2025高考数学冲刺复习：导数及其应用（解析版）

专题07导数及其应用

目录

易错点01对导数的概念理解不到位

易错点02错用函数的求导法则

易错点03混淆“在某点”和“过某点”切线的区别

易错点04利用导数求函数单调区间忽略定义域

易错点05混淆极值点与导数等于零的点的区别

易错点06已知单调性求参数时混淆条件

易错点07判断函数零点个数时画图出错

易错点01：对导数的概念理解不到位

叁易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高二上•全国•课后作业）若函数小）可导，则叫加一黑T⑴等于（）

A.B.“⑴C.一步⑴D.尸g]

【答案】C

【分析】根据导数的定义即可求解.

/(l-Ax)-/(l)1/[l+(-Ax)]-/(l)

【详解】lim-nm---------------------------

—2Ax2--Ax

故选：c

【易错剖析】

在解题时要注意注（%）=lim"=lim二"。+&）一/（飞）,本题容易忽略分母不是分子函数值对应自变

'7以一0Ax-Ax

量的差而出错.

【避错攻略】

1.导数的概念

函数/（X）在X=%处瞬时变化率是lim"=lim小吐也二,我们称它为函数y=/（尤）在x=%

-oAx―一。Ax

处的导数，记作/（尤。）或川工，.

【解读】①增量以可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0.Axf0的意义：Ar与0之间距离

要多近有多近，即IAx-01可以小于给定的任意小的正数；

②当Axf0时，Ay在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与

竺="网+垓）一/（无。）无限接近；

AxAx

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时

刻的瞬间变化率，即/'（1）=lim"=lim.

-。Ax-Ax

2.几何意义

函数y=/（%）在x=%处的导数/U）的几何意义即为函数y=/⑴在点P5，%）处的切线的斜率.

3.物理意义

函数S=5（0在点力处的导数s'Oo）是物体在t0时刻的瞬时速度v,即V=s'（t0）-V=V（0在点t0的导

数v'«0）是物体在办时刻的瞬时加速度。，即。=丫'。0）.

易错提醒：⑴尸伉）=lim丝=lim以包山二用2,要注意定义式中的分母一定是分子两个函数值

v7Av^oAxAr

对应自变量的差，如果不是要通过调整系数实现对应；（2）/'（尤0）的代数意义表示函数/（X）在X。处的瞬时

变化率；⑶/伍）的几何意义表示曲线y=/（x）在x=x0处切线的斜率.

举一反三

1.（24-25高二上•全国•课后作业）若可导函数的图象过原点，且满足等=一1,则广⑼等于

（）

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

【分析】由题得"0）=0,再利用导数定义求解.

【详解】：/⑴图象过原点，•♦•"0）=0,

“⑼=1"°+"⑼=-

-oAx-oAx

故选：c

2.（24-25高二下•全国•课后作业）如果函数y=〃x）在尤=1处的导数为1,那么吧/（"?]“IL（）

A.gB.1C.2D.-

24

【答案】A

【分析】利用导数的定义求解.

【详解】因为（。）=1,所以吧”i+y1,

所以lim…7⑴=llim/（l^）-/（l）=1.

32x2一。x2

故选：A.

3.（24-25高二下•河北石家庄•阶段练习）设函数/（x）在点/附近有定义，且有

2

7（x0+Ax）-y（x0）=oAx+Z＞（z\x）（a,为常数），贝i］（）

A.B.f'（x）=bC.r小）=。D.f'（x0）^b

【答案】C

【分析】由导函数的定义可得答案.

【详解】因为包「.+＞（8）2一+於『

AxAx

所以/'（工0）=lim=lim（tz+Z?Ax）=tz,

即/'（尤o）=a.

故选：C

・易错题通关

1.（24-25高二上•全国•课后作业）若/'（%）=-2,则1口/（-%）一"二+一）=（）

-Ax

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】D

【分析】根据瞬时变化率的定义即可求解.

【详解】根据题意/'（%）=-2,

则.〃/）-/伉+、）=_扁”/+△）7（%）=_尸（）=2.

—Ax故―。Ax、/

故选:D.

2.（24-25高三上•广西玉林・期中）设/（"是定义在R上的可导函数，若蚀了a°_?_"x°）=2a（a为常

数），则/'（%）=（）

A.—2aB.2aC.一〃D.a

【答案】A

【分析】根据导数的定义计算即可求解.

