2025年北京高考数学二轮复习：立体几何中垂直、平行与截面的综合问题（解析版）

重难点13：立体几何中垂直平行与截面的综合问题

一、知识点梳理

1.四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据

推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；

注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据

（2）此推论是判定若干平面重合的依据

（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据

推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；

推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据

（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）

（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

2.直线与直线的位置关系

位置关系相交（共面）平行（共面）异面

图形ZS7

符号aC\b=Pa//ba^\a=A,bua,A史b

公共点个数100

特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何一

个平面内

3.直线与平面的位置关系

1/43

位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）

图形

/^7

符号1ua/na=尸1//a

公共点个数无数个10

4.平面与平面的位置关系

位置关系平行相交（但不垂直）垂直

图形/7[a

符号a//13a1[3、aC\=1

公共点个数0无数个公共点且都在无数个公共点且都在

唯一的一条直线上唯一的一条直线上

总结：①要证线〃面，条件为3个，其中必有《线（Z面》

②要证线，面，条件为2个，其中必有《线〃线或面〃面》

③要证线〃线（面〃面），条件为2或3个，其中必有《两个线，面》

④要证线，线（面，面），条件为2个，其中必有《，、〃（u）》

⑤要证线，线（面，面），条件为3个，其中必有《1心k〃》

［线,面、〃〃

5.截面问题

①突破思维定式，灵活分析问题

解答高中数学立体几何截面问题要突破思维定式，多视角地进行观察、分析、对比，深入地理解截面对原

立体几何图形体积造成的影响，避免掉进出题人设计的陷阱之中.

②注重应用经验，快速破解问题

解答高中数学立体几何截面问题时应注重具体问题具体分析,尤其遇到似曾相识的问题时应注重联系已有

的解题经验，应用所学的几何知识找到参数之间的内在关系,构建正确的数学方程，快速破解问题.

③借助几何模型，化陌生为熟悉

2/43

在解答一些高中数学立体几何截面问题时，应用几何模型化陌生为熟悉，可大大降低解题难度，提高解题

效率.解题时应认真审题，充分挖掘隐含条件，将陌生图形融人熟悉的情境中，以更好地找到解题思路，

达到事半功倍的解题效果.

6.轨迹问题

（1）可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹

（2）利用空间坐标运算求轨迹

（3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹

（4）线面平行转化为面面平行得轨迹

（5）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹

（6）距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹

（7）利用空间坐标计算求轨迹

（8）直线与面成定角，可能是圆锥侧面.

（9）直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面

（10）利用空间坐标系计算求轨迹

二、题型精刷精练

【题型训练-刷模拟】

1.如图，在棱长为2的正方体-4AG4中，P为棱的中点，0为底面44G2上一动点，则下

列说法正确的是（）

A.存在点。，使得8Q_L平面4尸0

B.在棱44上存在点°,使得A。//平面4尸。

c.在线段及2上存在点。，使得直线c。与幺4所成的角为$

6

D.存在点。，使得三棱锥尸。的体积为2

3/43

【答案】D

【详解】以2为坐标原点，24,2G，2。所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(2,0,0)1(2,2,1),2(0,0,0),。(0,0,2),5(2,2,2),0斤y,0),(00y<2),

贝1|丽=(一2,0,2),乖=(0,2,1),丽=(x—2/—2,—2),

设平面NQP的一个法向量为〃=(°也c),

nAD=-2a+2c=0

则，令Q=2,贝！］c=2,6=_l,

nAxP=2b+c=Q

所以平面AXDP的一个法向量为n=(2,-1,2),

若8。，平面4PD,所以而/不，则三2="=1,解得x=0,y=3,

此时点0(0,3,0)不在底面44G2内，故不存在点Q,使得8。，平面4PD,故A错误;

假设在棱4片上存在点。(2,%0),使得B。//平面4PD，

则加，:，所以而二=0,又丽=(2,%0),所以4-y+0=0,解得歹=4,

此时点。(2,4,0)不在棱4月上，所以在棱上不存在点。,使得。。//平面49，故B错误;

假设在线段片口上存在点0(外加,0)(0<«<2),使得直线CQ与所成的角为刍，

6

又C(0,2,2),所以函=(弧加-2,-2),又奉=(0,0,2),

所则必,卜卷二百三一8r暂'

