2025年北京高考数学二轮复习：填空题的答题策略与精准求解（解析版）

技巧02填空题的答题策略与精准求解

、北京高考填空题定位

填空题不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”.填空题与选择题也有质的

区别：第一，表现为填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；

第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容（既可以是条件，也可以是

结论），留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活.从历年高考成绩看，填空题得分率一直不很高，

因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分.因此，解填空题要求

在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空

题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下

功夫.

二、填空题答题策略

【方法一：直接法】

直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等,

得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法.

【方法二：数形结合法】

依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解的填空题，称为图象分析型填空题,

这类问题的几何意义一般较为明显.由于填空题不要求写出解答过程，因而有些问题可以借助于图形，然

后参照图形的形状、位置、性质，综合图象的特征，进行直观地分析，加上简单的运算，一般就可以得出

正确的答案.事实上许多问题都可以转化为数与形的结合，利用数形结合法解题既浅显易懂，又能节省时

间.利用数形结合的思想解决问题能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题的能力，此类

问题为近年来高考考查的热点内容.

【方法三：等价转化法】

将所给的命题进行等价转化，使之成为一种容易理解的语言或容易求解的模式.通过转化，使问题化

繁为简、化陌生为熟悉，将问题等价转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果.

【方法四：构造法】

构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算

过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法

原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、

概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决

1/35

【方法五：待定系数法】

待定系数法是一种常用的数学方法，对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则

可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件.建立起给定的算式和结果之间的恒等式得到以

待定系数为元的方程（组）或不等式（组）解之即得待定系数

【方法六：分类讨论法】

在解答某些问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，

这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，

它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、

综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首

先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、

不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后得出结论

三、技巧实战演练

【方法一：直接法】

例题如下：

1.设函数〃x）=2sinx；l,若因表示不超过x的最大整数，则函数y的值域是.

sinxI-，

2sinx_12sinx+25

【详解】/（x）==（）~=2——）—,

sinx+2sinx+2sinx+2

因为,所以1Vsinx+243,

贝I]9V---<5,即一54---------

3sinx+2sinx+23

所以-342-.5<!，则-32，

sinx+233_

根据取整函数的定义可得函数y=[7（x）]的值域是{-3,-2,-1,0},

故答案为：{-3,-2,7,0}.

2.在V/3C中，。是边/C的中点，若48=3,AC=6,BC=8,贝U3。=.

【详解】

2/35

如图，过点A作5c的平行线，过点C作ZB的平行线，两平行线交于点E,

则四边形ABCE为平行四边形，AB=CE,BC=AE,ZABC+ZBCE=180°,

cosi)ABC=-cosDBCE,

BD=-BE=-y/BC*2*6+CE2-2BC-CE-cosABCE

22

^-y]BC2+AB2+2BC-AB-cosZBC

2

二1JBC?+AB?+2BCAB网+-叱

2V2AB-BC

=1yj2(AB2+BC2)-AC2=^^(32+82)-62=.

故答案为：回.

2

3.若函数/（%）=百sin5-cosox（G>0）在[0,1）上没有最小值，则。的取值范围是.

【详解】由题意得/(工)=2—sin^rn:--COS61V=2sinOJDC-

(22J

由xw[0,l）得3_工£一£屹一二卜

666）

令7T-工7T,0-T7T1I，问题转化为函数>=2sin/在j一rZ7TI।上没有最小值•

6|_66J|_66y

•.•y=2sim在国上单调递增，在g,管上单调递减，

.7兀兀，3兀Eg4兀571

..——<69——<——,解得——<a）<——.

66233

故答案为：

4.若函数f（x）=a+6cosx+csinx的图象经过点（0,1）和仅卷），且xe时，归2恒成立，则实

数。的取值范围是.

