2025年北京高考数学二轮复习：计数原理、随机变量及分布列（练习）解析版

专题14计数原理、随机变量及分布列

目录

01模拟基础练.......................................................2

题型一：排列组合问题................................................2

题型二：二项式定理问题..............................................5

题型三：抽用样本估计总体............................................8

题型四：离散型随机变量的分布列、均值、方差.........................14

题型五：正态分布问题...............................................24

02重难创新练......................................................28

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题型一：排列组合问题

1.已知一个基因由若干个碱基对组成，而一个碱基对由A,T,C,G四种碱基中任取两个碱基配对排列

而成，其中A只能与T配对，C只能与G配对.如果〃个碱基对组成一个基因，那么"个碱基对组成的基因

个数为.

【答案】4-

【详解】因为一个碱基对是由A,T,C,G四种碱基中任取两个碱基配对排列而成，

其中A只能与T配对，C只能与G配对，

所以碱基对有A-T,T-A,C-G,G-C共有2A；=4个，

若"个碱基对组成一个基因，那么n个碱基对组成的基因个数为4".

故答案为：4".

2.在3x3的方格中，每个方格被涂上红、橙、黄、绿四种颜色之一，若每个2x2的方格中的四个小方格的

颜色都不相同，则满足要求的不同涂色方法的种数为.

【答案】72

【详解】设四种颜色分别为对于第一个2x2的方格，共有用=24种不同的涂法，

假设第一个2x2的方格，涂如图所示N2CD四种颜色，

①若第三列的一个方格涂A,第三列的第二方格涂C,则第三列的第三方格涂A或B,

当第三列的第三方格涂A时，则第三行的第一、二方格，分别涂48；

当第三列的第三方格涂B时，则第三行的第一、二方格，分别涂瓦/；

②若第三列的一个方格涂C,第三列的第二方格涂A,则第三列的第三方格涂C或3,

当第三列的第三方格涂C时，则第三行的第一、二方格，分别涂48；

当第三列的第三方格涂5时，则第三行的第二方格涂C,不合题意；

所以，共有3类涂法，则共有24x3=72种不同的涂色方法.

故答案为：72.

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□

□□□

3.在《红楼梦》中有一道名为“茄餐”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净

肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬

制的鸡汤，则烹饪“茄餐”时不同的下锅顺序共有种.

【答案】12

【详解】将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，与其他3种原料一起共有4个元素排顺序，

茄子净肉在鸡脯肉后下锅，有C：=6种顺序，

剩下两个元素放入最后2个位置，有A；=2种顺序，

贝I］有C；xA；=6x2=12种下锅顺序.

故答案为：12.

4.一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则

这组学生人数的最大值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【详解】如果人数大于6,考虑前7个人：ABCDEFG,

每相邻的3人取成一组，则有ABC,BCD,CDE,DEF,EFG5组，

因为任意相邻的3人中都至少有2名男生，所以这5个组里至少有10名男生，

即ABBCCCDDDEEEFFG这15人中至少有10名男生；

每相邻的5人取成一组，则有4BCDE,BCDEF,CDEFG3组，

因为任意相邻的5人中都至多有3名男生，所以这3个组里至多有9名男生，

即ABBCCCDDDEEEFFG这15人中至多有9名男生；

显然矛盾，故人数不可能大于6,

当人数为6时，用1表示男生，0表示女生，则可以101101.

故选：B.

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5.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，仅有两人报同一项目的报名方法种数为（）

A.18B.24C.30D.36

【答案】D

【详解】由题意，四名同学分为三组，其中一组2人，安排报名3个项目即可，

共有CjA；=6x6=36种不同的方法.

故选：D

6.初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任

意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数6=22+12+12+02.^25=a2+b2+c2+d2,

其中a,6,c,d均为自然数，则满足条件的有序数组（见ac/）的个数是.（用数字作答）

【答案】28

【详解】显然a,AGd均为不超过5的自然数，下面进行讨论：

最大数为5的情况：

①25=5?+O2+（）2+O2,此时共有A；=4种情况.