整理得6加2—12加+20=0,

4/43

A=(-12)2-4X6X20<0,无解,

所以在线段AA上不存在点。，使得直线C。与所成的角为?，故C错误；

6

A^=(x-2,y,0),所以点。到平面AXPD的距离为d==林+丁^<|=2,

所以de[0,2],又4。=28,//=石,。P=42万171=3,

由余弦定理可得cosZA.DP=8+9-5]==也，所以sinZADP=—,

2x3x2遮"212

11AT

所以S”四=-4。•。尸・sinNAQP=-x2JIx3义半=3,

所以%-AIPD=§xS“]PDxd=~xxd=“e[0,2],

所以存在点0,使得三棱锥。-4电)的体积为2,故D正确.

故选：D.

2.如图，正方体/BCD-44GA中，E、尸分别是8C、上的中点，尸是4。上的动点.下列结论错误

A.存在点尸，使得EP〃平面44田田

B.DBJEP

C.平面4GE截正方体所得截面为等腰梯形

D.平面瓦厂GJ■平面4GE

【答案】B

【详解】

5/43

如图建系。-中z,设正方体的棱长为2.

对于A,易得B(2,2,0),C(0,2,0),4(2,0,2)<(0,2,2),厅(2,2,2；,

因E是BC的中点，故E(l,2,0),点尸在4G上，设乖=/泪,0V/V1,

则丽=随+奉=(1,-2,2)+t(-2,2,0)=(l-2f,2f-2,2),

平面AA^B的法向量可取为不=(1,0,0),

由丽仄=1-21=0，解得f=g,即存在f=g,使得£尸〃平面

此时，点尸(1」,2)恰为4G的中点，故A正确；

对于B,由上建系，则函=(2,2,2),丽=(1一2/,2/-2,2),

由西•丽=2(1-%)+2(2/-2)+4=240,可知。片与EP不垂直，故B错误:

对于C,如图，取48的中点为G,连接EG,4G,NC,易得EG"AC,

0AA}//BB}//CC],AAX=BBt=CC,,则得口4/CG，故有4G〃NC,则4G〃£G,

又平面AXBXCXDJ/平面ABCD,平面AXCXEn平面45clz=AXCX,

故EG即为平面4GE与平面的截线，

又AQ=C1E=B故平面4G5截正方体所得截面4G£C］为等腰梯形，故c正确;

6/43

对于D,由上建系，因厂为441的中点，则尸(2,0,1),与尸=(0,-2,-1),3£=(-2,0,0),

设平面477G的法向量为加=(x,y,z),

F-m=-2y-z=0一

__,故可取加=(0,1,-2),

C-m=-2x

Sx=0

又配=(-2,2,0),9=(-1,2,-2),

设平面AXCAE的法向量为n=(p,q,r),

则J4G力=-2p+%=0

故可取％=(2,2,1),

.力=—p+%-2r=0

由加•”=Ox2+lx2-2x1=0,可得加_L〃，

故平面BXFCX1平面,即D正确.

故选：B.

3.如图，在棱长为2的正方体/BCD-4瓦GA中，E为棱44的中点，P为正方体表面上的动点，且不_L而.

设动点P的轨迹为曲线沙，则()

A.甲是平行四边形，且周长为20+2/

B.沙是平行四边形，且周长为3亚+2退

C.甲是等腰梯形，且周长为20+2行

D.用是等腰梯形，且周长为3亚+2店

【答案】D

【详解】分别取的中点尸,G,连接4G、DE、DADtF,B、GFG.DB,

则FG//DB//DB，：.F、G、BpDl四点共面

7/43

若尸为面44G，上的动点，

由正方体ABCD-易得，平面4ECG，平面44G2,且平面AtEcctn平面43]G2=4G,要使

D^PLCE,则只需2P_L4G，此时尸的轨迹为线段。耳；

若尸为面4DQN上的动点，

由正方体ABCD-44CQ易得，平面CED，平面gDA,且平面CEDc平面AXDXDA=ED,要使VCE,

则只需口尸LED,因为£、尸分别是/4、的中点，易证。尸，故此时尸的轨迹为线段，尸；

所以动点P的轨迹曲线少为过点尸、2、4的平面与正方体各表面的交线，即梯形，耳G尸.