【详解】.."（x）经过点（0,1）和

故/(%)=a+(1—〃)cosx+(1—4)sinx=q+(1—〃)(sinx+cosx)

3/35

=a+V2(l-a)sin[%+:J,

八//兀.兀/兀,3兀母,.(兀、)I

—,..一H—«—,..—Vsinx+—«],

24442\4J

当Q<1时，1—〃>0,/.1—«<V2(l—a)sin<V2(l—tz),

/.1<f(x)<y/2(l-a)+a,

要使一2V/(无)V2恒成立，只要血(l-a)+aV2,

即a2-V2，又。<1,从而―也<«<1;

当a=l时，/(x)=le[-2,2],

当a>l时，1—a<0,1—a>y/2—a)sin+—也Q—“)，

1>/(x)>应(1-Q)+Q,

要使-2V/(x)V2恒成立，只要收(1-〃)+。2-2,解得〃(4+30，

又a>l,从而l<〃V4+3收，

综上所述，。的取值范围为-行《〃44+3五.

故答案为：-V2<6Z<4+3A/2.

5.若存在a也0«兀,2兀](。也。互不相等)，满足卜苗04+同口融|+忖11℃|=3(切>0),则刃的取值范围

为.

【详解】存在。也[兀,2兀](。,仇。互不相等)，满足卜in@a|+bin创+同口加=3,

则卜ina)a\=|sina)b\-|sincoc\=lf

不妨设兀<。<6<。〈2兀，且是相邻最值点.

当sincoa=1,sincob--1,sin=1时，

—+2kn

7

a=-...........>7i

CD

则，左£Z,解得kH—G3G2k-\—，左£Z,

乌+2(左+1)兀42

c-----------------<2兀

co

513

由小人+相解得丘“

4/35

95

当左二1时，一(。工一，

42

139

当左=2时，—(。W—,

42

当上23时，2kH—>k+1-\—,

24

।「951「131

所以［才51口［了，+,|，

当sincoa=-1,sincob=1,sinoc=—1时,

--o+2hi

a=----------->7i

CD31

keZ,解得左+①42左一2,左EZ,

一巴+2(k+1)兀

c=------------------<271

CD

由左+一3＜2左一1彳，解得左5

424

117

当左=2时，—

42

13

当左23时，2k——＞上+1+—,

24

…「111

所以—,+＜^I,

…rl上「95]「11)

综上所述，①GU丁，+8.

L42J[4)

故答案为：u

[42」[4/

6.在一座尖塔的正南方向地面某点A,测得塔顶的仰角为30。，又在此尖塔北偏东30。地面某点3,测得塔

顶的仰角为45。，且A,5两点距离为7m,在线段上的点C处测得塔顶的仰角为最大，则。点到塔底O

的距离为m.

【详解】

如图，尖塔为OP,设。尸二x,

5/35

则由题意可知ON=,OB=x,ZAOB=150°,

在△0/5中，由余弦定理可知AB2=OA2+OB2-2OAOB-cosZAOB,

解得X=即CM=亚，OB=5，

由线段45上的点C处测得塔顶的仰角为最大可知oc，NB,

故工3新sinG/03-ABOC,即,收仓防-=-^J7OC,

22222

Moc=—，

2

故答案为：立

2

7.如图，在RtZ\48C中，点尸在斜边4B的中线CD上，连结8尸，过点。作DE工CD交B尸于点E.若点

E恰好为B尸的中点，且。E=2,DF=3,则CF的长是.

由题意，在RtADE尸中，EF=ylDE2+DF2=7F+F=V13,

DF3

故FB=2届,cos\)DFE=-=-/=,

EFVI3

在△OF5中，DB2=DF2+FB2-2xDFxFBxcosZDFE=3s+JT)-2x3x225,

故。8=5,

由题意。C=DB=5,&CF=CD—DF=5-3=2,

故答案为：2

8.函数/3=111亩3加,（：0%,—-：+1｝在［0,可上的最大值是

6/35

【详解】画出函数歹=sinx,y=cosx,歹=」■x+1在[0,兀]上的大致图象如图.

71

*_兀什1兀,3逝

X=一时，--X—1-1=—>---，

471442

si•n%,0八</x/<—兀

所以/(x)=14,

71,

COSX,a<XW兀

则/(%¥，

所以函数/'(X)在[0,可上的最大值是4.

故答案为：e

2

9.设函数y=Ksinx+cosx-加在xe[0,2兀(上恰有两个零点七,工2,则匹+%2=

=2sin]x+.