最大数为4的情况：

@25=42+32+02+02,此时共有A；=12种情况.

.®25=42+22+22+l2,此时共有A；=12种情况.

当最大数为3时，32+32+22+22>25>32+32+22+12,没有满足题意的情况.

由分类加法计数原理，满足条件的有序数组瓦G"）的个数是4+12+12=28.

故答案为：28.

7.在0,1,2,3,4,5这6个数中任取4个，可组成无重复数字的四位数的个数（）

A.240B.300C.320D.360

【答案】B

【详解】分步完成，

第一步，首位数字不能为零，有5种取法；

第二步，其余三位数可以从剩下的五位数中任取三位，共有A；=60种取法；

所以一共有5x60=300种，

故选：B.

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8.从0,1,2,5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（）

A.12个B.10个C.8个D.7个

【答案】B

【详解】能被5整除的三位数末位数字得是0或5,

当末位数字为0时，此时有A；=6个符合条件的三位数，

当末位数字为5时，此时有2x2=4个符合条件的三位数，

因此一共有4+6=10个，

故选：B

9.甲、乙等5个人排成一列，则甲不在排头的排法种数是.（用数字作答）

【答案】96

【详解】第一步，甲不在排头的排法有C；种，第二步，安排其余四人的排法有A：种，

故由分步乘法可得甲不在排头的排法有C；xA：=96种.

故答案为：96.

10.由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且1,3不相邻的六位数的个数是（）

A.240B.288C.360D.480

【答案】D

【详解】由12,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数的个数是A；=720,

1,3相邻的六位数的个数是A；A；=240,

所以1,3不相邻的六位数的个数是720-240=480.

故选：D.

题型二：二项式定理问题

H.在（4-：］的展开式中，x的系数是.

【答案】-5

【详解】二项式展开式的通项为却|=（-i）y1（0少=5且厂一）,

令寸^=1,解得r=1,所以＜二（—1）（%=—5x,

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所以工的系数是-5.

故答案为：-5

4432

12.^：(2x-l)=6Z4X+6Z3X+6Z2X+«1X+<70,贝!jq+2+43+。4=.

【答案】0

【详解】取x=l,得。4+。3+。2+%+。0=(2xl—l)4=1,

取1=0,得旬=(一1)4=1,

所以％+%+/+。4=0.

故答案为：0

13.在(X-W)6的展开式中，常数项为()

X

A.60B.15C.-60D.-15

【答案】A

【详解】二项式(X-］)6的展开式的通项为=C"6T(-1)’=(一2YC"6-3,,rGN,r<€,

由6-3r=0,得r=2,所以所求常数项为［=(-2)2晨产，=60.

故选：A

14.在卜-的展开式中，常数项为()

A.-15B.15C.-30D.30

【答案】B

【详解】/=C"6T(一4丫=(T)，C"6-3"

令6-3r=0,得厂=2,

常数(一1户a=15,

故选：B.

15.(1+x+x］的展开式中，f的系数是.

【答案】6

【详解】对于(l+X+/)3的展开式，依据排列组合知识，

6/33

相当于从(1+》+/乂1+芯+/乂1+》+/)这3个因式中选出上个因式取元素％2,

再从剩下的3-左个因式中选出，,个因式取元素X,

最后再从剩下的3-左-r个因式中取元素1.

根据分步乘法计数原理，可知选取的情况种数为C：CLC；之;.

所以可以得到(l+x+x2y的通项公式为：

C；CLC；二仁；产"，(x2『(左=0,1,2,3/e卜eZ|04rW3-耳).

根据通项公式，可得f的系数为C；C；C；+C；C；C；=6.

故答案为：6

16.二项式，展开式的各二项式系数之和为32,n=；该展开式中Y项的系数为

【答案】5-5

【详解】二项式，展开式的各二项式系数之和为32,则有2,=32,得〃=5；

二项式上展开式的通项为=C"5-(_J|=(-l)rC；x5-2r,0<r<5,fl.reN,

令5-2r=3,解得厂=1,所以展开式中d项的系数为(-l)C；=-5.