【详解】/Vo）=lim"＞一'）一"％）=-1而"/一'）一"%）=-2a.

hT。—h2。h

故选：A

3.（2025高三•全国・专题练习）已知函数〃x）=xlnx,则1而位空匕则的值为（）

以f°Ax

A.2eB.0C.1D.e

【答案】c

【分析】利用导数定义求极限即可.

【详解】根据导数定义，得lim-l+M-/⑴=/⑴,

又r（%）=i+inx,所以广⑴=i.

故选：C.

4.（24-25高三上•上海•期中）若函数y=/（x）在x=%o处的导数等于〃，则+的值为

-Ax

（）

A.0B.—ciC.。D.2a

2

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算可求解.

［详解］lim/（x°+2Ax）T（%）=2lim-=f,g=2a.

-Ax2Ax'7

故选：D.

5.（24-25高三上•贵州贵阳.阶段练习）若函数y=〃x）在区间（。肉内可导,且飞式见外,则

lim"%）-"4+/;）的值为（）

2。h

A.f'MB.2f（x0）C.-2/（x0）D.-r（x0）

【答案】D

【分析】由导数的定义即可求解.

［详解］5—（尤。）一.（%+〃）=“不）一/（/+〃）=一3（％）,

h2。—h''

故选：D.

6.（23-24高二下•福建龙岩•阶段练习）己知函数/（无）在x=x°处可导，且蚂〃1_3果_/&）=3,则

f'M=（）

A.-3B.-2C.--D.2

2

【答案】B

【分析】利用导数的定义求解.

【详解】解：因为lim-3Ax）T（x。）=3,

―。2Ax

所以-3A一〃％）=3,即一3r（）=3,

v7

2AY-»O-3Ax2'

所以r（/）=-2,

故选：B

7.（24-25高二•全国•课后作业）（多选）若函数/（x）在x=x°处存在导数，则:映/（/+?―/（%）的值（）

A.与看有关B.与%有关C.与看无关D,与/i无关

【答案】AD

【分析】由导数的定义判断即可.

【详解】由导数的定义可知，=八）,

函数/（%）在％=%处的导数与七有关，与h无关,

故选：AD.

8.（24-25高三上•浙江•阶段练习）已知：当"无穷大时，|1+1|的值为e,记为1面11+口=e.运用上述

\n）〃-+巩nJ

“、人-T4Brln(l+2x)

结论，可得hm-----------(x>0)=

aox

【答案】2.

【分析】利用换元法和对数运算性质将所求式子化简为lim(1+工)”的结构，即可求得.

n—>+<x)R

【详施军】令1=2%,贝！,/x>0,%―。，贝。>0jf+8,

t2t

因为lim(1+—)n=e,

M—>+00〃

ln1+

nlln(l+2x)(fJ「「1YIC1Y

贝Ulim--------=lim一二——-=2limHn1+-=2limIn1+-=21ne=2.

Xf0X011+eItJ—+8It)

It

故答案为：2.

易错点02：错用函数的求导法则

易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•山东聊城・期末）函数＞=fcos（2尢-的导数为（）

A.y'=2xcos-x2sin

B.y'—2xcos^2x——-2x2sin——

C.y，=Yeos--1j-2xsin-3

D.y'=2xcos[2x—；]+2x2sin（2x—；j

【答案】B

【分析】利用导数的运算法则以及复合函数求导法则可求出原函数的导数.

【详解】=(%2cos^2x-y+x2cos^2x-y^=2xcos^2x-y^+x2-sin^2x-y^(2%-三

=2xcos|2x——2x2sin2x—

I3；I3.

故选：B.

【易错剖析】

本题容易错用复合函数的求导法则而出错，要注意求导公式和求导法则的适用前提.

【避错攻略】

1.求导的基本公式

基本初等函数导函数

于（x）=c（。为常数）ra)=o

f(x)=xa(aeQ)八元)=axa~x

于(x)=ax(a>0,aw1)f\x)=ax\na

/(x)=log。％(a>0,aw1)fw=.

xma

f(x)=e*/(x)=e*

/(x)=lnxr«=-

X

/(x)=sinxfr(x)=cosx

f(x)=cosx/'(x)=-sinx

2.导数的四则运算法则

(1)函数和差求导法则："(X)土g(x)]'=/(x)±g'(x);

(2)函数积的求导法则："(x)g(x)]'=/(x)g(x)+/(x)g，(x);

°、下册日计/Wg(x)-/(x)g(x)

(3)函数商的求导法则：g(x)*O,则=--------G--------

g(x)g(无)

3.复合函数求导数

复合函数y=/[g(x)]的导数和函数y=/(〃)，M=g(x)的导数间关系为"'=%'%'：

易错提醒：(1)复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导

数，即匕'(2)求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导.注意以下几点：连乘形式则先展

开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，

先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要

时可换元.