【详角牟】由题得y=6sinx+cosx—冽-m,

因为函数了=#sinx+cosx-机在xe[0,2rt|上恰有两个零点x”乙,

所以方程2sin(x+^=冽在工£[0,2可上恰有两个根西户2，

所以函数>=2sin[x+[与>=小图象在xe[0,2可上恰有两个交点,

7171兀,

令%+—=析7+—,左EZ=>X=E+—,左EZ,

623

即函数>=2sinx+1的对称轴方程为x=hr+1兀,左eZ,

3

歹=2sin1x+E71)有两条对称轴为1=]和1=?，如图,

所以在xe[0,2兀]h

6

4

47r

x'=--

2=m3

1

O27r%

7T

X——

3

-2=2sin(x+少

6

7/35

所以由函数尸2sin1x+.g时々，2H—Tb2兀—8兀

的图象性质可知再+迎=彳或丁.

故答案为：牛或牛.

10.已知函数/(x)=|sinx],XG[-271,271],则方程/(x)=1■的所有根的和等于.

【详解】函数/(X)与函数y=g的图象如下图所示

y=f(x)

1

■^2

■'।\!।；।\

-2713K-71_匹O行匹16提273兀题〉兀左

2222

不妨设方程/(%)=；的所有根从小到大为再，入2，%3，%4户5,%6，%7，%8，

由对称性可知再+工2=-3兀,％3+工4=一兀汽+%6=兀次7+工8=3兀,

则方程/(%)=；的所有根的和等于0.

故答案为：0

【方法二：数形结合法】

例题如下

1.设尸是抛物线/=16尤上的一个动点，尸为抛物线的焦点，已知点4(5,2),贝力尸国+|尸可的最小值

为.

【详解】如图，过点/做准线x=-4的垂线，垂足为4,交抛物线于点P,由抛物线的定义可知|尸户|=尸山,

故|尸4|+|尸尸闫尸到+|尸团=|44[=5一(-4)=9,即当尸、4、/三点共线时,距离之和最小为9.

2.若直线机x-y-l=0与曲线了=一2一(》一1)2有两个不同的交点,则机的取值范围为.

【详解】由尸一4_(1)2得(f+r=仆0),

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.♦.曲线”一J1一(XT)2表示圆(x-iy+y2=l的下半圆,圆心为(1,0),半径为1.

由题意得，直线机尤7-1=0过点尸QT),斜率为加.

如图，当直线与半圆相切时，加=0,当直线过点/(2,0)时，加==0+=1=：1,

2-02

.•.小的取值范围为(0,；.

故答案为：.

22

3.已知双曲线5-1=1(°>0/>0)的左，右焦点分别为月,匕，过月的直线/与双曲线的右支交于48两

点，鸟的内切圆的半径的为斗，鸟的内切圆半径为与，若〃=3々，且丽=4a,则双曲线的离

心率为.

【详解】如图，

由内心性质结合双曲线定义可知4(。力)，Q(a^),分别过。「。2作/的垂线交/于点”,N,

设直线倾斜角为。(不妨设为锐角，由对称性可知，不影响答案)，

在直角梯形。02儿亚中，作。/LQM,交于点R,

所以cos/RO02=4二2=cos。，贝ijcos0=』，即6=60°,

rx+r22

又由4月=48反令隹回=冽，|力闾二4加，

在△/片名，△幽玛中有:

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(4加+24)2=(4m)2+(2c-2-4m-2c-cosl20°

(m+2a)~=(m)2+(2c-2-m-2c-cos60°

联立消去机得4用a-2*c=1即e=62

2a+c25

故答案为：y.

4.已知圆C:(x+1『+/=12,P(l,-2),M(0,3),A,8是圆C上的动点，且44依=，点N是线段N8

的中点，则当NPAW取得最大值时，|"M的值为.

【详解】由题意得，C(-1,O),圆C半径为20.

：(1+1)2+(-2)2<12,(0+1『+32<12,.•.点尸,M在圆C内.

如图1,连接CN,CA,贝=

;点N是线段的中点，,CNL4B,

:NAPB*,J/同=|/N|=一|CN『=J12一|CN『,即|尸甘+口时=葭.

