2025高考数学大题突破训练：数列新定义型综合题【北京专用含答案解析】

培优专题06数列新定义型综合题

培优强嚏!特利・帮灌提,

题型1数列新定义型与函数综合

TXTXTXTXTXTATXTXTAT±TATXT4iTAT4iTXTJiT4iTJiTJiT4iT±T4iTATJiTXTJiTXTXTAT±TXTXTXTXTXTXTXTXTXTJiT±T4iT4iTAT4iTXT4iT±TATliT±T4iTXTXT±TJiTXTXTXTXTXTXTXTXTXTAT±TJiTXT±TJiTJiTJiTXTJi,

点工

1、数列新定义型与函数综合类型：

①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；

②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简

变形.

2、数列新定义型与函数综合解题思路

（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；

（2）由己知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；

（3）将已知条件代入新定义的要素中；

（4）结合数学知识进行解答.

3、数列新定义型与函数综合步骤

（1）理解"新定义"一一明确"新定义"的条件、原理、方法、步骤和结论.

（2）重视"举例"，利用"举例”检验是否理解和正确运用"新定义"；归纳"举例”提供的解题方法.归纳"举例"

提供的分类情况.

（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.

1.（2024高三・全国・专题练习）设数列｛4｝（〃N4,〃wN*）,其中％=1,an=m,若同时满足①％+1=4或

4+1=4+l（i=1,2,…,n）；②对于任意i,j,都存在型使得%+a.=4+4（。w｛1,2,…,n｝且两两不相等）,

则称数列为〃数列.

⑴当m=2,〃=8时，求满足条件的〃数列的个数；

（2）记S=4+/+…，若相=2左（左eN*）.

（0）证明：S>2k2+9k+4；

（0）在S=49的条件下，求力24的概率.

124

【答案】⑴只有一个（2）（回）证明见解析；（回）—

【分析】（1）由〃数列满足的两个条件，确定数列中各项的规律，确定满足条件的〃数列的个数.

（2）（E）设数列中123,…,24—23—1,2人出现的频数分别为工,£工,..、以_2，力3，以，

工21（/=1,2,3,「2"2,201,2左）进而有工"，f2>2,同理以24,f2k_t>2,再利用等差数列前〃项和

公式求解；（回）由（回）中结论，结合S=49得到左e（0,3],分别讨论当机=1,2,3,4,5,6时，数列｛%｝的情

况，然后利用古典概型概率求解.

【详解】（1）当m=2,〃=8时，4=1,%=2,

由条件①知2=1或2.

又由条件②对于任意V,都存在sJ使得4+%=4+a,GJsje｛l,2,…，科且两两不相等），

可得满足条件的〃数列只有一个，且为1,1,1,1,2,2,2,2.

（2）（E）证明：当相=2左（左eN*）时，

设数列中1,2,3,…,2"2,2"1,2人出现的频数分别为九力，力，…,启一Mi,以,

由题意知工之1«=1,2,3,…,2左一2,2左一1,2左），

若工<4,则有％+生<4+。，（对任意s>/>2）与已知矛盾，

故工24,同理可得力.4,

若后<2,假设人=1,则存在唯一的矣｛1,2,3,…,2%｝,使得4=2,

那么对于任意不同于1,7,的sJ则有4+4=1+2*4+q,与已知矛盾，

所以力22,同理可得以-N2,

所以S=%+%+%---4

>lx4+2x2+3xl+...+（2Z:-2）xl+（2左一l）x2+2左x4

=3+6+(3+2"2)(2"4)=2/+稣+4.

2

(0)由(回)知SN2公+%+4,即2/+9左+4449,解得一

2

又丘N*,所以%(0,3],所以加=2%e(O,6]且为整数，

所以m=1,2,3,4,5,6,

当机=1时，数列｛4｝:｛1』,…/｝,只有1组；

"x个y个、

当〃7=2时，数列｛4｝可以表示为1,1771，五二(x+2y=49,x»4,y24),

满足条件x+2y=49,x>4,”4的(x,y)有(5,22),(7,21),...,(41,4)共19组;

