2025届高三数学二轮复习解答题之数列（含答案）

第2讲数列

高频考点分析

等差数列基本量的计算

等差数列

等差数列的性质

等比数列基本量的计算

等比数列

等比数列的曲

Sn-Sn-I法

累加法

数列的通项公式

累乘法

构造法

倒数法

数列高频考点定义法

裂项相消法

数列的前n项和错位相减法

倒序相加法

分组（并项）求和

真题速递

1.（2024•全国甲卷（理）•高考真题）记5,为数列｛4｝的前〃项和，已知4s“=3凡+4.

⑴求｛4｝的通项公式；

1

⑵设b„=（-1）-nan,求数列｛%｝的前〃项和看.

2.（2024•全国甲卷（文）•高考真题）己知等比数列｛4｝的前〃项和为工，且2S“=3%+「3.

⑴求｛q｝的通项公式；

⑵求数列｛SJ的前〃项和.

3.(2023•全国甲卷•高考真题)设'为数列｛%｝的前"项和，已知g=l，2S“=〃a”.

(1)求｛(｝的通项公式；

(2)求数歹I」］芳|的前〃项和(.

4.(2023•全国乙卷•高考真题)记S,为等差数列｛%｝的前〃项和，已知%=11,品=40.

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛同｝的前"项和I.

5.（2024•全国I卷•高考真题）设机为正整数，数列/，电，…，%,会是公差不为0的等差数列，若从中删去两项区和

为［＜4）后剩余的4"?项可被平均分为加组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列…，。4",+2是（盯）-

可分数列.

⑴写出所有的（仃），使数列4M2,…，4是（"）—可分数列；

（2）当机23时，证明：数列%3+2是（2,13）-可分数列；

⑶从1,2，…,4m+2中任取两个数i和八zYj）,记数列4,0,…,为”+2是（仃）-可分数列的概率为以，证明：£”＞：.

O

6.（2024•全国H卷•高考真题）已知双曲线C：炉-丁=加例>0）,点出5,4）在C上，上为常数，0<^<1.按照如

下方式依次构造点P,.（〃=2,3,...）：过作斜率为k的直线与c的左支交于点，令N为2-关于y轴的对称

点，记月的坐标为（七,%）.

⑴若次=—,求马,必；

⑵证明：数歹11｛尤“-%｝是公比为器的等比数列；

⑶设S“为一乙2+山+2的面积，证明：对任意正整数〃，S,,=Sn+l.

7.（2024•天津•高考真题）已知｛4｝为公比大于0的等比数列，其前〃项和为S“，且％=LS2=%T.

⑴求｛q｝的通项公式及S.；

,、

⑵设数列物/满足4=匕\k,n=ca,,其中左eN*.

\bn_{+2k,ak<n<aM

(i)求证：当〃=4+i(左eN*,且上>1)时，求证：>ak-bn-

(ii)求才瓦.

i=l

8.(2024•北京•高考真题)已知集合出={亿),匕坟)|他{1,2},/€{3,4},左€{5,6},卬€{7,8},且"/+%+坟为偶数}.给

定数列A:%,%…和序列。:几阳-北，其中4=(点九/,叫)6"。=1,2,.•,$),对数列A进行如下变换：将

A的第3九尤,“项均加1,其余项不变，得到的数列记作4(A)；将[(A)的第％，上出，嗯项均加1，其余项不变，

得到数列记作也⑷;……；以此类推,得到久.砧⑷,简记为。(A).

⑴给定数列A：L3,2,4,6,3,1,9和序列Q:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),写出。(A)；

(2)是否存在序列。，使得。(A)为4+2,%+6,/+4,%+2,%+8,4+2,%+4,。8+4,若存在，写出一个符合条件

的。；若不存在，请说明理由；

(3)若数列A的各项均为正整数，且4+/+%+%为偶数，求证：“存在序列Q,使得。(⑷的各项都相等”的充要

条件为“Q]+=〃7+»・

实战演练一：等差数列的概念与性质

【知识点解析】

1.等差数列的定义：4一61=〃；a“+「a”=d；。“_]+。用=2a〃.