故答案为：5；-5.

17.在的展开式中，常数项为.(用数字作答)

【答案】60

【详解】由[x+的展开式的通项为小=Ck"[I]=《2k,

令6-3左=0,k=2,则月=或22彳°=60,

即在、+的展开式中，常数项为60,

故答案为：60.

is.在(Y-ly的展开式中，常数项为.

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【答案】-4

【详解】，-1）4的展开式的通项&1=1（9厂］一£［=（一1丫弓.产4，，

令12-4，=0,解得厂=3,故常数项为7；=（-1）3C：=-4.

故答案为：-4.

19.在［4+1］的展开式中，常数项是.

【答案】15

【详解】由题意（6+3］的展开式的通项为却|=C>（4广=C）3「x'/=0,l,2,3,4,5,

令即r=l,则Cg3=C>3=15,所以+的展开式中的常数项为15.

故答案为：15.

20.已知（办-1=］的展开式中，常数项为60,则。的值为（）

A.2B.2,-2C.3D.3,-3

【答案】B

6--k

【详解】展开式的通项为KT=C：\axf-k=C/(-l)/•X2

3

令6——k=0,可得左=4,

2

因此，展开式中的常数项为4=c：（-1）4/=60.

则a?=4,a=±2.

故选：B.

题型三：抽用样本估计总体

21.若a，Z,…，尤"的平均数为5,方差为4,则2%-3,2x2-3,…，2尤“-3的平均数为；方差

为.

【答案】716

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【详解】因为七，/，…，X,的平均数为5,方差为4,

所以数据2%-3,2X2-3,…，2x“-3的平均数为：x=2x5-3=7,

方差为/=22x4=16.

故答案为：7；16.

22.为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志

愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在

[50,100),[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400]的频率分另IJ为工，力已知

⑴求力/的值；

(2)求样本中在[150,300)内的频数；

(3)若全校共2000名学生，请根据样本数据估计：全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于250分钟的人

数.

【答案】(1)力=0.15,f6=0.1(2)65(3)600人

【详解】(1)由图知：＜=0.001x50=0.05,工=0.006x50=0.3,

=0.5-/；-/；=0.5-0.05-0.3=0.15,

人=人=0.15,%=工=0.05,

九+九=1一(工+力+力+%+力)=1一(0.5+0.15+0.05)=0.3,

由于&=2九，则％=0」.

(2)样本中在[150,300)内的频率为力+&+八=0.3+0.2+0.15=0.65,

相应的频数为100x0.65=65.

(3)样本中在[250,400]内的频率为%+〃+%=()15+0.1+0.05=0.3,

全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于250分钟的人数估计值为：2000x0.3=600人.

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23.若西,工2,…，尤”的平均数为5,方差为4,则2%-3,2马-3,…,2%-3的平均数为；方差为.

【答案】716

【详解】因为再,马，…,x”的平均数为5,方差为4,

所以2毛一3,2乙一3,…,2x“-3的平均数为2x5-3=7,方差为2?x4=16.

故答案为：7；16

24.某地2013年调研了十万名城镇居民的税后年收入(单位：千元)情况，统计数据如下：

收入范围0〜1515〜2525〜3535〜4545〜5555〜6565〜7575〜8585〜95

占比3.9%9.3%5.8%11.5%13.5%20%18%11.6%6.4%

则该地人均税后年收入的中位数大约是()

A.46B.48C.56D.58

【答案】D

【详解】由统计图表可知3.9%+9.3%+5.8%+11.5%+13.5%=44%<0.5,

3.9%+9.3%+5.8%+11.5%+13.5%+20%=64%>0.5,

所以中位数在55〜65之间，中位数大约是55+=05-044%rxl0=58,

故选：D

25.为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式随机调查了100户居民，获得了他们每户

月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在50〜350kW・h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开区间)，