因为正方体的棱长为2,所以。圈=2后，GF=^DB==D.F=A/22+12=.

所以曲线沙为等腰梯形，且周长为3拒+2行.

故选：D.

4.如图，正方体/BCD-44GA的棱长为2,”,N分别为棱4A，BC的中点，P为正方形4片。2边上的

动点（不与“重合），则下列说法中管送的是（）

A.平面跖VP截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形

B.存在点尸，使得直线4片与平面ACVP垂直

C.平面MAP把正方体分割成的两个几何体的体积相等

8/43

D.点片到平面跖VP的距离不超过g

【答案】B

【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系,

则£>(0,0,0),42,0,0),4(2,0,2),Q(0,2,2),B、(2,2,2).(1,0,2),NQ,2,0),

对于A,诉=(一1,2,0),宙=(一1,2,0),即而=宙，而4隹直线MG，则/N〃凶q,

又AN=M=MC\,因此四边形/MC]N为平行四边形，又AM=亚=AN,

则四边形/MGN为菱形，当点尸与。重合时，平面ACVP截正方体表面所得的交线形成的图形是菱形，A

正确；

对于B,函=(0,2,0),两=(0,-2,2),4瓦•两=-4H0,即与"N不垂直，

而MNu平面ACVP,因此直线4片与平面四VP不垂直，B错误；

对于C,线段"N的中点(1,1,1)为正方体N8CD-44GA的中心，平面跖VP过该正方体的中心，

由对称性，平面肱VP把正方体分割成的两个几何体的体积相等，C正确；

对于D,当点尸(0,1,2)时，W=(-1,1,0),函=(2,2,2),则赤•函=0,而7•函=0,

即。片_L〃P,r>2]_LMN,MPcMN=M,MN,MPu平面MNP,于是。平面M7VP,

此时点用到该正方体中心(1,1,1)的距离百即为点4到平面MAP的距离，

是点4到过的所有截面距离最大值，因此点与到平面MAP的距离不超过百，D正确.

故选：B

5.如图，在棱长为2的正方体488-44GA中，M为棱CG的中点，则点C到平面48M的距离为()

9/43

aG

A.5B.V2C.1D.至

5

【答案】D

【详解】由条件可知，ABY平面BCC[B],BMu平面BCCXBX,所以_L,

BM=y]BC2+CM2=V5，

设点C到平面ABM的距离为〃，由VM_ABC=VC_MM,

所以J_xJ_x2x2xl=L*Lx2x6/z,解得：h二次.

32325

故选：D

6.如图，在四棱锥尸-4BCD中,AB=AD=1,其余的六条棱长均为2,则该四棱锥的体积为（)

D.?

C.亍

【答案】C

【详解】连接/C,2。，交点为£,如图所示:

10/43

•1-AB=AD,CB=CD且NC是公共边,

“ABC知ADC,ZCAB=ACAD,

易得AAEB咨AAED,NAEB=ZAED=90°,BE=DE,

即8D_L/C,又PB=PD,BD±PE,

ACC\PE=E,NC,PEu平面P/C,

AD_L平面尸/C,又2Z)u平面4BCD,

平面PAC1平面ABCD.

过点P作尸。，平面/BCD,垂足为。，连接05,

PA=PC,OA=OC,

CM3u平面/BCD,POLOA,PO1OB,

由尸/=PB,PO是公共边，:.APOA知POB,

即有Q4=O5=OC,

43,C三点在以/C为直径的圆周上，

ZABC=90°,AcZ+2?=逐，OA=^~,

PO=yJPA2-OA2=)22-(—)2=—，

SABCD=^^ABC=2xlx2x—=2,

〃1c"1cEg

V

P-ABCD=§XSABCDxPO=-x2X-^-=-^-.

故选：c

7.某同学在劳动实践课中，用四块板材制作了一个簸箕（如图1）,其底面挡板是等腰梯形，后侧挡板是矩

形，左右两侧挡板为全等的直角三角形，后侧挡板与底面挡板垂直.簸箕的造型可视为一个多面体（如图

2）.若45=24cm,CD=30cm,4£=15cm,45与CO之间的距离为28cm,则该多面体的体积是（）

11/43

【答案】c

【详解】

因为四边形/2FE为矩形，故而平面/3FE_L平面4BC。，

平面ABFECI平面ABCD=AB,AEu平面ABFE,

故/E_L平面/BCD,

在平面4BC。中过A作NS_LZ）C,垂足为S,则NS_L/3,

同理可证/S_L平面ABFE,

而/S=28,故喔Teo=1xl5x|x28x30=2100cm3,

V=-x28x24xl5=3360cm3,

Cc-ADVLJ3

故几何体的体积为5460cm3,

故选：C.