2.等差数列的通项：an=a1+[n-\^d=am+[n-m)d.

3.等差数列前九项和s〃=心土色)=〃4+也凸d.

n212

4.等差数列通项公式的性质

(1)若加+〃=〃+〃，贝！机+〃〃=%+%.

(2)若加+〃=2p,则。小+。1=2%.

(3)若〃、b、。为等差数列，则a+c=»,b为a、c的等差中项.

(4)若｛4｝为等差数列，则a-、a“+2p、。用屋..依旧是等差数列•

(5)当d>0时，数列｛g｝单调递增；当d<0时，数列｛4｝单调递减.

5.等差数列前〃项和的性质

S=n^k+^-k\k=l,2,.,n且S2a=(2”—l)a“；

(1)n

(2)S=An2+Bn且为等差数列

nn

(3)等差数列的前〃项和S“是一个二次函数，当d>0时，S“有最小值，当d<0时，S"有最大值；其中:

①若已知％和d,

则当且仅当n取最接近对称轴的正整数时，Sn有最值;

②若未知％和2,则需找出为的正负交界值;

S3",—S2,“依旧是一个等差数歹U.

(4)鼠、S2ffl-Sm、

6.含有绝对值的求和方法:

(1)找到、•4+1<0的临界值；

⑵若“<P,同+同+|%|+……+⑷=闻；若〃>人同+同+同+……+同=闻+国—sj

【实战演练】

1.(24-25高三上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)己知数列｛%｝的前项和为S“=2〃2_30〃.

⑴求出｛%｝的通项公式；

(2)求数列前n项和最小时»的取值.

2.(24-25高三上•广东湛江•期末)已知在等差数列｛%｝中，出3,4+4=18.

(1)求数列｛%｝通项公式；

，2，、

⑵设"=n(a+3)，求数列也｝的前“项和S”•

3.(23-24高三上•贵州•阶段练习)记等差数列｛%｝的前鼠项和为S“，已知4=11,S3=S9.

(1)求｛q｝的通项公式；

⑵记数列｛|/|｝的前几项和为北，求小.

4.(24-25高三上•广东东莞•阶段练习)己知数列｛为｝的前〃项和为S“，4=1,数列，是以1为公差的等差数

列.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

111

(2)若对于任意正整数%都有——+——+•+-----44,求实数4的最小值.

实战演练二：等比数列的概念与性质

【知识点解析】

1.等比数列的证明：⑴⑵a“+i+a“=q（3）an+l-an_x=a^.

2.等比数列的通项公式：a”=q•qnl=心•/.

3.等比数列的前几项和公式：S„=l—q.

navq-\

4.等比数列通项公式的性质

①若=+贝U='•4.

②若m+n=2p,则/外二4

③若。、b、c为等比数列，贝！Jac=b]b为a、c的等比中项.

④若｛。“｝为等比数列，则区“、4+20、q+3P…依旧是等比数列.

⑤当q>l且弓>0时，数列｛4｝单调递增；当0<q<l且4>0时，数列｛4｝单调递减.

5.等比数列前〃项和的性质

①S心52ffl-S心S3„,-S2ffl依旧是一个等比数列

【实战演练】

1.（24-25高三上•贵州铜仁•期末）在数列｛叫中，点5，q）在直线2x-y-4=0上；在等比数列也｝中，b2=a3,

b5=al0.

⑴求数列｛叫,凡｝的通项公式；

⑵设c„=a„+bn,求数列｛g｝的前〃项和Sn.

2.（2025•海南•模拟预测）设数列｛4｝的前展项和为S“，已知3s“=4巴-4.

⑴求｛q｝的通项公式；

⑵求数列1的前〃项和却

3.（24-25高三上•山东•阶段练习）已知等比数列｛%｝的各项都是正数，al+a2=6,S4=30.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

（2）设％=log2an,求数列｛2｝的前50项之和.

