2025年北京高考数学二轮复习：直线与圆（讲义）（解析版）

专题12直线与圆（讲义）

目录

oi考情透视•目标导航............................................................1

02知识导图思维引航............................................................3

03知识梳理方法技巧............................................................3

04真题研析•精准预测............................................................8

05核心精讲题型突破............................................................9

题型一：直线方程'过定点及与坐标系围成的面积问题9

题型二：直线与圆涉及的对称问题14

题型三：直线与圆涉及距离最值问题19

题型四：直线与圆位置关系综合求参数25

重难点突破：圆与圆位置关系综合求参数32

0

—视•一标导航

平面解析几何中直线与圆是中学数学的重要内容，是考查考生学科素养的重要载体，高考对解析几何的

1/35

考查一般以课程学习情境与探索创新情境为主，注重数学知识的基础性、综合性和应用性的考查，主要考查

圆与方程,直线位置关系及其综合问题，主要考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力，从近三年的高考试题

来看，本专题考查内容覆盖直线、圆，突出考查考生理性思维、数学应用、数学探索等学科素养

考点要求目标要求考题统计考情分析

预测2025年高考，平

面解析中直线与圆主要以

考查基础知识为主，同时

2024年北京卷第3题4分

熟练掌握直线与

锻炼学生的运算求解能

2022年北京卷第3题4分

圆的位置关系；点

直线与圆2021年北京卷第9题4分力'逻辑思维能力等.重点

到直线的距离；弦

2020年北京卷第5题4分考查学生对直线与圆基础

长公式；参数问题

2019年北京卷第8题4分知识的掌握程度及灵活应

2018年北京卷第7题4分

用，同时也要重视对通性通

法的培养问题

2/35

寓2

倾斜角与斜率的计算

㈤3

1.直线方程的五种形式

技巧总结

名称方程适用范围

点斜式y-y^k^x-x^不含垂直于X轴的直线

3/35

斜截式y=kx+b不含垂直于x轴的直线

y-y

两点式l不含直线x=%i（X］，％2）和直线＞=»（乂。＞2）

》2一》%2一%

截距式—不含垂直于坐标轴和过原点的直线

ab

Ax+By+C=0

一般式平面直角坐标系内的直线都适用

(A2+笈w0)

2.求曲线（或直线）方程的方法：

技巧总结

在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：

（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，

或者一点一斜率

（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条

件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）

3.线段中点坐标公式

技巧总结

再+%

X=

2

若点耳，£的坐标分别为（国，乂），（x2,%）且线段65的中点〃的坐标为（x,y），则，此公式

X+%

y=

2

为线段斗鸟的中点坐标公式.

4.两直线的夹角公式

技巧总结|

若直线y=+bx与直线y^k2x+b,的夹角为a,则tana=?/

\Y+kxk2\

5.三种距离

技巧总结

①两点间的距离

平面上两点耳（%,必）,乙（3,力）的距离公式为mi=J®-%）2+（%一%）2.

特别地，原点O（0,0）与任一点尸（x,y）的距离|OP|=jY+r.

②点到直线的距离

4/35

点《（X。,％）到直线l-.Ax+By+C=O的距离d=1为+叫+。

yJA2+B2

特别地，若直线为/：x=m,则点《（X0/0）到/的距离d=|加-/|；若直线为/：y=n,则点《（x。,打）到/的

距禺d二|〃一九|

③两条平行线间的距离

已知4人是两条平行线，求4,4间距离的方法：

（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.

(2)设<:Ax+By+C=0,ZAx+By+C=0，则K与/,之间的距离d=一―二

x22S+外

注：两平行直线方程中，x,y前面对应系数要相等.

④双根式

双根式"X）=+贴+G土&X+&尤+C2型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解.

6.对称问题

技巧总结

①点关于点对称

点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点P区，/）关于点0（%,为）的对称点为「（马,为），则根据中点

,X]+X2

2

坐标公式,有可得对称点尸H，y2）的坐标为（2%-X],2%-%）

②点关于直线对称

点尸（西，必）关于直线/:4r+2y+C=O对称的点为P（z,%），连接尸P，交/于M点，则/垂直平分尸产,

%,kpp.=—1

所以尸产'_L/，且M为PP中点，又因为M在直线/上，故可得Jx+xy+y，解出（x,,%）

A——二+B—~—+C=0-

I22

即可.

③直线关于点对称

法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直

线方程；

法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.