得到如下频率分布直方图：

.频率

W

0.0060----------------——

0.0048-----------------------------

0.0036-.............——

0.0024----------------------------------

0.0008-----------------------------------------1

O50100150200250300350月均用电量/(kW・h)

(1)记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，…，第6组，从第5组和第6组中任取2

户居民，求他们月均用电量都不低于300kW-h的概率；

(2)从该地区居民中随机抽取3户，设月均用电量在50〜150kW-h之间的用户数为X,以频率估计概率，求

X的分布列和数学期望E(X)；

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（3）该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于wkW-h的居民用户每

户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%.请根据此次调查的数据，估

计w应定为多少合适？（只需写出结论）.

【答案】⑴,；（2）X的分布列见解析,E（X）=0.9；（3）w应定为325合适.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，100户居民中，

第5组居民户数为100x50x0.0024=12,第6组的居民户数为100x50x0.0004=4,

所以从第5组和第6组中任取2户居民，他们月均用电量都不低于300kW-h的概率为9=圣=启=A.

（2）该地区月均用电量在50〜150kW•h之间的用户所占的频率为（0.0024+0.0036）x50=0.3,

所以由题意可知X~8（3,0.3）,X的可能取值为04,2,3,

所以尸（X=0）=（1-OB）'=0343,尸（X=1）=C；x0.3x（1-0.3）2=0.441,

尸（X=2）=C；x0.32x（1-0.3）=0.189,尸（X=3）=0.33=0.027,

所以X的分布列为

X0123

P0.3430.4410.1890.027

E（X）=3x0.3=0.9.

（3）由频率分布直方图可知月均用电量在50〜300kW・h之间的用户所占的频率为1-0.0008x50=0.96,

设月均用电量的样本数据的第98百分位数为b,贝玲e（300,350）,

所以0.96+（6-300）x0.0008=0.98=6=325,

所以卬应定为325合适.

26.已知某4个数据的平均数为6,方差为3,现又加入一个数据6,此时这5个数据的方差为（）

24161412

A.—B.—C.—D.—

5555

【答案】D

【详解】设这四个数为国,工2，工3，工4，

根据题意可得4（国+%+'3+%）=6,即%+/+%3+%4=24;

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且;[（X[-6）2+（X?-6）2+（退-6）2+（/-6）[=3,即（X[-6）2+（尤2-6）2+（尤3-6j+14-6j=12；

加入数据6以后5个数据的平均数为再+.+：+\+6=6,

故选：D

27.已知A,8两组数据，其中A：2,3,4,5,6；B-11,4,13,14,12；A组数据的方差为:

若A,8两组数据的方差相同，试写出一个。值______.

【答案】210或15

2+3+4+5+6

【详解】A组的平均数嚏=-------------------=4,

5

ll+a+13+14+12_。+50

8组的平均数P=

55

则A组的方差为

5

则B组的方差为

22222、

-l-l---+--a----+--1--35--+-1--4----+-1--2----1f—a+50hY2

解得a=10或15.

故答案为：2；10或15.

28.设数据1,2,3,4,5的第m百分位为/（加），A/={y|y=/（m）,meN,l<m<100},则集合M中元

素的个数为（）

A.5B.6C.9D.100

【答案】C

【详解】设，="加％,其中〃=5,所以i=5x〃z%,

当1W加<20时，0<i<l,贝心的比邻整数为1,所以〃加）=1；

当“7=20时，，=1,所以/（加）=上1^=1.5；

当20〈加<40时，l<z<2,贝h,的比邻整数为2,所以〃相）=2；

2+3

当机=40时，i-2,所以/（加）=J=2.所

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当40<加<60时，2<i<3,贝打的比邻整数为3,所以〃m）=3；

3+4

当机=60时，z=3,所以f（m）=2=3.5；

当60〈机<80时，3<z<4,贝I"的比邻整数为4,所以/（加）=4；

4+5

当=80时，i=4,所以f（m）=2=4.5；

当80（加<100时，4<z<5,则，的比邻整数为5,所以/'（加）=5；

当m=100时，f（m）=5-

综上，M={1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5},

故选:C.

