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文档简介

第2讲数列

高频考点分析

等差数列基本量的计算

等差数列

等差数列的性质

等比数列基本量的计算

等比数列

等比数列的曲

Sn-Sn-I法

累加法

数列的通项公式

累乘法

构造法

倒数法

数列高频考点定义法

裂项相消法

数列的前n项和错位相减法

倒序相加法

分组(并项)求和

真题速递

1.(2024•全国甲卷(理)•高考真题)记5,为数列{4}的前〃项和,已知4s“=3凡+4.

⑴求{4}的通项公式;

1

⑵设b„=(-1)-nan,求数列{%}的前〃项和看.

2.(2024•全国甲卷(文)•高考真题)己知等比数列{4}的前〃项和为工,且2S“=3%+「3.

⑴求{q}的通项公式;

⑵求数列{SJ的前〃项和.

3.(2023•全国甲卷•高考真题)设'为数列{%}的前"项和,已知g=l,2S“=〃a”.

(1)求{(}的通项公式;

(2)求数歹I」]芳|的前〃项和(.

4.(2023•全国乙卷•高考真题)记S,为等差数列{%}的前〃项和,已知%=11,品=40.

⑴求{%}的通项公式;

(2)求数列{同}的前"项和I.

5.(2024•全国I卷•高考真题)设机为正整数,数列/,电,…,%,会是公差不为0的等差数列,若从中删去两项区和

为[<4)后剩余的4"?项可被平均分为加组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列…,。4",+2是(盯)-

可分数列.

⑴写出所有的(仃),使数列4M2,…,4是(")—可分数列;

(2)当机23时,证明:数列%3+2是(2,13)-可分数列;

⑶从1,2,…,4m+2中任取两个数i和八zYj),记数列4,0,…,为”+2是(仃)-可分数列的概率为以,证明:£”>:.

O

6.(2024•全国H卷•高考真题)已知双曲线C:炉-丁=加例>0),点出5,4)在C上,上为常数,0<^<1.按照如

下方式依次构造点P,.(〃=2,3,...):过作斜率为k的直线与c的左支交于点,令N为2-关于y轴的对称

点,记月的坐标为(七,%).

⑴若次=—,求马,必;

⑵证明:数歹11{尤“-%}是公比为器的等比数列;

⑶设S“为一乙2+山+2的面积,证明:对任意正整数〃,S,,=Sn+l.

7.(2024•天津•高考真题)已知{4}为公比大于0的等比数列,其前〃项和为S“,且%=LS2=%T.

⑴求{q}的通项公式及S.;

,、

⑵设数列物/满足4=匕\k,n=ca,,其中左eN*.

\bn_{+2k,ak<n<aM

(i)求证:当〃=4+i(左eN*,且上>1)时,求证:>ak-bn-

(ii)求才瓦.

i=l

8.(2024•北京•高考真题)已知集合出={亿),匕坟)|他{1,2},/€{3,4},左€{5,6},卬€{7,8},且"/+%+坟为偶数}.给

定数列A:%,%…和序列。:几阳-北,其中4=(点九/,叫)6"。=1,2,.•,$),对数列A进行如下变换:将

A的第3九尤,“项均加1,其余项不变,得到的数列记作4(A);将[(A)的第%,上出,嗯项均加1,其余项不变,

得到数列记作也⑷;……;以此类推,得到久.砧⑷,简记为。(A).

⑴给定数列A:L3,2,4,6,3,1,9和序列Q:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),写出。(A);

(2)是否存在序列。,使得。(A)为4+2,%+6,/+4,%+2,%+8,4+2,%+4,。8+4,若存在,写出一个符合条件

的。;若不存在,请说明理由;

(3)若数列A的各项均为正整数,且4+/+%+%为偶数,求证:“存在序列Q,使得。(⑷的各项都相等”的充要

条件为“Q]+=〃7+»・

实战演练一:等差数列的概念与性质

【知识点解析】

1.等差数列的定义:4一61=〃;a“+「a”=d;。“_]+。用=2a〃.