设N(x,y),则(x-l『+(y+2)2+(x+lf+y2=i2,整理得V+任+以=4,

二点N在圆/：V+(y+l)2=4上，圆心/(0,-1),圆/半径为2.

如图2,当直线与圆/：/+3+1丫=4相切时，/尸AW取得最大值，

10/35

此时MN'IN,\MN\==^（3+l）2-22=2A/3.

故答案为：2VL

5.已知曲线C:乎7M=1上任意一点尸(x,y),都有|x-2y+a|+”2y+2］的和为定值，则实数。的取值

范围是.

；_y2=l,x>0,j>0

【详解】曲线C:y+/=1,尤NO,”。,

y2

故曲线C的大致图象:

其中片(6,0),巴(百,0),^(o,-V5),

双曲线的图象无限接近于渐近线N=gx,

|x-2y+a||x-2y+2|

#+22-+赤+2彳y为定值,

|x-2y+«|

所以+=4+4为定值,

Vl2+22

d_|x-2y+2|

分另U表示曲线上的点至U直线x-2y+2=0和直线工一2y+a=0是巨离,

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当其仅当曲线上的点在两条平行线之间时4+4有定值，如图:

所以直线x-2y+a=0为曲线的切线或在曲线下方,

x-2y+a=0

由图可知J/最多只有一个解,

2

彳+y=l,x>0,y<0

2

即2yz_即+(-1=0最多有一个负数解，需满足直线x-2y+a=0在了轴上截距|<0,

当△=/-4义2义］：-11=0时，.=一2夜，此时2/-20〉+1=0的解为一^,符合题意;

所以A=/-4x2x］一1<0时，结合5<0,解得°<一2夜,

故可得a4-2a

故答案为：卜0-2行］

22

6.已知双曲线C：'-方=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为《，F2,过片作一条渐近线的垂线，垂足为。,

延长与双曲线的右支相交于点尸，若庭=3丽,则双曲线C的离心率为.

22

【详解】双曲线的方程为一条渐近线方程为法-町=0,

ab

设£(-。，0)，可得阳。|=="=6,

yja+bc

若造=3而,则|尸耳|=36,由双曲线的定义可得归阊=|尸耳卜2a=36-2a,

在直角三角形0耳。中，\OF^=c,COSZOFtQ=-,

c

国引+阀「T尸闾2

在中,COSZPFF=

{22x国鸟同产团

（2c）2+（3Z））2-（3^-2a）2

2x（2c）x（3b）

12/35

=cos/O^Q=-,

c

即有府一5+⑵方=',

所以462+12a6=12〃，即2=】，

a2

故答案为：孚

7.拓扑学中，所谓“树”是指这样一种图形：在平面中，任意两点都可以连线，从而可以形成连通.若两点之

间的连通没有回路，且任意两点之间没有不同的通路，则称两点具有唯一的连通.如图：两个点、三个点唯

一的连通均有一种，四个点唯一的连通有2种，五个点唯一的连通有3种，平面里六个点唯一的连通有—

【详解】由前四种情况类比可得，当平面里有六个点的时候,

如图，有以下四种方法：

①②③④

又从所给例子可以推断，第一个点，不能连多个点，但允许第二个点（从下往上）连多个点，而且高度要

保持一致，所以当平面有六个点时，还有以下两种方法：

⑤⑥

故答案为：6.

8.为了解学生的体能情况，抽取某学校一、二年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据整理后画出频率

分布直方图（如图），设一年级跳绳次数为X1,二年级跳绳次数为工，则。（XJD（XJ.（填“>”

13/35

【详解】由两个年级的跳绳次数的频率分布直方图可知，一年级的跳绳次数相对比较集中，二年级的跳绳

次数相对比较分散，

所以。（乜）＜。（元）

故答案为：＜.

9.在如图所示的一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位

数之和为62,则被污染的数字为.

2015

3113口

423578

【详解】根据茎叶图进行数据分析可得：极差为48-20=28,

因为极差与中位数之和为62,所以中位数为62-28=34,

设被污染的数字为则33+：+30=34,解得：。=5.

故答案为：5.