4.（24-25高三上•黑龙江绥化•阶段练习）已知数列｛%｝是由正数组成的等比数列，且％=256,a3+a4=2Qa2.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵设数列也“｝满足bn=an+log2a„,求数列也｝的前几项和I.

实战演练三：数列通项公式的求解

【知识点解析】

1.定义法：已知｛«„｝为等差数列或等比数列

(1)等差数列的通项公式：an=a]+(n-X)d=am+(n-m^d.

n(a,+a„｝n(n-l]

(2)等差数列的前n项和公式：Sn=一二"=叫+'d.

n1nm

(3)等比数列的通项公式：an=ai-q-=am-q-.

(4)等比数列的前几项和公式：l—q'i.

navq=l

2.法

(1)因为=%+%+%+…+/_]+。”①，S”_]=q+tZj+%+…+a”_](〃N2)②

所以S〃—S“T=aJ(〃N2).

(2)注意事项

①S〃+i-S“=a“+i.

②因为当"N2时，S,T才有意义，所以需检验通项公式当〃=1时是否成立.若不成立，需写成分段数列的形式.

③不一定每次S“-SR都能得到｛/｝的具体表达式，有可能需要进一步化简.

④若题目求5〃或S“出现二项式，需要将题目所给条件中的%反向化为S“T，对S”进行探索.

⑤％"。)+°2"⑵+%"⑶+...+a〃"⑺代表数列｛%•/(〃)｝的前〃项和.

3.累加法：已知4T=/(")或a用一4=/(n)

(1)若已知a“—%_]=/(〃)，赋值从2到〃，得到〃—1个式子，累加得a”—q=/(2)+f(3)+f(4)+...+f(ji).

(2)若已知见+1—a”=/(〃)，赋值从1到〃—|,得到〃—1个式子，累力口得a"—“i=f(Y)+f(2)+f(3)+...+f(ji—1).

(3)/(〃)可以是等差数列，也可以是等比数列或者可裂项的数列.

4.累乘法：已知a=/(〃)或—=/(〃)

an-\an

⑴若己知&=/(〃)，则赋值从2到〃，得到〃—1个式子，累加得&=/(2)"⑶

an-\%

(2)若已知—=/(〃)，则赋值从1到得到1个式子，累加得”—

ana\

(3)如论是4=/(〃)或也=/(〃)，均需注意最后求和的项数.

a“Tan

5.构造法

(1)若已知an=q*+m,则构造数列｛4+2｝为公比为q的等比数列，则&区='=q,解方

4-1+2

程得;L

(2)若已知。“=效"1+如+。，则构造数列｛%+力，+〃)为公比为“的等比数列，则一4+'"+〃—

”二;X；"为解方程得小

(3)若已知。“=qa,i+kpn则构造数列｛q+即"｝为公比为4的等比数列，则见+吗

,n

=qan1+kp'+Ap=解方程得义.

%+犷

(4)若已知％=的“_1+依"，则构造数列｛》｝为公差为左的等比数列.

(5)若题干已给出构造目标，则根据定义法代入构造目标进行证明.

6.倒数法：已知4T

X-i+A

(1)取倒数得L=&+"=’-+4

ana,1

(2)若〃=1,则数列工是以工为首项，九为公差的等差数歹!).

%

(3)若〃#1,则进行二次构造等比数列.

【实战演练】

考向一兄-法求数列通项公式

1.（24-25高二上•福建•期中•节选）已知数列｛%｝的前鼠项和S'="，其中weN*.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

2.（24-25高三上•黑龙江哈尔滨•阶段练习•节选）已知数歹£（｝的前〃项和为3=2/-3。”.