‘X个y?z个、

当机=3时，数列｛叫可以表示为，I」,「l,2,2,f2,3/\3(x+2y+3z=49,x24,y22,z24),

满足条件x+2y+3z=49,x>4,y>2,z"的(x,y,z)有

2+3+5+6+8+9+11+12+14+15=85,共85组；

,?y'Z个个、

当机=4时，数列｛%｝可以表示为<1,1,…,1,2,2,…,2,3,…,3,4,…,4"

(x+2y+3z+4Z=49,x>4,y>2,z>2,/>4^,

满足条件尤+2y+3z+4/=49,x>4,y>2,z>2,/»4的(尤,y,z,/)有94组；

"x,y,z个/个P个'

当机=5时，数列｛%｝可以表示为1,匚:1,2,2,二,2,3,…,3,4,…,4,5,…,5>

(x+2y+3z+4/+5p=49,x>4,^>2,z>l,/>2,p>4),

满足条件x+2y+3z+4/+5p=49,x>4,y>2,Z>1,l>2,P"的(x,y,z,/,p)有29组;

当:〃=6时，数列｛%｝可以表示为｛1,1,1,1,2,2,3,4,5,5,6,6,6,6｝,只有1组，

所以满足S=49的数列｛。“｝共有229组，其中m24的有124组，

124

所以根24的概率为二.

2.（2024•河北邯郸•模拟预测）已知给定数列｛/｝俏eN*）,从第二项起后项与前项作差，得到新数列

出一弓吗一出，,定义这个新数列为数歹!]｛%｝的1—阶差数歹!J,记为Aa“=a”+「a”，继续上述操作,

得到新数列-一八七，,Aa„+1-Aa„,称为｛《,｝的2-阶差数列，记为,一般地,

对任意meN*,A"4=用-，称数列｛"%"｝为数列｛。“｝的机-阶差数列.

(1)写出数列1,2,8,22,47,的2—阶差数列；

(2)若数列｛an｝的首项％=1,1-阶差数歹！JA«„=2n,求｛%｝的通项公式；

2,,

⑶若数列也｝的首项4=-7,且Nb”-Nbn+i+bn+2=0,求数列bn的最小值.

【答案】⑴5,8,11,；⑵a”/-〃+1；⑶-10.

【分析】(])根据根一阶差数列的定义，写出已知数列的2-阶差数列；

(2)根据已知得。用-。，=2"，应用累加法求通项公式即可；

(3)由已知得第-g=2"T,累加法求数列也｝的通项公式，令X=2"T,则=-旦并确定

8

单调性，进而求数列2的最小值.

【详解】(1)由题意,得A4=2_1=1,A/=8-2=6,=22-8=14]%=47—22=25,

222

Aa,=6-1=5,Aa2=14-6=8,Aa3=25-14=11,-,所以2阶数列为5,8,11,..

(2)因为=a〃+i—%,又Nc1n=2n,所以％讨―氏=2环

所以=2,a3-a2=4,，为一%=2(n-l),

累加得为一q=2+4++2(〃-1),an—ax=n-n,

所以〃〃=/一"+i.

(3)因为宏"二幼用一奶，，及号勿―A%]+a+22”=o,得助〃—2=2筋,

又地所以%-2b—两边同除2向，得翁勺=2*

当心2时,紧佟-3+g-①+$-*卜+修-畀）+3

=20+2+22+--.+2,,~2+—=^1-2^-Z=2,,~1--，

21-222

所以么=22-1-9.2"一（〃22,〃eN*）,〃=1时4=-7也满足,

所以"=221-9-2"T（〃eN*）,

当时，函数/(x)单调递减，当xe《,+co］时，函数/'(x)单调递增

而21—1<22-“所以2〃T=2,即〃=2时，/取得最小值为-10.

3.(24-25高三上•河北邢台•期中)已知meN*,m>5,定义：数列｛〃〃｝共有m项，对任意i,j(i,jeN*,z<y<m),

存在人(用£N*，K工机)，使得。臼=气，或存在左2(女2£N*,左2KM,使得乜=%，则称数列｛4｝为"封闭数

ai

列〃.

⑴若见=九(14〃W10,〃eN*),判断数列｛%｝是否为"封闭数列"；

⑵已知递增数列％,2,%，8,%为"封闭数列"，求知色，。5；

⑶已知数列｛%｝单调递增，且为"封闭数列"，若421,证明：｛%｝是等比数列.