举一反三

1.(24-25高二上•全国•课后作业)已知某函数的导数为则这个函数可能是()

2(%-1)

/——।11

A.y=lnjl—xB.y-In.C.y=ln(l—x)D.y=ln-----

v1—Xx—1

【答案】A

【分析】利用复合函数导数的运算法则逐项计算即可得到结果.

【详解】对于A,函数y=lnJ匚1可以看作y=ln","=V?和v=l-x的复合函数,

dug"/)，.…，—(一i)=卷.企.(一i)=U=U，符合题意;

对于

B,y=ln-?X==-InVl-x.2=E'不符合题意;

对于C,y=ln(l-x)可以看作y=ln〃和"=1_%的复合函数,

:・乂=乂X）'=L（T）=」~7，不符合题意；

ux-1

对于D,y=In------=—ln（x—1）,y'=---------，不符合题意.

x-1x-]

故选：A.

2.（2025高三・全国・专题练习）下列求导运算错误的是（）

A.（tan%）'=-tan%B.（log2%）=]?

【答案】A

【分析】利用导数的运算法则与复合函数导数公式求解判断即可.

【详解】A项，（tan%）'/'=cosx6s；sinx-sinx=」，故A错误;

VcosXJcosXcosX

/、，1

B项，（log,%）=—「不，故B正确；

、7xln2

C项，（2—+叶=2/+"（21+1）=（以+2）1+“，故C正确；

D项，=X，=—■-x=-----\=，故D正确.

"%JJ22xjx

故选：A.

3.（24-25高三・全国•联考）己知函数/（x）=cos[2x+1[,则（']（）

A.—1B.—C.1D.—

22

【答案】A

IT

【分析】先利用复合函数的求导法则求出导函数，将X代入求值即可.

【详解】因为〃x）=cos[2x+：1,贝Ur（x）=-2sin12x+mj

所以/'H=_2singB=_2cosm=_l.

故选：A

■易错题通关.

1.（2025高三•全国•专题练习）函数y=xln（2x+5）的导数为（）

x

A.y'=2xln（2x+5）B.

2x+5

X2x

C./=In（2x+5）+2D.y，=ln（2x+5）+

2x+5

【答案】D

【分析】根据乘法的导数以及复合函数的导数等知识来求得正确答案.

【详解】因为y=xln（2x+5）,

所以V=[xln（2x+5）]=xrln（2x+5）+x[ln（2x+5）]

12x

=ln（2x+5）+x--（2x+5）=ln（2x+5）+

2x+52x+5

故选：D

2.（24-25高三上•北京・开学考试）在下列函数中，导函数值不可能取到1的是（）

A.y=xlnxB.y=cos*C.y=2xD.y=x-]nx

【答案】D

【分析】分别对各选项中函数求导，由导函数值等于1时，判断能否求出对应的力的值，即可确定.

【详解】对于A,W=lnx+1,令lnx+l=l,得尤=1,即A选项导函数值可以取到1；

3兀_

对于B,y=-sinx,令一sinx=l,^x=—+2kn,左wZ,即B选项导函数值可以取到1；

对于C,y=2lln2,令2/2=1，得2'=々，

m2

由于」三＞1,所以x=log2T1，即C选项导函数值可以取到1；

对于D,y=i--,令i」=i,则Lo,不存在x使其成立，即D选项导函数值不可能取到1,

XXX

故选：D.

3.（24-25高三上•上海宝山•阶段练习）已知y=e，osx,贝!J（）

A.y'=-exsinr

C.y'=V2exsin+：

【答案】D

【分析】根据导数的运算法则计算即可.

【详解】由y=excosx,则y'=excosx+ex•（-sinx）=ex•（cosx-sinx）=V2exsin-xj-

故选：D.

4.（24-25高三上•山西•期中）若函数满足了（“二三'/，⑵必-3X,则广⑵的值为（）

A.-1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】求解导函数，再赋值尤=2,解关于r（2）的方程可得.

