2025高考数学二轮复习：平面向量中的新定义

微拓展3平面向量中的新定义

［考情分析］平面向量作为数学工具，是代数与几何的纽带，是数学知识网络中的一个交汇点，成为联系

多项内容的媒介.平面向量的新定义把向量与其他知识联系起来，通过规则、运算等，更好的展示了向量

“数”与“形”的双重身份，是高考改革创新的热点.

考点一平面向量的外积

定义

\axb

向量a与万的外积是一个向量，记为axb,它的长度|ax例=|a|忸|sin(a,b),它的方向垂直于a,b,且

｛a,b,axb｝构成右手系的基.

外积是一个向量，所以又叫向量积，也叫叉积，axb读作叉b”.

特别地，当a=0或6=0时，axb=0.

例1(多选)［平面向量的外积］

在空间中，定义向量的外积：叫做向量。与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：

①a，(axb),Z>±(axZ»),且｛a,b,axb｝构成右手系的基(即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、

中指的指向一致，如图所示)；

②axb的模|°x臼=|a仙|sin［a,b)((a,b)表示向量a,5的夹角).

在正方体A5CD-AbBiGDi中，有以下四个结论，正确的是()

A.函xZC|=\AD［xUB\

B&C；x硒与西共线

C.ABXAD=ADXAB

^■^ABCD-A1B1C1D1=—(ABXAD)-CQ

［规律方法］(1)外积的几何意义

SMBCD=|0•(1|sin0)=\a^b\.

结论：|ax例表示的是〃与8构成的平行四边形的面积.

DC

（2）外积的性质

①axa=O;

@axb=O^a//b；

③ax斤-（»<〃）（交换律不成立）；

④（。+5）xc=axc+bxc（分配律）；

⑤（4a）x8=〃x（2力

跟踪演练1（多选）（2024・昭通统考）已知向量a,b的数量积（又称向量的点积或内积）：。力=|a|Wlcos〈a,

b），其中〈a,b）表示向量a,8的夹角；定义向量a,办的向量积（又称向量的叉积或外积）：

\axb\=\a\-\b\sin〈a,b）,其中〈a,b）表示向量a,〃的夹角，则下列说法正确的是（）

A.若a,b为非零向量，且|ax例二|〃仍|,贝（J[a,b）

B.若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于|荏XAD\

C.已知点A（2,0）,B（-l,V3）,。为坐标原点，贝砺|=2遮

D.^\axb\=^-a-b=43,贝!J|a+2"的最小值为2/3+2旧

考点二与线性运算有关的新定义

例2我们把由平面内夹角成60。的两条数轴Ox,Oy构成的坐标系，称为“@未来坐标系”.如图所示,

ei，e2分别为Ox,Oy正方向上的单位向量.若向量正=xei+ye2，则把实数对｛x,y｝叫做向量而

的"@未来坐标”，记而=｛x,y｝,已知｛羽，为｝,｛制，/｝分别为向量a，6的“@未来坐标”.

（1）证明：｛Xl，yi]-｛X2,>2｝=羽*2+以”+201”+》2%）；

（2）若向量a,b的“@未来坐标”分别为｛sinx,1｝,｛cosx,1｝,已知於）=a-4xGR,求函数九x）的最

值.

［规律方法］解决此类问题，关键是对新定义中的知识进行提取和转换，如果题目是新定义的运算法则，

直接按照法则计算即可；若是新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特殊

值排除.

跟踪演练2(多选)定义平面向量之间的一种运算“。”如下：对任意的4=(加，〃)，b=(p,q),令

aG)b=mq-np,则下列说法正确的是()

A.若a与6共线，贝！Ja06=0

B.aOb=bOa

C.对任意的/ICR,有(九1)。。=〃<10»

D.(aOZ»)2+(a-Z»)2=|a|2|Z»|2

考点三平面向量的新定义与新运算

例3设非零向量欧=(弘，次)，效”㈤叱醇，并定义｛窿二片；二二

(1)若内=(1,2),以2=(3,-2),求|ai|,|«2|，|as|；

(2)写出|矶|恁+1|,|a)t+2|(kGN*)之间的等量关系，并证明；

⑶若⑶|=|恁|=1,求证：集合｛a#GN*｝是有限集.

［规律方法］与定义新运算有关的创新问题是按照一定的数学规则和要求给出新的运算规则，并按照此运

算规则和要求，结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的.