29.下图是甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温走势图.

上温度（℃）

。1,日2口3口4了5,日6口77日日

・甲乙

记这7天甲地每天最低气温的平均数为工，标准差为、；记这7天乙地每天最低气温的平均数为X，标准

差为$2.根据上述信息，下列结论中正确的是（）

A.Xi<X1,SX<s2B.X1<X2,SX>s2C.X1>X2,s1<s2D.Xl>X2,s1>s2

【答案】B

【详解】甲地1至7日最低气温均低于乙地，则甲地最低气温平均值也会小于乙地，即工<三；

标准差时反应一组数据的波动强弱的量，

由图可知甲地最低气温明显波动性较大，则标准差值要大，即即>$2.

故选：B

30.有甲乙两组数据

甲组：1222233355668891010121313

乙组：00001123456677101414141415

求：两组数据的中位数，以及25%分位数（第一四分位数），与75%分位数（第三四分位数）.

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【答案】答案见解析

【详解】甲乙两组数据中位数均为5.5,

数据个数20,20x75%=15,因此甲组的75%分位数为至»="2=9.5,

22

乙组数的75%分位数为生■衿=四乎=12,

22

同理，甲组的25%分位数为2.5,乙组的25%分位数为1.

题型四：离散型随机变量的分布列、均值、方差

31.某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随

机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：

青少年组中年组老年组

愿意不愿意愿意不愿意愿意不愿意

第一款402080202020

第二款303060403010

第三款501080201030

假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率.

（1）从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率；

（2）从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记X为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求X的分布

列和数学期望EX；

⑶用“自=1（，=1,2,3）”表示顾客愿意购买第，款新品，"&=0（i=1,2,3）”表示顾客不愿意购买第7•款新品.直

接写出方差吗,。务党3的大小关系.

【答案】⑴0.7⑵分布列见解析，£（X）嗡⑶。©）＞。侑）=。侑）

【详解】（1）由表可知200名顾客中愿意购买第一款新品的人数为40+80+20=140人，

用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率为1施40=0.7.

301

（2）用频率估计概率，由表可知从青少年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为

30+302

从中年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为上一=3,

60+405

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从老年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为拈1rl

由题意X的可能取值为0,1,2,3,

所以X的分布列为

X0123

11199

P

20402040

c1,11c9c937

E(X)—0x----F1x-----F2x----F3x—二—

v72040204020

40+80+207

（3）用频率估计概率，由表可知顾客愿意购买第1款新品的概率为

200~Tof

30+60+303

顾客愿意购买第2款新品的概率为

2005

顾客愿意购买第3款新品的概率为———=—,

所以£信）=£侑）=lx5+0x1高=5，g）=lx|+0x（l

所以。俗）=。值）=0.21

所以。催）＞。信）=。值）.

32.有一种质地均匀的“新型”骰子，其六面中有三面点数为1,两面点数为2,一面点数为3,现连续掷两

次该骰子，则这两次掷出点数之和为奇数的概率为（）

41-52

A.-B.-C.—D.一

9293

【答案】A

15/33

【详解】记第一次掷出的点数为奇数为事件A,掷出的点数为偶数为事件工，则尸（/）=。尸0）=|,

记第二次掷出的点数为奇数为事件8,掷出的点数为偶数为事件加则='

则两次掷出点数之和为奇数为事件/n豆，

所以尸（/n耳+，ns）=尸（/n分卜尸（Tns卜尸卜尸卜尸（Tp6）

42244

=—X—+—X—=—.

66669

故选：A.

33.有一种质地均匀的“新型”骰子，其六面中有三面点数为1,两面点数为2,一面点数为3,现连续掷两

次该骰子，则这两次掷出点数之和为奇数的概率为（）

4152

A.-B.-C.-D.一

9293

【答案】A

A_O

【详解】记第一次掷出的点数为奇数为事件A,掷出的点数为偶数为事件则尸（/）==/（1）=：,

66

4_o

记第二次掷出的点数为奇数为事件3,掷出的点数为偶数为事件瓦则打⑷二1尸门户丁

则两次掷出点数之和为奇数为事件/n豆+%n3，

所以P（/c豆+1c8）=尸（/c豆）+P（1c8）=P（/）P（否）+P（N）尸（8）

42244

=-x1——X—=——

66669

故选：A.

