2024秋高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式练习含解析新人教A版必修5

PAGEPAGE1第1课时等差数列的概念与通项公式A级基础巩固一、选择题1．有穷等差数列5，8，11，…，3n＋11(n∈N*)的项数是()A．n B．3n＋11C．n＋4 D．n＋3解析：在3n＋11中令n＝1，结果为14，它是这个数列的第4项，前面还有5，8，11三项，故这个数列的项数为n＋3.答案：D2．若{an}是等差数列，则由下列关系确定的数列{bn}也肯定是等差数列的是()A．bn＝aeq\o\al(2,n) B．bn＝an＋n2C．bn＝an＋an＋1 D．bn＝nan解析：{an}是等差数列，设an＋1－an＝d，则数列bn＝an＋an＋1满意：bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝an＋2－an＝2d.答案：C3．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝()A．12 B．14 C．16 D．18解析：设{an}的公差为d，因为d＝a3－a2＝2，所以a1＝a2－d＝0，所以an＝0＋2(n－1)＝2(n－1)，所以a10＝2×(10－1)＝18.答案：D4．2018是等差数列4，6，8，…的()A．第1005项 B．第1006项C．第1007项 D．第1008项解析：由题易知通项an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，令2018＝2n＋2，所以n＝1008.答案：D5．若lg2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值等于()A．0 B．log25 C．32 D．0或32解析：依题意得2lg(2x－1)＝lg2＋lg(2x＋3)，所以(2x－1)2＝2(2x＋3)，所以(2x)2－4·2x－5＝0，所以(2x－5)(2x＋1)＝0，所以2x＝5或2x＝－1(舍)，所以x＝log25.答案：B二、填空题6．已知a，b，c成等差数列，那么二次函数y＝ax2＋2bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点有________个．解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，又因为Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0，所以二次函数的图象与x轴的交点有1或2个．答案：1或27．已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝________．解析：设公差为d，因为eq\f(1,a6)－eq\f(1,a4)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,12)＝2d，所以d＝eq\f(1,24).同理，eq\f(1,a10)－eq\f(1,a6)＝4d＝4×eq\f(1,24)＝eq\f(1,6)，所以a10＝eq\f(12,5).答案：eq\f(12,5)8．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为________．解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，令an＝bn，得3n－1＝4n－6，所以n＝5.答案：5三、解答题9．等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解：(1)设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.解得a1＝1，d＝eq\f(2,5).所以{an}的通项公式为an＝eq\f(2n＋3,5).(2)由(1)知，bn＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2n＋3,5))).当n＝1，2，3时，1≤eq\f(2n＋3,5)＜2，bn＝1；当n＝4，5时，2≤eq\f(2n＋3,5)＜3，bn＝2；当n＝6，7，8时，3≤eq\f(2n＋3,5)＜4，bn＝3；当n＝9，10时，4≤eq\f(2n＋3,5)＜5，bn＝4.所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10．已知数列{an}满意an＋1＝eq\f(1＋an,3－an)(n∈N*)，且a1＝0.(1)求a2，a3的值．(2)是否存在一个实数λ，使得数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－λ)))为等差数列？请说明理由．解：(1)a2＝eq\f(1,3)，a3＝eq\f(1,2).(2)存在．理由：假设存在一个实数λ，使得数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－λ)))为等差数列，则eq\f(1,a1－λ)，eq\f(1,a2－λ)，eq\f(1,a3－λ)成等差数列，所以eq\f(2,a2－λ)＝eq\f(1,a1－λ)＋eq\f(1,a3－λ)，所以eq\f(2,\f(1,3)－λ)＝eq\f(1,0－λ)＋eq\f(1,\f(1,2)－λ)，解得λ＝1.因为eq\f(1,an＋1－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,\f(1＋an,3－an)－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(3－an,2（an－1）)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1－an,2（an－1）)＝－eq\f(1,2)，又eq\f(1,a1－1)＝－1，所以存在一个实数λ＝1，使得数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－λ)))是首项为－1，公差为－eq\f(1,2)的等差数列．B级实力提升1．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于()A．0 B．37 C．100 D．－37解析：设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以{an＋bn}为等差数列，又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝100.答案：C2．在数列{an}中，a1＝3，且对于随意大于1的正整数n，点(eq\r(an)，eq\r(an－1))都在直线x－y－eq\r(3)＝0上，则an＝________．解析：由题意得eq\r(an)－eq\r(an－1)＝eq\r(3)，所以数列{eq\r(an)}是首项为eq\r(3)，公差为eq\r(3)的等差数列，所以eq\r(an)＝eq\r(3)n，an＝3n2.答案：3n23．已知数列{an}满意a1＝4，an＋1＝4－eq\f(4,an)，其中n∈N*.设bn＝eq\f(1,an－2).(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明：因为bn＋1＝eq\f(1,an＋1－2)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,an)))－2)＝eq\f(an,2an－4)，所以bn＋1－bn＝eq\f(an,2（an－2）)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an－2,2（an－2）)＝eq\f(1,2)，b1＝eq\f(1,a1－2)＝eq\f(1,2)，所以数列{bn}是首项为eq\f(1,2)，公差为eq\f(1,2)的等差数列．(2)由(1)知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an