2.等差数列的通项:an=a1+[n-\^d=am+[n-m)d.

3.等差数列前九项和s〃=心土色)=〃4+也凸d.

n212

4.等差数列通项公式的性质

(1)若加+〃=〃+〃,贝!机+〃〃=%+%.

(2)若加+〃=2p,则。小+。1=2%.

(3)若〃、b、。为等差数列,则a+c=»,b为a、c的等差中项.

(4)若{4}为等差数列,则a-、a“+2p、。用屋..依旧是等差数列•

(5)当d>0时,数列{g}单调递增;当d<0时,数列{4}单调递减.

5.等差数列前〃项和的性质

S=n^k+^-k\k=l,2,.,n且S2a=(2”—l)a“;

(1)n

(2)S=An2+Bn且为等差数列

nn

(3)等差数列的前〃项和S“是一个二次函数,当d>0时,S“有最小值,当d<0时,S"有最大值;其中:

①若已知%和d,

则当且仅当n取最接近对称轴的正整数时,Sn有最值;

②若未知%和2,则需找出为的正负交界值;

S3",—S2,“依旧是一个等差数歹U.

(4)鼠、S2ffl-Sm、

6.含有绝对值的求和方法:

(1)找到、•4+1<0的临界值;

⑵若“<P,同+同+|%|+……+⑷=闻;若〃>人同+同+同+……+同=闻+国—sj

【实战演练】

1.(24-25高三上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)己知数列{%}的前项和为S“=2〃2_30〃.

⑴求出{%}的通项公式;

(2)求数列前n项和最小时»的取值.

2.(24-25高三上•广东湛江•期末)已知在等差数列{%}中,出3,4+4=18.

(1)求数列{%}通项公式;

,2,、

⑵设"=n(a+3),求数列也}的前“项和S”•

3.(23-24高三上•贵州•阶段练习)记等差数列{%}的前鼠项和为S“,已知4=11,S3=S9.

(1)求{q}的通项公式;

⑵记数列{|/|}的前几项和为北,求小.

4.(24-25高三上•广东东莞•阶段练习)己知数列{为}的前〃项和为S“,4=1,数列,是以1为公差的等差数

列.

⑴求数列{%}的通项公式;

111

(2)若对于任意正整数%都有——+——+•+-----44,求实数4的最小值.

实战演练二:等比数列的概念与性质

【知识点解析】

1.等比数列的证明:⑴⑵a“+i+a“=q(3)an+l-an_x=a^.

2.等比数列的通项公式:a”=q•qnl=心•/.

3.等比数列的前几项和公式:S„=l—q.

navq-\

4.等比数列通项公式的性质

①若=+贝U='•4.

②若m+n=2p,则/外二4

③若。、b、c为等比数列,贝!Jac=b]b为a、c的等比中项.

④若{。“}为等比数列,则区“、4+20、q+3P…依旧是等比数列.

⑤当q>l且弓>0时,数列{4}单调递增;当0<q<l且4>0时,数列{4}单调递减.

5.等比数列前〃项和的性质

①S心52ffl-S心S3„,-S2ffl依旧是一个等比数列

【实战演练】

1.(24-25高三上•贵州铜仁•期末)在数列{叫中,点5,q)在直线2x-y-4=0上;在等比数列也}中,b2=a3,

b5=al0.

⑴求数列{叫,凡}的通项公式;

⑵设c„=a„+bn,求数列{g}的前〃项和Sn.

2.(2025•海南•模拟预测)设数列{4}的前展项和为S“,已知3s“=4巴-4.

⑴求{q}的通项公式;

⑵求数列1的前〃项和却

3.(24-25高三上•山东•阶段练习)已知等比数列{%}的各项都是正数,al+a2=6,S4=30.

⑴求数列{%}的通项公式;

(2)设%=log2an,求数列{2}的前50项之和.

4.(24-25高三上•黑龙江绥化•阶段练习)已知数列{%}是由正数组成的等比数列,且%=256,a3+a4=2Qa2.

⑴求数列{%}的通项公式;

⑵设数列也“}满足bn=an+log2a„,求数列也}的前几项和I.

