2024高考数学二轮复习分层特训卷热点问题专练九球文

PAGEPAGE2热点(九)球1．(四棱柱外接球体积)已知底面边长为1，侧棱长为eq\r(2)的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A.eq\f(32π,3)B．4πC．2πD.eq\f(4π,3)答案：D解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r＝eq\f(1,2)eq\r(12＋12＋\r(2)2)＝1，所以V球＝eq\f(4π,3)×13＝eq\f(4π,3)，故选D.2．(三棱柱外接球)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球OA.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)答案：C解析：如图，过球心作平面ABC的垂线，则垂足为线段BC的中点M.易知AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＋62)＝eq\f(13,2)，故选C.3．(球体＋体积)如图，有一个水平放置的透亮无盖的正方体容器，容器高8cm，现将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，假如不计容器的厚度，则球的体积为()A.eq\f(500π,3)cm3B.eq\f(866π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3D.eq\f(2048π,3)cm3答案：A解析：设球半径为Rcm，依据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面的距离为(R－2)cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500π,3)cm3，故选A.4．(球与三视图)某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为()A.eq\f(16π,3)B．4πC．3D．以上都不对答案：A解析：由题意可知该几何体是轴截面为正三角形的圆锥，底面圆的直径为2，高为eq\r(3)，∴外接球的半径r＝eq\f(1,cos30°)＝eq\f(2\r(3),3)，∴外接球的表面积为4×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2＝eq\f(16,3)π，故选A.5．(球与圆锥)如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.eq\f(16,3)πB.eq\f(11,2)πC.eq\f(17,3)πD.eq\f(35,6)π答案：A解析：该几何体可以看成是一个半球上叠加一个eq\f(1,4)圆锥，然后挖掉一个相同的eq\f(1,4)圆锥所形成的组合体，所以该几何体的体积和半球的体积相等．由题图可知，半球的半径为2，则该几何体的体积V＝eq\f(2,3)πr3＝eq\f(16π,3).故选A.6．(三棱锥外接球＋体积)已知三棱锥S－ABC的全部顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.eq\f(\r(2),6)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),3)D.eq\f(\r(2),2)答案：A解析：在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，所以SA＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，同理SB＝eq\r(3).过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因为△SAC≌△SBC，所以BD⊥SC，又因为BD∩AD＝D，BD⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，所以SC⊥平面ABD，且△ABD为等腰三角形，因为∠ASC＝30°，所以AD＝eq\f(1,2)SA＝eq\f(\r(3),2)，则△ABD的面积为eq\f(1,2)×1×eq\r(AD2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),4)，可得三棱锥的体积为eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×2＝eq\f(\r(2),6)，故选A.7．(三棱柱内切球＋最值)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则VA．4πB.eq\f(9π,2)C．6πD.eq\f(32π,3)答案：B解析：由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球的体积V最大，则需球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r，易知eq\f(1,2)×6×8＝eq\f(1,2)×(6＋8＋10)·r，所以r＝2，此时2r＝4>3，不合题意．因此当球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大，由2R＝3，得R＝eq\f(3,2)，故球的最大体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π，故选B.8．(球体＋表面积)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是eq\f(28π,3)，则它的表面积是()A．17πB．18πC．20πD．28π答案：A解析：由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球切掉eq\f(1,8)球(被过球心O且相互垂直的三个平面)所剩的组合体，其表面积是球面面积的eq\f(7,8)和三个eq\f(1,4)圆面积之和．设球的半径为R，则eq\f(7,8)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(28π,3)⇒R＝2.故几何体的表面积S＝eq\f(7,8)×4πR2＋eq\f(3,4)πR2＝17π，故选A.9．