【答案】⑴不是"封闭数列"，理由见解析⑵4=1,阻=4,%=16⑶证明见解析

【分析】(1)举出反例，得到数列｛4｝不是"封闭数列

(2)数列递增，由生=1求出％=1,通过分析得到全，生,与都是｛%｝中的项，所以今=2,得名=16,由

/

—=^3,得。3=4,所以q=1,。3=4,。5=16；

(3)数列｛5｝单调递增，所以9=1是｛4｝中的项，即为=1,且&是｛。“｝中的项，推出

amai

\=ax<<<—<^,根据上式的项数得到勺=〃4+1(1<云m-1,MN*),同理得到

am-lam-2atn-3。2

2L=a>

a,„_i=ajam_j(2<j<m-2,zeN*),两式结合得到一1二-a=~=-2^,证明出结论.

71a

«,„-iam_2限2G

【详解】(1)由题意知，数列｛%｝为L2,3,4,5,6,7,8,9,10.

因为『"=2x7=14,?=：,14和1■均不是｛叫中的项，

所以数列｛叫不是"封闭数列

(2)由题意数列递增可知4<2<%<8<%,则《不是｛%｝中的项，

所以宗=1是｛叫中的项，即q=L

因为>%(1<力<5,ieN*),所以都是｛%｝中的项,

所以告=2,得生=16,

O

%

由7二〃3，得。3=4,所以％=1,%=4%=16.

（3）因为数列｛%｝单调递增，所以4”>1,则力不是｛风｝中的项,

所以&=1是｛%｝中的项，即q=1.

am

因为机,ieN*）不是｛q｝中的项，所以，是｛%｝中的项,

所以1=%<刍-<刍-<且-<.<—<am.

am-\am-2am-3“2

因为〃卜-^-,-^-,旦，&，4共有加项，

am-\am-2am-342

aa

所以5=i,n+i-i（1<iw7〃-1,i€N*）①,

类似地，2<j<m-l,JGN*,>am,则%,_臼不是｛%｝中的项,

所以竽是｛%｝中的项，

aj

1一44-11/j4-1/

1-4<----<----<----<<----<anm-2，

am-2am-3册-443

所以(2<j<m-2,zeN*)(2),

由①和②得出=刍旦_Safn-2r

=^=^=a2>l,

G/n-l"nz-2am-3a

所以｛a,｝是首项为1的等比数列.

4.（2024•全国•模拟预测）已知数列｛%｝的前〃项积为定义：若存在keZ,使得对任意的“eN*,

an+1-Tn=左恒成立，则称数列｛%｝为"％数列

（1）若4=1,且｛%｝为"2数列"，求出.

（2）若q=2,且｛g｝为"数列"，｛%｝的前〃项的平方和为G"，数列｛4｝是各项均为正数的等比数列，满足

,求％的值和也｝的通项公式.

⑶若k>0,且｛%｝为"％数列"，｛风｝的前"项和为S"，证明：Sn>In?；,+n.

【答案】（1）257（2）4=-1,〃=2"、3）证明见解析

【分析】（1）根据"2数歹广的定义计算即可;

（2）根据题意得到然后结合"％数歹旷的定义列方程得到左,4,最后写通项即可;

（3）根据廉数列"的定义得到%>1,然后构造函数得到lnx<x-l（x>l）,最后利用累加法证明即可.

【详解】(1)由4=1,且｛%｝为"2数列〃，得%,+「4=2,即%=2+(,

则％=2+(=2+%=3,

。3=2+%=2+4%=2+lx3=5,

a4=2+T3=2+=2+1x3x5=17,

。5=2+n=2+axa2a3a4=2+1x3x5x17=257.

(2)设数列出｝的公比为q(q>0),

由4=24々”，得G,=(+log2%

G

即„=ZX=aia2a3an+log2bn,

4=1

则3+1=Zd=%a2a3…,4A+1+log2^+i.

i=l

两式相减得2a3…•an(a„+1-l)+log2&„+1-log2&„,

a

即a*=a1a2a3……n(%包-1)+log2(?.

因为｛q｝是首项为2的"数列"，所以an+i-T„=k,

即4a2a3an=an+l-k,

所以G+l=(%+i—左)(％+]-l)+lOg2“,

即(左+l)a“+i=%+log24对任意的”eN*恒成立.

