2025年北师大版九年级数学下册《直角三角形的边角关系》 知识归纳与题型突破（含答案解析版）

直角三角形的边角关系知识归纳与题型突破

（十一类题型）

01思维导图

02知识速记

一、锐角三角函数

1.正弦、余弦、正切的定义

如右图、在RtaABC中，ZC=9O°,如果锐角A确定:

这个比叫做NA的正弦.

邻b

(2)cosA=^-=-这个比叫做NA的余弦.

(3)tanA=^=?,这个比叫做NA的正切.

要点：

(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其

大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.

(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示NA三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“4”，

但不能写成sin-A,对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号不能省略，应写成

sinZBAC,而不能写出sinBAC.

(3)sin2A表示(sinAp而不能写成sinA2.

(4)三角函数有时还可以表示成sina,cos户等.

2.锐角三角函数的定义

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做NA的锐角三角函数.

要点：

I.函数值的取值范围

对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是ZA的函数.同样，COSA、

tanA也是NA的函数，其中NA是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量NA的取值范围

是0。<乙\<90。，函数值的取值范围是0<sinA<l,0<cosA<l,tanA>0.

2.锐角三角函数之间的关系：

45"

CB

余角三角函数关系：“正余互化公式”如NA+NB=90。,

那么：sinA=cosB；cosA=sinB；

cmA

同角三角函数关系：sin2A+cos2A=l；tanA=-———

COSJ4

3.30。、45。、60。角的三角函数值

Z.A30°45°60°

sinA收也

2~T2

工

cosA在也

222

tanA立1出

3

30。、45。、60。角的三角函数值和解30。、60。直角三角形和解45。直角三角形为本章重中之重，是几何计

算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.

二、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.

解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：

角角关系:两锐角互余，即NA+ZB=90。；

勾股定理，即a2+6

边边关系:

边角关系:锐角三角函数，即

a

~b

bab

sin5=—,cos5=-,tanB

cca

要点:

解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：

(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；

(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角).这两种情形的共同之处：有一条边.因

此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边.

三、解直角三角形的应用

解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量

关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.

L解这类问题的一般过程

(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出

几何图形，建立数学模型.

(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的

问题.

(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.

2.常见应用问题

h

*(1)坡度：j=1：w=—=tana；坡角:a.

(3)仰角与俯角:

铅垂线

要点:

1.解直角三角形的常见类型及解法

和解法

三角形类铲已知条件解法步骤

tan="

由b求4A,

两直角边（a,b）

z.B=90°-zA,

两C=+废

边

Aa

sin=—

由c求乙A,

RtAABC斜边,一直角边（如c,a）

Bz.B=90°-zA,

b=_J

ZB=9O°-ZA,

x\锐角、邻边

b

乙1

X-------------------c（如NA,b）c=------

ba=6,tan&cos工

一直角边

边和一锐角zB=90°—zA,

锐角、对边

a.a

（如NA,a）

角sinA,tan工

zB=90°—zA,

斜边、锐角（如c,ZA）

a=csinAfb=ccosA

2.用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是:

把实际问题抽象成数学问题（解直角三角形），就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转

化为图形（点、线、角等）以及图形之间的大小或位置关系.

借助生活常识以及课本中一些概念（如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等）的意义，也有助于把实际问

题抽象为数学问题.

当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解.

03题型归纳

题型一锐角三角函数的概念

例题

1.在中，若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角/的余弦值（）

A.扩大为原来的2倍B.缩小为原来的：

C.保持不变D.扩大为原来的4倍

【答案】C

【分析】本题考查了角的余弦值，某个角的余弦值只与该角的大小有关，据此即可求解.

【解析】解：•••某个角的余弦值只与该角的大小有关，

.•.若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值保持不变

故选：C.

巩固训练

2.在RtZ\A8C中，ZC=90°,各边都扩大2倍，则锐角/的三角函数值（）

A.扩大2倍B.不变C.缩小!D.扩大!

22

【答案】B

【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握锐角三角函数

的定义，三角形相似的判定和性质，根据三角形相似的判定，可以确定各边扩大后的三角形与原三角形相

似，再根据相似三角形的性质可知锐角/的度数不变，所以锐角/对应的三角函数值就不变.

【解析】解：因为各边扩大后的三角形与原三角形相似，锐角/的度数不变，锐角/对应的三角函数值就

不变.

故选：B.

3.在RtZk/BC中，ZC=90°,AB=13,CB=5,28的余弦值为

【答案*

【分析】本题主要考查了余弦.根据余弦的定义，即可求解.

