2025高考数学复习易错题专练：函数与导数（试卷+答案解析）

专题02函数与导数

考点01函数的定义域

1.(2025高三・全国•专题练习)下列函数中，定义域为［0,m)的是()

A.”x)=e*B./(X)=A/3'-1-xC./(x)=-^D./(x)=|x|

【答案】B

【分析】求出各选项中函数的定义域，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，函数/(力=炉的定义域为R；

对于B选项，由3*-120,得xNO,故函数==T-x的定义域为［0,+8)；

对于C选项，函数/(无)=揄定义域为国尤力。｝；

对于D选项，函数/(x)=|x|的定义域为R.

故选：B.

2.(24-25高三上•河北沧州•期中)函数〃x)=—1+ln(2x+2)的定义域为()

X-1

A.(1,+8)B.(0,—l)U(l,+8)C.y,l)D.(―l,l)U(l,+s)

【答案】D

x—1w0

【分析】由解析式可得函数的定义域应满足2x+2＞。,求解即引

【详解】函数"同=工+111(2抖2)的定义域应满足:

x-1

%—1w0

2x+2＞。'解得"I且"1,

所以函数〃X)=—1+ln(2x+2)的定义域为(-U)U(l,+8).

x-1

故选:D.

3.已知函数〃无尸去弓+乒^,则函数g(x)=/(2-i)+/［£(的定义域为()

A.B.

C.°4D.(0,1]

【答案】A

【分析】先求出/(x)的定义域，然后由抽象函数的定义域的求法求解即可.

1

【详解】因为〃尤)=+，4-x,

x-2>0

由“、八得：2Vx<4,

4-x>0

所以的定义域为:(2,4],

2<2V+1<40<x<l

3

由，3得33,所以:WxWl,

2<-<4-<x<—4

x142

故g(x)=/(2，+)+dj)的定义域为:I-

故选：A

易错分析：已知函数於)的定义域为切，求力g(x)]的定义域应由aWg(x)C求得.

/(2%)

4.己知函数/(©的定义域为[3,6],则函数>=

flogl(2-x)的定义域为(

A.B.2C.D.

*I*P2

【答案】B

【分析】由函数的定义域得到2元的范围，根据分母不为。及被开方数非负得到关于九的不等式，求出不等

式的解集.

【详解】解：由函数/(X)的定义域是[3,6],得到臻如6,

3

士触3

3毅电尤62

故，2-x>0即<2>x

logi(2-x)>01<x<2

2

3

解得：］,,%<2；

所以原函数的定义域是：|，2I

故选：B.

【点睛】本题考查学生掌握复合函数的定义域，考查了对数不等式的解法，属于基础题.

5.已知函数/(x)的定义域为(2,+8),值域为R,贝|()

A.函数函(尤2+2)的定义域为R

B.函数/卜2+2)-2的值域为R

C.函数/'(尤2+2X+3)的定义域和值域都是R

D.函数/(，(》))的定义域和值域都是R

【答案】B

【分析】根据题意，由抽象函数单调性的求解，逐一判断，即可得到结果.

【详解】对于A选项：令炉+2>2,可得"0,所以函数了(丁+2)的定义域为{x|xwO},故A选项错误；

对于B选项：因为/(x)的值域为R,f+2>2,所以/(Y+2)的值域为R,可得向下平移两个单位的函数

f(x2+2)-2的值域也为R,故B选项正确；

对于C选项：令/+2X+3=(X+1)2+2,得xw-1,所以函数/(f+2x+3)的定义域为{x|xwT},故c选

项错误；

对于D选项：若函数/(/(x))的值域为R,则/(尤)>2,此时无法判断其定义域是否为R,故D选项错误.

故选：B

6.(2025高三・全国・专题练习)已知函数“X)的定义域为[-3,3],则函数g(司=/匚2)的定义域为.

【答案】[-5,-2)U(-21

【分析】根据〃尤)的定义域为[-3,3],得到〃x+2)的定义域为[-5』，再由x+2*0求解.