8.已知正四棱锥P-48C。的高为4,棱48的长为2,点H为侧棱尸C上的一动点，则△85。面积的取小

值为（）

12/43

A.V2B.C.—D.

32

【答案】B

【详解】取2。中点。，连接PO、OC,

因为四棱锥P-/3CD为正四棱锥，所以尸O_L平面4BCD,DH=BH,

因为。为中点，所以OHLBD,

因为OCu平面48CD,所以尸O_LOC,

因为45=2,PO=4,所以8。=2&，OC=6，

4义、64

在直角三角形R9C中，当07/，尸。时，最小，为/「=7,

"+23

"4-

当点"和点P重合时，OH最大,最大为4,所以。§,4,

S.HBD=3X2也XOH=6.义OH，所以当时，的面积最小为逑.

故选：B

9.如图，在正方体488-4月£。中，/2=2,瓦尸分别是。A，网的中点.用过点下且平行于平面/BE的

平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（）

C.45

【答案】B

13/43

【详解】取的中点“，连接

则儿不〃/8//。4,故四边形2G9为平行四边形，即为过点尸且平行于平面/BE的截面,

D、M=右，期=2,且CQ_L平面ADDlCl,DXMu平面ADD^X，则CQ±D,M,

故四边形2GEM为矩形,

故四边形的面积为=2百,

10.如图，在棱长为2的正方体/3C。-44中，M,N分别是棱44，42的中点，点P在线段CM

上运动，给出下列四个结论：

①平面CMN截正方体ABCD-4耳G4所得的截面图形是五边形；

②直线B、D,到平面CMN的距离是e.

2

③存在点尸，使得/4尸A=90°；

④△尸面积的最小值是史.

6

其中所有正确结论的序号是（）

A.②③B.②④C.①③D.①④

【答案】C

14/43

【详解】对于①，连接"N分别于G综CQ的延长线分别交于M,连接CM,,CN,分别交BB\,于

其截正方体N2C。-44GA所得的截面图形是CAywA%，为五边形，即①正确；

对于②，以A为坐标原点，4及40,44所在直线分别为尤J，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示:

易知C（2,2,0bM（l,0,2）,N（0,l,2）W（2,0,2）,Q（0,2,2）,

则CN=（-2,-l,2）,MN=（一1,1,0）,行=（-2,2,。，显然ACV/用。，

又MNu平面CMN,8Qi<Z平面CMN,所以4口//平面CMV；

因此直线BR到平面CMN的距离即为点片到平面CMN的距离，

设平面CW的一个法向量为万=（无,％2）,

CN-n=-2x-y+2z=0（、

则―.",令y=2,可得x=2,z=3,即亢=（2,2,3）；

MN-n=-x+y=0

易知丽==（-1,0,0）,

则直线用2到平面CMN的距离是4=^^=二="，即②错误;

\n\V1717

15/43

对于③，由点P在线段CM上运动，可设尸C=2"C,04241,

因止匕定=2(1,2,—2)=(2,22,-22),则P(2-彳,2-22,22),

可得函=(九22-2,2-24),西=0-2,242-24),

假设存在点尸，使得/左尸2=90。，可得西•①=(尢24-2,2-22}0-2,24,2-22)=0,

整理可得9万一142+4=0,解得7=三叵或几=上匚叵>1(舍去)，

99

故存在点尸，使得/8/2=90。，即③正确.

对于④，易知西=("2,22,2-2义),西=(0,0,2),g西=(0,0,1),

所以点P到直线的距离为J两°西］西］=J(X-2『+(22y=，5万-4>+4,

可知当时，点尸到直线的距离最小为生5,

55

所以△尸面积的最小值是Lx2x%5=迪，即④错误.