（1）求出｛七｝的通项公式；

3.（24-25高三上•广东东莞•阶段练习•节选）已知数列｛氏｝的前〃项和为S.,«,=1,数列是以1为公差的等

差数列.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

4.（2024•四川自贡•三模•节选）已知数列｛%｝的前项和为S.，且S"一

⑴证明：数列｛%｝为等差数列；

5.（2024•江苏扬州•模拟预测•节选）已知各项均为正数的数列｛%｝前，项和为S“，且2S.=a“（a“+l）.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

6.（2024•辽宁沈阳•模拟预测•节选）已知数列｛氏｝满足q=1,«„>0,S”是数列｛%｝的前鼠项和，对任意

〃cN*,有2S〃=2Q；+Q〃一1

⑴求数列｛q｝的通项公式;

考向二累加法求数列通项公式

1.（2024•广东•二模•节选）数列｛q｝满足q=1,an+l=an+n+l.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

1Q

2.（23-24高三上•广西百色•阶段练习•节选）已知数列｛q｝满足：卬=竹，％=；，数列是以4为公差的

等差数列.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

3.（23-24高三上•山东青岛•开学考试•节选）已知数列｛%｝中，4=1,%=2,数列｛。用-%｝是公差为1的等差数

列.

⑴求｛%｝的通项公式:

4.（22-23高三下•河南濮阳•开学考试•节选）在数列｛%｝中，4=1,4-5=2".

n+1n

⑴设年=为求数列也｝的通项公式；

考向三累乘法求数列通项公式

_"+1

1.（24-25高三上•山东日照•开学考试•节选）已知数列｛4｝满足4=2,

a.n

（1）求数列｛%｝的通项公式；

2.（24-25高三上•山东德州•期中•节选）在数列｛风｝中，4=1,其前w项和为S“，且g,-5一=（〃-。⑸一+%_）

（n>2_&neN*）.

⑴求｛q｝的通项公式；

n+2

3.(23-24高二下•内蒙古呼和浩特•期中•节选)已知在数列｛4｝中，4=1,前〃项和S,=丁%.

(1)求出、“3；

⑵求数列｛2｝的通项公式;

4.(23-24高三上•广东•阶段练习•节选)已知数列｛4｝,也｝的前〃项和分别为S“，Tn,且满足么=3%",6=1,

S,,_册

77+12

(1)求数列｛%｝的通项公式;

考向四构造法求数列通项公式

1.（24-25高三上•甘肃白银•期末•节选）已知数列｛qj满足％=3,且。用=2%-1.

2.（24-25高三上•重庆•阶段练习•节选）数列｛4｝的前〃项和为S“，满足SM=2S“+〃+1且首项％=1.

⑴证明：数歹！I｛%+1｝为等比数列，并求出数列｛吗的通项公式％;

3.(24-25高三上•重庆•阶段练习•节选)已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且%=25“+2〃-1.

(1)若％=1,求S,；

(2)若数列｛%｝是单调递增数列，求首项％的取值范围.

3

4.(24-25高三上•河北•期中•节选)已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且s“-2a“=：〃-1.

⑴求证：数列］为等比数列；

5.（24-25高三上•河北•阶段练习•节选）已知数列｛%｝满足e=1,%=2°,+“-1.

（1）求数列｛g｝的通项公式；

6.（24-25高三上•四川泸州•开学考试•节选）已知数列｛%｝的首项q=],且满足%+1=手〉（“€e

⑴求证：数列]为等比数列；

7.(23-24高三下•河北张家口•开学考试•节选)已知数列｛4｝满足％=5,且0用=3q-2"(〃wN*).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

8.(24-25高三上•宁夏中卫•阶段练习•节选)已知数列｛%｝,｛2｝满足q=2,%=24+2田也=2"-1

⑴证明：］会;为等差数列，并求｛为｝通项公式；

nb,,、

⑵若g=y,记｛a｝前“项和为1,对任意的正自然数小不等式恒成立，求实数几的范围.

考向五倒数法求数列通项公式

「、22〃

1.（24-25高三上•广东广州•阶段练习•节选）已知数列｛%｝的首项4=,，且满足寸，求

2.（23-24高二下•辽宁•期末•节选）已知数列｛%｝满兄4+i=1，q=:，数列也｝的前〃项和为S“，且

+12

n+l

2Sn=3-3.