因为。2=1+左=%+左=2+左，%=(+左=q%+左=2(2+左)+左=3左+4,

(2+1)%-4=log29即(%+1)(2+左)一%=log2q

则

(%+1)/_左=log2q'(A:+l)(3^+4)-A:=log2q'

解得左=—1,q=2.

又由a；=q+log24，即4=2+k)g24,得4=4,所以2=2..

检验可知k=-l符合要求，故数列也｝的通项公式为久=2川.

（3）因为｛“〃｝为'》数列〃，所以。向-左，

即4+i=01a2a3,•…4+k对任意的〃£N*恒成立，

因为6>1,k>0,所以。2=4+左>L

再^结合'4>1,k>0,%>1,反复利用“〃+1=...%+k,

可得对任意的〃EN*,。〃>1.

设函数/(x)=lnx-x+l,则/(无)=：一1.

由/'(力=0,得x=l.

当x>l时,r(x)<0,所以“X)在(1,+8)上单调递减.

所以当x>l时，/(x)=lnx-x+l</(l)=O,即lnx<x-l(x>l).

又4>1,所以1.

可得Inqv6—1,In%<a2-l,…,]nan<an-l,

累力口可得Inq+InqH--FIn%<ax+a2-\\-an-n,

即111(4%……%)<S"-“，即ln1<S,-〃，

所以S,>inTn+n.

5.(2024•浙江台州•一模)对于无穷数列｛«„｝和如下的两条性质：片：存在实数4>0,使得Vi,jeN*且i<,

都有生一422；2：任意i,jeN*且i</,都存在〃2WN*,使得2%-生.

⑴若a"="+L,"eN*,判断数列｛q｝是否满足性质片，并说明理由；

(2)若…<•”<"GeN*«=l,2,3,),且数列也｝满足任意“eN*也=%，则称也｝为数列｛4｝的一

个子数列.设数列｛%｝同时满足性质P,和性质B.

①若4=1，生=5,求出的取值范围；

②求证：存在｛%｝的子数列为等差数列.

【答案】⑴满足，理由见解析(2)①[3,5)；②证明见解析

【分析】(1)根据性质《的条件，结合不等式的性质求解；

(2)①由条件可得｛4｝是单调递增数列，且存在MCN*,使得金=2%-q.进而可得机23,«2>3,结

合出<%，可得出结果；②依题意可得｛%｝单调递增，设。2=%+%1>0，由性质6可推得，当%22时,

存在心eN*,使得气”=2进而得4=q+（〃-l）d,利用等差数列的定义证明即可.

【详解】（］）数列｛%｝满足性质

\/i,jwN*且j<j,aj-=J+j-（z+-7）=（j-,

因为3/22,所以1-二二24，又因为所以（/"）（1-1二）2：,

i-］2i-j2

因此，存在2=使得MjeN*且i</,都有力-。,2"故｛4｝满足性质片.

注：彳取（0,；之间的任意实数都可以.

（2）①因为数列｛。“｝满足性质《，所以｛%｝是单调递增数列，

又因为数列｛%｝满足性质G，所以存在根eN*,使得（=2%-4.

而〃7n=2〃2—%=%+〃2一。1>%，因止匕，m>3,

由2%-q=472a3=5,得％》3,

由。2<%，得34〃2<5,故〃2的取值范围是［3,5）.

②由数列包,｝满足性质匕，可知｛%｝单调递增，设%=%+d，d>0，

令4=1,4=2,由性质8，存在，3eN*,使得%=2%一%=%+2d,

同理，存在£wN*,使得气=2%-4=4+3d,…，

以此类推，当人22时，存在心eN*,使得%=24一％7=%+加,

由数列｛4｝单调递增,可知力气<<in<.

记2=%〃eN*,则6,=al+（n-X）d,

因为b,”「b"=d,neN*,所以数列也“｝是等差数列，

故存在｛«„）的子数列物,｝为等差数列，得证.

题型二：数列新定义型与不等式综合

点

数列新定义型与不等式综合，解题的思路是：

1、数列新定义型与不等式综合类型：

数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数

列中的相关问题.

2、数列新定义型与函数综合解题思路

（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；

（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；

（3）将已知条件代入新定义的要素中；

（4）结合数学知识进行解答.

3、数列新定义型与函数综合步骤

（1）理解"新定义"一一明确"新定义"的条件、原理、方法、步骤和结论.