10.为了解某企业员工对党史的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在N,B,C,

。四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图.已知该企业男员工占。则下列结论中，正确结论的个数

是.

女员工得分条形统计图男员工得分扇形统计图

①男、女员工得分在/区间的占比相同;

14/35

②在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数；

③得分在C区间的员工最多；

④得分在。区间的员工占总人数的20%.

【详解】根据题意，设员工总人数为“个，

因为女员工人数为20+60+70+50=200,

所以上20？0=13-=2=解得〃=500,所以男员工人数为500-200=300,

n55

20

对于①,女员工得分在/区间的占比为砺=10%,男员工得分在/区间的占比为1-40%-35%-15%=10%,

故①正确；

对于②，女员工在/区间有20人，8区间有60人，C区间有70人，。区间有50人；

男员工在/区间有300xl0%=30人，B区间有300x40%=120人，C区间有300x35%=105人，。区间有

300xl5%=45人；

所以。区间男员工少于女员工，故②错误；

对于③，3区间有30+120=180人，C区间有70+105=175人，所以3区间人数比C区间多，故③错误；

对于④，。区间有50+45=95人，所以得分在。区间的员工占总人数的急=19%,故④错误；

综上：①正确，②③④错误，故正确结论的个数是1.

故答案为：1.

【方法三：等价转化法】

例题如下

1.如果连续自然数数列为,出，…，。〃满足ig2+igi+工+ig1+工+…+坨i+L=[g〃，那么正整数

Ia\)\ai)\an)

n的最大值为.

【详解】由已知得2・1+—•1+—--1+—\=n,即-----工-----」」一=〃.

IJIai)Ian)为a2a3a„

。"为连续自然数,

c凡+1a,+n

.••上式可化简为即2-二一=n,

axax

2n+2ai=na1,即(〃一2)(q—2)=4.

n-2=4n=6

要使〃最大，且〃EN*,则只能有即

%—2=1=3

15/35

该数列最多有6项，首项为3.

故答案为：6.

2.已知数列｛6｝满足巴・。“+「。”+2=-g,若q=-i,出=[，则｛。”｝的前〃项积的最大值为.

【详解】因为=-；，所以%+/%+2.%+3

两式相除得展=1,即%+3=%，故数列的周期7=3,

an

由q=-l,t/2=1,可得%=3,设｛%｝的前〃项积为T,

所以当〃=3左/eN*时，<=[-£|，当左=2时，4=（-£|取最大值为

当〃=34+U：eN*时，（=（一£|=,当左=1时，（=（一：取最大值为g.

当"=3万+2,丘N*时，（jTjx（-l）xg=Jx[T],当人=1时，取最大值为f.

综上所述，｛%｝的前"项积的最大值为;.

故答案为：；

3.若两个等差数列｛g｝,帆｝的前"项和分别为4，B“,且满足$=—则的值为____.

n〃ID"2Dg

【详解】由等差数列性质得，&+a=9他”fg,

._J^-2A-9X28.9

"b2+bs2纥214,

故答案为：9.

4.已知数列｛%｝的前“项和为S,,满足q=1,当“W2时，年-4=2.给出下列四个结论:①当2=0时,

②当2=-3时，S。叫=2;

③当2=4时，V”22,S,,>2恒成立;

④当4>1时，｛%｝从第三项起为递增数列.

其中所有正确结论的序号为.

【答案】①③④

16/35

【详解】当2=0时，0-4=0,当"22时，S：=a；,所以用=。；=邑=&或$2=-%，

若邑=%=%+出=%，贝！J%=0,与题意矛盾，所以$2=-&nq+?=-。2n-2%=%n4=-；，

因为氏=〃；，所以S；=a；=>国=%或邑=-。3，

若5=%n%+%+%=%，则q+4=0，与题意矛盾，

所以S3=-a3nq+4+%=-%n-2%=%+%=；=%=-：，所以①正确；

当2=-3时，SH所以5；-（5.-5./2=-3=5.7（25.-5,7）=-3，

所以耳（2邑-Sj=-3nS2=-l,S2（253-52）=-3=>53=l,54（2S4-53）=-3^S4=-1,……，

所以｛Sj是以2为周期的周期数列，所以邑。24=邑=-1,所以②错误；

当彳=4时，S；-a；=4,所以S；-（S-S“j=4nSi（2S「S“T）=4,

1（4）4

所以"=彳丁+51（〃22）,因为％=1,2=4,所以1>0总->0,

由基本不等式可得s,=+S"。"=2,

4、

当且仅当【=S”TnSj,=4时，取等号，但因为瞟「片_=4,所以取不到等号，所以£>2,所以③正确;