【详解】解：因为的定义域为-3,3],

贝IJX+2E[-3,3],即九目—5』],

所以/(X+2)的定义域为[-5』，

又无+2w0,

所以函数g(x)=T；)的定义域为[-5,-2)U(-2,l].

故答案为：[-5,-2)U(-2』

考点02函数的单调性

1.函数/(x)=j3+2x—-的单调递增区间是()

A.(-oo,l]B.[L+oo)C.[1,3]D.[-1,1]

【答案】D

【分析】先求出/(x)定义域，再利用二次函数单调性判断出结果.

【详解】函数/(x)=j3+2x_f的定义域需要满足3+2X-弘20,解得了(x)定义域为

因为y=3+2x-V在卜词上单调递增，所以/(x)=，3+2A*在[-1,1]上单调递增,

故选：D.

易错分析：求函数的单调区间应先求函数的定义域，因为单调区间一定是函数定义域的子

集.

2.函数>=不一~7的单调增区间为()

4+3x-x

A.c.和（4,+s）

【答案】C

【分析】由4+3x-f#0可得xhT且然后求出、=4+3》-必的减区间即可.

【详解】由4+3尤一/力0可得XK—1且xw4,

3

因为y=4+3x-Y开口向下，其对称轴为x=5，

所以y=4+3x-尤2的减区间为之41口(4,小)

所以y=—~7的单调增区间为仁，4〕和(4,+8)

4+3x-x|_2)

故选：c

3.(2025高三•全国•专题练习)已知函数/(x)=(2a-l)log“x(。>0且"1)在(0,+s)上单调递增，则实数

。的取值范围是()

A.(L+8)B.(0,1)

11

C.(-,1)U(1,+«>)D.(O,-)Ud,+^)

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用对数型复合函数单调性列式求解即得.

fO<a<1fa>11

【详解】由函数/(x)=(2a-l)log.x在(0,+⑹上单调递增，得.，八或.1八，解得0<“<；或

[2a-l<0[2a-l>02

实数。的取值范围是(0,；)U(L小).

故选：D

易错分析：函数在（。,+8）上单调递增，则函数一定在区间Q+⑹上有意义.

4.（24-25高三上•陕西渭南•阶段练习）若函数〃x）=logo,5（依-巧在区间（-L。）上单调递增，则。的取值

范围是（）

A.（0,2]B.[—2,0）C.[2,+oo）D.（―°o,—2]

【答案】D

【分析】利用复合函数的单调性，结合对数函数、二次函数的单调性即可求解.

【详解】由于y=log。/在（。，+8）上单调递减,令i=+办，xe（-l,0）,

因为y=log。/为减函数，又"X）=logo-5（依--）在区间（-1,0）上单调递增，

由复合函数的单调性法则可知，Z=-X2+◎在（—1,0）上单调递减，

且好一/+公>0在（—1,。）上恒成立，因为公一尤2+6为二次函数，开口向下，

对称轴为彳=晟，由y-Y+巾在（T,0）上单调递减，可得解得aV—2,

由/■=+ax>0在（一1,。）上恒成立，即内>必，1,0）,

可得a<x在（TO）上恒成立，则a<-l,

综上，实数。的取值范围为

故选：D.

5.（2024.湖北.二模）已知函数/（"^^（"-）在1+⑹上单调递增，则。的取值范围是（）

A.（1,+<»）B.[in2,+oo）C.（2,+oo）D.[2,+oo）

【答案】C

【分析】先由题设条件证明a>2,再验证a>2时条件满足即可.

【详解】若/⑴=log5（优-2）在[1,+8）上单调递增，

则必然在x=l处有定义，所以"-2>0，即。>2；

若a>2,贝!I当时a*-22q-2>0，所以〃x）在[L+°o）上有定义，

再由a>1知"-2在R上单调递增，所以/（x）在[1,+⑹上单调递增.

故选：C.

6.(24-25高三上•河南许昌•期中)已知函数/(x)=lg，-4x-5)在上单调递增，则a的取值范围是()

A.(-oo,-l]B.(-co,2]C.[2,+8)D,[5,+00)

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性、结合对数型复合函数的单调性列不等式求解作答.