⑴求数列｛%｝,也｝的通项公式,

实战演练四：数列前”项和的求解

【知识点解析】

1.定义法：已知{«„}为等差数列或等比数列

(1)等差数列的通项公式：an=a]+(n-X)d=am+(n-m^d.

n(a,+a„}n(n-l]

(2)等差数列的前n项和公式：Sn=一二"=叫+'d

(3)等比数列的通项公式：%=ajq"7

(4)等比数列的前几项和公式：l—q

na},q-l

2.裂项相消法

(1)裂项相消法：基本思想是将一个复杂的分数拆分成两个简单分数的差，从而简化求和过程.

(2)裂项相消法的常见模型

mml1

①等差型：a=-------------------二-------(-------------------

n(初+2)(切+〃)2—//kn+Akn+/u

m

②无理型：a=；--/=-........(Jku+4—，切+〃)

n，切+4+，而+〃％—〃

m-bnm(11)

③指数型：册=

(上+㈤⑷+㈤bn+i+AJ

i_ifi______L_]

④常见裂项：---------二-----------

〃(〃+1)nn+1(2〃+l)(2〃-1)2{2n-l2〃+l)

/----1=—yjn+1-\/n，,----,=—(y/2n+l+y/2n-l

y/n+1+6y/2n+l+y/2n-i2、

2n_113，_1(11]

(2-i+1)(2〃+1)-2〃+1-2"i+1(3*1)(3"+1)一213"+1—3,!+1+lJ

3.错位相减法：c“=%。“且％为等差数列，公差为d,4为等比数列，公比为私

⑴S“=岫+a2b2+a3b3+...++anbn①

⑵qSn=01b2+a2b3+a3b4+...+a“也+anbn+1②

(3)①-②得(1—q)S"=4伪—a也+]+db2+db^+db^+...+dbn

db(l-qn-l)

(4)求和得(1-4电=。也一。也旬+2-------L

"q

(5)化简得最终答案.

(6)。“=(。〃+加47,则5“=(4?+3)4"—3,其中4=3，3(不建议直接用)

q-1q-1

4.倒序相加法

(1)S”=%%….

(2)Sn=an+an_x+an_2

(3)上述两式相加，得2s“=(%+a“)+(02+。”-1)+(。3+。”-2)+…++(。〃+。1)

a+a=a+a

(4)若数列｛«„)在满足的情况下mnpq,则为+=fl2+0„_1=Oj+fl„_3=...=.

(5)所以2S,=”•(4+a“)

5,分组求和法：cn=an+bn

(i)记c”的前九项和为S”,记a”的前几项和为T,，记4的前几项和为

(2)分别求T,与Q.

⑶S"=T"+Q".

【实战演练】

考向一裂项相消法求数列前八项和

1.（24-25高三上•山东济南•阶段练习）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且S,=2%-2（〃eN*）.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

7I11

（2）若么=10g2〃2〃.l，C”二^—，求证：。1+。2+。3++&＜彳・

2.（24-25高三上•湖南长沙•期末）已知数列｛4｝满足2+与++上=岛

352九+1

⑴求｛q｝的通项公式.

716数列｛〃｝的前〃项和为是否存在实数沉，使得数列b号

⑵记“行而T为等差数列？若存在,

求出〃?的值；若不存在，说明理由.

3.（24-25高三上•江西抚州•阶段练习）已知数列的前〃项积〃=2等，数列也｝的前〃项和为S“，4=1，

满足2S,=的+j.

⑴求数列｛%｝、｛2｝的通项公式；

b

（2）记c“=广，数列｛c,｝的前〃项和为】，若最eN*使产+/-1<2月成立，求实数t的取值范围.