实战演练三:数列通项公式的求解

【知识点解析】

1.定义法:已知{«„}为等差数列或等比数列

(1)等差数列的通项公式:an=a]+(n-X)d=am+(n-m^d.

n(a,+a„}n(n-l]

(2)等差数列的前n项和公式:Sn=一二"=叫+'d.

n1nm

(3)等比数列的通项公式:an=ai-q-=am-q-.

(4)等比数列的前几项和公式:l—q'i.

navq=l

2.法

(1)因为=%+%+%+…+/_]+。”①,S”_]=q+tZj+%+…+a”_](〃N2)②

所以S〃—S“T=aJ(〃N2).

(2)注意事项

①S〃+i-S“=a“+i.

②因为当"N2时,S,T才有意义,所以需检验通项公式当〃=1时是否成立.若不成立,需写成分段数列的形式.

③不一定每次S“-SR都能得到{/}的具体表达式,有可能需要进一步化简.

④若题目求5〃或S“出现二项式,需要将题目所给条件中的%反向化为S“T,对S”进行探索.

⑤%"。)+°2"⑵+%"⑶+...+a〃"⑺代表数列{%•/(〃)}的前〃项和.

3.累加法:已知4T=/(")或a用一4=/(n)

(1)若已知a“—%_]=/(〃),赋值从2到〃,得到〃—1个式子,累加得a”—q=/(2)+f(3)+f(4)+...+f(ji).

(2)若已知见+1—a”=/(〃),赋值从1到〃—|,得到〃—1个式子,累力口得a"—“i=f(Y)+f(2)+f(3)+...+f(ji—1).

(3)/(〃)可以是等差数列,也可以是等比数列或者可裂项的数列.

4.累乘法:已知a=/(〃)或—=/(〃)

an-\an

⑴若己知&=/(〃),则赋值从2到〃,得到〃—1个式子,累加得&=/(2)"⑶

an-\%

(2)若已知—=/(〃),则赋值从1到得到1个式子,累加得”—

ana\

(3)如论是4=/(〃)或也=/(〃),均需注意最后求和的项数.

a“Tan

5.构造法

(1)若已知an=q*+m,则构造数列{4+2}为公比为q的等比数列,则&区='=q,解方

4-1+2

程得;L

(2)若已知。“=效"1+如+。,则构造数列{%+力,+〃)为公比为“的等比数列,则一4+'"+〃—

”二;X;"为解方程得小

(3)若已知。“=qa,i+kpn则构造数列{q+即"}为公比为4的等比数列,则见+吗

,n

=qan1+kp'+Ap=解方程得义.

%+犷

(4)若已知%=的“_1+依",则构造数列{》}为公差为左的等比数列.

(5)若题干已给出构造目标,则根据定义法代入构造目标进行证明.

6.倒数法:已知4T

X-i+A

(1)取倒数得L=&+"=’-+4

ana,1

(2)若〃=1,则数列工是以工为首项,九为公差的等差数歹!).

%

(3)若〃#1,则进行二次构造等比数列.

【实战演练】

考向一兄-法求数列通项公式

1.(24-25高二上•福建•期中•节选)已知数列{%}的前鼠项和S'=",其中weN*.

(1)求数列{%}的通项公式;

2.(24-25高三上•黑龙江哈尔滨•阶段练习•节选)已知数歹£(}的前〃项和为3=2/-3。”.

(1)求出{七}的通项公式;

3.(24-25高三上•广东东莞•阶段练习•节选)已知数列{氏}的前〃项和为S.,«,=1,数列是以1为公差的等

差数列.

⑴求数列{%}的通项公式;

4.(2024•四川自贡•三模•节选)已知数列{%}的前项和为S.,且S"一

⑴证明:数列{%}为等差数列;

5.(2024•江苏扬州•模拟预测•节选)已知各项均为正数的数列{%}前,项和为S“,且2S.=a“(a“+l).