【解析】解：在RtZ\A8C中，ZC=90°,A8=13,CB=5,

—些5

AB13

故答案为：—.

4.如图，在RtZk/BC中,ZC=90°,AC=4,BC=3,则/A4C的正切值为（）

44

A.5B.D.-

75

【答案】C

【分析】本题主要考查了三角函数的比值关系，熟悉掌握正弦的比值关系是解题的关键.

根据正切的比值关系列式比较即可.

【解析】解：在Rt448C中，ZC=90°,AC=4,BC=3,

fBC3

.,.tanNB4C-----

AC4

故选：C.

题型二求锐角三角函数

例题

5.在RtZkZBC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,那么siM的值为（）

3344

A.-B.-C.-D.—

5453

【答案】A

【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

根据正弦的定义解答即可.

【解析】解：在RtZi/BC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,

故选：A.

巩固训练

6.在RtZ\/8C中，ZC=90°,那么也等于（）

/C

A.tanAB.cot/C.sinAD.cosA

【答案】A

【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用.

据题意画出图形，由锐角三角函数的定义解答即可.

【解析】

解：如图,

7.在RtZk48C中，ZACB=90°,BC=\,AB=2,则下列结论正确的是（）

A.sin4=B.tanA=—C.cosB=@~D.tanB=也

222

【答案】D

【分析】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，正确记忆三角函数的定义是解题关键.

先根据勾股定理求出AC=^AB2-BC2=后方=V3，再根据三角函数的定义分别求解可得.

【解析】解：如图所示,

B

vZACB=90°,BC=l,AB=2,

-AC=y/AB2-BC2=722-12=V3，

sin^=4f=7-故该选项不符合题意;

A、

AD2

tan/二生，，故该选项不符合题意;

B、

AC

cos5=4f=7-故该选项不符合题意;

C、

AB2

ACr-

D、tang=5=6,故该选项符合题意；

故选：D.

题型三特殊锐角三角函数值

例题

8.tan60°的值是（)

B.叵1

A.V3D.-

22

【答案】A

【分析】本题考查了求一个角的正切值，熟记tanGO。：/是解题的关键.

【解析】解：依题意，tanGOwG

故选:A.

巩固训练

9.-3。。=

【答案】I

【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键.

根据特殊角的三角函数值解决此题.

1-1下

【解析】解：原式=一，x当

3

故答案为：!

10.计算：2cos230°-V2sin450+tan60°-sin60°=•

【答案】2

【分析】本题考查特殊角的三角函数值的运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，掌握运算法则.根

据特殊角的三角形函数值的运算法则计算即可.

【解析】解：2cos2300-V2sin450+tan60°-sin60°

oAV收_1_百

=2x(——)-V2x——+，3x——

222

-313

=2x-l+

42

=2.

题型四根据特殊锐角三角函数值求角度

例题

11.如果锐角。满足cosa,则。的大小是

2

【答案】30。/30度

【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

根据特殊角的三角函数值即可直接得出答案.

【解析】解：.•・锐角a满足cosa=立，

2

锐角夕=30。，

故答案为：30°.

巩固训练

12.如果锐角a的正切值为立，那么锐角a为度

3

【答案】30

【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答.

【解析】解：因为锐角a的正切值为立，即tana=@,

33

所以锐角a为30度,

故答案为：30.

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

历

13.在锐角△4BC中，乙4=75°,sinC=—,则ZB=°.

2

【答案】60

【分析】考查了特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值.根据

sinC=YZ,可求出NC的度数，再利用三角形的内角和即可求解.

2

历

【解析】解：,•・在锐角△4BC中，sinC=—,

2

ZC=45°,

ZL4=75°,

Z8=180°-/4-/C=180°-75°-45°=60°,

故答案为：60.

14.已知.为锐角，且cos(a-30。)=],则。=.

【答案】60。/60度

【分析】本题考查由特殊角的三角函数值，求角的度数.根据cos30°=也，得到a-30。=30。，求解即

2

可.牢记特殊角的三角函数值，是解题的关键.

【解析】解：；cos30。=,cos(a-30°)=^-,

.•・a-30。=30。，

:.a=60°.

故答案为：60°.

近2

15.在△/3C中，若cos/---■1-(1—tan5)=0,zA,22都是锐角，贝!]△48C是_______三角形.

【答案】等腰直角

【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三

角函数值.

根据绝对值和平方的非负性可得，cosZ-@=0,1-tan5=0,求得N4/B,即可求解.