（2）重视"举例"，利用"举例”检验是否理解和正确运用"新定义"；归纳"举例”提供的解题方法.归纳"举例"

提供的分类情况.

（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.

1.（2024•江西新余•模拟预测）我们规定：若数列优｝为递增数列且也为递增数列，则优｝为"X—

数列

⑴已知：4=仲2=i°g/，*=总数列｛%｝，｛2｝，｛%｝中其中只有一个X—数列，它是：

（不需说明理由）；并从另外两个数列中任选一个证明其不是X—数列；

（2）已知数列｛%｝满足：九（%+「％）=%+4,%=1,S,为｛g｝的前〃项和，试求｛%｝的通项并判断数列

是否为X—数列并证之；

⑶已知数列｛%｝、也｝均为X—数列，且4>0,4>0,求证：数列1=%也也为X—数列.

【答案】（D｛qJ;条件选择见解析，证明见解析⑵不是，证明见解析⑶证明见解析

【分析】（1）结合幕函数的单调性，证明｛c,,｝是X—数列，举反例说明另外两个数列不是X—数列；

（2）由已知构造得9*-2=工-一工，累加法求得见=2"-1,则｛4“｝是等差数列，求出S",由定义判断

数列是否为X—数列；

（3）由已知有4,>4>0,bn>b1>0,且②>%>0,细>4>0,利用不等式的性质，结合定义证明

n+1nn+1n

数列｛g｝为X—数列.

【详解】（1）空格处填匕｝.

3

3T131「、

原因如下：因为的=/，则H=小，由幕函数1=炉与,=炉在[。,"）上都是增函数，

n

由“eN*,故数列匕｝与1手，都是递增数列，则k｝为"X-数列

若选｛%｝,下面证明｛4"｝不是X-数列.

证明:由/=图,则孑=|，=9.

~2~2-8

故?〉与，所以不是递增数列.

12[n\

故｛%｝不是X-数列;

若选也,｝,下面证明｛2｝不是X-数列.

log32logs42log32

由我=现3”,

证明:贝!］匕=5,A_55_%.

22-24-42x2-T

所以不是递增数列.

n

故但,｝不是X-数列.

（2）由%+q=4,+1可得"。“+1=（〃+1）。“+1,

日斤PI—______JL—_____________

“〃+1n+nn+1

1__J_

设则仇_4=1_:，”一仇=卜；么一心

〃ZL3n—1n

1n-1

累力口得一4=+-------—1—=-----

223n-1nnn

又4=?=1,故%=%=2-工=2,所以%=2”一1.

1nnn

由an+i~an=2（n+l）—1—（2n—1）=2,

故｛g｝是以1为首项，2为公差的等差数列.

所以S.=(1+2"T)"=『则&=〃，4=1.

"2nrT

即数列是递增数列，但［*1不是递增数列，故1｝|不是X-数列.

(3)数列｛%｝、也｝均为X-数列，且4>0,4>0,

由题意可得。“>%>。，b“>瓦>Q,M-^!±L>—>0,—>0,

〃+1nn+ln

ab

Q〃+i•2+in'n

由不等式的性质可得，(；+『>二,又％=。〃2>。，

n2c,,,、cncn+\

则所以｛5｝为递增数列，且有常<；"卡，

In+11(〃+1)

c„+1C„_(«+1)C„+1c(M+l)c„+lncn+l

则羡FT正厂一丁记厂一即>°，

故也是递增数列，故｛cj为X-数列.

2.(2024•吉林•模拟预测)对于数列｛%｝,若m/>0,对任意的〃eN*,有闻</，则称数列｛七｝是有界

的.当正整数"无限大时，若x“无限接近于常数。，则称常数。是数列｛%｝的极限，或称数列｛%｝收敛于a,

记为，蚓龙"="•单调收敛原理："单调有界数列一定收敛"可以帮助我们解决数列的收敛性问题•

⑴证明:对任意的xN-1,?!eN*,(1+x)“Nl+nx恒成立；

⑵已知数列｛%｝,｛2｝的通项公式为：%=(i+£|",4=,+£|"',〃CN*.

(i)判断数列｛4｝,也“｝的单调性与有界性，并证明；

(ii)事实上，常数6=,眄%=屈22,以e为底的对数称为自然对数，记为Inx.证明：对任意的〃©N*,

丑占<山(〃+1)<之;恒成立.