,〃+4+2”〃

4.（24-25高三上•江苏无锡•阶段练习）已知数列｛4｝的前〃项和为5,，且满足邑=2（%-1）,“eN*.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵设设数列出｝的前〃项和北，求证：7；,<7-

^n^n+14

考向二错位相减法求数列前"项和

1.（23-24高三下•天津•阶段练习）已知｛%｝为等差数列，前〃项和为也｝是首项为2的等比数列，且

公比大于Ob2+b3=12,b3=a4-2ax,Sn=llb4,

⑴求｛qj和也｝的通项公式；

（2）若数列｛%｝满足：c,=an-bn,求数列｛%｝的前n项和T„；

bn

⑶若数列｛4｝满足：4，=色,+而用+1），求

2

2.（24-25高三上•山东潍坊•期末）已知正项数列｛4｝前〃项积为（，log?7；=

⑴求｛4｝的通项公式;

（2）设2=%+%+…+%,求数列｛,2｝的前几项和S".

3.(24-25高三上•新疆喀什•阶段练习)设S.为数列｛4｝的前〃项和，已知S.=2a,,-L

(1)求｛见｝的通项公式；

⑵求数列[:]

的前”项和70.

4.(24-25高三上•陕西汉中•期中)已知数歹！J｛%｝的前〃项和S“满足S,,=3"+〃-l.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)若6“=(2"+1)&-1),求数列也｝的前〃项和7“.

考向三倒序相加法求数列前"项和

1.(24-25高三上•云南昆明•阶段练习)记为数列｛叫的前〃项和，已知：o,=l,Sn+ian-Snan+l=^an+lan

(neN*).

⑴求证：数列是等差数列，并求数列｛%｝的通项公式；

C

(2)求和：aC+a2C]t+a3c+…+«„+i"-

2.(23-24高三上•云南•阶段练习)已知数列｛4｝满足：3+冬+墨+…+崇="(weN*),数列抄“｝满足

(1)求数列｛%｝的通项公式;

⑵求a+b2T---i-Z?99.

3.（2024•上海•模拟预测）已知■无数列｛4｝的前〃项和为S“，点（〃总乂”€d）均在函数丫="同

的图象上.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵若g（x）=F?，令4=g［藕］（〃eN*）,求数列也｝的前2024项和64・

-

।*"t乙k乙U乙JJ

考向四分组（并项）求数列前"项和

1.（2025•江西•一模）已知数列｛〃〃｝满足％=已g+1=〃；+%.

⑴若｛见｝为递增数列，求丸的取值范围；

⑵当4=0时，证明：数歹U｛In4｝是等比数列，并求数列1号］的前〃项之积小

2.(24-25高三上•海南・阶段练习)已知数列｛4｝的前力项和为斗，且满足S,,=2"-l.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)已知bn=a：+log2a„,求数列也｝的前鼠项和为7；.

3.(24-25高三上•安徽淮南•阶段练习)已知｛4｝是各项均为正数的等比数列，q=1,且q,a2,-3%成等差数

列.

⑴求｛4｝的通项公式；

⑵求数列｛为-科的前n项和Sn.

4.(24-25高三上•四川内江•阶段练习)已知正项等差数列｛4｝满足：％=1且4，。3,2%-1成等比数歹人

(1)求数列｛。“｝的通项公式；

(2)若数列｛%满足：勿=2"”,MN*,求数列｛4+4｝的前〃项和人

实战演练五：奇偶数列问题

【知识点解析】

b—2k—1

1.奇偶数列求和：已知4=1，其中的前九项和为S,，”的前〃项和为T,，C,的前几项和为。,.

[cn,n=2k

思路一：分类讨论

⑵若“为偶数，则s,=”+q

22

⑶若“为奇数，则5“=%+。匕

思路二：并项求和

⑴记4=〃+%

(2)S2n=4+d,+&+…+d“

⑶若九为偶数，贝I」Sn=dl+d2+d3+...+dll

2

(4)若n为奇数，则Sa=4+&+&+…+dn-bn

2

2.常见奇偶数列模型

⑴若。=+。”_]=而，贝(Jo,#]+a“=d(〃+l),相减得-=4.

当“为奇数时，数列为以内为首项，d为公差得等差数列.

当九为偶数时，数列为以。2为首项，d为公差得等差数列.

⑵若%q_i=4",则可+].4=q"T,相除得%L=g.

an-l

当九为奇数时，数列为以内为首项，q为公差得等比数列.

