2025年北京高考数学二轮复习：立体几何与空间向量（测试）（解析版）

绝密★本科目考试启用前

模块六立体几何与空间向量（测试）

（北京专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.若向量五=（1,-1,2）,不=（2,1,-3）,贝中+彼卜

A.V?B.272C.3D.Vio

【答案】D

【详解】a+在=（3,o,-1）贝中+可=A/32+O2+I2=Vio

故选D.

2.已知圆柱的底面半径和球的半径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（）

A.1：2B.1：1C.3：4D.2：3

【答案】B

【详解】设球的半径为尺，则S球=4位2,

由题意，圆柱底面半径、圆柱高均为R,

所以圆柱的表面积5=2成2+2成.尺=4成2,

所以圆柱与球的表面积之比为1：1.

故选：B

3.已知“，b是两条不重合的直线，a,。是两个不重合的平面，则使得2成立的是（）

A.aLa,blip,a1/3B.ala,bL/3,all/3

C.Qua,b工/3,allpD.“ua,blip,a工f3

【答案】C

【详解】对于A：若a'B，则。//4或

若。//夕，又引/夕，贝心与b可能平行、相交（不垂直）、异面（不垂直）、相交垂直、异面垂直，

若auf3,又b/啰，则。与b可能平行、异面（不垂直）、异面垂直，故A错误；

对于B：若a_La,b10,all13,则〃//〃，故B错误；

1/17

对于C：若b1/3,all/3,则又aua,所以：,葭故C错误;

对于D：若6%,则6与。可能平行或相交（不垂直）或垂直或bua,

又aua,此时不能保证。成立，如b〃a,此时。与b可能平行、异面（不垂直）、异面垂直，故D错误;

故选：C

4.《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方

法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的

直径为20cm,高为20cm.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向

将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共

500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：兀修3.14）（）

1.4m3C.1.8m3D.2.2m3

【答案】B

【详解】由条件可得四片瓦的体积『=71x122x20-兀xl（）2x20=8807i（cm3）

所以500名学生，每人制作4片瓦共需粘土的体积为500x880兀=440000兀（cm3）,

又无as3.14,

所以共需粘土的体积为约为1.3816m?,

故选：B.

5.已知正方体NBC。-44GA中，点M为线段口可上的动点，点N为线段/C上的动点，则与线段。内相

2/17

A.0条B.1条C.2条D.3条

【答案】B

【详解】在正方体N2CD-44GA中，MfB\,而。百U平面。内。，即有Me平面

又vN与线段£幌相交，则交点必在直线上，而。耳u平面2月。，于是MNu平面£＞内。，Ne平面

DgD,

因为Ne4C,/Cu平面/BCD,即Ne平面/BCD,而平面。BQ口平面48cz）=，

因此NeBD,即点N为的交点O,又线段。鸟与"N互相平分，

取。片的中点£,连接OE并延长交。4于Q,显淤EOIIBB\IIDD\,于是Q为。4的中点，

所以当点N与。重合，点”与Q重合时，与线段。目相交且互相平分，这样的直线只有1条.

故选：B

6.公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，开创了秦朝统一度量衡的先

河.如图，升体是长方体，手柄近似空心的圆柱.已知铜方升总长是18.7cm,内口长xcm,宽7cm,高2.3cm

（忽略壁的厚度，取圆周率无=3）,若手柄的底面半径为1cm,体积为18.6cn?,则铜方升的容积约为（小

数点后保留一位有效数字）（）

A.201.3cm3B.210.5cm3C.202.1cm3D.212.2cm3

【答案】A

【详解】依题意手柄的底面半径为1cm,体积为18.6cm3,则手柄的底面积为兀乂仔=；1cm?,

所以手柄的长度为—=6.2cm,

3/17

所以长方体的内口长X=18.7-6.2=12.5cm,

所以升体的容积为12.5x7x2.3=201.25左20L3cn?,

即铜方升的容积约为201.361?.

故选：A

7.如图，某几何体的上半部分是长方体，下半部分是正四棱锥，"4=1,AP7,AB=2,则该几何体

的体积为（）

【答案】B

【详解】在正四棱锥P-43CD中，连接/C,8。交于点。，连接/尸,

则。尸即为正四棱锥尸的高，

OA=^AC=42,O尸=〃尸2一Of=i，

14-

=

所以VP_ABCD=-x2x2xl=­,ABCD-AXBXC1DI2X2X1=4,

所以该几何体的体积为14+4=?16.