④直线关于直线对称

5/35

求直线/]：ox+勿+c=0，关于直线4：力+ey+/=0(两直线不平行)的对称直线％

第一步：联立/「/?算出交点尸(%，%)

第二步：在4上任找一点(非交点)。区，%)，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点0(%，%)

第三步：利用两点式写出4方程

⑤常见的一些特殊的对称

点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)，关于N轴的对称点为(-x,y)■

点(x,y)关于直线V=X的对称点为(y,X)，关于直线>=-X的对称点为(-y,-x).

点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a—x,y))关于直线y=h的对称点为(x,1b—y).

点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b—y)■

点(x,y)关于直线x+y=左的对称点为(4-y,k-x),关于直线x-y=左的对称点为(左+y,x-k)-

7.直线系方程

技巧总结

过定点直线系过已知点尸(%，为)的直线系方程y-%=Mx-x。)(左为参数).

斜率为定值直线系斜率为k的直线系方程y=kx+b(b是参数).

平行直线系与已知直线Ax+By+C=Q平行的直线系方程Ax+By+A=0(2为参数).

垂直直线系与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程Bx-Ay+A=0为参数).

过两直线交点的直线系

过直线4：Axx+Bxy+G=0与:A^x+B,y+C2=0的父点的直线系方程：

Alx+Bly+Cl+A(A2x+B2y+C2)=0(/I,为参数).

8.直线与圆的位置关系判断

技巧总结

(1)几何法(圆心到直线的距离和半径关系)

圆心(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离，则d=坐十劭十。：

JI+炉

d<ro直线与圆相交，交于两点尸,。，\PQ\=2^r2-d2；

d=ro直线与圆相切；直线与圆相离

(2)代数方法(几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数)

6/35

由1^x+By+C02，消元得到一元二次方程？/+gx+f=o,px2+/+/=0判另（J式为△,贝!J：

［（x-a）+（y-b）=r~

△>0o直线与圆相交；A=0o直线与圆相切；A<0o直线与圆相离.

9.两圆位置关系的判断

技巧总结

用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

设两圆。”。2的半径分别是尺/，（不妨设尺>/），且两圆的圆心距为d，贝I：

d<R+ro两圆相交；d=7?+ro两圆外切；R—r<d<R+ro两圆相置it/=R—厂=两圆内切；

OWd<R-ro两圆内含（d=0时两圆为同心圆）

设两个圆的半径分别为R>r,圆心距为4,则两圆的位置关系可用下表来表示：

位置关系相离外切相交内切内含

d>R+d=R-\-rR-r<d<R+d=R-r

几何特征d<R-r

无实一组实一组实

代数特征两组实数解无实数解

数解数解数解

公切线条数43210

10.常用结论

技巧总结

（1）过圆/+/=/上一点产（%,%）的圆的切线方程为XoX+%y=/.

（2）过圆（x-a）2+（y-b）2=r2上一点尸（x。,％）的圆的切线方程为（x（）-a）（x-a）+（%-6）（y-6）=1

（3）过圆/+/+.+现+尸=0上一点PG。,％）的圆的切线方程为

xox+yoy+D-+E-'+F=0

（4）求过圆/+/=产外一点尸（%,外）的圆的切线方程时，应注意理解：

①所求切线一定有两条；

②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为y-%=后（》-%）,利用圆心到

切线的距离等于半径，列出关于左的方程，求出左值.若求出的左值有两个，则说明斜率不存在的情形不符

合题意；若求出的左值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意.

7/35

㈤4

〃原题砒卷精准旗IL、

1.（2024・北京・高考真题）圆/+/-2%+6了=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为（）

A.72B.2C.3D.3也

【答案】D

【详解】由题意得Y+/-2x+6y=0,即(尤-1)~+(y+3/=10,

”(-3)+斗

则其圆心坐标为（1,-3）,则圆心到直线x-y+2=0的距离为=372

Ji")?

故选：D.

2.（2021・北京・高考真题）已知直线丫=履+加（加为常数）与圆/+/=4交于点N,当人变化时，若I的VI

的最小值为2,则机=

A.+1B.±72C.±73D.±2

【答案】C

【详解】由题可得圆心为（0,0）,半径为2,

\m\

则圆心到直线的距离d=,

收+1

则弦长为“v|=2J4--上一，

则当上=0时，I九w|取得最小值为2代群=2，解得机=±6.