左=1左+1k=l化

【答案】⑴证明见解析；

(2)(i)｛%｝是递增数列，是有界的，也J是递减数列，也是有界的，(ii)证明见解析.

【分析】(1)主要是构造函数/(x)=(l+x)"-l-〃x(X>-1),利用导数进行证明；

(2)(i)利用作差法，作差。“-。用，结合(1)中不等式证明数列的单调性，根据有界性的定

义结合单调性证明有界性，(ii)由极限定义及单调性得出左eN*,(l+：)/<e<(l+：)E,取对数变形后，

kk

令k=l,2,，〃并相加得证.

【详解】(1)%=-1时，不等式(1+xfNl+nx显然成立，同样，〃=1时，(1+x)"Nl+nx显然成立,

%>—1时,设/(%)=(1+九)"一1一批(x>-l),且〃$N*,

贝I/'(%)=a(1+x)a-〃，

当一lv尤<0时Ovl+xvl,/r(x)<0,/(%)递减，

%>0时，1+f\x)>0,/(尤)递增，

所以x>—1时，/(x)>/(O)=O,即(1+x)7>\+nx,

综上，对任意的％2-1,neN*,+Zl+nx恒成立;

(2)(i)1+-

n

1,191

氏=(1+—)』+c-+C〉7++c：.—

nn

n(n—1)1n(n-l)(n—2)1n(n-I)II

=1+1+•/+-----------------•—

2!3!,Qn+n\nn

1I,2、

=1+1+—(1--)+—(1--)(1--)++1(l—)0—)(1-—),

21n31nnnlnnn

I、严+1=1+C1•—―+C2-----i—+••+C”+1.I

%=Za1+Q)

华〃+115+1)2川(〃+l严

I_(n+l)n(n-l)I(n+l)n(n—1)1I

=1+1+--------r++

2!n+l)23!n+l)n\n+l)n

=1+1+—(1—)+—(1一一—)(1--—)+.■+—(1—)(1--—)(1-^—i)

2!n+13!n+Yn+1nln+1n+1n+1

11...2、—n—1..n.

+----------(1---------)(1---------)(1---------)(z1---------),

5+1)!n+1n+1n+1n+1

比较对应项可得＜47i+l，所以｛怎｝是递增数列;

I

又由上面展开式知v1+1+'+同+H-----<2+2^"+H-----=3——<3,又〃〃>0,所以同<3,

T

所以｛%｝是有界的;

n+\

bn=1+-2时,

n

/「匕=(1+1)"-(1+与"=(号)"一(四严=(3)"[(『)〃"+1]

n—1nn—1nnn—1n

"21M1

由(1)得(上)"=(1+^^)">1+£>1+—=n+1

n-1n—1n-1nn

所以用―-优>。，即2<Nt，所以电｝是递减数列，

因此仇=4,又b,,>0,所以闻<4,所以｛2｝是有界的；

(ii)由⑴知ak<e<bk,左©N*,即(1+?)上<e<(1+!)1，

kk

取自然对数得kln(l+y)<l<(^+l)ln(l+

kk

所以ln(l+1)<7，山(1+J)〉J1，即<In(4+1)—In左<J,

令左=1,2,，〃并相力口得』+』++-J-<ln(w+l)-lnl<l+-++-,

23n+12n

nn

即为晨i3<ln(〃+l)〈为i%

女=1K十1k=lK

3.(24-25高三上•河南焦作•开学考试)对于一个正项数列｛%｝,若存在一正实数4,使得V”eN*且〃22,

有4+%+>Aa„,我们就称｛4｝是；I-有限数列.

⑴若数列｛%｝满足%=1,%=1，%=a,T+a.-2(〃N3),证明：数列｛%｝为1-有限数列；

(2)若数列｛。,｝是2-有限数列，三四>0,使得V〃cN*且“22,a„<M,证明：

e11几W11，

〉,2—T-----------------------.

+a

曰%4Myax%+〃2+n)

【答案】⑴证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)利用累加法可得%+|-％=4+/++4T，结合数列的单调性及1-有限数列的定义可知｛4｝

为1-有限数列；

(2)利用放缩法和裂项相消法可证不等式成立.