故选：B.

8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖席.已知鳖席/8。的四个顶点均在表面

积为36兀的球面上，则该鳖席体积的最大值为（）.

A.26B.4百C.2D.4

【答案】B

4/17

【详解】把鳖放到长方体中，如下图所示：

设该长方体的长、宽、高分别为XJ,Z,显然该长方体的对角线长为Jf+4+Z?，

所以有4兀=36兀x2+y2+z2=36,

显然该鳖脯体积为亍孙z,

222

因为厂+：+Z-叁叱2,当且仅当X=y=z时取等号，

&人_____1

即一>^x2y2z2=^>(A7Z)2<123xyz<24A/3—xyz<4-73,

36

当且仅当x=y=2=2g时取等号，

故选：B

BC

9.在正四棱锥尸-48CD中，PF=FD,PE=2EB,设平面/防与直线尸C交于点G,而=力互，贝”=()

【答案】D

【详解】^PC=PA+AC=PA+AB+AD，

所以定=2+丽-莎+丽-莎=丽+丽-力，

因为而=而，而=2而，所以丽=2而，丽=§丽,

所以尸。二—尸£+2尸尸—尸/,

2

5/17

—►2—►

又方=4觉，所以尸G=「尸C,

A+1

—.32一►—►2—►

所以尸G:----------PE+——PF------PA,

2(2+1)2+1A+1

322/LJo

因为4瓦RG共面，所以丁不+丁一F=l，解得a=彳・

2(Z+1)Z+1Z+13

故选：D.

10.风筝又称为“纸莺”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成

木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年级学生制作的一个风筝模型的多面体N8CM,

。为48的中点，四边形EEDC为矩形，且DB_L4B,AC=BC=4,ZACB=\20°,当/E1.8E时，多面

体/8CE尸的体积为()

D.屉

【答案】A

【详解】在V/3C中，因为/C=3C且。为NB的中点，所以CDL4B,

又因为。尸，且。尸1。=。，ORCDu平面CDEE,

所以43_L平面C7);方,

在V48c中，因为/C=3C=4且a1C3=12O。，

所以N8=2/D=2X4COS30O=46，且CD=2,

因为四边形。"石为矩形，可得DFLCD,

又因为。尸_L/8,4BnCZ)=。且/8,COu平面/3C,所以。尸」平面NBC,

因为CE//DF,所以CE_L平面48C,

又因为NC,8Cu平面/3C,所以CE，/C,CE，3C,

设CE=m,在直角A4CE中，可得/£?=+加2=骁+病，

在直角A8C£中，可得5炉=";2+/=16+/2,

因为所以/产=/炉+5炉，

即48=16+/+16+/，解得帆=2夜，

所以多面体/8C斯的体积

6/17

==

V^A-CDFE+「B-CDFE=A-CDFE2XCDFE'AD=2x不2x22J=---

故选：A.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知/是平面。外的一条直线.给出下列三个论断：

@aL/3-@/1«；@1///3.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.

【答案】.①②二③或②③今①

【详解】（1）①②n③

说明：I，a:.l11B或Iu。

又•••/是平面£外的一条直线，；.///尸，命题正确；

（2）①③n②

说明：设ac/3=m,取直线〃/m,此时，////?,但直线/可能平行平面e,也可能在平面a中

所以命题不正确；

（3）②③n①

说明：•.•///〃.•.平面£内必存在一条直线与直线/平行，设为〃，即，nlll

又acz,从而得：a±/3,所以命题正确.

故答案为：①②=③或②③=①

12.将一张边长为12cm的纸片按如图1所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折成

一个有底的正四棱锥模型，如图2放置.若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3）,则四棱锥的体积是—

图1图2图3

【答案］处反

【详解】设正四棱锥的底面边长为2x,贝IJ由其侧棱长为J（6-亚x>+62=572-12缶+2/，根据题意知

7/17

(2x)2=72-12瓜+2X2-X2,.'.X=20,x=-6&(舍)，所以此四棱锥的底边长为4后,高为在x4行=2〃,所

2

以其体积为厂=gx(4jiyX2V6=当

13.已知正方体的棱长为2,M,N分别为G。，3c的中点，点P在正方体表面上运动，

且。4,平面PMN,则动点P的轨迹(包含M,N)所围成图形面积为.