故选：C.

3.（2020•北京・高考真题）已知半径为1的圆经过点（3,4）,则其圆心到原点的距离的最小值为（）.

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【详解】设圆心C（x/），则J"-）?=1,

化简得（X—3）2+（y_4）2=1,

所以圆心C的轨迹是以M（3,4）为圆心，1为半径的圆，

8/35

所以|。。|+14四|=行百=5,所以|OC|25-1=4,

当且仅当C在线段OM上时取得等号，

故选：A.

4.（2022•北京・高考真题）若直线2x+y-l=0是圆。-。）2+/=1的一条对称轴，则。=（）

11

A.-B.—C.1D.—1

22

【答案】A

【详解】由题可知圆心为（。,0）,因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2“+0-1=0,解得。=；.

故选：A.

㈤5

题型一：直线方程、过定点及与坐标系围成的面积问题

【典例1-1】已知直线过点N（l,0）,3（0,-6）,则直线的倾斜角为（）

7171_7T

A.—B.—C.-D.

634

【答案】B

【详解】直线过点N0,0）,3（0,-6）,则直线的斜率为左=\±素=6，

设直线的倾斜角为凡所以tan。=6,。e[0,兀），

所以直线的倾斜角为

故选：B.

9/35

【典例1-2】已知直线/：2x-3y+6=0,则直线/的倾斜角的正切值为（）

,32「23

A.—B.—C.-D.-

2332

【答案】c

2

【详解】直线方程2x-3y+6=0化为斜截式y=：x+2,

则直线的斜率为:，

因为直线的斜率等于倾斜角的正切值，

所以直线/的倾斜角的正切值为:.

故选：C.

回国目国

已知直线上任意两点，4再，%），2（%，%）则左=三二互

%2一%

若直线y=左尤+乙与直线y=斤2》+"的夹角为a,贝!）tana=?,>.

1+左隹

已知4,4是两条平行线，求4,间距离的方法：

（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.

,Ic,-CJ

（2）设4:/x+3y+G=0/：Nx+8y+G=。，则，与\之间的距离”=口一”

7A-+B-

注：两平行直线方程中，x,y前面对应系数要相等.

【变式1-1】若直线4x+2y-l=0与直线4x+叼=0平行，则两平行线间的距离（）

A275„375<、&nV5

510510

【答案】D

【详解】因为直线4、+2>-1=0与直线4x+冲=0平行，

所以4义加=2x4,

所以加=2,

此时两直线方程为4x+2y-1=0,4x+2y=0,两直线平行，

直线4x+2y—1=0与直线4x+2y=0的距离为=正.

V42+2210

故选：D.

【变式1-2］已知直线的倾斜角为60。，且过点尸（0,1）,则直线的方程为（）

10/35

C.y=y[?>x-1D.y='fix+1

【答案】D

【详解】因为直线的倾斜角为60。，所以直线的斜率4=tan60。=6,

又直线过点所以直线的方程为y=6x+l.

故选：D

命题预测

1.已知直线x+y=3与圆尤?+/-2了-2=0相交于48两点，贝！1|48|=（）

B.V2C.V3

【答案】D

【详解】因为圆。：/+（广1）2=3的圆心C（0,l）,半径「=唐,

所以圆心C到直线/：x+y-3=0的距离为〃=叱上斗=0，

故弦长|/同=2y/r*2—d2—243-2=2.

故选：D.

7T7T

2.如图，在直角三角形045中，A=~,边。4所在直线的倾斜角为2，则直线48的斜率为（）

x

A.—y/i

C.-1

【答案】A

【详解】边。4所在直线的倾斜角为则斜率为心,

63

4=三,即4BLQ4,故kg2=7,

2AB3

11/35

解得kAB--A/3.

故选：A.

3.已知A(-l,0),5(1,0),若点尸满足PA1PB,则点P到直线+n(y-1)=0的距离的最大值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】因为尸所以点尸的轨迹为以线段N2为直线的圆，

因为4(-1,0),8(1,0),所以圆心为0(0,0),半径为1,

又直线/:m(x-V3)+ra(j-l)=0,其过定点JJ,1),

\OM\={(0-可+(o-l)2=2

故点尸到直线/:m(x-V3)+n(j-l)=0的距离的最大值为2+1=3.

故选：C.

