可得：/=(〃+c)2_2〃c(i+cosB)即9=(a+c)2—16n〃+c=5

ac-6

a—3

a+c=5解得：<

c=2

a>c

1/------------242

(2)由cos3=—可得：sinB=，1一cos?5=-----

33

bc.「csinB4A/2

由正弦定理可知：—