2

【解析】解：由cos/-券+0-tan8)-=0可得

cosA.------=0,1—tan5=0,

2

5

即cosN=——，tan8=1,

2

解得：乙4=45。，AB=45°,则NC=90。，

.•.△/5C为等腰直角三角形，

故答案为：等腰直角.

题型五比较锐角函数值的大小

例题

16.已知实数。=tan30。，b=cos60°,c=sin45°,则下列判断正确的是()

A.b>a>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

【答案】B

【分析】分别求出各三角函数值，然后比较他们的大小即可.

本题主要考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟练掌握所有特殊角的三角函数值，实数比较大

小.

【解析】••・a=tan3()o=且，&=sin45°=—,c=cos60°=^,

322

：.b>a>c.

故选:：A.

巩固训练

17.令@=$吊60。，b=cos45°,c=tan30°,则它们之间的大小关系是()

A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.a<c<b

【答案】A

【分析】分别求出a、b、c所对应的值，然后比较它们的大小即可.

【解析】a=sin60°=—,b=cos45°=—,c=tan30°=—

223

...也电＜昱,

322,

故选A.

【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握特殊角度的三角函数值是解题的关键.

18.中，/C=90°,AB=5,BC=3,贝U()

A.siib4>cosA,且taiL4>cosB

B.siib4<cosA,且tark4>cosB

C.siiL4>cosA,且tarU<cosB

D.siib4<cosA,且tag<cosB

【答案】B

【分析】根据勾股定理求出/C的长，再根据直角三角形中正弦、余弦、正切的定义分别求值，即可得到答

案.

【解析】解：在RM4BC中，BA=5,BC=3,

.■.AC=4,

3433

sin/=—,cosA=—,tan=—,cosB=—

5545

■■■sirU<coJ,tanA>cosB,

故选B.

题型六网格问题

例题

19.如图，A,B,C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则sin//CB的值为（）

2V51

A.C.一

"I-2D-T

【答案】A

【分析】设小正方形的边长为1,过点B作BD1AC于D,过点B作BF1AE于点F,由勾股定理可求AC,

BC的长，由三角形的面积公式可求BD的长，即可求sin/ACB的值.

【解析】解：设小正方形的边长为1,过点B作BDLAC于D,过点B作BF1AE于点F,

由勾股定理可知：AC=jF+72=50

.,.BD=72，

由勾股定理可知：BC=7I2+32=Vio，

故选A.

【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是运用面积法求BD的长.

巩固训练

20.如图，2MBC的顶点都是正方形网格中的格点，则tanNNBC等于（）

【答案】C

【分析】如图，过点A作AD1BC于D.解直角三角形即可解决问题.

【解析】解：如图，过点A作AD1BC于D.

故选：c.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

题型七解直角三角形一直角三角形

例题

21.如图，在RtZ\4SC中，ZC=90°,AC=2,BC=l,则sinB的值为（）

【答案】C

【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握边角之间的关系是解题关键.直接利用勾股定理求

出N8的长，再利用锐角三角函数关系得出答案.

【解析】解：：在中，ZC=90°,AC=2BC,

设BC=1,则AC=2,故AB=V5,

plljsin5=—=^.

AB5

故选：C

巩固训练

22.在RtZ\/3C中，ZACB=90°,BC=\2,tanS=—,则4B的长为（

c

A.8B.12C.13D.18

【答案】C

【分析】在中，AACB=9G°,BC=U,tanB=—,求出/C=5,由勾股定理求出48的长即可.

【解析】解：在中，・••N/C2=90。，SC=12,tan5=—,

.­.AC=BCtanB=nx—=5,

12

AB=y]AC2+BC2=,5?+12?=13，

故选：C.

【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角形函数是解题的关键.

23.如图，在RtZkZBC中，ZS=9O°,ZA=a,AB=4,则/。的长是（）

44

A.4sinaB.------C.------D.4tana

smacosa

【答案】C

【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角形的定义.

根据余弦的定义解答即可.

【解析】解：在中，二90。,

,AB

：.COSA=,

AC

,/Z.A=aMB=4,

*•A.——,

cosAcosa

故选：C

24.如图，在△/5C中，ZACB=90°,下列结论正确的是（）

B.AB=ACcosAC.BC=AB-sinB

D.AC=BCtanB

【答案】D

【分析】此题主要考查了锐角三角三角函数关系.根据锐角三角三角函数关系，逐项判断，即可求解.

