2025版高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.4直角三角形的射影定理练习含解析新人教A版选修4-1VIP

PAGE1-四直角三角形的射影定理课时过关·实力提升基础巩固1如图,在矩形ABCD中,若AB=4,BC=6,则线段AC在AB上的射影长等于()A.4 B.6 C.2 D.213解析∵BC⊥AB,∴AC在AB上的射影是AB.答案A2如图,在△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于点D,若BD·DC=16,则AD等于()A.2 B.4 C.16 D.不确定解析由题意知,AD2=BD·DC=16,故AD=4.答案B3在Rt△MNP中,MN⊥MP,MQ⊥PN于点Q,如图,若NQ=3,则MN等于()A.3PN B.13C.3PN D.9解析∵MN⊥MP,MQ⊥PN,∴MN2=NQ·PN.又NQ=3,∴MN=NQ·答案C4在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,若ACAB=34,则BDA.34 B.43 C.16解析如图,由射影定理,得AC2=CD·BC,AB2=BD·BC,∴AC即CDBD=916答案C5如图,已知在Rt△ABP中,∠ABP=90°,BC⊥AP,垂足为点C,且AB=26,AC=4,则PB=.

解析∵在Rt△ABP中,∠ABP=90°,BC⊥AP,∴AB2=AC·AP,即(26)2=4AP,解得AP=6.在Rt△ABP中,由勾股定理,得BP=AP2-A答案236已知PA是☉O的切线,切点为A,PA=2cm,AC是☉O的直径,PC交☉O于点B,AB=3cm,则△ABC的面积为cm2.

解析如图,由于PA是☉O的切线,AC是☉O的直径,则PA⊥AC,AB⊥BC,则PB=PA2-又AB2=PB·BC,所以(3)2=1×BC,所以BC=3cm.所以△ABC的面积为12AB·BC=12×3×3=3答案37如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于点E,若AE=1,EC=8,则矩形ABCD的面积S=.

解析在Rt△ADC中,∠ADC=90°,DE⊥AC,∴DE2=AE·EC=1×8=8,解得DE=22.AC=AE+EC=1+8=9.矩形ABCD的面积S=2S△ADC=2×12×9×22=182答案1828如图,已知AD是△ABC的高,DP⊥AB,DQ⊥AC,垂足分别为点P,Q.求证:AP·AB=AQ·AC.分析应用射影定理转化为证明AP·AB=AD2,AQ·AC=AD2.证明∵DP⊥AB,DQ⊥AC,AD⊥BC,∴在Rt△ADB中,有AD2=AP·AB.在Rt△ADC中,有AD2=AQ·AC.∴AP·AB=AQ·AC.9如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.求证:AE·BF·AB=CD3.分析分别在Rt△ABC,Rt△ADC,Rt△BDC中运用射影定理,再将线段进行代换,就可以实现等积式的证明.证明因为在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,所以CD2=AD·BD,所以CD4=AD2·BD2.又因为在Rt△ADC中,DE⊥AC,在Rt△BDC中,DF⊥BC,所以AD2=AE·AC,BD2=BF·BC,所以CD4=AE·BF·AC·BC.又因为∠A=∠A,∠ACB=∠ADC=90°,所以△ABC∽△ACD.所以BCCD即AC·BC=AB·CD,所以CD4=AE·BF·AB·CD.所以AE·BF·AB=CD3.10如图,已知线段a,b,求作线段c,使b是a和c的比例中项,并加以证明.作法如图.(1)作线段AB=a,过点B作AB的垂线l,在l上取一点C,使BC=b;(2)连接AC,过点C作AC的垂线l',l'交AB的延长线于点D,则线段BD为所求作线段c.证明:∵AC⊥CD,CB⊥AD,∴CB2=AB·BD.∴b2=ac,即线段c使得b是a和c的比例中项.实力提升1已知在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,若AD=p,BD=q,则tanA的值是()A.p∶q B.pq∶q C.pq∶p D.p解析由射影定理得CD2=AD·BD=pq,∴CD=pq.∴tanA=CDAD答案C2如图,在Rt△MNP中,MN⊥MP,MQ⊥PN于点Q,若MN=3,PN=9,则NQ等于()A.1 B.3 C.9 D.27解析∵MN2=NQ·NP,∴32=9NQ.∴NQ=1.答案A3如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若AD=3,BD=2,则AC∶BC的值是()A.3∶2 B.9∶4C.3∶2 解析在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,由射影定理知,AC2=AD·AB,BC2=BD·AB.又AD=3,BD=2,∴AB=AD+BD=5,∴AC2=3×5=15,BC2=2×5=10.∴ACBC=1510=3答案C4在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若AD=4,sin∠ACD=45,则CD=,BC=.

解析在Rt△ADC中,AD=4,sin∠ACD=45由sin∠ACD=ADAC,得AC=ADsin∠由射影定理知,AC2=AD·AB,即AB=AC∴BD=AB-AD=254-4=9由射影定理知,CD2=AD·BD=4×94=∴CD=3.由射影定理知,BC2=BD·AB,∴BC=BD·答案3155在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若CD=6,AB=5,则AD=.

解析∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴CD2=AD·DB.∵CD=6,∴AD·DB=6.又AB=5,∴DB=5-AD.∴AD(5-AD)=6,解得AD=2或3.答案2或36如图,四边形ABCD是正方形,E为AD上一点,且AE=14AD,N是AB的中点,NF⊥CE于点F.求证:FN2=EF·FC.证明如图,连接NE,NC.设正方形的边长为a.∵AE=14a,AN=12a,∴NE=∵BN=12a,BC=a,∴NC=a∵DE=34a,DC=a∴EC=9a∴NE2=5a216,NC2=5a24∴NE2+NC2=25a∴NE2+NC2=EC2.∴EN⊥NC,△ENC是直角三角形.又NF⊥EC,∴NF2=EF·FC.★7如图,分别在正方形ABCD的边BC和CD上取点H和M,且BHHC=CMMD=12,AH和BM证明在正方形ABCD中,∵BHHC=CMMD∴BHAB又∠ABH=∠C=90°,∴△ABH∽△BCM,∠PBH=∠BAH.又∠BAH+∠BHA=90°,∴∠PBH+∠BHP=90°,即BP⊥AH.在Rt△ABH中,设BH=k,则AB=3k,AH=10k.∴AB2=AP·AH,BH2=PH·AH.∴AB∴AP=9PH.★8如图,在△ABC中,D,F两点分别在AC,BC上,且AB⊥AC,AF⊥BC,BD=DC=FC=1.求AC的长.解在△ABC中,设AC=x,∵AB⊥AC,AF⊥BC,又FC=1,依据射影定理,得AC2=FC·BC,即BC=x2.再由射影定理,得AF