【详解】由/（x）=/T〃2）Y_3x,得广（劝=3必一八2）x—3,

则f'（2）=12-2/（2）-3,解得尸（2）=3,

故选：C.

5.（24-25高二下•辽宁•阶段练习）（多选）下列求导运算正确的是（）

A。3。22）'=圭B.（1叫4可=力

2

C.p-1'=-一D.p_lV3x-4

Itanx）sinxx）x

【答案】BC

【分析】根据基本函数的导数公式及复合函数导数求法判断各项正误.

【详解】由ln2022为常数，贝Kln2022）'=0,A错误；

^log44x=l+log4x,则（logqMua+logRJ—^,B正确；

xln4

由[Jg]=fir?x-cos"=__二，©正确；

Itanx）Isin%Jsin2xsin2%

由（A3一=3炉+4_,D错误.

Vx）x

故选：BC

6.（24-25高三上•陕西咸阳•期中）（多选）下列求导运算正确的是（）

c2

-(log23/=0D.(de，)=(2x-x)e

【答案】ABC

【分析】利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则可得选项A,B,C正确，选项D错误.

xcosx-sin%

【详解】A.选项A正确.

B.[x—J=_/—1J=1+4，选项B正确.

C.log23为常数，选项C正确.

D.（%2巧=（%2）c+,ex）=2xex+x2ex+选项D错误.

故选：ABC.

7.（24-25高三上•江苏淮安•开学考试）（多选）下列导数运算正确的是（）

A.（-）r=~B.=e-xC.（tanx），=—D.（1巾）」

XXCOSXX

【答案】ACD

【分析】利用求导公式逐项判断即可.

【详解】对于A,（3'=-±,故A正确；

对于B,(e^y=-e-\故B错误；

/、，,sin%、，cos2x+sin2x1

对于C,(tanx\=(——)'=-----------二——'故c正确;

COS%COSXCOSX

(Inx)r,x>0i

对于D,(1巾»'='=—,故D正确.

11[[ln(-x)],x<0x

故选：ACD

8.（24-25高三上•江苏盐城•阶段练习）（多选）下列导数运算正确的是（）

C.（tanx）'=—^~D.（Igx）,=-^—

cos-xxlnlO

【答案】ACD

【分析】根据求导公式、运算法则和简单复合函数的求导依次计算，即可求解.

【详解】A：（勺=（广＞=-尸=_二，故A正确；

XX

B:(eT)'=(e7).(ry=-e-，，故B错误;

c,、，，sinx、，(sinx)'cosx-sin-x(cosx)'cos2x+sin2x1

c：(tanx)'=(——)'=__<-----a_-——-=------------=——故c正确;

COS%COSXCOSXCOSX

1

D：(lgx)'=故D正确.

xlnlO

故选：ACD

易错点03：混淆“在某点”和“过某点”切线的区别

易错陷阱与避错攻略

典例(2024.新疆.二模)过点(1,4)且与曲线/(x)=V+x+2相切的直线方程为()

A.4x-y=0B.7%—4y+9=0

C.4%-y=0或7%—4y+9=0D.4%-y=0或4%-7y+24=0

【答案】C

【分析】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线.

【详解】设过点(L4)的曲线y=/(%)的切线为：l-y-yo=(3就+1)(%-%0)，

有((3贿+1)(1-%0)=4-y0

Iyo=瑞+a+2

解峨。I:或「。=?，

ky4

°-[y0=l

代入/可得4x-y=。或7x—4y+9=0.

故选：C

【易错剖析】

本题容易误将(1,4)点当做函数的切点而出错，要注意过P点的切线P不一定是切点.

【避错攻略】

1.在点尸的切线方程

切线方程y-/Uo)=f'^^x-x0)的计算：函数y=f{x)在点A(x0,/(%0))处的切线方程为

%=/(x。)

V-/(%)=/'(%)0-%)，抓住关键

k=f'(x0)

2.过点尸的切线方程

设切点为尸(x°,%),则斜率兀=/'(x。)，过切点的切线方程为：y-y0=f'(x0Xx-xQ),又因为切线方

程过点A(〃2,〃)，所以〃-%=/'(%)(相-%)然后解出/的值.(％有几个值，就有几条切线)

【注意】在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.

易错提醒(1)利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：

(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标.

(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点.

⑶曲线y=/(x)“在”点尸(%,%)处的切线与“过”点尸(尤0,%)的切线的区别：曲线y=/(x)在点尸(尤0,%)

处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k=/'(x。)，是唯一的一条切线；曲线y二〃”过点

与无。,为)的切线，是指切线经过点P,点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.