【解析】解：A、AC=-^~,故本选项错误，不符合题意；

tanA

AT

B、AB=-故本选项错误，不符合题意；

cos/

C、BC=AB-sinA,故本选项错误，不符合题意；

D、AC=BCtanB,故本选项正确，符合题意；

故选：D.

25.如图，在aABC中/A=45O/C=90。,点D在线段AC上/BDC=6（r,AD=l,则BD等于（）

A.V3B.V3+1C.V3-1D.以

3

【答案】B

【分析】设BC=x，根据锐角三角函数分别用x表示出AC和CD,然后利用AC-CD=AD列方程即可求出

BC,再根据锐角三角函数即可求出BD.

【解析】解：设BC=x

•.•在4ABC中/A=45°/C=90°,

..AC=BC=x

BCx43x

在Rt"CD中，CD=

tanNBDC亍

•••AC—CD=AD,AD=1

解得：工=2±立

2

即BC=3+V|

2

Be

在RtABCD中，BD=-------------=73+1

sin/ADC

故选：B.

【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.

题型八解直角三角形在特殊平行四边形中的应用

例题

26.如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,对角线NC的垂直平分线分别交AD、4c于点E、O,则OE

的长为（）

【答案】D

【分析】根据题意以及矩形的性质，勾股定理求得4。=1,进而根据tan4D/C=tanN切。得出空=空

2ADAO

即可求解.

【解析】解：,•・四边形/BCD是矩形，AB=1,BC=2,

：.Z_D=90°,AB=DC=1,BC=AD=2,

,•・对角线NC的垂直平分线分别交40、/C于点E、o,

：.AO=OC=-AC=-y)AD2+CD2=—,ZAOE=90°,

222

•・•ADAC=ZOAE,则tanADAC=tan/EAO,

DC_EO

''AD~AO

1_EO

2y/5，

~T

解得：EO=

4

故选：D

nrpc

【点睛】本题考查了矩形的性质，正切的定义，勾股定理，垂直平分线的性质，得出令=言是解题的关

ADAO

键.

巩固训练

3

27.如图，在菱形/BCD中，DEJ.AB于点、E,cosA=-,AD=5,贝!JtanNRDE的值为（）

A.立B.叵C.2D.-

252

【答案】D

【分析】本题主要考查了解直角三角形，菱形的性质，勾股定理，先解RM/OE得到==再由勾

股定理求出。£=4,由菱形的性质得到"8=40=5,则3E=2,据此根据正切的定义可得答案.

【解析】解：•・•£>£2

ZDEA=ZDEB=90°,

4E3

在RtaZQE中，cosA=---=一，AD=5,

AD5

3

AE=-AD=3,

5

■■DE=^AD1-AE1=4

•.•四边形是菱形，

/.AB=AD=5,

BE=2,

・•・在Rt/\DEB中，tan/BDE=,

DE42

故选：D.

28.如图，在矩形45CD中，ZABC=90°,点E是4B上一点,连接/C,CE,若/BCE=30。,BE=3,

3

tanZ5^C=-,则的长为（）

4

AD

BL--_^c

A.4GB.36C.2百D.372

【答案】A

RFr-

【分析】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质，先解Rt-BC得到—=373,再解

tan/BCE

RtA^C可得AB=JC=46

【解析】解；•••四边形N88是矩形，

.­,zB=90°,

在RtAEBC中，ZBCE=30°,BE=3,

/l：^t£\ABC中，tan/BAC=----=—,

AB4

.-.AB=-BC=4y[3,

3

故选A.

题型九解直角三角形一非直角三角形

例题

29.如图，在△N3C中，/4=30。，ZC=26,tanB=—,则48的长为（）

2

A.2+273B.3+73C.4D.5

【答案】D

【分析】作于。，根据乙4=30。，AC=243,算出CO和再根据tan8=%=也，算出

BD2

BD,最后根据48=40+8。计算即可.

【解析】如下图，作。，43于。,

在RtaNCZ)中，/Z=30。，AC=2也,

:.CD=^AC=y/3,AD=6CD=3,

在RtZ\5CD中，tanS=—=—,

BD2

.,.-V-3-_-V-3-，

BD2

BD=2,

：.AB=AD+BD=3+2=5,

故选：D.

【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键.