4.已知。为直线/：尤+2夕+1=0上的动点，点p满足/=(1,-3),记尸的轨迹为E,贝！］()

A.E是一个半径为近的圆

B.E是一条与/相交的直线

C.E上的点到/的距离均为6.

D.E是两条平行直线

【答案】C

【详解】设尸(x,y),由中=0,-3),则。(xT,y+3),

由。在直线/：x+2y+l=0上，故无一1+2(V+3)+1=0,

化简得x+2y+6=0,即P的轨迹E为直线且与直线/平行,

E上的点到I的距离d=/L故A、B、D错误，C正确.

VI+22

故选：C.

5.如图，在VN8C中，AACB=90°,AC=2,BC=\,当点A、C分别在x、歹轴上运动，点8到原点。的

最大距离是()

12/35

D.3

【答案】A

【详解】取/C的中点。，连接2。，0D,

BD=Vl2+12=V2>

由图可知，忸。区忸回+口。|=亚+1,

当3,O,。三点共线时，等号成立,

所以点8到原点O的最大距离是血+1.

故选:A

6.已知直线4：〃行一〉=0（〃2€1＜）过定点人，直线4：X+7町+4-2优=0过定点8,4与4的交点为C,贝UV4BC

面积的最大值为（）

A.V10B.2石C.5D.10

【答案】C

【详解】由题可知，/（0,0）,8（-4,2）,直线4，/2,

所以/C_L8C,|/却2=20,

所以|/C「+忸=即「=20,

所以V/8C的面积为JNCI忸C|＜：x/丁12=5,

当且仅当|/C|=忸C|=历时等号成立.

13/35

故选：c

题型二：直线与圆涉及的对称问题

【典例2-1】若点（。/）关于直线y=2x的对称点在了轴上，则6满足的条件为（）

A.4（2-3ZJ=0B.3a—4b=0

C.2a-3b=0D.3。-26二0

【答案】B

【详解】因为点（。1）关于直线歹=2x的对称点在〉轴上，

设点伍⑼关于直线y=2x的对称点为（0,0，

b-t

x2=-l

(7—0

则有<，解得3。-46=0.

b+t-a+0

-----=2x-------

故选：B.

【典例2-2】已知直线/:办+（。+1万+2=0,圆。：/+/=16,下列说法错误的是（）

A.对任意实数。，直线/与圆。有两个不同的公共点；

B.当且仅当。=时，直线/被圆。所截弦长为4后；

C.对任意实数。，圆。不关于直线/对称；

D.存在实数。，使得直线/与圆O相切.

【答案】D

[x+y=0[x=2

【详解】直线/：a（x+y）+y+2=0,由；解得即直线/恒过定点4（2,-2）,

[y+2=0（y=-2

圆。的半径r=4,I0*=,2?+（-2）2=26<4,即点/（2,-2）在圆。内，

对任意实数。，直线/与圆。有两个不同的公共点，A正确，D错误；

直线/不过圆。的圆心，因此对任意实数。，圆O不关于直线/对称，C正确；

直线。4的斜率左=-1,当。=-工时，直线/的斜率为———=1,因此直线

2a+1

此时直线/被圆。所截弦是过点A的最短弦，最短弦长为2）炉_104『=4贬,

因此当且仅当。=-g时，直线/被圆。所截弦长为40，B正确.

故选：D

14/35

国OE3

点尸（西，必）关于直线/：Nx+W+C=O对称的点为尸'区，力）,连接尸P,交/于"点，贝!）/垂直平分

k（,kpp,=—1

PP',所以PP」/,且M为PP中点，又因为M在直线/上，故可得乂+%八八，解出

I22

（%2，%）即可.

【变式2-1】过直线y=x-l上一点尸作圆（尤-5）?+/=2的两条切线小12,切点分别为48,当直线/2

关于y=x-l对称时，线段力的长为（）

A.4B.272C.屈D.2

【答案】C

【详解】如图所示，圆心C（5,0）,连接CP,

因为直线4，4关于直线y=x-i对称,

所以b垂直于直线y=xT,

故|。尸|=毕=2百，

11V2

而|/C|=拒，

贝1||尸/卜JcPFfcf=新,

故选：C.