故选：C

11.在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，现有一个羡除如图所

示，D4_L平面/出芭，四边形NBFE,CD£产均为等腰梯形，AB//CD//EF,AB=AD=8,EF=16,EF

到面/BCD的距离为3,则这个羡除的体积是()

队

7

A.128B.120C.112D.104

【答案】A

【详解】过43分别作/GLEFm，跖,连接。G,C〃,则该多面体可分割成一个直三棱柱。/G-CBX以

及两个全等的三棱锥,

由于D/1平面48FE,48u平面NAFE,故ND148,又48_L/G,4Dc/G=4,4D,/Gu平面4DG,

故平面4DG,故三棱柱。/G-C38为直三棱柱，

由于斯〃48,48<=平面/2。£),EF(z平面48cD,故EP〃平面48CZ),

由于斯到平面的距离为3,故G到平面/8C75的距离为3,故AG=BH=3,

16/43

其体积为s皿-^=|x8x3x8=96,

结合四边形/BFE,C7）跖均为等腰梯形，AB//CD//EF,AB=AD=8,因此三棱锥D-/EG,C-班田全

等，故体积为2%加=2'；加."=2'$<$<4'3*8=32,

因此这个羡除的体积是96+32=128,

12.古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.

如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，M为心中点，某同学用平行于母线尸/且过点”的平面去截圆

锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高|尸O|=2,底面半径=2,则该抛物线焦点到准线的距离为（）

P

【答案】B

【详解】因为M是展的中点，。是N3的中点，贝UN尸〃（W,\OM\=^\AP\=42,

截圆锥的平面平行于母线PA且过母线尸8的中点故。也在截面上，

根据对称性可知抛物线的对称轴为0河，焦点在上，

建立以M为原点，为x轴，过M点的垂线为y轴，

设抛物线与底面交点为E,则XE=|（W|=&,打=口/|=2,

17/43

设抛物线为/=2px（p>0）,贝i］4=2°x后，解得p=血,

即该抛物线焦点］£,oj到准线x=-5的距离为p,即为VL

故选：B.

13.如图，棱长为2的正方体43s-4旦中，点M为旦0的中点.动点N满足加=2赤+〃石，2,

〃€（0』）.给出下列四个结论:

①平面C/NL平面3。4；

②设直线与平面所成角为凡贝hos6的取值范围是

2

③设DXAA平面CMAX=P,则三棱锥M-BQP的体积为-；

④以的边£叫所在直线为旋转轴，将旋转，则在旋转过程中，及@的取值范围是口,加］.

其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【详解】①如图建立以。为原点的空间直角坐标系，

则。（0,0,0）,/（2,0,0）,4（2,0,2）,5（2,2,0）,G（0,2,2）,A（0,0,2）.

则25=（-2,0,0）,丽=（0,0,2）43=12,0,2）,赤=（-22,0,2〃）,AQ=（-2,2,2）,

丽=（2,2,0）西=（2,0,2）.

n}=-2Ax1+2〃4=0

211

•nx=-2x1+2yl+2z1=0

取々=（〃,〃-4丸）.设平面3。4法向量为e%=（%2，%/2），

18/43

n2-2X2+2y2=0

则

•n2-2X2+2Z2=0

注意e到々•〃2=4+4-4-4=0,则①平面C/N_L平面5Z>4,故①正确;

②由①可得吕(2,2,2),G(0,2,2),则M(1,2,2),

又无=方+丽=(2-2九0,2〃)=N(2-24,0,2曲,则加=(1-24,-2,2〃-2).

又平面DR4/的法向量可取0=（0,1,0）,

注意到卜-+（〃-#表示点（尢〃）（九到点的距离.

如下图所示，则当（乙〃）与S无限接近时，+（//-1）2>0；

25

当（九〃）无限接近（0,0）或（1,0）时,<一,

4

\2/、(I

则+(〃-l)2+ie(i,；j=>sin0e1|>lj,贝ijcos：=Jl-sin'夕e0,当

③如图，连接MC,MAt,过4作MC平行线4N,则N为中点，4，N,C,M四点共面,

连接，贝与4V交点即为尸.注意到A。/1尸与“AP相似,

贝朗与=2"=；必卜"）则加=前万片项

19/43

由=（1,2,2）,烟=（2,2,2）,设平面。屿的法向量为％=3,九,4），

"4DM=x+2y4+2z=0

44取麓4=（0,1,—1）,

几4,DB]=2X4+2y4+2z4=0

则点p到平面。河片距离为：d」。尸1_加,

同一行一3

又四边形第G。="'iG,AB[=]x2x2收=6.

ii£n

—XX

则IVlD^DUPr=Vpr-—IMVlBD^DLf=-3d，StQUlMVlBD\=3-3--9一,故③正确.