巩固训练

30.如图，在等腰44BC中，AB=AC.若/B/C=a,AB=m,则底边8c=()

A

BC

acc

A.m-sinaB.2m-sinaC.2m-sin—D.m-sin一

22

【答案】C

【分析】首先如图过点A作AD1BC交BC于D点，据此接着利用等腰三角形性质可以得出NBAD=gNBAC=

[a,BC=2BD,然后在RtaABD中，根据sin/A4D=g2求出BD,最后利用BC=2BD求出答案即可.

2AB

如图，过点A作AD1BC交BC于D点，则aABD是直角三角形，

・・・△ABC为等腰三角形，AD1BC,

/.ZBAD=-Z.BAC=-6Z,BC=2BD,

22

,,,.•/ns。BDBD

在RtAABD中，sinZBAD=sm—==,

2ABm

2.a

...BD=sin—•m,

2

/.BC=2BD=2-m-sin—,

2

故选：C.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.

31.如图，ZACB=45°,/PRQ=125。,△45。底边5C上的高为由,△尸。穴底边。尺上的高为〃2，则有

()

A.4=%2B.\<h2C.h1>h2D.以上都有可能

【答案】B

【分析】由已知可知高所对的斜边都为5,由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到

答案.

【解析】解：如图，分别作出两三角形的高矩为

AP

■.■ZACB=45°,AC=5

：.九=ACxsin45°=5sin45°

vNPRQ=125。,PR=5

:.h2=PT?sin(180°-125°)=5sin55°

vsin55°>sin45°

h>h1

故选：B.

【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键.

32.如图，在四边形ABCD^,C4平分/BCD,ABVAC,ZB=60°,AE18C于点£.若8c=10,

【答案】孚

【分析】本题考查了解直角三角形，角平分线的性质；过点A作N尸_LC£（交CD的延长线于点尸，则N尸的

长为点A到CD的距离，进而解RtA/8C,RtA/8E,即可求解.

【解析】解：如图所示，过点A作NPLCO交C。的延长线于点尸，则4月的长为点A至IJCD的距离

•・・乙4平分/8C。，AE13。于点石.

・•・AF=AE,

•••AB1AC.Z5=60°,BC=10fAEIBC

AB=BC-cosB=10x—=5,AE=NB-sinB=5x—

222

即点A到CD的距离为挛，

2

故答案为：建.

2

33.如图，四边形4BC。的对角线/C、3。相交于。，ZJOD=60。，AC=BD=2,则这个四边形的面积是

A.@B.立C.73D.2拒

42

【答案】C

【分析】过8、。两点分别作NC的垂线，禾烟41。。=60。，可推出OG=@。。，BH=&O,再利用四边

22

形/8C。的面积等于△/CD的面积加上A45C的面积，即可求出；

【解析】如图，过点。作DG_MC于点G,过点8作于点"

vzJOZ)=60o,

山OD=必OC=60。，

瓜

，DG=-DO,

:2

同理可得：BH=-BO,

2

11

S四边形ABCD=]XACXZ)G+—XACXBH

1A

=—xZCx2^x(DO+BO)

22

故选：c.

【点睛】本题考查含30。的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30。直角三角形的性质和不

规则四边形面积的计算是解决本题的关键.

题型十三角函数的应用、利用三角函数测高

例题

34.如图：为了测楼房BC的高，在距离楼房10米的A处，测得楼顶B的仰角为，那么楼房BC的高为

()

A.lOtana米B.1°米C.lOsin。米D.米

tanasina

【答案】A

【解析】试题分析：根据题意得：，则BC=AC・tanZ_A=10tana.

考点：锐角三角函数的计算.

巩固训练

35.如图，两建筑物的水平距离为“m,从/点测得。点的俯角为a,测得C点的俯角为尸，则较低建筑

【答案】(atany-atan/7)m

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点。作于应则四边

形8DCE是矩形，CE=BD=am,CD=BE,解RG4CE得到

AE=atan/7m,解RtAADB得至ljAB=atanam,贝ljCD=BE=—ZE=(atana—atan夕)m.

【解析】解：如图所示，过点。作于E,则四边形BOCE是矩形，

CE=BD=am,CD=BE,

由题意得，/ACE=0,ZADB=a,

在Vi^ACE中，AE=CE•tan/ACE=atan4m,

在RtAylDS中，AB=BD•tanNADB=atanam,

：.CD=BE-AB-AE=(〃tana-atan/?)m,

故答案为：(atana-atan/?)m.