(三棱锥外接球＋体积)已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，且AB＝eq\r(3)，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为()A．3eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(3)D．1答案：C解析：由题可知线段AB肯定在与直径SC所在直线垂直的小圆面上，作过线段AB的小圆面交直径SC于点D，设SD＝x，则DC＝4－x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S－ABD和C－ABD，在△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD＝BD＝eq\f(\r(3),3)x，又因为SC为直径，所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DCB＝∠DCA＝60°，在△BDC中，BD＝eq\r(3)·(4－x)，所以eq\f(\r(3),3)x＝eq\r(3)·(4－x)⇒x＝3，所以AD＝BD＝eq\r(3)＝AB，即三角形ABD为正三角形，则V＝eq\f(1,3)×S△ABD×4＝eq\r(3)，故选C.10．(三棱锥外接球＋表面积)如图，四边形ABCD是边长为2eq\r(3)的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是()A．6πB．12πC．18πD．9eq\r(2)π答案：C解析：因为∠APE＝∠EPF＝∠APF＝90°，所以可将四面体补成一个长方体(PA，PE，PF是从同一顶点动身的三条棱)，则四面体和补全的长方体有相同的外接球，设其半径为R，由题意知2R＝eq\r(\r(3)2＋\r(3)2＋2\r(3)2)＝3eq\r(2)，故该球的表面积S＝4πR2＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2＝18π，故选C.11．(正方体内切球＋体积)设球O是正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，若平面ACD1截球O所得的截面面积为6π，则球OA.eq\f(3,2)B．3C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)答案：B解析：如图，易知直线B1D过球心O，且B1D⊥平面ACD1，不妨设垂足为点M，正方体棱长为a，则球半径R＝eq\f(a,2)，易知DM＝eq\f(1,3)DB1，所以OM＝eq\f(1,6)DB1＝eq\f(\r(3),6)a，所以截面圆半径r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2－OM2)＝eq\f(\r(6),6)a，由截面圆面积S＝πr2＝6π，得r＝eq\f(\r(6),6)a＝eq\r(6)，即a＝6，所以球O的半径R＝eq\f(a,2)＝3，故选B.12．(三棱锥外接球＋表面积)已知正三棱锥S－ABC的顶点均在球O的球面上，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，若三棱锥的体积为2eq\r(3)，则球O的表面积为()A．16πB．18πC．24πD．32π答案：A解析：设正三棱锥的底面边长为a，外接球的半径为R，因为正三棱锥的底面为正三角形，边长为a，所以AD＝eq\f(\r(3),2)a，则AO＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(\r(3),3)a，所以eq\f(\r(3),3)a＝R，即a＝eq\r(3)R，又因为三棱锥的体积为2eq\r(3)，所以eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2R＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3)R)2×R＝2eq\r(3)，解得R＝2，所以球的表面积S＝4πR2＝16π，故选A.13．(三棱锥外接球＋表面积)已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝eq\r(2)，则球O的表面积等于________．答案：4π解析：将三棱锥S－ABC补成以SA、AB、BC为棱的长方体，易得其对角线SC为球O的直径，即2R＝SC＝2⇒R＝1，所以表面积为4πR2＝4π.14．(圆柱外接球＋体积)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．答案：eq\f(3π,4)解析：画出圆柱的轴截面ABCD，如图，O为球心，则球半径R＝OA＝1，球心究竟面圆的距离为OM＝eq\f(1,2)，所以底面圆半径r＝eq\r(OA2－OM2)＝eq\f(\r(3),2)，故圆柱体积V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2×1＝eq\f(3π,4).15．[2024·武汉市中学毕业生四月调研测试](四面体外接球＋半径)在四面体ABCD中，AD＝DB＝AC＝CB＝1，则当四面体的体积最大时，它的外接球半径R＝________.答案：eq\f(\r(15),6)解析：当平面ADC与平面BCD垂直时，四面体ABCD的体积最大，因为AD＝AC＝1，所以可设等腰三角形ACD的底边CD＝2x，高为h，则x2＋h2＝1，此时四面体的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2x×h2＝eq\f(1,3)x(1－x2)，则V′＝eq\f(1,3)－x2，令V′＝0，得x＝eq\f(\r(3),3)，从而h＝eq\f(\r(6),3)，则CD＝AB＝eq\f(2\r(3),3)，故可将四面体ABCD放入长、宽、高分别为a，b，c的长方体中，如图，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝1，,b2＋c2＝1，,a2＋c2＝\f(4,3)，))解得a2＝c2＝eq\f(2,3)，b2＝eq\f(1,3)，则长方体的体对角线即四面体ABCD的外接球直径，(2R)2＝a2＋b2＋c2＝eq\f(5,3)，R＝eq\f(\r(15),6).16．[2024·福州四校高三年级联考](三棱锥外接球＋体积)已知三棱锥A－BCD的全部顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为eq\r(3)，BC＝3，