跟踪演练3(1)已知对任意平面向量而=(%,y),把荏绕其起点沿逆时针方向旋转。角得到向量万=

(xcos6-ysin0,xsin6+ycos0),叫做把点B绕点2沿逆时针方向旋转。角得到点P.已知平面内点

4(1,2),点B(l+百，4),把点B绕点/沿顺时针方向旋转三后得到点尸，则点尸的坐标为()

A.(手+1,|)B.(一手+1,|)

⑵对于非零向量a,p,定义一种运算：。。A=翳，已知非零向量a,%的夹角8三①，且a□人

p-p\42/

都在集合於,eN｝中，贝Ua。》等于()

其或|B弼

C.lD.-

2

思维提升拓展练习

1.对于非零向量a,b,定义〃㊉•"tan〈a,b）a®b=\a+b\=y/3\a-b\=y/3,则tan〈a,b〉等于（）

A.竽B.V2

C.2V3D.3V2

2.若向量a=（xi，%）,6=（x2，m），则a，。构成的平行四边形的面积S可以用a,b的外积ax/»表示出来，即

5=|心切=仅0*%2"].已知在平面直角坐标系Oxy中，点A（cosa,V3）,B（sin2a,2cosa）,ae[o,1],则^

OA3面积的最大值为（）

A.lB.V2

C.2D.3

3.（多选）如图所示，设Ox,0y是平面内相交成（9（。H角的两条数轴，ei,e2分别是与x,y轴正方向同向

的单位向量，则称平面坐标系。孙为6反射坐标系，若3耘=找1+州2，则把有序数对（x,＞）叫做向量而

的反射坐标，记为面=（久，y）,在6=乎的反射坐标系中，a=（L2）,6=（2,-1）,则下列结论中，正确的

是（）

Od|x

A.rz-M-b3）

B.|a|=V5

C.a±b

D.a在b上的投影向量的长度为-%

14

4.（多选）现在给出一个向量的新运算ax从叫作向量。与〃的外积，它是一个满足如下两个条件的向量：①

a-（axZ»）=O,"（axb）=O,且｛a,b,axb｝构成右手系的基（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中

指的指向一致，如图1所示）；②向量ax6的模|axb|=|a|向sin〈a,6〉.如图2,在棱长为2的正四面体

A8C。中，下列说法正确的是（）

axb

图1

A.XBxAC=ACxAB

B.4|BCX而|与正四面体的表面积相等

C.（ACXAB）-AD=4V2

D.|（XCxAB）xAD\=\ACx（ABxAD）\

5.给出定义：对于向量〃=(sinx,cosx),若函数穴x)=a・b,则称向量。为函数人x)的伴随向量，同时称函数

兀0为向量a的伴随函数.

已知«-1,|),3(1,3),函数/z(x)的伴随向量为“=(0,1),点P为函数〃⑴的图象上一点，满足

\AP+BP\=\AB\,则点P的坐标为.

6.(2024•邯郸模拟)对任意两个非零的平面向量a和从定义：a®b=-^—,a。上黑.若平面向量a,b满

|ar+l»r

足|a|＞网＞0,且a㊉b和都在集合招neZ,0＜n〉4}中,贝!Ja㊉Ha。斤.

7.对于一个向量组a”02，的，…，a"("N3,77GN*),令瓦=。1+。2+…+的，如果存在勾(EN*),使得

\at\^\at-bn\,那么称心是该向量组的“好向量”.

(1)若的是向量组。1，«2，的的"好向量"，且a”=(",x+ri),求实数x的取值范围；

(2)已知。1，。2，的均是向量组41，。2，的的"好向量”，试探究。1，。2，的的等量关系并加以证明.

8.记所有非零向量构成的集合为V,对于a,ftev,a丰b,定义V(a,b)=(xeV\x-a=x-b}.

⑴若a=(-l,3),8=(2,-6),求出集合V(a,㈤中的三个元素；

(2)若V(a,b)=V(a,c),其中bWc,求证：一定存在实数小，%,且九+七=1,使得°=九6+%，

答案精析

例1ABD

跟踪演练1BCD

例2(1)证明因为ei,e2分别为Qx,Oy正方向上的单位向量，且夹角为60。，

所以纵e=包||e21cos60°=j,

所以{即,yi}-{x2,yi]

二(%1Cl+y1。2)•(元2。1+l。2)

77

2

=x\xi|12+11,2+12%+'i,2|e2|

i、

=xiX2+yiy2+-z(xiy2+x2yi),

1

1

母{xi,%卜{%2,y2}=xiX2+yiy2+-(xiy2+x2yi).

⑵解因为向量a,力的“@未来坐标”分别为{sinx,1},{cos%,1),

所以«r)二a•力

二(sinxei+e2)-(cosxei+e2)

二sinxcosxe^+sinxeie+cosxeve7+e^

二sinxcosx+l+1(sinx+cosx).

令Usinx+cosx二V^sin(犬+,

贝I]sin%cos,

因为x£R,

所以-VIW&sin(x+,

即

令g⑺《(，+什1)(-鱼＜w①,

因为对称轴为仁，，函数图象开口向上，

所以当T时，g⑺取得最小值g(-i)=ixQ-i+1)1,

当仁鱼时，g⑺取得最大值g(V^)=；x(2+V^+l)=%箸,所以於:)的最小值为；,最大值为三g

2282

跟踪演练2ACD

例3⑴解因为©=(1,2),

电二(3,-2),

所以+2=县,

l«2|=V32+(-2)2=V13.

依题意得力=(-2,-3),

所以为二"2a=3xl+(-2)x2=-l,

y3=%ai=(-2)xl+(-3)x2

=-8,即“3=(-1,-8),

所以|a3|二，(-1)2+(-8)2

=V65.

⑵解㈤，3+11,I以+2］之间的等量关系是|以+2|=|欧+111欧|/£N*).