【答案】30

【详解】如图，分别取4A，AB,CCX,的中点E,F,G,H,

连接£尸，FG,GC,CH,4B,BQ,AXCX,

则M77〃田，又比Hu平面48G，48u平面48G，

所以AfflV/平面

同理〃平面又MHCHN=N,HNu平面EFGNHM,

所以平面EFGNHMH平面AXBCX,

在正方体中，易知8Q_L平面48G，

所以5Q_1_平面EFGNHM,

又点尸在正方体表面上运动，

故P点的轨迹为正六边形E尸GNKI/,

因为正方体/BCD-44CQ的棱长为2,即48=2,

所以4cl=V2,ME=,

故正六边形斯GNW的面积为6x组x(⑨2=36.

4

故答案为：373.

8/17

14.将正方形4BCD沿对角线AD折成直二面角”-助-C,则直线与平面BCD所成角的大小

为;异面直线AC与BD所成角的大小为.

【答案】45°90°

【详解】如图，。是原正方形对角线交点，则

/ZOC是二面角/一3。一C的平面角，

又二面角是直二面角，即平面平面8。，它们的交线是BD,/Ou平面/9，

所以平面3CO,ZA8O是直线48与平面BCD所成的角，乙4BO=45。,

所以直线48与平面5CD所成的角是45。，

又由/OnOC=。，/O,OCu平面/OC,得人平面/CO,而/Cu平面/CO,

所以AD，/C,所以异面直线/C与AD所成角的大小为90。，

故答案为：45°；90°.

15.在棱长为1的正方体中，点E在线段NG上（不与4G重合），EF上4c于尸,FGLBC

于G,以下四个结论：

①8C"L平面EFG；

②线段跖与线段尸G的长度之和为定值；

③AEFG面积的最大值为:；

④线段EG长度的最小值为".

2

9/17

其中所有正确的结论的序号是.

【答案】①②④

【详解】

对于①，如图，在正方体-中，CCJ平面/BCD,

因CCju平面ACQ,则平面ACCt1平面ABCD,

因平面/CGPI平面=EFu平面ZCG且砂L/C，故EF_L平面/BCD,

又BCu平面/BCD,则EF/8C,

又因8C_LFG,FGC\EF=F,尸G,M1平面EFG,故8C_L平面所G,故①正确;

EFAFF）

对于②，由①分析易得止//CG，则有h=左，即得£尸=注/尸；

CC]AC2

又由5C_LFG,BC1AB可得AB〃FG,则有—右二=/，即得尸G=CF,

ABAC2

故得：EF+FG=—AF+^CF=^x72=1.即成+尸G为定值1,故②正确；

222

对于③，由①，已得所，平面，因尸Gu平面N3C。，则有跖_LPG,

则AEFG的面积S囱G=~EFxFG<-x”土空工U,当且仅当跖=FG=g时等号成立，

"EFG22482

即当EF=FG=：时，AEFG面积的最大值为:，故③错误；

2o

对于④，由③已得EFLFG,则EG?=跖2+尸G?2（跖+）G：=1_,当且仅当所=FG=」时等号成立，

222

即当EF=FG=：时，线段EG长度的最小值为赵，故④正确.

22

故答案为：①②④.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.（13分）如图，S为圆锥顶点，。是圆锥底面圆的圆心，AB、CD为底面圆的两条直径，ABC\CD=O,

且SO=3,PB=2,尸为的的中点.

10/17

s

⑴求证：S4//平面PCD；

（2）求圆锥SO的体积.

【答案】（1）证明见解析（2）7兀

【详解】（1）连结尸。，如下图示:

APOIISA,又尸Ou平面PCD,S4U平面尸CD,

.,.&!//平面PCD.

(2),?PB=2,尸为S3的中点，

/.SB=4.

OB=y/SB2-SO2=V42-32=V7-则底面圆面积d=RXOB2=7K.

圆锥体积V=i-S,-SO=—x7兀x3=In.

33

17.（14分）如图，正方体/BCD-。的棱长为2,E是棱4G的中点，过42,后的平面与棱3片相交

于点尸.

11/17

(1)求证：尸是的中点；

(2)求点D到平面AD.E的距离.

4

【答案】(1)证明过程见解析(2)]

【详解】(1)连接8G，如图所示.

因为平面40口4〃平面BCC百，平面/"Ec平面平面/"Ec平面8CG4=跖，所以

g//EF.

又AB=C°,AB〃Cn，所以四边形N8G2为平行四边形，.•./A〃3G，二斯〃BG.

又£是棱片G的中点，所以下是8名的中点.