【详解】由X2-4X-5>0=(X+1)(X-5)>0=X<-1或X>5.

所以函数/(x)在(-8,-1)上单调递减，在(5,+«)上单调递增.

又函数/(x)在(。，内)上单调递增，所以。大5.

即。的取值范围为：[5,+功.

故选：D

7.(24-25高三上・四川眉山・期中)命题P：〃尤)=[(：+?1叱+?一"一：'一2<尤<一1在％€(-2,2]上为减函数,

lx+2〃x—7,—1WxW2

命题q:g(x)="?在(1,+e)为增函数，则命题"是命题4的()条件

X-1

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要

【答案】A

【分析】根据分段函数f(x)的单调性得到不等式得到-5Wa<T,分离常数后，由g(尤)的单调性得到a<-4,

结合集合的包含关系得到P是4的充分不必要条件.

(a+4)ln(>x+2)工—a—1,_2Vx<_1要在］上单调递减,

【详解】〃x)=LIAT2xe(z-42

-->2

2

则Q+4<0,解得一5«a<T,

q：g(x)=竺土l==a+*在。,+8)为增函数，贝l]4+a<0,解得a<T,

因为-54a<T是a<T的真子集，故命题P是命题4的充分不必要条件.

故选：A

易错分析：分析分段函数的单调性时要注意两方面，一是各段的单调性，二是分段处函数

值的大小关系.

8.（24-25高三上•湖南长沙•期末）已知〃x）=1°："）x+L：<l的最小值是〃i）,那么a的取值范围是（）

.\ogax,x>l

A.看3）B.（0,3）C.（1,3）D.（3,4]

【答案】D

【分析】因为函数〃尤）有最小值/（I）,所以当x<l时，函数单调递减，当尤21时，函数/（x）单调递

增，再结合（3-a）+121og“l,即可解得结果.

【详解】因为函数〃制='一"）"+了<1的最小值是川），

[logax,x>l

所以当x<l时，函数/'（X）单调递减，即3-a<0,解得a>3①

当xNl时，函数/（X）单调递增，即。>1②

又因最小值为/⑴，得（3-a）+121og“l,解得aV4③，联立①②③可得3<aV4.

故选：D

考点03导数的几何意义

1.（24-25高三上•黑龙江•期末）设函数〃x）=sin（2x+g],则曲线y=〃x）在卜山处的切线方程为（）

A.2x+2^y+y/3-0B.x+2y—A/3=0

C.x+2y+\/3=0D.2%+2y-石=0

【答案】D

【分析】先求出导函数，再得出切线的斜率进而得出点斜式方程即可.

【详解】由题意得:（X）=2COS（2X+3^,

于是当x=0时，曲线y=f（x）在点口，乎]处的切线斜率为％=y'L,=2cos1=-1,

此时切线方程为y-5=-（x-。），即2x+2y-8=0.

故选:D.

2.过坐标原点作曲线y=ei+l的切线，则切线方程为（）

A.丁=尤B.y=2xC.y=\xD.y=

e

【答案】A

【分析】设切点坐标为9e5+1),求得切线方程为y-(e-2+i)=e-2(xT),把原点(0,0)代入方程，得到

«-l)e”2=l,解得r=2,即可求得切线方程.

【详解】由函数y=eT+i,可得y=e-,

设切点坐标为(r,e-2+i),可得切线方程为广©-2+1)=/2(尤一),

把原点(0,0)代入方程,可得0-(e-2+l)=e-2(0T),即”1对々=1,

解得/=2,所以切线方程为y-(e°+l)=e°(x-2),即丁=工

故选：A.

易错分析：求曲线的切线方程时要区分在P点和过P点的切线的不同.

3.(2024.湖南.模拟预测)曲线y=ln2x在点g,0)处的切线方程为()

A.2x—y+l=0B.2x—y—1=0C.2x—y+2=0D.2x—y—2=0

【答案】B

【分析】根据导数的几何意义求解即可.

【详解】由题意，y=ln2x的导函数y=:，故曲线y=ln2x在点6,0)处的切线斜率为4=2,

贝U切线方程y=2(x-g1=2x-l,即2x-y-l=0,

故选：B.