D

36.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点3

处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点。处，在点。处测得塔顶

A的仰角为30。，已知斜坡的斜面坡度i=l:百，且点A,B,C,D,£在同一平面内，小明同学测得古

塔的高度是()

CB

A.(loV^+20)mB.^10A/3+10)mC.20-\/3mD.40m

【答案】A

【分析】过。作13C于尸，DH_LAB于H,得到=BH=DF,设DF=xm,CF=瓜

rn,根据勾股定理得到CD=^DF2+CF2=2x=20(m),求得BH=DF=10m,CF=loV3w,

=y-X(loV3+30)=(10+loV3)(m),于是得到结论.

【解析】解：过。作。尸_L8C于尸，DHA.AB于H,

FCB

:.DH=BF,BH=DF,

「斜坡的斜面坡度力=1:百,

…，

设。尸=x掰，CF=瓜憎,

:.CD=yjDF2+CF2=2x=20（加）,

x=10,

...BH=DF=10m,CF=106m，

DH=BF=（10百+30）加,

­：ZADH=30°,

AH=^DH=+30）=（10+10省）（加）,

AB=AH+BH=（20+1oV3）m,

故选：A.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用一坡角坡度问题，正确的作

出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

37.如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距20G米的1号楼和2号楼的地面正中间点3

垂直起飞到点A处，测得1号楼顶部E的俯角为60。，测得2号楼顶部厂的俯角为45。.已知1号楼的高度

为20米，那么2号楼的高度为米（结果保留根号）.

【分析】本题考查了解直角三角形.过点£作EGL4B于G,FH_LAB于H,先利用正切三角函数可求出

/G的值，在Rt△/尸”中，求出的值，然后根据线段的和差即可得出答案.

【解析】解：如图，过点£作EGL4B于G,FH工4B于H,

A

CB。地面

则四边形BCEG和四边形BDFH均为矩形，

.­.BC=EG,HF=BD,DF=BH,

由题意得：CE=20米，Cr）=20G米，BC=BD=\Q/米,^AEG=60°,ZAFH=45°,

在RtZ\/£G中，tanZ.AEG=,即『=tan60°=6,

EG10V3

解得/G=30（米），

:.HF=1。6米，

在Rt△/阿中，/AHF=90°,ZAFH=45°,ZFAH=90°-ZAFH=45°,

AH=HF=1Q4米,

:.DF=BH=AG+BG-AH=30+20-IQ/=50（米）,

答：2号楼的高度是卜0-106）米.

故答案为：（50-1073）.

38.长尾夹一般用来夹书或夹文件，因此也称书夹.长尾夹的侧面可近似的看作等腰三角形，如图1是一

个长尾夹的侧平面示意图，已知8c=23mm,N/C8=70。.按压该长尾夹的手柄，撑开后可得如图2所示的

侧平面示意图.测量得/GEO=/HDE=80。.求这时这个长尾夹可夹纸厚度G〃为mm（参考数据:

sin70°。0.94,cos70°»0.34,tan70°«2.75,sin80°它0.98,cos80°»0.17,tan80°。5.67）

图1图2

【答案】H.5

【分析】如图1,在求得=—如答图2,在RSGEP中，利用余弦函数求得

cos70°

EP=5.15,据此即可求解.本题考查了解直角三角形的应用，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题

化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键.

【解析】解：图1,作于点

；./AMB=9Q°,SAf=|fiC=11.5（mm）.

在RtA^4j8Af,cosB-......,

AB

/B=70°,BM=11.5（mm）,

AB=---H--.-5--.

cos70°

由题意可知：GE=HD=AB,ED=BC.

如答图2,作GP1EQ于点P,HQLED于点、Q.

图2

EP

在RMGEP中，cosE=—.

GE

•・•/GED=80°,

.•.EP=G£，cos80°=-^-xcos80°«^-x0.17=5.75（mm）.

cos70°0.3417

同理可证：5.75mm,

PQ=ED-EP-QD=23-5.75x2=11.5（mm）.

•••四边形GP0/Z为矩形，

GH=PQ=11.5mm.

答案：这时这个长尾夹可夹纸厚度GH为11.5mm.

故答案为：11.5

39.一款闭门器按如图1所示安装，支点力,C分别固定在门框和门板上，门宽为。D,摇臂43=18cm,

连杆8c=24cm,闭门器工作时，摇臂、连杆和OC长度均固定不变，如图2,当门闭合时，sin5

【答案】18

【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直

角三角形是解题的关键.

根据题意，过点A作4E_L8C于点E,可求得4E=48.sin8,则BE=/-AE?，因此CE=8C-8E,

得出结论4E垂直平分BC,因此NC=N8=18(cm).

【解析】解：过点A作4Ed.BC于点E