⑴求数列{%}的通项公式;

6.(2024•辽宁沈阳•模拟预测•节选)已知数列{氏}满足q=1,«„>0,S”是数列{%}的前鼠项和,对任意

〃cN*,有2S〃=2Q;+Q〃一1

⑴求数列{q}的通项公式;

考向二累加法求数列通项公式

1.(2024•广东•二模•节选)数列{q}满足q=1,an+l=an+n+l.

(1)求数列{%}的通项公式;

1Q

2.(23-24高三上•广西百色•阶段练习•节选)已知数列{q}满足:卬=竹,%=;,数列是以4为公差的

等差数列.

⑴求数列{%}的通项公式;

3.(23-24高三上•山东青岛•开学考试•节选)已知数列{%}中,4=1,%=2,数列{。用-%}是公差为1的等差数

列.

⑴求{%}的通项公式:

4.(22-23高三下•河南濮阳•开学考试•节选)在数列{%}中,4=1,4-5=2".

n+1n

⑴设年=为求数列也}的通项公式;

考向三累乘法求数列通项公式

_"+1

1.(24-25高三上•山东日照•开学考试•节选)已知数列{4}满足4=2,

a.n

(1)求数列{%}的通项公式;

2.(24-25高三上•山东德州•期中•节选)在数列{风}中,4=1,其前w项和为S“,且g,-5一=(〃-。⑸一+%_)

(n>2_&neN*).

⑴求{q}的通项公式;

n+2

3.(23-24高二下•内蒙古呼和浩特•期中•节选)已知在数列{4}中,4=1,前〃项和S,=丁%.

(1)求出、“3;

⑵求数列{2}的通项公式;

4.(23-24高三上•广东•阶段练习•节选)已知数列{4},也}的前〃项和分别为S“,Tn,且满足么=3%",6=1,

S,,_册

77+12

(1)求数列{%}的通项公式;

考向四构造法求数列通项公式

1.(24-25高三上•甘肃白银•期末•节选)已知数列{qj满足%=3,且。用=2%-1.

2.(24-25高三上•重庆•阶段练习•节选)数列{4}的前〃项和为S“,满足SM=2S“+〃+1且首项%=1.

⑴证明:数歹!I{%+1}为等比数列,并求出数列{吗的通项公式%;

3.(24-25高三上•重庆•阶段练习•节选)已知数列{4}的前〃项和为S“,且%=25“+2〃-1.

(1)若%=1,求S,;

(2)若数列{%}是单调递增数列,求首项%的取值范围.

3

4.(24-25高三上•河北•期中•节选)已知数列{%}的前〃项和为S“,且s“-2a“=:〃-1.

⑴求证:数列]为等比数列;

5.(24-25高三上•河北•阶段练习•节选)已知数列{%}满足e=1,%=2°,+“-1.

(1)求数列{g}的通项公式;

6.(24-25高三上•四川泸州•开学考试•节选)已知数列{%}的首项q=],且满足%+1=手〉(“€e

⑴求证:数列]为等比数列;

7.(23-24高三下•河北张家口•开学考试•节选)已知数列{4}满足%=5,且0用=3q-2"(〃wN*).

(1)求数列{%}的通项公式;

8.(24-25高三上•宁夏中卫•阶段练习•节选)已知数列{%},{2}满足q=2,%=24+2田也=2"-1

⑴证明:]会;为等差数列,并求{为}通项公式;

nb,,、

⑵若g=y,记{a}前“项和为1,对任意的正自然数小不等式恒成立,求实数几的范围.

考向五倒数法求数列通项公式

「、22〃

1.(24-25高三上•广东广州•阶段练习•节选)已知数列{%}的首项4=,,且满足寸,求

2.(23-24高二下•辽宁•期末•节选)已知数列{%}满兄4+i=1,q=:,数列也}的前〃项和为S“,且

+12

n+l

2Sn=3-3.

⑴求数列{%},也}的通项公式,

实战演练四:数列前”项和的求解

【知识点解析】

1.定义法:已知{«„}为等差数列或等比数列

(1)等差数列的通项公式:an=a]+(n-X)d=am+(n-m^d.

n(a,+a„}n(n-l]

(2)等差数列的前n项和公式:Sn=一二"=叫+'d

(3)等比数列的通项公式:%=ajq"7

(4)等比数列的前几项和公式:l—q

na},q-l

2.裂项相消法

(1)裂项相消法:基本思想是将一个复杂的分数拆分成两个简单分数的差,从而简化求和过程.