34.现有一种检验方法，对患X疾病的人化验结果99%呈阳性，对未患X疾病的人化验结果99.9%呈阴性.我

们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率.已知一地区X疾病的患病率为0.0004,则这种检验方法在该地

区的误诊率为（）

A.0.716B.0.618C.0.112D.0.067

【答案】A

【详解】记事件/:检查结果呈阳性，事件3:被检查确实患X疾病，

由题意可知，*5）=0.0004,尸（可=0.9996,尸（/忸）=0.99,尸（N同=0.001,

所以,尸（4）=尸⑶尸［同耳讨到=0.0004x0.99-+0.9996xO.OOl=0.0013956,

16/33

因此，这种检验方法在该地区的误诊率为P(即)=需=g*=*^於。.716,

故选：A.

35.某批产品由一等品、二等品、三等品及次品构成.随机抽取20件，统计情况如下表:

等级一等品二等品三等品次品

件数10631

以频率估计概率.

(1)若从这批产品中任取一件，试估计“其为一等品或二等品”的概率；

⑵在抽取的20件产品中，随机抽取3件，求其中“既有一等品又有二等品”的概率；

(3)若改进技术后，产品为一等品的概率提升为:从这批产品中随机抽取10件产品，其中恰好有5件一等品

的概率记为Pi，恰好有7件一等品的概率记为2,请直接写出口与2的大小关系.

411

【答案】⑴小2)而⑶回<2

【详解】(1)设/="若从这批产品中任取一件，其为一等品或二等品”，

()202051

(2)设/="在抽取的20件产品中，随机抽取3件，既有一等品又有二等品”，

DzD._10x6x4+Cf0x6+10xCj_11

(3)px<p2,

因为R=C：o

A_42

所以--------<s1

Pi45

36.乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取

得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利.

(1)甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用7

局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9.已知甲、乙两人采用两种赛制各共进行了加(〃?eN*)

场比赛，请根据小概率值a=0.010的K?独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响.

(2)若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为0,没有平局.记事件“甲只要取得3局比

17/33

赛的胜利比赛结束且甲获胜”为/,事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为3,试证明:

P(A)=P⑻.

(3)甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是P(P>0.5),没有平局.若采用“赛满2〃-1局，胜方

至少取得“局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为尸(〃).若采用“赛满2〃+1局，胜方至少取得〃+1局胜利”的

赛制，甲获胜的概率记为尸(〃+1),试比较？(")与P5+D的大小.

附：K++其中〃="+6+°+l

2

P(K>k0)0.050.0250.010

k。3.8415.0246.635

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3)P(〃+D>尸(〃).

【详解】(1)由题设，赛制与甲获胜情况列联表如下,

甲获胜场数乙获胜场数

5局3胜0.8m0.2mm

7局4胜0.9m0.1mm

1.7m0.3m2m

f-rjp,2m(0.08m2-0.18m2)22m^2mic”

所以K-=——-----------------------=——,右——>6.635=>m>169.1925,

1.7mx0.3mxmxm5151

当机W170时，根据小概率值a=0.010的K,独立性检验，推断赛制对甲获胜的场数有影响.

当机<170时，根据小概率值a=0.010的K,独立性检验，没有证据认为推断赛制对甲获胜的场数有影响.

(2)由题意,P(A)=p3+p-C^2(l-p)+p-Cy(l-pY

—p3+3p3(l-p)+6p3(i—p)2

=6p5-l5p4+10p3,

P(2)=C；/(1-p)2+C：p4(l-0+C»5(l-

=[07/(]_p)2+5p4(]_,)+p5

-IQp5—20p4+10p3+5p4-5p5+p5

=6p5-15p4+10p3,

18/33

综上，P(A)=P(B),得证.