15/35

【变式2-21V/3C的三个顶点为2（-2,2）、2（-2,1）、C（0,3）,已知V/8C与关于直线4x-3y-l=0

对称，八。分别是V/3C与”E。上的点，则户。|的最小值为（）

1224

A.2B.—C.4D.—

55

【答案】C

1-8-6-11

【详解】点A至I」直线4、一3歹一1二0的距离为叁=〃+（彳=3，

j1-8-3-1112

点5至I」直线4x_3y_]=0的距离为或二〃+（3了=,，

1-9-11

点C至U直线4x_3y-]=0的距离为"c="+（彳=2,则会＜服＜dA,

所以，当点P、。分别与C、。'重合时，P。与直线4x-3y-1=0垂直，

故同L="=4.

故选：C

命题预测7

1.已知圆的方程/+/=25,过”（-4,3）作直线朋Z,九刈与圆交于点48,且朋Z,九必关于直线y=3对称,

则直线的斜率等于

A.—B.—C.—]

344

【答案】A

【详解】设4（占,%）,8（々,%）,

因为直线M4、关于直线y=3对称，故两直线斜率互为相反数，

设直线跖4方程的斜率为左，则直线斜率为-左，

所以，直线M4方程为：y-3=/（x+4）,

y-3=k(x+4)

整理得：（1+后z）x2+（8左2+6k）x+16左2+24左一16=0,

x2+y2=25

p-epl.8r+6左

所以：X,-4=----------

11+F

一4左2一6左+4,-3/+8左+3

即:1+P,%一1+P

16/35

2

/一4/-6左+4-3尸+8左+3、,,mJ-4k+6k+4-3左？一8左+3)

所以同理

—3k~+3k+3—3k~—8k+3

KCpIU_1+-21+-2_16k__4

所以“B--4尸-6加4_一止+6:+4--121§，

l+k21+k2

故选A.

2.已知圆C1：(x+1)2+0-1)2=1,圆C?与圆q关于直线x-y-l=0对称，则圆C2的方程为

A.(x+2)2+(y-2)2=lB.(x-2)2+(y+2)2=1

C.(X+2)2+(7+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=l

【答案】B

【详解】试题分析：在圆Q上任取一点(尤)),则此点关于直线x-y-l=0的对称点(y+l,x-l)在圆

a：(x+l)2+(y_］『=］上,所以有(y+l+l)2+(x_］_l)2=l,即(62)，(7+2)2=1,所以答案为

(x-2『+(y+2『=l,故选B.

考点：曲线关于直线的对称曲线方程的求法.

3.点尸(2,0)关于直线/:尤+了+1=0的对称点。的坐标为()

A.(-1,-3)B.(-1,-4)C.(4,1)D.(2,3)

【答案】A

【详解】设点—2,0)关于直线x+y+l=0的对称点的坐标为(。力)，

f(-…

a—2a——I

则,解得

Q+2b1八b=—3.

----+—+1=0

2--2

所以点。的坐标为(-1,-3)

故选：A.

4.过直线尸、上的一点0作圆(、-5)2+(歹-1)2=2的两条切线4，/2,切点分别为48,当直线4,4关于

y=%对称时，线段尸z的长为()

A.4B.272C.V6D.2

【答案】C

17/35

因为直线4，4关于N=X对称，所以CP垂直于直线y=x,

故|CP|=W=2及，而|/C卜也，

所以|尸/卜=V6.

故选：C

3

5.在平面直角坐标系］。＞中，角。与角力均以必为始边，它们的终边关于直线V=x对称.若sin1=《，

则cos/?=()

4433

A.—B.—C.一一D.一

5555

【答案】D

【详解】：/二》的倾斜角为工，\c与〃满足a+/?=2xf+2版=5+2版代eZ),

442

A(7107)(乃3

/.cosp=cosI—+2k7i-a1=cosI—a\=sma=—.

故选：D.

6.若直线＞=履与圆(x-2『+/=i的两个交点关于直线2x+y+6=0对称，则左，6的直线分别为()

A.k=-b=-4B.k=--,6=4

2f2

C.k=—,b=4D.k=——,b=—4

22

【答案】A

【详解】因为直线〉=米与圆(x-2『+/=l的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，

故直线＞=履与直线2x+y+b=0垂直，且直线2x+y+b=0过圆心(2,0),

所以左x(-2)=-1,2x2+0+6=0,所以A=b=—4.