(2)裂项相消法的常见模型

mml1

①等差型:a=-------------------二-------(-------------------

n(初+2)(切+〃)2—//kn+Akn+/u

m

②无理型:a=;--/=-........(Jku+4—,切+〃)

n,切+4+,而+〃%—〃

m-bnm(11)

③指数型:册=

(上+㈤⑷+㈤bn+i+AJ

i_ifi______L_]

④常见裂项:---------二-----------

〃(〃+1)nn+1(2〃+l)(2〃-1)2{2n-l2〃+l)

/----1=—yjn+1-\/n,,----,=—(y/2n+l+y/2n-l

y/n+1+6y/2n+l+y/2n-i2、

2n_113,_1(11]

(2-i+1)(2〃+1)-2〃+1-2"i+1(3*1)(3"+1)一213"+1—3,!+1+lJ

3.错位相减法:c“=%。“且%为等差数列,公差为d,4为等比数列,公比为私

⑴S“=岫+a2b2+a3b3+...++anbn①

⑵qSn=01b2+a2b3+a3b4+...+a“也+anbn+1②

(3)①-②得(1—q)S"=4伪—a也+]+db2+db^+db^+...+dbn

db(l-qn-l)

(4)求和得(1-4电=。也一。也旬+2-------L

"q

(5)化简得最终答案.

(6)。“=(。〃+加47,则5“=(4?+3)4"—3,其中4=3,3(不建议直接用)

q-1q-1

4.倒序相加法

(1)S”=%%….

(2)Sn=an+an_x+an_2

(3)上述两式相加,得2s“=(%+a“)+(02+。”-1)+(。3+。”-2)+…++(。〃+。1)

a+a=a+a

(4)若数列{«„)在满足的情况下mnpq,则为+=fl2+0„_1=Oj+fl„_3=...=.

(5)所以2S,=”•(4+a“)

5,分组求和法:cn=an+bn

(i)记c”的前九项和为S”,记a”的前几项和为T,,记4的前几项和为

(2)分别求T,与Q.

⑶S"=T"+Q".

【实战演练】

考向一裂项相消法求数列前八项和

1.(24-25高三上•山东济南•阶段练习)已知数列{%}的前〃项和为S“,且S,=2%-2(〃eN*).

⑴求数列{%}的通项公式;

7I11

(2)若么=10g2〃2〃.l,C”二^—,求证:。1+。2+。3++&<彳・

2.(24-25高三上•湖南长沙•期末)已知数列{4}满足2+与++上=岛

352九+1

⑴求{q}的通项公式.

716数列{〃}的前〃项和为是否存在实数沉,使得数列b号

⑵记“行而T为等差数列?若存在,

求出〃?的值;若不存在,说明理由.

3.(24-25高三上•江西抚州•阶段练习)已知数列的前〃项积〃=2等,数列也}的前〃项和为S“,4=1,

满足2S,=的+j.

⑴求数列{%}、{2}的通项公式;

b

(2)记c“=广,数列{c,}的前〃项和为】,若最eN*使产+/-1<2月成立,求实数t的取值范围.

,〃+4+2”〃

4.(24-25高三上•江苏无锡•阶段练习)已知数列{4}的前〃项和为5,,且满足邑=2(%-1),“eN*.

⑴求数列{%}的通项公式;

⑵设设数列出}的前〃项和北,求证:7;,<7-

^n^n+14

考向二错位相减法求数列前"项和

1.(23-24高三下•天津•阶段练习)已知{%}为等差数列,前〃项和为也}是首项为2的等比数列,且

公比大于Ob2+b3=12,b3=a4-2ax,Sn=llb4,

⑴求{qj和也}的通项公式;

(2)若数列{%}满足:c,=an-bn,求数列{%}的前n项和T„;

bn

⑶若数列{4}满足:4,=色,+而用+1),求

2

2.(24-25高三上•山东潍坊•期末)已知正项数列{4}前〃项积为(,log?7;=

⑴求{4}的通项公式;

(2)设2=%+%+…+%,求数列{,2}的前几项和S".