当九为偶数时，数列为以。2为首项，q为公差得等比数列.

bn—2k—1

(3)若4=-，，则直接按奇偶分开讨论.

[cn,n=2k

【实战演练】

1.（24-25高三上•江西•阶段练习）己知S,是等差数列｛%｝的前〃项和，且％+4+%=62,S3=3O.

⑴求｛4｝的通项公式；

⑵记4=（-1）"-«„,求数列｛b,,｝的前100项和小.

2.（24-25高三上•内蒙古包头•期末）已知£为数列｛%｝的前〃项和，满足5“=2%-1,〃€e.数列也1｝是等差数

列，且丁=4也+J=6.

⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式;

为奇数，、

⑵设“为偶数求数列（匕｝的刖20项和.

3.（24-25高三上•湖北•期末）已知数列｛4｝的前"项和为S“，若臬=24+1,

⑴求S“；

■»r

⑵若［=｛："'二展将，1为数列｛c,J的前”项和，求也

S/〃为偶数

4.（24-25高三上•河南•期末）已知S,是各项均为正数的数列｛为｝的前"项和，-2。,+m“-3%=。，邑=13.

⑴求｛q｝的通项公式；

an,〃为奇数，

（2）设或=1〃为偶数求数列也｝的前2”项和应.

Jog3ajlog34+2''

实战演练六：数列插项问题

【知识点解析】

1.插项的核心：插入的项数与插入的数据类型.

2.常见插项问题

(1)在4和4+1之间插入几个数，使这〃+2个数构成等差数列，

记这个等差数列的公差为dn,则a,1.—。“=(〃+1)•4，整理的dn=.

H+1

(2)在4和%+1之间插入〃个数，使这〃+2个数构成等比数列，

记这个等比数列的公比为置，则4旦=(/)"+'整理的/="/出1.

Van

(3)在劣和%+1之间插入2*个加,组成新数列《,”7,“2,”7,私"3,"7,"7,"7,%，…，见

求这个数列的前〃项和，需分清｛4｝和加各有多少项，分组求和.

【实战演练】

1.(24-25高三上•四川眉山•阶段练习)已知数歹！)｛2｝,么+[=2+2,邑=2d+l(〃eN*),数列也｝的前八项和为

S“，4=2且〃川=25n+25©?^*).

⑴令g=anbn,求数列｛c,J的前n项和Tn.

⑵在。“与。向之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为4的等差数列，在数列｛4｝中是否存在3项4“，

dk,(其中加以〃成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由.

2.（2024•黑龙江齐齐哈尔•二模）设数列｛%｝的前〃项和为S“,3s“=2a“+l.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵在数列｛%｝的利和%项之间插入％个数，使得这人+2个数成等差数列，其中％=1,2,…,明将所有插入的数组

成新数列也｝,设看为数列｛/｝的前〃项和,求看6.

1Oyi力2IQM

3.（23-24高三上•河南南阳•期中）己知数列｛4｝满足一+—+

4a2an2

⑴求｛qj的通项公式；

（2）在为和。用之间插入”-1个数，使得这”+1个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为4,求

4+d-2++dn.

4.（22-23高三上•河北唐山•期中）已知正项等差数列｛%｝满足%=5,且g+l是。2与。5+3的等比中项.

⑴求数列｛%｝的通项公式及前鼠项和S..

（2）保持｛七｝中各项的先后顺序不变，在4与以+1左=1,2,）之间插入左个2人,构成新数列色｝,求数列也.｝的前

24项和弓.

实战演练七：数列最值问题

【知识点解析】

1.求最值的常见方法

（1）二次函数法.

（2）基本不等式法.

（3）三角函数法.

（4）函数单调性法.

2.求数列单调性的方法：（1）作差法（与“0”比较大小）（2）作商法（与“1”比较大小）

※虽然数列可近似视为函数（定义域为正整数），但是一般不会用导数讨论单调性，因为求导太复杂.