4.(2024•河北邯郸・二模)设函数=x++的图像与x轴相交于点尸，则该曲线在点尸处的切线方程

为()

A.>=一九B.y=-x-lC.y=0D.y=x-l

【答案】C

【分析】令/(x)=0可计算出切点坐标，结合导数的几何意义可得切线斜率，即可得解.

【详解】令X+士=0,即x(x+2)+l=0,即(x+l)2=0,解得x=T,

故P(T。)，加)=1-4，则「(T)=「p^=°，

则其切线方程为：y-f(i)=r(-i)^+i),即y=o.

故选：c.

5.（2023・全国甲卷・高考真题）曲线>=三在点[1,e

处的切线方程为（）

ee_eee3e

A.y=­xB.y=—xC.y=一犬+一D.y=—x+——

424424

【答案】c

【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方

程即可求解.

【详解】设曲线y=工在点（舟处的切线方程为

x+1k2

因为y=工，

x+1

xex

所以y=

(x+以

所以左=y'

所以y_'|="|（xT）

所以曲线丫=工在点处的切线方程为y=

■x+lI2J44

故选：C

6.（2024•河南信阳•三模）动点P在函数>=111（4-彳）-111；»:的图像上，以尸为切点的切线的倾斜角取值范围

是（）

八兀[「八乃]「3兀、

A.0,—B.0,丁u——,71

[4」L4jL4J

f7137I-I「3兀、

124JL4J

【答案】C

【分析】求出定义域，求导，结合基本不等式得到y'w-i,求出以尸为切点的切线的倾斜角取值范围.

[x>0,、

【详解】令4r>o,解得。。<4,故〉=ln（4—%）—Inx的定义域为（0,4）,

,11-4-41

y~----------------=-------------W-------------------——I

4一%x（4-x）x[4一%+%],当且仅当4-%=龙，即兀=2时，等号成立，

（TT371

故y'W-l,故以尸为切点的切线的倾斜角取值范围是J,丁.

故选：c

易错分析：复合函数求导时要注意正确应用复合函数的求导法则.

7.(2024.贵州六盘水.三模)已知曲线y=f-31nx的一条切线方程为＞=r+旭，则实数()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

3

【分析】根据切线的斜率的几何意义可知川『,=2%-：=T,求出切点，代入切线即可求出加.

【详解】设切点为(%,%)

因为切线y=-x+"z,

3

所以==,

九0

3

解得%=1,%=-](舍去)

代入曲线y=Y-31rLY得%=1,

所以切点为(1,1)

代入切线方程可得1=-1+m，解得根=2.

故选：D.

8.(2024・四川宜宾・模拟预测)若曲线y=e，+a在x=O处的切线也是曲线y=li«的切线，则。=()

A.—2B.1C.—1D.e

【答案】A

【分析】求出了=^+。的导数，求得切线的斜率为1,可得切线方程y=x+l+。，再设与曲线、=1型相切

的切点为(%,%),求得函数y=的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得知%的值，进

而得到。的值.

【详解】由曲线y=e，+a,得y'=e，，

在x=0处的切线斜率为1,当x=O时，y=l+。，

曲线y=e"+a在％=0处的y—(y+a)=lx(x—0),即y=x+l+a,

曲线，导数为y=L,

X

设切点为(%,%),则‘=1,解得毛=1,%=。，切点在切线丫=尤+1+。上，

%

即有0=1+1+〃，得a=—2.

故选：A.

9.已知直线丁=了是曲线/(x)=lnx+。的切线，则。=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】B

【分析】根据给定条件，求出函数f(x)的导数，再利用导数的几何意义求解作答.

【详解】函数〃x)=lnx+a,求导得广(x)=],令直线y=x与曲线〃x)=lnx+a相切的切点为(xo，lnxo+a),

1,

于是一=1且=%,所以a=Xo=l.

故选：B

10.(2024.贵州铜仁.模拟预测)已知定义在R上的函数〃X)满足2〃x)=〃T)+6eX,则曲线y=〃”在

点(0,/(0))处的切线方程为.