3.(24-25高三上•新疆喀什•阶段练习)设S.为数列{4}的前〃项和,已知S.=2a,,-L

(1)求{见}的通项公式;

⑵求数列[:]

的前”项和70.

4.(24-25高三上•陕西汉中•期中)已知数歹!J{%}的前〃项和S“满足S,,=3"+〃-l.

(1)求{%}的通项公式;

(2)若6“=(2"+1)&-1),求数列也}的前〃项和7“.

考向三倒序相加法求数列前"项和

1.(24-25高三上•云南昆明•阶段练习)记为数列{叫的前〃项和,已知:o,=l,Sn+ian-Snan+l=^an+lan

(neN*).

⑴求证:数列是等差数列,并求数列{%}的通项公式;

C

(2)求和:aC+a2C]t+a3c+…+«„+i"-

2.(23-24高三上•云南•阶段练习)已知数列{4}满足:3+冬+墨+…+崇="(weN*),数列抄“}满足

(1)求数列{%}的通项公式;

⑵求a+b2T---i-Z?99.

3.(2024•上海•模拟预测)已知■无数列{4}的前〃项和为S“,点(〃总乂”€d)均在函数丫="同

的图象上.

⑴求数列{%}的通项公式;

⑵若g(x)=F?,令4=g[藕](〃eN*),求数列也}的前2024项和64・

-

।*"t乙k乙U乙JJ

考向四分组(并项)求数列前"项和

1.(2025•江西•一模)已知数列{〃〃}满足%=已g+1=〃;+%.

⑴若{见}为递增数列,求丸的取值范围;

⑵当4=0时,证明:数歹U{In4}是等比数列,并求数列1号]的前〃项之积小

2.(24-25高三上•海南・阶段练习)已知数列{4}的前力项和为斗,且满足S,,=2"-l.

(1)求数列{4}的通项公式;

(2)已知bn=a:+log2a„,求数列也}的前鼠项和为7;.

3.(24-25高三上•安徽淮南•阶段练习)已知{4}是各项均为正数的等比数列,q=1,且q,a2,-3%成等差数

列.

⑴求{4}的通项公式;

⑵求数列{为-科的前n项和Sn.

4.(24-25高三上•四川内江•阶段练习)已知正项等差数列{4}满足:%=1且4,。3,2%-1成等比数歹人

(1)求数列{。“}的通项公式;

(2)若数列{%满足:勿=2"”,MN*,求数列{4+4}的前〃项和人

实战演练五:奇偶数列问题

【知识点解析】

b—2k—1

1.奇偶数列求和:已知4=1,其中的前九项和为S,,”的前〃项和为T,,C,的前几项和为。,.

[cn,n=2k

思路一:分类讨论

⑵若“为偶数,则s,=”+q

22

⑶若“为奇数,则5“=%+。匕

思路二:并项求和

⑴记4=〃+%

(2)S2n=4+d,+&+…+d“

⑶若九为偶数,贝I」Sn=dl+d2+d3+...+dll

2

(4)若n为奇数,则Sa=4+&+&+…+dn-bn

2

2.常见奇偶数列模型

⑴若。=+。”_]=而,贝(Jo,#]+a“=d(〃+l),相减得-=4.

当“为奇数时,数列为以内为首项,d为公差得等差数列.

当九为偶数时,数列为以。2为首项,d为公差得等差数列.

⑵若%q_i=4",则可+].4=q"T,相除得%L=g.

an-l

当九为奇数时,数列为以内为首项,q为公差得等比数列.

当九为偶数时,数列为以。2为首项,q为公差得等比数列.

bn—2k—1

(3)若4=-,,则直接按奇偶分开讨论.

[cn,n=2k

【实战演练】

1.(24-25高三上•江西•阶段练习)己知S,是等差数列{%}的前〃项和,且%+4+%=62,S3=3O.