证明如下：

依题意得㈤=J底+说,

M=Jx^+1+嵬+i,

所以I欧+111欧I

=收+兔J城+1+嵬+1

=Jxkxk+i+说久+i+吸+i比+y^k+i-

因为flk+i=(yk+i,-xk+i),

所以俨上+2=ak+l'ak=xk+lxk+yk+lVkf

ly/c+2=Pk+1*ak=xkVk+l—xk+lVk>

即+2=(x以％+i+yt”+i,Xkyk+i-Xk+iyk),

所以|以+2|二

22

V(^fc^k+i+ykyk+i)+feyfo+i-xk+1yk)

=Jxkxk+i+xiyi+i+xk+iyk+ylyl+i，

故lat+2|=|a%+i||ad(%£N*).

(3)证明由⑵及|“i|二|以2曰得|的|=1.

依此类推得如=1(左WN*),

可设ak=(cosOk,sina),

则at+i=(cos0k+i,sin,

"+i=(sin0k+i,-cosft+i).

依题意得，

Xk+2=ak+]-a^cosft+icosft+sinft+isin仇:二cosR+「为：),

次+2=y%+i•以=sinft+icos0k-

cosft+isin8*sin(仇：+「&),

所以欧+2=(cos(&+i-&),

sin(ft+i-ft)).

同理得

«H3=(COS[(ft+i-ft)-ft+i],

sin[(a+i・%)4+i])

=(cos(-ft),sin(-ft)),

欧+4=(cos[(-。。-(a+「/)],

sin[(-ft)-(ft+i-ft)])

=(cos(-^+i),sin(-ft+i)),

欧+5=(cos](-%+i)-(-&)],

sin[(-ft+i)-(-ft)])

=(cos(ft-ft+i),sin(%a+i)),

«H6=(C0S[(ft-ft+i)-(-ft+i)],

=(cosOk,sin6k).

所以ak+6=ak*£N*).

综上，集合｛”#£N*｝是有限集.

跟踪演练3(1)A(2)D

思维提升拓展练习

l.C2.A3.AD

4.CD［对于A,易得说xZ?|=^x荏|,根据右手系的基的定义，拇指指向说的方向，食指指向前的方

向，则中指指向荏xZ?的方向,其垂直于平面A8C,方向向下，同理得前x荏垂直于平面ABC,方向向

上，所以荏x前与左x而两向量大小相同，方向相反，A错误；

对于B,4\BCxXC|=4|BC||ZC|sin^=4x2x2x^=8V3,正四面体的表面积为4x\|BC|x|4C|xsin^=4V3,B错误；

对于C,设前乂而=前，由A选项知施垂直于平面ABC,方向向上，

|AM|=|4B||4C|sin^=2V3,

所以(私福•而=前.而=|丽丽|cos<AM,AD)=

48cos(AM,AD).

如图，过点A作AEL3c于点E,过点。作DFUAE于点尸，

则即是正四面体ABC。的高，前与丽共线，〈前，诟〉=NAOE

SixF£）xixABxACxsin-=—x23,WFD=—,

323123

所以cos（AM,~AD）=—=—,

AD3

所以（前x荏）.而=4V^X曰=4&，C正确；

对于D,\（ACKAB）xAD\=\ACxAB\\AD\sm〈（mx而），AD>,

\ACx（ABxAD）\=\AC\\ABxAD\sin<AC,港x通）〉，

易知|Z?x荏|=|荏x而|,

\AD\=\AC\,

sin（（ACKAB）,AD）

=sin（AC,（ABxAD））,

所以|（左x荏）x75|

=\ACx（ABxAD）\,D正确」

5.（0,1）

6.1或3

解析因为｛浙eZ,0<nW4｝

设向量a和6的夹角为0,

因为|a|>|b|>0,

所以⑷2+|肝>2|a||b|,

彳日N||m/y二一ab」a||b|cos6|a|网cos°

何士」a^n~\a\2+\b\2~\a\2+\b\22\a\\b\

cosd

又脑［0,相，所以等U,

所以a®Z><|,又a®b在集合｛mnGZ,0<n<4)中,

所以a®b=-,

4

所以即cos9>-；

242

又因为。。打籍卡端。S02S*,

所以a。海或1,

4

所以a®b+aOb=l或［.

7.解⑴由题意|的闫〃1+。2|,

而ai=(l,x+1),。2=(2,x+2),

的=(3,x+3),

ai+〃2=(3,2x+3),

所以+(%+3)22,9+(2%+3)2,

解得-2W%W0,

所以工的取值范围是[-2,0].

(2)。1,。2,。3的等量关系是。1+。2+。3=0,证明如下:

由题意41是向量组41,。2,。3的“好向量”，所以|。1|邦。2+。3|,

则四|221a2+。3『,

即屏2(g+的/，

所以说2W+2a2以3+a专,

同理匿2靖+2〃］以3+送,

2a2,ai+a亥,

三式相加并整理得02a：+磅+说+201以2+2。2以3+2。「。3,

所以(%+&+。3)2《0,

|ai+〃2+〃3