④连接/"，AD,BQ,设/口。4。=£,?G中点为R

由题可得则口轨迹为以E为圆心，以行为半径在

平面/。。姿上的圆.又/在平面上的射影为尸G中点G,

则MDi=《MG。+GD；,因MG=^BtF=去，则=j；+GD；.

如下列平面图，连接£尸，则所，C",则£6=7^7/=

G2最短，为还一行=亚;

则如图，当E,"（A）,G三点共线时,

22

当G,E,/（，）三点共线时，G2最长,吟+而巫

2

行,

20/43

14.如图，正方体/BCD-的棱长为1,E为棱。2的中点，P为底面正方形/3C。内（含边界）的

动点，贝U（）

A.三棱锥B「gP的体积大小不确定

B.当4PLZG时，AXP1AC

C.直线用£〃平面48。

D.直线与平面所成角的正弦值为:

【答案】D

【详解】解：对于A项：因为P为底面正方形N8C。内（含边界）的动点，所以点P到平面4瓦2的距离

为1，所以嚏棱锥%一4可=匕棱锥?一44乌=§xlx心°画=-^,故A错误；

对于B项：在矩形NCG4内，当4尸，NG时，显然4尸与/C不垂直，故B错误；

对于C项：在平面8。2月内，与E与3。相交，所以与£与平面4助相交，故c错误；

对于D项：连接C1£,因为AG，平面CDAG，

所以GE是B.E在平面CDDtCt内的射影，

所以HEC、为直线BXE与平面CDD6所成角,

21/43

所以在直角三角形片EG中,

故D正确;

15.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，其中谈到的“堑堵”是指底面为直角三

角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有堑堵如图所示，其中若N4=/C=5C=4,平面48G将

堑堵分成了两部分，这两部分体积比值为（）

A.1:1B.1:2C.1:3D.1:4

【答案】B

【详解】由题意叱=丛/BC'/4，/一4耳G=§$40G.84=0$48c,/4,

、2

所以腺-4CC/=“ABC-AiBiCl-右—Z/iG=§右BC—Z/iG，

所以丁

ABCCXAX,

故选：B.

16.如图，在棱长为2的正方体-44GA中，点£、尸分别是棱5C、CC的中点，尸是侧面3CC百

内一点（包括边界），则以下命题中，不正确的是（）

22/43

A.平面NB7截正方体所得截面为等腰梯形

B.存在点P,使&尸，平面/M；

c.若4尸〃平面/£凡则线段4P长度的取值范围是半，石；

D.若点尸在线段与C上，则直线GP与平面4G。所成角的正弦值的最大值为好.

3

【答案】B

【详解】对于选项A：取。中点连接

因为M,尸分别为CD,CG的中点，则MB//CQ,儿不=；CQ,

又因为AD//BG，4D=B\C\,可知ABXCXD为平行四边形，

可得//CQ,AB,=CXD,则AZF〃/4，MF=^AB1,

可知平面7截正方体所得截面为工与为梯形，

且=87=石，所以截面为等腰梯形，故A正确；

对于选项C：如图，取5c中点G,BB1中点H,连接G〃，4G,4H,

23/43

则Afi//AE,且&Gu平面AEF,AEu平面AEF,可得4G〃平面AEF,

同理GH//EF,GH平面AEF,EFu平面AEF,所以GH//平面AEF,

因为4GcGH=G,4G,GHu平面4G〃，所以平面4GH〃平面/EF,

因为p是侧面8cqq内一点，当P点在线段GH上时，能够满足4尸〃平面/ER

因为正方体棱长为2,由勾股定理得：4G=4"=右，GH=拒,

故点p落在G8中点时，4P长度最小，此时4尸=「1=呼，

当点尸与G或〃重合时，长度最大，此时4尸=石，

一35'

综上：线段4尸长度的取值范围是周一，石，故C正确;