⑴求{4}的通项公式;

⑵记4=(-1)"-«„,求数列{b,,}的前100项和小.

2.(24-25高三上•内蒙古包头•期末)已知£为数列{%}的前〃项和,满足5“=2%-1,〃€e.数列也1}是等差数

列,且丁=4也+J=6.

⑴求数列{%}和也}的通项公式;

为奇数,、

⑵设“为偶数求数列(匕}的刖20项和.

3.(24-25高三上•湖北•期末)已知数列{4}的前"项和为S“,若臬=24+1,

⑴求S“;

■»r

⑵若[={:"'二展将,1为数列{c,J的前”项和,求也

S/〃为偶数

4.(24-25高三上•河南•期末)已知S,是各项均为正数的数列{为}的前"项和,-2。,+m“-3%=。,邑=13.

⑴求{q}的通项公式;

an,〃为奇数,

(2)设或=1〃为偶数求数列也}的前2”项和应.

Jog3ajlog34+2''

实战演练六:数列插项问题

【知识点解析】

1.插项的核心:插入的项数与插入的数据类型.

2.常见插项问题

(1)在4和4+1之间插入几个数,使这〃+2个数构成等差数列,

记这个等差数列的公差为dn,则a,1.—。“=(〃+1)•4,整理的dn=.

H+1

(2)在4和%+1之间插入〃个数,使这〃+2个数构成等比数列,

记这个等比数列的公比为置,则4旦=(/)"+'整理的/="/出1.

Van

(3)在劣和%+1之间插入2*个加,组成新数列《,”7,“2,”7,私"3,"7,"7,"7,%,…,见

求这个数列的前〃项和,需分清{4}和加各有多少项,分组求和.

【实战演练】

1.(24-25高三上•四川眉山•阶段练习)已知数歹!){2},么+[=2+2,邑=2d+l(〃eN*),数列也}的前八项和为

S“,4=2且〃川=25n+25©?^*).

⑴令g=anbn,求数列{c,J的前n项和Tn.

⑵在。“与。向之间插入〃个数,使这〃+2个数组成一个公差为4的等差数列,在数列{4}中是否存在3项4“,

dk,(其中加以〃成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的3项,若不存在,请说明理由.

2.(2024•黑龙江齐齐哈尔•二模)设数列{%}的前〃项和为S“,3s“=2a“+l.

(1)求数列{%}的通项公式;

⑵在数列{%}的利和%项之间插入%个数,使得这人+2个数成等差数列,其中%=1,2,…,明将所有插入的数组

成新数列也},设看为数列{/}的前〃项和,求看6.

1Oyi力2IQM

3.(23-24高三上•河南南阳•期中)己知数列{4}满足一+—+

4a2an2

⑴求{qj的通项公式;

(2)在为和。用之间插入”-1个数,使得这”+1个数依次构成一个等差数列,设此等差数列的公差为4,求

4+d-2++dn.

4.(22-23高三上•河北唐山•期中)已知正项等差数列{%}满足%=5,且g+l是。2与。5+3的等比中项.

⑴求数列{%}的通项公式及前鼠项和S..

(2)保持{七}中各项的先后顺序不变,在4与以+1左=1,2,)之间插入左个2人,构成新数列色},求数列也.}的前

24项和弓.

实战演练七:数列最值问题

【知识点解析】

1.求最值的常见方法

(1)二次函数法.

(2)基本不等式法.

(3)三角函数法.

(4)函数单调性法.

2.求数列单调性的方法:(1)作差法(与“0”比较大小)(2)作商法(与“1”比较大小)

※虽然数列可近似视为函数(定义域为正整数),但是一般不会用导数讨论单调性,因为求导太复杂.

【实战演练】

1.(24-25高三上•辽宁丹东•期中)记S”为等差数列{4}的前〃项和,4Sn=anan+l+l,a,wO,〃eN*.

⑴求{q}的通项公式;

⑵若超=今,求使"取得最大值时n的值.