【答案】2x-y+6=0

【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程.

【详解】因为2"x)=/(f)+6e',所以2/‘a)=-_f(T)+6e)

令x=0,得2r(0)=-7'(-0)+6e°,解得1f(0)=2,所以切线斜率为2,

因为2/(x)=/(r)+6e',令x=。，得2〃0)=/(-0)+66°,

解得/(。)=6,所以切点坐标为(。,6).

所以尸了⑺在点(0，〃。))处的切线方程为y-6=2(x-0),即2x-y+6=0.

故答案为：2x-y+6=0.

11.(24-25高三上•宁夏石嘴山•阶段练习)若直线旷=履+6是曲线〃x)=lnx+2的切线，也是曲线

g(x)=ln(x+l)的切线,则左=.

【答案】2

,11

【分析】设出两个切点坐标，根据导数的几何意义可得%=一=17.将切点代入两条曲线，联立方程可

X]x2+1

分别求得上

【详解】直线y=Ax+6是曲线〃x)=lnx+2的切线，也是曲线g(x)=ln(x+l)的切线，

则两个切点都在直线旷=区+，上，设两个切点分别为(占，例+8)，(%，仁+加，

则两个曲线的导数分别为＞=工，y=工，

xx+\

由导数的几何意义可知k=工=」7，则占=%+1,

%x2+l

[kx,+b-Inx,+2,①

且切点在各自曲线上，②

则将玉=彳2+1代入①可得，红Xj+IH万=山(马+1)+2,③

③一②可得左=2,

故答案为：2.

考点04导数与函数的单调性

1.函数/(x)=-lnx+x的递增区间是()

A.(-<»,0)o(l,+oo)B.(3,0)和(1,+8)

C.(1,+co)D.(-l,+oo)

【答案】C

【分析】利用导数求/(元)的递增区间.

【详解】由题设，/口)=1一2>0且龙€(0,”)，可得X>1,

X

所以/(x)递增区间为(I,+8).

故选：C

易错分析：利用导数求函数的单调区间时要先求函数的定义域，再在定义域上求函数的

单调区间.

2.函数/(x)=g/-in尤的单调递减区间为()

A.(-1,1)B.(0,1)C.(1,+℃)D.(0,2)

【答案】B

【分析】求导，解不等式r(无)<。可得.

【详解】f(x)的定义域为(0,+⑹

解不等式r⑴=尤」=(D(x+D<0,可得0<x<l,

XX

故函数=一Inx的递减区间为(0,1).

故选：B.

3.若函数f(x)=xlnx-G+1在[e,+8)上单调递增，则实数。的取值范围是()

A.(—8,2)B.(—8,2］C.(2,+oo)D.［2,+co)

【答案】B

【分析】求导，导函数在［e,+8)上恒非负，根据恒成立的问题的办法解决.

【详解】/'(x)=l+lnx-a,又洋x)在［e,+oo)上单调递增,故八x)20在［e,+8)上恒成立,而工e［e,+oo)时,

易见「(©min=2-4,只需要2-々20即可，故。<2.

故选：B.

4.若函数/(x)=g尤2-91nx在区间［。-1间上单调递减，则实数。的取值范围是()

A.1？3B.a>4

C.-2<a<3D.l<a<4

【答案】A

【分析】先求得导函数，根据函数单调递减可知/'(x)W0在区间5-1,0上恒成立，即可由定义域及不等式

求得。的取值范围.

【详解】函数〃x)=gx2-91nx,(x>0).

Q2-Q

则f'(x)=x——=-r----,

XX

因为/(x)在区间［。-1,a］上单调递减，

则/(x)W0在区间［a-1,a］上恒成立，即V-9W0,

所以0<x<3在区间5-1,上恒成立,

ftz—1>0

所以1Q<3，解得1<〃？3，

故选：A.

5.若函数/(x)=lnx+/-2在区间内存在单调递增区间,则实数〃的取值范围是(

1

A.(-oo,-2)B.——,4-00C.(-2,+oo)D.(-8,+8)

8

【答案】D

设8⑺一)/［；/］,利用导数判断单调性，即

【分析】把题意转化为在尤上有解,

可求解.