【实战演练】

1.（24-25高三上•辽宁丹东•期中）记S”为等差数列｛4｝的前〃项和，4Sn=anan+l+l,a,wO,〃eN*.

⑴求｛q｝的通项公式；

⑵若超=今，求使"取得最大值时n的值.

2.(24-25高三上•江苏宿迁•阶段练习)已知数列｛%｝的前〃项之积为%且詈+贤++孑=生产("-*

402，2

⑴求数列［及和｛an｝的通项公式；

⑵求f(n)=bn+%+bn+2++b2n_x+b2n的最大值.

，、1ci

3.(24-25高三上•宁夏银川•阶段练习)已知数列｛4｝的首项为q=；,且满足%+1=尸二

(1)求证为等差数列，并求出数列｛q｝的通项公式;

(2)设数列的前〃项和为I,求T”■

⑶若数列也｝的通项公式为么=4"+1,且对任意的〃eN*,Md-1)22〃-5恒成立，求实数上的最小值.

4.(2024•黑龙江哈尔滨•三模)已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且S“=3%-2".

(1)求证：数歹!I,“-2"｝是等比数列；

n—1

3

⑵设〃=q+小2"_(彳+1)・，若也｝是递增数列，求实数4的范围.

实战演练八：数列新定义问题

【知识点解析】

新定义问题的方法和技巧：

(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概

念.

【实战演练】

1.(24-25高三下•湖南长沙•开学考试)已知数列A:4,%,,为2机个数12…,2加的一个排列，其中〃zeN*,且

m>3.若在集合｛L2,…,2机-1｝中至少有一个元素，使得|q「a,J=〃2,则称数列A具有性质T.

⑴当机=3时，写出4个具有性质T的数列A；

⑵若数列｛%一1｝和他力(〃=1,2,…,加)均为等差数列,且%=1,%„,=2,证明：对于所有的偶数项数列

不具有性质T；

(3)在所有由1,2,…,2/"的排列组成的数列A中任取一个，记具有性质T的数列的概率为尸(T),证明：对于任意

772(7H>3),P(T).

2.（24-25高三上•黑龙江•期末）已知正项数列｛%｝满足：对任意的正整数”，都有其中［为非零常

数.

（1）若4=26+1=5,求数列｛%｝的通项公式;

n]

⑵证明：E——

i=iq+q+i

1n

⑶若X且a、=d,从4,a?,生，4加+1）2（m，2且加£N）中任取两个数，记这两个数是

i=lJ/+1+1

4

无理数，且这两个无理数中间仅包含一个整数的概率为若匕V石,求正整数加的最小值.

222W（，，+iM+1）

公式：P+2+3+-+n=y（其中〃为正整数）.

3.（24-25高三上•河北邢台•期末）若数列｛q｝的首项4=1,对任意的九€、，都有为用一。“4左（左为常数，且

左eN+）,则称｛4｝为有界变差数列，其中左为数列｛4｝的相邻两项差值的上界.已知数列｛%｝是有界变差数歹!L

｛q｝的前展项和为S”.

（1）当人=1时，证明：an<n.

⑵当｛%｝（〃eN+,«>2）中各项都取最大值时，Sn+nan<3/+1U对任意的〃22恒成立，求k的最大值；

⑶当｛a“｝（〃eN+，〃N2）中各项都取最大值时，bn=Tan,数列出｝的前〃项和为北，若对任意的"M，都有

（一1）"彳（25+1）+2"<7；—4左+2—伍-2）h2向，求2的取值范围.

4.(2025•陕西咸阳•一模)若无穷数列｛%｝满足：对于VweN*,历-y=A,其中A为常数，则称数列｛。"｝

为“A数列”.

(1)若等比数列他,｝为“A数列”，求｛2｝的公比q；

⑵若数列｛%｝为“A数列"，且q=1,A=l.

①求证：±7<工；

a

z=li-

,=yX__

②若c；=R，且匕｝是正项数列，s"I。，求满足不等式2而吃-2<S“W2而-l(a,6,G〃wN*)的族的最

小值.第2讲数列

高频考点分析