故选：A

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题型三：直线与圆涉及距离最值问题

【典例3-1】瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条

直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若VN3C满足/C=BC,顶点/（0,1）,3（2,-1）,且其“欧拉线”与圆M：

5-4）2+3?=/相切，则下列结论错误的是（）

A.题中的“欧拉线”方程为了-〉-1=0

B.圆/上的点到直线无7=0的最小距离为交

2

C.若圆M与圆％2+（夕_〃）2=8有公共点，则。«-4,4]

D.若点（无,力在圆M上，则白的最大值是包

x+141

【答案】C

【详解】线段48的中点坐标为[等,即（18），

直线的斜率为匕㈢=-1,

0-2

因为/C=3C,所以V/8C为等腰三角形，

三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，其欧拉线过点。,0）,且与直线垂直,

故VN8C的欧拉线斜率为1,则方程为>=x-l,即x-y-1=0,A正确；

VABC的欧拉线与M：（x-4y+）?=/相切，

,,|4-0-1|3亚

Sfer=J—-----，

V1+12

圆心M（4,0）到直线x-y=0的距离为1=4』=2也，

<1+1

则圆M上的点到直线x-y=0的最小距离为“_厂=2行-逑=包，B正确；

22

若圆W:（x-4>+J?=g与圆/+（y-df=8有公共点，

则2母一亭■<^（4-0）2+（0-a）2<2>/2+竽,

解得：一叵&a〈叵,C错误；

22

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By为点(xj)与(TO)两点的斜率，

当过(TO)的直线/与M：(x-4)2+V=，相切，且直线/的斜率为正时，3,取得最大值，

X+1

设直线/：y=%(x+l),由*^=孚，解得：k=匹,

ViTF241

故—的最大值是巫，D正确.

x+141

故选：C.

【典例3-2】已知动圆C的半径为r=1,其圆心到点，(2,3)的距离为2,点。为圆。上的一点，则点。到直

线-5=0距离的最大值为()

A.3^2B.372+1C.372+2D.3收+3

【答案】D

【详解】如图：

乱

°Z"

12-3-51r-

点A至U直线x-y—5=0的距离为：.——'=372.

Vi+i

所以点P到直线x-y-5=o距离的最大值为：372+2+1=372+3.

故选：D

国国目国

,IAx.+By.+CI

点%％)到直线/"x+QC=。的距离心田

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特别地，若直线为1：x=m,则点g（%,%）到1的距离，=旧-％|；若直线为1：y=n,则点l（%,外）到

1的距离d=|«-JoI

双根式〃x）=而，+3+%土施型函数求解,首先想到两点间的距离，或者利用单调性

求解.

7IAu+Bb+CI

圆心（a,b）到直线Nx+助+C=0的距离，则d="1？、，：

yJA2+B2

【变式3-1】点尸为圆/+了2_2尤+6了+2=0上一点，点。为直线尤-了+2=0上一点，则|尸口的最小值为（）

A.V2B.272C.3GD.472

【答案】A

【详解】/+/_2关+6夕+2=0n（x-iy+（夕+3丫=8,故圆心为C（l,-3）,半径厂=2后,

|1+3+2|

其中C（l,-3）到直线x-了+2=0的距离为d==3A/2>2>/2,

Vi+i

则|尸。|的最小值为d-r=4i.

故选：A

【变式3-2】四边形4BCD是边长为4的正方形，点?是正方形内的一点，且满足|与+而+而+万？r4,

则|N|的最大值是（）

A.1+72B.V2-1C.272-1D.272+1

【答案】D

【详解】根据题意，建立如图所示的直角坐标系，

设尸（x,y）,/（0,0）,8（4,0）,C（4,4）,Z）（0,4）.

所以/尸=（无,y）,8尸=（x_4,y）,CP=（x_4,y_4）,DP=（x,y_4）,

所以N+/+屈+丽=（4x-8,4尸8）,

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因为回+而+瓦+而卜+（4"8'=4,

即（尤-2）2+（了-2『=1,

故点P在以点（2,2）为圆心，半径为r=l的圆周上运动,

所以|不|的最大值为".=万方+1=2亚+1.

故选：D.

命题预测

1.已知半径为1的圆经过点（5,12）,则其圆心到原点的距离的最小值为（）

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【详解】设圆心为尸,C（5,12）,则|PC|=1,

可知点P的轨迹为以。（5,12）为圆心，半径厂=1的圆，

且|OC|=13>r,即点0（0,0）在圆外，

所以圆心到原点的距离的最小值为|。。|-厂=12.

故选：B.

2.已知定点』（3,0）,5（0,4）,若点C在圆=4上运动，则2|G4|+|C目的最小值为（）

A.2厢