【详解】由/(x)=lnx+ax2-2可得:f'(x)=-+2ax.

X

因为函数/（x）=lnx+办02在区间内存在单调递增区间，

所以/'（x）＞0在上有解，即〃＞_/在上有解.

设80）=一*"€（：,”,由8'（》）=尸＞0在尤上恒成立，所以g（x）在xe[,1]单调递增，所以

g]£|＜g（x）＜g⑴.

所以a＞g[J=-8.

故选：D

易错分析：已知函数的单调性求参数问题往往要转化为函数的最值问题处理.

6.（2025高三・全国•专题练习）已知函数〃力=（2/+办+1,小（。＞0）在一；厂：上存在单调递减区间,

则。的取值范围为（）

0,gU（8,+=o）

A.（0,l）u（4,+oo）B.（1,4）C.D.r8

【答案】A

【分析】根据题意，只需存在区间上,心1，使得当xe[c,d]时，f'（x）＜0,根据导数的零点大小

分a=2,〃＞2和。＜。＜2讨论求角军.

【详解】由题意得广（力=（以+。）砂1+（2/+依+l）ae"T=（2x+a）（依+2"小，

1111

要使〃尤）在-于-a上存在单调递减区间，只需存在区间[c/仁，使得当xe[c,d]时，/'（x）＜0,

当4=2时，r（x）=4（%+l）2e2^＞0,显然不存在满足条件的区间匕心；

当a＞2时,尸（力＜0的解集为-p-1,因为£＜一1＜一,

所以要使“X）在-彳，-7上存在单调递减区间，则-4＞-：，解得。＞4：

当0＜a＜2时，/（x）W0的解集为V",因为一＜T＜J，

所以要使了⑺在，;，-1上存在单调递减区间，则-解得0＜"L

综上，”的取值范围为（0」）口（4,y）.

故选：A.

V.21

7.若函数/（工）=了-In%在区间（九加+§）上不单调，则实数机的取值范围为（）

A.0<m<—B.—<m<l

33

2

C.—<m<1D.m>l

3

【答案】B

【详解】首先求出/（X）的定义域和极值点，由题意得极值点在区间（九四+；）内，且机>0,得出关于m的

不等式组，求解即可.

【分析】函数/（x）=3-Inx的定义域为（0,+⑹,

且尸(x)=x」1=」X2-1(x+l)(x—1)

XXX

令((%)=0,得％=1,

因为/（X）在区间（m,机+1）上不单调,

m>0

2

所以<1I,解得：-<w<1

m<\<m+—5

I3

故选：B.

8.若。<玉<%<。都有々1g-%11n^2〈玉-兀2成立，则〃的最大值为（）

A.1B.1C.eD.2e

【答案】B

【分析】将所给不等式转化为上乎<%已，构造函数"x）=@F（x>0）,利用导数研究函数的

单调性，由此得出正确的选项.

,_11lax.liix911lux,+1lax9+1

[详尚牟]根据题思，右。〈玉〈兄2<〃，贝I/hiX]—x]inx2<玉一々n<n<.

设J（x）=3+1（%>0）.

X

所以可得〃”=处已（犬>0）在（0,。），函数/（X）为增函数.

对于y（x）=l!E±l,其导数尸⑺J一吗+1）=一卑.

*XX

若/'（x）>0,解得0<x<l,即函数〃同=电9的递增区间为（0,1）；

若。<玉<x?都有々1叫一印nr?<网-%成立，即在（0,a）,函数为增函数，则。的最大值为1.

故选：B.

2

9.(24-25高三上•山东烟台•期末)已知函数〃x)=alnx+二斤QGR.

⑴若曲线y=/(x)在兄=1处的切线方程为办-勿+1=0,求实数的值;

⑵讨论函数/(司的单调性.

1

fa=na=~2

【答案】⑴、。或/;

也=2b=l_

[2

(2)答案见解析

【分析】(1)根据导数的几何意义结合切线方程，列式求解，即得答案.