【详解】(1)因为4,=%.1+4-2且｛%｝为正项数列，故0”>%，

而见=2>。2，4=1=。1，故当2时，an>an_x,

因为4=a“_i+an_2(n>3),故an-an_Y=an_2,

由累加法可得。"+|=4+。2++an-l>

故4+%++a„-i-an=an+l-a2-an=an_x-ax>an_2-ax>>ax-ax=Q,

故数列｛g｝为1-有限数列;

1A2

(2)----1--------F+

a；

二+却+--~，

Q]ai(〃]+〃2+-+an-\)

、1万矛

>----1--------------FH------------------------------------------

q(q+%)(6+%++an_x)+a2++a〃)

22f11

-------------+--------

+。2,CJ>3、IC^2^Z]Id?I^^3

22f11

~\-----------------------------------------------------------

〃〃1％+%++an-la\+〃2++(2n-\+an

因为V〃EN*且"22,an<M,

故事二十条['，]++[—1-----------------1——]

+a

~TataxMax+a2)卬+/+-n-i^+a2++an_x+an)

4.（2024・河南•模拟预测）已知｛%｝和｛2｝是无穷的非常数数列.给出两个性质：①对于｛%｝中任意两项

%为">/）,在｛玛｝中都存在一项品，使得2q-%=%,；②对于｛%｝中任意一项%（a23）,在｛a“｝中都存

在两项%，0/1>/）,使得a.=24-q.

⑴若4=2〃，证明：数列｛%｝满足性质①②；

（2）若｛。,｝是单调数列，且满足性质①②，判断｛%｝是否为等差数列，并说明理由；

（3）若数列｛%｝和｛2｝满足.（2）的条件，记q=max｛4—吗也一Wj，…,6”一叫J（"=1,2,3,…,max｛x,y,z,…｝

表示％,y,z,...中的最大者），证明：下列两个结论必有一个成立.

（0）对任意的正数存在正整数相，当机时，^>M；

n

（0）存在正整数m,使得％,cm+l,q“+2，...是等差数列.

【答案】⑴证明见解析⑵是等差数列，理由见解析⑶证明见解析

【分析】（［）由性质①②的定义，代入数列通项证明；

（2）假设｛q｝是单调递增数列，利用性质②证明《，。2,4成等差数列，然后利用性质①证明%=%+34,

%=q+4d,a6=a1+5d,…即可；

(3)设｛%｝和｛2｝的公差分别为4,d2,表示出c“，当4>0时，证明G，Cm+l,%+2,…是等差数列；当

4<0,证明土〉

n

【详解】(1)S^VzJeN*,i>j,2aLa产2义2i-2j=2Qi-j),

所以2ai-aj=a2i_j,所以｛4｝具有性质①.

因为V〃eN*,n>3,3k=n—\,I=n-2,2%-4=4(〃—1)—2(〃-2)=2〃=，

所以｛4｝具有性质②.

(2)假设｛q｝是单调递增数列.

首先利用性质②：取〃=3,此时%=2%—q=%+(见一%)(左>/),

由数列的单调性可知ak>a,,

所以%=4+(4—q)>4，故左<3,

此时必有左=2,7,即。3=24-〃1，

即q,a2,生成等差数列，不妨设。2=。|+",%=%+2"3>0).

然后利用性质①：取，=3,j=2,则。,“=20,-。2=24+44-〃1-4=4+34,

即数列中必然存在一项的值为4+3d.

下面证明。4=4+3d,

若C*%+3d,则由数列的单调性可知&<%+3d.

在性质②中，取〃=4,则%=24-0=殁+(/-0)>4，从而％<4,

则伏,/｝三｛1,2,3｝[>/).

若左=3,/=2,贝！I%=2a3-%=%+3]，与假设矛盾；

若k=3,i=i,则%=2%-4=%+4d,与假设矛盾；

若左=2,"1,则。&=22一%=%+2d=%，与数列的单调性矛盾.

故不存在满足题意的正整数鼠I,可见/<4+3"不成立，从而q=4+3d.

同理可得为=6+41,a6=ax+5d...从而｛q｝为等差数列.

｛%｝是单调递减数列时同理可证，故｛%｝为等差数列.