(2)在正方体/3CD-44q〃中，易求AD[=2®,D[E=4^,AE=3.

在△/£>[£1中，由余弦定理可求cos/4D|E=巫，.•.sin/4D]E=之叵，

1010

s皿=-X2A/2XV5X^-=3.

皿E210

设点D到平面gE的距离为d.

=

^D-AD^E^E-ADDy>丁SqE=-|^|^ADDX>

2xx2x2

,\AB\S^I24

..a=------A-D-D-=----------=一•

S4AJDJ止F33

18.(13分)已知正方体N3CO-44GA，点分别为48、BC、的中点，直线4。交平面£7田

于点G.

12/17

（1）证明：G为4。中点；

（2）求异面直线D.F与HE所成角的大小.

【答案】（1）证明见解析（2）§

【详解】（1）在正方体中，因为平面44GA〃平面/3CD,4。交平面瓦田于点G,

所以Ge平面石尸〃，平面44G2n平面EFq=G〃，平面4BCDn平面=EV,

所以HG〃EF,

又因为点£、F、X分别为48、BC、2G的中点，

连接/c,4G，可得废7//c,且所=g/c,/c〃4。，且/c=4G，

所以〃G〃4G，且G〃=（4。，

所以G为42的中点；

（2）设正方体的棱长为2,以。为坐标原点，以D4,DC,所在的直线分别为x轴,,z轴的空

间直角坐标系，

则/（2,0,0）,3（2,2,0）,C（0,2,0）,口（0,0,2）,C,（0,2,2）,

可得£(2,1,0),F(1,2,0),“(0,1,2),

可得印=(1,2,-2),7^=(2,0,-2),

所以印•麻=lx2+2x0+(-2)x卜2)=6,麻卜Jl+4+4=3,阿|=J4+0+4=2后,

DF-HE6也

所以cosRF,HEl

班|•瓯3x2b2

设异面直线。尸与HE所成角为。，Oe,仁

13/17

可得cosO=交，所以。=£.

24

19.（15分）如图，在四棱锥中，PAlnABCD,AB工BC,ABLAD,且尸N=A8=8C=；/O=2.

(1)求直线PB与直线CD所成角的大小；

(2)求直线PD与平面为。所成角的正弦值.

【答案】⑴(2)巫

35

【详解】(1)由于P/_L平面/BCQ,4B,4Du平面4BCr>,所以尸/_L/且尸/_L/。,

由于43，/。，所以/民尸两两相互垂直.

以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

尸（0,0,2）,8（2,0,0）,C（2,2,0）,0（0,4,0）,

丽=（2,0,-2）,函=（-2,2,0）,设直线尸3与直线CD所成角为。，

PBCD4

贝Ucosa=

2A/2X2A/22

x

14/17

(2)方=(0,4,-2),刀=(2,2,0),方=(0,0,2),

设平面P/C的法向量为为=(尤//),

ri-AC=2x+2j=0

则故可设拓=(l,T0),

nAP=2z=0

设直线PD与平面PAC所成角为e,

PDn4Vio

则sin。=

HH275x725

20.(15分)如图，在四棱锥尸-48CD中，底面48CD为正方形，P4_L平面/BCD,PA=AB=2.

⑴求证：〃平面尸8C；

(2)求直线BD平面PCD夹角的正弦值；

(3)求点B到平面PCD的距离.

【答案】(1)证明见解析(2)g(3)近

【详解】(1)因为底面/BCD为正方形，所以4D//3C,

因为/DZ平面尸8C,BCu平面P8C,

所以4D//平面P3C；

(2)因为P/_L平面48CD,平面4BCD,

所以尸41/8,&_L4D,

以A为坐标原点，/及40,/尸所在直线分别为x，%z轴，建立空间直角坐标系,

5(2,0,0),。(0,2,0),尸(0,0,2),C(2,2,0),

设平面PCD的法向量为访=(x,y,z),

m-PC=(x,j/,z)-(2,2,-2)=2x+2y-2z=0

m-PD=(x,%z)•(0,2,-2)=2y-2z=0

15/17

令了=1,贝！Jz=l,x=O,则比=(0』,1),

।—।\BD-m\|(-2,2,O)-(O,U)|1

直线2。平面PCD夹角的正弦值为|cosBD,m\=J_J

11\BDl\m\V4+4XV1+T-2

(3)由(2)知，平面PCD的法向量为沅=(0,1,1),

回词|(