当力>1时，s；*=/,所以s；-（s“-s,j=4=九（2S“-九）=2,

所以S"=T丁+Si仅22）,因为%=1,2>1,

所以>0,S,T>0,由基本不等式可得s.=+S,>41,

21S"TJ

当且仅当【=S“_nSj,=2时，取等号，但因为睽所以取不到等号，所以<>VI,

17/35

由图可知，当x>JE,y<0,有a„<0（«>3）,

所以｛0｝从第二项开始为递减数列，

当“23且〃增大时，5小递减，a“递增，

所以｛%｝从第三项起为递增数列，所以④正确；

故答案为：①③④

5.已知两个等差数列2,6,10,202和2,8,14,…，200,将这两个等差数列的公共项按从小到大

的顺序组成l个新数列，则这个新数列的各项之和为.

【详解】等差数列2,6,10,…，202中，公差4=4；等差数列2,8,14,…，200中，公差义=6,4和

6的最小公倍数为12,

所以新数列｛%｝的公差d=12,首项4=2,所以％=12〃-10,

令%=12〃-10V200,解得“V17.5,故新数列共有17项，

所以新数列的各项之和为4=17x2+^|^xl2=1666,

故答案为：1666

6.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,…，该数列的特

点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列｛g｝称为“斐

波那契数列”，则—…［心是斐波那契数列中的第项.

“2024

【详解】依题意有：。〃+2=〃〃+1+%

一〃2024。2025=。2024(。2024+“2023)=。2024+〃2023(〃2023+。2022)

二。2024+。2023+〃2022(。2022+。2021)=。2024+。2023+。2022+〃2al

=〃2024+。2023+。2022FQ?+。］，

18/35

―“2025，

故答案为：2025.

%+1,〃为偶数;

7.数列｛a/定义如下：％=1,且当〃N2时，an,，己知氏=二，则正整数n的值为.

---，〃为奇数.7

a„_.

【详解】由题设知，当”为偶数时，a>\.

当为奇函数时，an=—<1

因为%=万>1，所以，〃为偶数.

2215n

从而，=〒—1=亍>1，3是偶数,

57/2

[58

则与=彳-1=亍>1,:是偶数，

4'/4

O1

则q=弓一1=亍<1,9是奇数；

8'/8

77—8

则ai!=7>1,二一是偶数，

I-13

依次可得：

啧s=7-l=6>l,是偶数；

1616

M64

&=4一1=3>1,震偶数;

128128

«^=3-1=2>1；空偶数;

256256

。〃一8=2—1=1

〃一

所以，U8=ln〃=520.

512

故答案为：520

8.数列｛%｝是等差数列，数列｛a｝是等比数列，公比为q,数列包｝中，cn=anbn,S“是数列｛g｝的前〃

项和.若S,=11，%“=7,53m=-201（m为正偶数），则与"的值为.

19/35

【详解】令/=%,B=S2m-Sm,C=S3m-S2m,

g为等比数列｛勾｝的公比，设”为等差数列｛%｝的公差，

•*'q"'A=+电区+…+。〃也")4"'=%3+1+%粼+2+…+4也“

m

B-qA=(5+i-%)bm+l+-+(a2m-am)b2m=md色向+…+，

同理C-=源鱼+i+b2rH+2+…+&)=源+…+%””，

mm

：.C-q-B=q(B-qA),结合/=S“=11,B=S2m-Sm=-4,C=S3m-S2m=-208,

2、7

可得：11(/”)+8/”-208=0,解得U=4或尸=-六，

由于冽为正偶数，故/=-三52不合题意；

mm

设。=S4nl-邑a,同理可知。一/'C=q(C-qB),

BT#£>=-208-4+4[-208-4-(-4)]=-832-768=-1600,

邑,"=D+S3m=-1600-201=-1801,

故答案为：-1801

9.已知数列｛%｝是等差数列，数列也｝是等比数列，%+%=《，且狐=8.则%普+,3=

30408-1

【详解】因为数列｛%｝是等差数列，且%+%=g，所以2g=*即％=g,

因为数列他,｝是等比数列，且她6品=8,所以反=8,即4=2,

所以二83.二3廿czs二2

b4b8Tb6T3

2

故答案为：—.