(2)求出函数的导数，结合二次函数的判别式，分类讨论，判断导数正负，即可求得答案.

【详解】(1)由于〃x)=alnx+—?aeR,贝厅(1)=1,

点(1,1)在or-勿+1=0上，故。-6+1=0；

又「⑺*2

(x+lf，贝厅⑴=。

1

a-b+l=0a=—

6Z—12

贝IJ1a，解得6=2或

Q--

2bb=-

2

(2)由题意得的定义域为(0,+s),

2ax2+2(^a-l)x+a

贝।"%)=三—

(x+1)2x(x+l)2

令g(%)="2+2(«-l)x+a,XG(0,+a)),

当aW0时,g(x)<0即/'(x)<0,所以在(0,+8)上单调递减;

当〃>0时,△=4(a-1)2—4/=4(1-2々),

当〃2;时,

A<0,/.g(x)>0,/(x)>0,则/(力在(0,+oo)上单调递增;

1-〃+J1—2〃

当0<a<5时，A>0,g(x)=+2(a—l)x+a=0的根为&=------------------

aa

由于(1—a)—(1—2a)=/>0,1—a>0,1—2a>0,/.1-q>Jl-2a,即玉>。,马〉。，

当XJ0,匕伫正句］或Xe［三士E句,+/时，八X)>0,

/(x)在1,匕伫卢互］和，,+［上单调递增；

当xJ1“一^^,1一a+时,广⑺<0,

、aaJ

„/、，(1-a—J1—2a1—a+Jl—2a),“、E、”、。

fx在-----------,------------上单调递减；

aa

综上，当aVO时，/(x)在(0,+8)上单调递减;

1—a+y/1—2a］匚品、阳、孑4•吊

当。<°<,时，/(%)在0,

和------------------,+8上单调递增,

2、Ia)

.(1—a—yJl—2a1-a+J1-2L)品、由、,竹

在------------,------------上单调递减.

［aa,

当a'g时，/(元)在(0,+8)上单调递增.

考点05导数与函数的极值

1.(24-25高三上•北京海淀•期末)设函数/⑺=(x+a)(x-l)2,则“a=-1”是“/(x)没有极值点”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】求出函数/(x)的导数，利用极值点的意义，及充分条件、必要条件的定义判断得解.

【详解】函数/(x)=(x+a)(x-l)2,求导得广(x)=(x-l)2+2(x+o)(x-l)=(x-D(3x+2o-l),

当。=-1时，/'(x)=3(x-l)2>0,当且仅当x=l时取等号，则/(尤)在R上单调递增，无极值点；

若/Q)没有极值点，则:(x)没有变号零点，因此­1-24=1,解得。=-1,

所以“。=-1”是“/(X)没有极值点”的充分必要条件.

故选：C

2.(24-25高三上・江苏常州•期末)若函数/(x)=；-办2+(2/一4卜一3在x=2处取得极小值，则实数“=()

A.-2B.2C.2或0D.0

【答案】D

【分析】对函数求导，根据极小值点求参数，注意验证即可得答案.

【详解】由/'(x)=V-2依+2/-4,则/'(2)=2片-44=0,得。=0或2,

。=2时，/,(^)=X2-4X+4=U-2)2>0,在R上单调递增，不满足；

。=0时，/(J;)=X2-4,在(T»,—2),(2,+OO)上/(％)>0,在(-2,2)上尸(久)<0,

所以/⑺在(-*-2),(2,E)上单调递增，在(-2,2)上单调递减，满足题设，

所以a=0.

故选：D

易错分析：已知函数的极值(点)求参数要注意函数极值点其本质是函数单调性的转折

点，对于可导函数而言，极值点处导数为零且两侧导函数的符号相反.

3.(2024・河北•模拟预测)设函数/(x)=(x-a)sink，若存在与使得/既是/'(x)的零点，也是/'(x)的极值

点，则。的可能取值为()

A.0B.占C.兀D.7i2

【答案】B

【分析】对函数求导后，令导数为零，讨论方程的根，再根据零点的定义即可求值.