以。为坐标原点，分别为x,%z轴，建立空间直角坐标系,

则/（2,0,0）,。（0,0,0）,E（l,2,0）,尸（0,2,1）,4（2,0,2）6（0,2,2）,

HULLUUUlUUUI

对于选项B：设。（凡2/）,可得2,2,6—2）,4£=（―1,2,0）,斯=91,0,1）,

n-AE=-x+2j=0

设平面的法向量为=（%,必/1）,贝卜11

n•EF=-xx+Z]=0

24/43

令再=2,贝!!必=l，z=2,可得万=（2,1,2）,

nunxa—22A—2

若4尸，平面幺防，则&?/"，可得/=1='，解得。=6=6,

此时点尸（6,2,6）不在侧面BCC4内，

所以不存在点尸，使4尸，平面/昉，故B错误；

对于选项D：若点P在线段用C上，设尸（a,2,a）,0WaV2,

ULIULLILILLLIUU1

可得&尸=（。,0,。-2）04=（2,0,2）,£>G=（0,2,2）,

设平面的法向量玩=（9,外,Z2）,则—12-，

mDCy=2y2+2z2=0

令迎=1,则%=1/2=-1,可得比=（1,1,-1）,

设直线GP与平面4QD所成角为e,

则就叶.研卜用二瓦忘于%

当且仅当。=i时，等号成立，

所以直线GP与平面4G。所成角的正弦值的最大值为逅，故D正确；

3

故选：B.

17.如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，/8=8,4旦=2,图1中水面高度恰好为棱台高度

,Oy

的;，图2中水面高度为棱台高度的；，若图1和图2中纯净水的体积分别为%匕，则昔=（）

23'2

【答案】D

【详解】设四棱台的高度为九在图1中，中间液面四边形的边长为5,在图2中，中间液面四边形的边长

25/43

为6,

r-1/〜G一二、h129〃T,1A“k~~T~~\2h1042

贝UVx=—(64+25+V64X25)—=--,V2=—p+36+4x36)-=-------,

326339

一匕387

所以兀=荻・

故选：D.

18.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂

直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖席”.如图，在堑堵NBC-44G中,

ACLBC,且/&=/2=2.其中正确的是()

C

①四棱锥8-44cq为“阳马”

②四面体为“鳖席”

③四棱锥8-AXACCX体积的最大值为1

④过A点作48于点£,过E点作斯_L/由于点尸，则42上面/所

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

【答案】C

【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，

二.在堑堵4BC-48cl中，ACVBC,侧棱441，平面4BC,

A选项，AAt1BC,又4CLBC,且幺4口/。=/,则8C_L平面N/CG，

二.四棱锥B-N/CCi为“阳马”，故A正确；

B选项，由/CL5C,即又4Q，CC且BCcC|C=C,

4G1平面BB&C,4G,BJ,则V4BQ为直角三角形，

又由8CL平面44CC，得A//C为直角三角形，由“堑堵”的定义可得A&CC为直角三角形，ACG8为直

26/43

角三角形，

，四面体AgCB为“鳖膈”，故B正确；

C选项，在底面有4=NC2+3C222/C4C,即NC4CV2,当且仅当/C=8C=0时取等号，

11244

xBC=-AAtxACxBC=-ACxBC<-,最大值为故C错误；

D选项，因为/E_L43,EF±AtB,AEcEF=E,/E,E尸u平面/所，所以_L平面/£尸，故D正

确；

故选：C.

19.如图，正方体/2C®-4用GA的棱长为1,线段3a上有两个动点£,F,且匹=g，则下列结论中正

确的是（）

®AC±BE

②EF〃平面ABCD

③AAEF的面积与42所面积相等

④三棱锥A-BEF的体积为定值

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

【答案】B

【详解】

27/43

①连接8。，在正方体中，

平面/BCD,/Cu平面/BCD,则/C_LDR,

又4c工BD,20nDR=D,BDU平面BDD{BX,DDXu平面BDDXB1,

则AC1平面BDDR,BEu平面BDD禺

所以故①正确；

②由于EF//BD,EF（X平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以跖〃平面/BCD,故②正确；

③由于ABE尸和△4E77的底边都是£尸，

ABEF的高即点B到EF的距离，即BB