10.正项等差数列｛。"｝的前"项和为S",若1,4+2,几成等比数列，则当的最小值为

13

【详解】设｛4｝的公差为d，则]义几=%=(%+2『=>4+6d=(%+2/=>6d=a：+3%+4,

62

2

当且仅当q=2时取得等号.

20/35

故答案为：

【方法四：构造法】

例题如下

2025—2加5-ln2

1.已知实数加，〃满足——--m=---------In〃一InRe?。?。)=0,贝【J加〃=.

2025—2加

【详解】因为^------m=0,所以e*-加_2冽=0,

2

故e2025=Zni/m，即2加+ln2m=2025,

即©地加+山？冽=2025.

5-ln25-ln2

由^-----lnn-ln(2e2O2O]=0,得^——lw?-ln2-2020=0

n''eto,

即e5-to2B+5-ln2w=2025.

令〃x)=x+e，，

因为/'(x)=l+e*>0,

所以函数/(x)在R上单调递增，

jfQ/(ln2m)=/(5-ln2n)=2025,

故ln2加=5-ln2〃，解得ln4加〃=5,

、5

所以mn=一e.

4

5

故答案为：e

4

2.已知“X)的定义域是(0,”)，且〃x)</(x),则不等式©一"，+幻〉1一2/(2)的解是

【详解】依题意，不等式+x)>丁-2/(2)o〃厂+")>坐，

ex+xe

令函数g(%)=△3,%>0，求导得g'(x)=/(')_"")，由/(x)</'(%),

eex

得g'(x)>0,函数g(x)在(0,”)上单调递增，原不等式为g(—+x)>g(2),

因止匕f+x>2，解得％<-2或x>l,

所以原不等式的解集为(-叱-2)U(L+8).

故答案为：(-*-2)U(l,+8)

3.函数/(x)在R上的导数为了'⑺，若/(%)-r(%)<0,且/(加-1)=屋-2必/(2024),则加=

21/35

【详解】令g(x)=g,由g，(x)=/^FH,且-/(x)<0,则g<x)>0,

所以g(x)在R上单调递增，由不等式/W-l)=e"T025/(2024),则坐”=八管),

eme

可得%-1=2024,解得加=2025.

故答案为：2025.

4.已知定义在R上的函数/(x)满足"2)=20,且/("的导函数/'(x)满足/(x)>6d+2,则不等式

>2x3+2x的解集为

【详解】令g(x)=/(x)-2尤3-2尤，贝i]g[x)=/(x)-6尤2-2>0,

所以函数g(x)在R上单调递增，

g^g(2)=/(2)-2x23-2x2=20-16-4=0,

故原不等式等价于g(x)>g⑵,所以x>2,

所以不等式/(x)>2/+2x的解集为(2,+8).

故答案为：(2,+8).

5.已知定义在R上的函数/(x)存在导数，对任意的实数x,都有〃x)-x)=2x,且当xe(0,+s)时，

/'(x)>l恒成立，若不等式/⑷--。经2.-1恒成立，则实数。的取值范围是.

【详解】由"x)-/(-x)=2x,得〃x)-x=/(r)-(-x),

记g(x)=/(x)-x,则有g(x)=g(-x),即g(x)为偶函数,

又当xe(0,+s)时，g'(x)=/(x)_l>0恒成立，即g(x)在(0,+s)上单调递增，

由/(°)一)(I一a)22a-1,得/(«)-a>/(l-a)-(l-a),

于是g(a)±g(l-a),即g(⑷)2g(|l-a|),

因此|a闫l-a|,即/Nl+az-2a,解得awL