(3)考虑赛满2〃+1局的情况，以赛完2〃-1局为第一阶段，第二阶段为最后2局，

设“赛满2〃+1局甲获胜”为事件C,结合第一阶段结果，要使事件C发生，有两种情况：

第一阶段甲获胜，记为4；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了〃-1局，记为4，

c=&c+(C)=(4C)+(4C),

则A2C,得尸尸尸

若第一阶段甲获胜，即赛满2"-1局甲至少胜“局，有甲至少胜〃+1局和甲恰好胜〃局两种情况，

甲至少胜〃+1局时，无论第二阶段的2局结果如何，最终甲获胜；

甲恰好胜〃局时，有可能甲不能获胜，此时第二阶段的2局比赛甲均失败，概率为C:/'(l-p)"T(l-p)2,

所以p(4O=P(〃)一(I-py-1(I-p)2,

若第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了1局，那么要使甲最终获胜，第二阶段的2局甲全胜，得

2

尸(40=尸(4)P(C|4)=(I-pyP,

所以尸(〃+i)=尸(以=尸5)-Ga。"。一p)"T(i了+c^p-Xi-pyp2,

则P(n+1)-尸(〃)=C"(1_p)"p2_(1_(1,p)2

=c：〃"+|(i—一弓1。"(1一。)向

n

=c^_lp(i-py[p-(i-p)]

=2CD"(T，

由p>g,所以2G“一/'(1一必"5-；)>0,得尸("+1)>尸(〃).

37.某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对4SC三道题目的概率以及做对时

获得相应的奖金如表所示.

题目ABC

4j_J_

做对的概率

54

获得的奖金/元204080

规则如下：按照4民。的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.

[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]

(1)求甲没有获得奖金的概率；

19/33

(2)求甲最终获得的奖金X的分布列及期望；

(3)如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望

最大？(不需要具体计算过程，只需给出判断)

【答案】(1)；(2)分布列见解析，40(元)(3)不同，按照4SC的顺序获得奖金的期望最大，理由见解析.

【详解】(1)甲没有获得奖金，则题目/没有做对，

41

设甲没有获得奖金为事件"，则尸(M)=l-g=M

(2)分别用4瓦。表示做对题目48,C的事件，则48,C相互独立.

由题意，X的可能取值为0,20,60,140.

-41-4/1、2

P(X=0)=JPU)=l--=-;P(^=20)=PUS)=-x^l--l=-;

P(X=60)=P(ABC)=1x一京P(X=140)=P(ABC)=}.

所以甲最终获得的奖金X的分布列为

X02060140

231

P

551010

1231

E(X)=0x—+20x—+60x—+140x—=40(元).

V7551010

(3)不同，按照的顺序获得奖金的期望最大，理由如下:

由(2)知，按照48,。的顺序获得奖金的期望为40元，

若按照4GB的顺序做题,

则奖金X的可能取值为0,20,100,140.

P(X=0)=l于4下1"=2。)=4川(f下3

P(X=100)=-x-x|1--U—;P(X=140)=-x-x-=—.

54I1054210

1311

»M>30X-+20X-+100X^)+140X—=36x;；

若按照反4c的顺序做题，

则奖金X的可能取值为0,40,60,140.

「(x=o)=w；p(x=4o)=m

20/33

P(X=60)=|xlx^l-^=Api40)1411

；j(X==—x—x—=

25410,

1131

故期望值为0x—+40x—+60x—+140x——=36元;

2101010

若按照8,C,N的顺序做题,

则奖金X的可能取值为0,40,120,140.

"=0)=ifP(X=40)=卜卜一5.

P(X=120)=?*「]=—;P(X=140)=L141

—X—=一

4024510

1131

故期望值为Ox—+40x——+60x——+140x—=36元，

2101010

若按照C,42的顺序做题,

则奖金X的可能取值为0,80,100,140.

尸(X=°)=l-；=>(X=80)