【详解】由/"(X)=(x-a)sin办，得/''(彳)=5111"+(依-。2)(：0$办，

令/(%o)-(%一。)sinax0=0,贝lj%=a或sinax0=0,

2

当/=。时，由/\x0)=sinax0+(ax0-a)cosax0=0,得sin/=0，

所以〃2=kn(kGN),贝Ua=GN)

r22

当sinax0=0时，由f(x0)=sinax0+(axQ-a)cosax0=0,得(ax。-a)cosax0=0,

由COSQ/WO,得a=0或%=。，

当a=0时，/。)=。不存在极值点，

当天=a时，得a=尿H(kGN),

综上，a=GN),

所以当左=1时，a=五.

故选：B

4.函数〃元)=幻11%-履2-a在定义域内有两个极值点，则实数4的取值范围为()

ab

--10°3c［娟口.［。,曰

【答案】D

【分析】求导，根据极值分析可得y=2左与g(x)=U竺有2个变号交点，对g(x)求导，利用导数判断其单

X

调性和最值，结合g(x)的图象分析求解.

【详解】因为“X)的定义域为(0,+8),且­(x)=lnx-2辰，

令尸(x)=0,可得2人=皿，

X

由题意可知y=2左与g(无)=叱有2个变号交点，

X

贝i］g<x)=W^，

令g'(x)>0，解得0<x<e；令g'(无)<0,解得了>e；

可知g(x)在(0,e)内单调递增，在(e,+s)内单调递减，

可得g(x)Wg(e)=L且当x趋近于0,g(x)趋近于-oo,当x趋近于+8,g(x)趋近于0,

e

可得g(x)的图象，如图所示：

故选：D.

5.(2024.陕西西安.模拟预测)己知函数〃x)=21nx+gx2-3x有极值点在闭区间g+2］上，贝心的取值范

围为(),

A.[-1,2]B.[0,1]C.[0,2]D.[-1,1]

【答案】A

【分析】对“X）求导，求出〃尤）的单调性和极值，可得Y1V/+2或云2V/+2,解不等式即可得出答案.

【详解】因为/⑺=2hu+白2-3元的定义域为（0,+8）,

所以/，（X）=Z+X_3=X2-3X+2=（X-1）（X-2）,

XXX

令/'（%）>0,角毕得：冗>2或0<兄<1,

令/'（%）V0,解得：l<x<2,

所以/（x）在（1,2）上单调递减，在（2,+8）,（0,1）上单调递增,

所以尤=1为〃x）的极大值点，x=2为/（X）的极小值点，

所以rvivr+2或区2V/+2,

解得：一1W/W1或0W2.

所以/的取值范围为：[-1,2].

故选：A.

6.（2024.广西.二模）已知x=0是函数4%）=/（九一。）的极小值点，则〃的取值范围为（）

3

A.（』0）B.C.（0,+8）D.—,+00

f号2

【答案】A

【分析】根据极小值的定义，在1=0的左侧函数递减，右侧函数递增可得.

【详解】由已矢口/（X）=/一a/,「（无）=3/一2。1=3x（x—:），

令（（%）=0得x=0或x=

由题意x=0是极小值点，则gx。，

若等<0,则彳<x<0时，f（x）<0,f（x）单调递减,x>0时，f（x）>0,/（X）单调递增,

则尤=0是函数的极小值点，

若g>0,则0<x<g时，r（尤）<0,“X）单调递减，x<0时，/（无）>0,/（X）单调递增,

则尤=0是函数的极大值点，不合题意，

综上，y<0,即"0.

故选：A.

3

7.（2025高三•全国・专题练习）函数/（元）=]/-Inx的极值点为（）

A.3B.立C.6D.3A/3

3

【答案】B

【分析】求导，运用导函数正负得到单调性，得到极值点.

【详解】由已知，得/（X）的定义域为（0,+s）,且r（x）=3x-L=2S,

XX

令广。）=0,得尤=且（负根舍去）.

3

当了＞走时，r（x）＞o;

3

当o＜x＜且时，m＜o,

3

.•.当x=立时，/（x）取得极小值，故/（尤）的极小值点为无极大值点.

3