（3）设｛%｝和也｝的公差分别为4，d29

则4-nak=bx-^(k-l)d2-n[al-^-(k-T)di]=bl-na{+(t/2-^)(^-1).

所以当壮2＞〃4时，=4一叫+（〃一1）（4一叫）；当心。4时，Cn=bx-na1.

①当4＞。时，取正整数机＞丁，则当九2机时，ndx＞d2,因此c〃二仇一〃q,

此时分，^m+l，C/n+2，,,,是等差数列.

②当4<。，且时，有〃4<4.

方日以，=4-叫+(〃一1)(4"4)

nn

=〃(-4)+4-4+4+—~~—

一n

2H(-4)+4—q+d-2—%-41.

对任意的正数M,取正整数心max]加+—-&I：♦-4一人,\],当〃之机时，有4＞闻.

I—4dxJn

所以题中的两个结论必有一个成立.

5.（2024•海南•模拟预测）定义：已知数列｛风｝为有穷数列，①对任意力,j/）,总存在《eN*,

使得aflj=纵，则称数列｛%｝为"乘法封闭数列"；②对任意i,j㈠"eN*,i，）,总存在府eN*,使得，=%，

则称数列｛aj为“除法封闭数列"，

⑴若氏=3〃-2（lW"W20,〃eN*）,判断数列｛%｝是否为"乘法封闭数列”.

（2）已知递增数列L电，4,8,为"除法封闭数列"，求出和口

⑶已知数列｛%｝是以1为首项的递增数列，共有％项，kN5,keN*,且为"除法封闭数列”，探究：数列｛%｝

是否为等比数列，若是，请给出说明过程；若不是，请写出一个满足条件的数列｛g｝的通项公式.

【答案】⑴不是（2）%=2,%=4⑶是；说明过程见解析

【分析】（1）举例说明。3，4两项之积不是数列｛%｝中的项即可；

（2）由递增数列得不等关系，再利用不等式性质重新排序，由此将两类排序数列中的项对应相等，建立方

程组求解可得；

（3）由特殊到一般，找到规律，同（2）方法分别以左项与左-1项的大小关系入手，排序可得两个系列的等

量关系，借助中间量可得比例关系虫=2=旦=-=也=2,由此得证.

ClyCl?d_2dk一］

【详解】（［）由题意知，数列｛%｝为：1,4,7,10,13,,58.

由生。=7x10=70,70不是数列｛%｝中的项，

故数列｛q｝不是"乘法封闭数列"；

（2）由题意数列递增可知1</<生<8,贝口<&■<%,且1<g"<色<8,

又数列｛q｝为"除法封闭数列“，则二，一，一都是数列｛%｝中的项，

^^3^^2

所以会=为，即的=W①;

88

且一=〃2,—=。3,即。2。3=8②，

联立①②解得，%=2,%=4；

（3）数列包J是等比数列.

证明：当月=5时,设数列｛4”｝为1,%%，。4，。5，

由题意数列｛%｝递增可知l<a2<a3<a4<a5,

贝U有rOt-rVt-■r<=<▲VTc=%,

由数列｛a„｝为"除法封闭数列"，

则&，生，生，生，出这5个数都是数列｛%｝中的项，

1）

a5a4a3a2ax

14a.a.a.a.

所以有l=—=q,--=%，—=〃3，--=44，—=。5,

^^5^^4CI3d?d-y

则有a5=a1a5=a2a4=af,—=—,—=—③.

同理由1=4~<4~<幺<幺=%,可得幺=%,幺=%,4~=〃4，

则有。4=。1。4=。2。3，即-’■④；

^^3Cly

由③④可得，故｛%｝是等比数列.

当左»6时，由题意数列｛4｝递增可知1<a2<a3<<ak_x<ak,

贝U有1="<&<

akak-\“3a2a\

由数列｛%｝为〃除法封闭数列〃，则这k个数都是数列｛an｝中的项.

a=a

所以有1=」=。1，一二。2,，上=4-2，工=k-V-k.

^,ic—ici?

aa

所以有处=4%=a2al==k\，即%1="0(14区％-1)⑤；

aiak-i

同理由1<〃2<。3<<〃i，可得=ak_x

“左-1做-2%41

±

所以1二^=〃1，-^±=〃2，，^±=%-2，^±=%-1.

〃女-1%-2，2

a=aa=aa==aa

则k-l\k-\