2.(24-25高三上•江苏宿迁•阶段练习)已知数列{%}的前〃项之积为%且詈+贤++孑=生产("-*

402,2

⑴求数列[及和{an}的通项公式;

⑵求f(n)=bn+%+bn+2++b2n_x+b2n的最大值.

,、1ci

3.(24-25高三上•宁夏银川•阶段练习)已知数列{4}的首项为q=;,且满足%+1=尸二

(1)求证为等差数列,并求出数列{q}的通项公式;

(2)设数列的前〃项和为I,求T”■

⑶若数列也}的通项公式为么=4"+1,且对任意的〃eN*,Md-1)22〃-5恒成立,求实数上的最小值.

4.(2024•黑龙江哈尔滨•三模)已知数列{4}的前〃项和为S“,且S“=3%-2".

(1)求证:数歹!I,“-2"}是等比数列;

n—1

3

⑵设〃=q+小2"_(彳+1)・,若也}是递增数列,求实数4的范围.

实战演练八:数列新定义问题

【知识点解析】

新定义问题的方法和技巧:

(1)可通过举例子的方式,将抽象的定义转化为具体的简单的应用,从而加深对信息的理解;

(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容,如果能清晰描述,那么说明对此信息理解的较为透彻;

(3)发现新信息与所学知识的联系,并从描述中体会信息的本质特征与规律;

(4)如果新信息是课本知识的推广,则要关注此信息与课本中概念的不同之处,以及什么情况下可以使用书上的概

念.

【实战演练】

1.(24-25高三下•湖南长沙•开学考试)已知数列A:4,%,,为2机个数12…,2加的一个排列,其中〃zeN*,且

m>3.若在集合{L2,…,2机-1}中至少有一个元素,使得|q「a,J=〃2,则称数列A具有性质T.

⑴当机=3时,写出4个具有性质T的数列A;

⑵若数列{%一1}和他力(〃=1,2,…,加)均为等差数列,且%=1,%„,=2,证明:对于所有的偶数项数列

不具有性质T;

(3)在所有由1,2,…,2/"的排列组成的数列A中任取一个,记具有性质T的数列的概率为尸(T),证明:对于任意

772(7H>3),P(T).

2.(24-25高三上•黑龙江•期末)已知正项数列{%}满足:对任意的正整数”,都有其中[为非零常

数.

(1)若4=26+1=5,求数列{%}的通项公式;

n]

⑵证明:E——

i=iq+q+i

1n

⑶若X且a、=d,从4,a?,生,4加+1)2(m,2且加£N)中任取两个数,记这两个数是

i=lJ/+1+1

4

无理数,且这两个无理数中间仅包含一个整数的概率为若匕V石,求正整数加的最小值.

222W(,,+iM+1)

公式:P+2+3+-+n=y(其中〃为正整数).

3.(24-25高三上•河北邢台•期末)若数列{q}的首项4=1,对任意的九€、,都有为用一。“4左(左为常数,且

左eN+),则称{4}为有界变差数列,其中左为数列{4}的相邻两项差值的上界.已知数列{%}是有界变差数歹!L

{q}的前展项和为S”.

(1)当人=1时,证明:an<n.

⑵当{%}(〃eN+,«>2)中各项都取最大值时,Sn+nan<3/+1U对任意的〃22恒成立,求k的最大值;

⑶当{a“}(〃eN+,〃N2)中各项都取最大值时,bn=Tan,数列出}的前〃项和为北,若对任意的"M,都有

(一1)"彳(25+1)+2"<7;—4左+2—伍-2)h2向,求2的取值范围.

4.(2025•陕西咸阳•一模)若无穷数列{%}满足:对于VweN*,历-y=A,其中A为常数,则称数列{。"}

为“A数列”.

(1)若等比数列他,}为“A数列”,求{2}的公比q;

⑵若数列{%}为“A数列",且q=1,A=l.

①求证:±7<工;

a

z=li-

,=yX__

②若c;=R,且匕}是正项数列,s"I。,求满足不等式2而吃-2<S“W2而-l(a,6,G〃wN*)的族的最

小值.第2讲数列

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