(2)利用导数的几何意义求参数的基本方法

利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，

进而求出参数的值或取值范围.

(3)求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点

(1)注意曲线上横坐标的取值范围；

(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.

举一反三

1.(24-25高三上•广东•阶段练习)函数/(x)=lnx+2x的图象在点(1,2)处的切线与坐标轴所围成的三角形

的面积为()

A.-B.—C.-D.—

2368

【答案】C

【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线方程，进而可切线与坐标轴交点，即可得三角形面积.

【详解】由〃x)=lnx+2x,得/(x)=g+2,/(1)=3,

则的图象在点(1,2)处的切线方程为y-2=3(尤-1),即y=3x-l,

令x=0,得y=T,令y=0,得了=；,

则该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为］xlx2=；,

236

故选：C.

2.(23-24高二下.山西晋城.期末)过原点。作曲线/(%)=e-QX的切线，其斜率为2,则实数()

A.eB.2C.e+2D.e-2

【答案】D

【分析】设出切点，求导，得切点处的切线方程，即可代入原点(0,0)求解.

【详解】设切点(毛,%),则/'(x)=e'-a,

故切点处的切线方程为y=(e&-aj^x-x^+Q^-ax0,故e'。-a=2,

将(0,0)代入得0=_2x()+e&-ox。，i^O=-2x0+a+2-ax0,解得“=—2或无o=l,

若a=-2,贝i]e&+2=2,此时无解，故。=-2不符合题意，

若x()=l,则e-a=2,故a=e-2,此时满足题意，

故选:D

3.(24-25高三•山东临沂•期中)若过点(。力)可以作曲线y=e'的两条切线，贝IJ(

A.e*+1<aB.ea+1<bC.0<b<efl+1D.0<a<e*+1

【答案】C

【分析】根据题意，求出切线方程，然后对b进行讨论即可.

【详解】设切点为尸(无。，%),

对尸尸求导可得：y'=e":

切线的斜率为八。

可得切线方程为：

把点(a,6)代入可得6—e而+1=e"i(a-Xo),

化为人=e『a-/+1),

令f(x)-ex+1(a-x+l),xeR.

f'(x)=ex+1(a-x),

令/'(x)>。得x<a；令/'(x)<。得了>。

所以函数f(x)在(-00,a)上单调递增，在(a,+8)上单调递减，

可得x=a时函数/(x)取得极大值〃a)=ei.

当x-—8时，0,

当Xf+oo时，

：.b<0时，y=b与函数/（X）的图象最多有一个交点，不符合题意，舍去.

b>0时，由过点（a,b）可以作曲线y=ex+1的两条切线，

■-y=b与函数/（%）的图象有两个交点，

..0<b<e"+i.

故选：C.

，易错题通关.

1.（24-25高三上•江苏盐城•阶段练习）曲线y=丁（犬-1）在x=l处的切线方程为（）

A.x=lB.y=lC.y=xD.y=x-\

【答案】D

【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程.

【详解】因为y=f（x_i）,所以y=3/—2x,

所以曲线y=f（xT）在x=l处的切线的斜率为1,

当x=l时，y=o,所以切点为（1,0）,

所以切线方程为y-O=x-l,即产x-i.

2.（24-25高三上•河南•阶段练习）曲线y=e，-2°x在x=0处的切线经过点（2,-1）,则实数。的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】求导，由导数几何意义得到函数在x=0处的切线斜率，结合两点间斜率公式得到方程，求出实数

。的值.

【详解】y'=e-2a,由导数几何意义知，

了=6,-2。尤在工=0处的切线斜率为6。-2。=1一2”，

当x=0时y=l,切线经过点（2,—1）,故有q^l=i_2a,解得a=l.

故选：C.

3.(24-25高三上•海南省直辖县级单位•阶段练习)函数y=£■在点(0,-1)处的切线与两坐标轴围成的封闭

图形的面积为()

A.-B.­-C.-D.1

842

【答案】B

【分析】求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而可得交点坐标和面积.

【详解】因为，=一=1—则~m，可得川户。=2,

即切点坐标为(0,-1),切线斜率为2,

则切线方程为》=2x-l,其与x轴交点为],oj,

所以切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为gxgxl=5.

故选：B.

4.(24-25高三上•天津武清•阶段练习)若直线y=Ax与曲线>=1研+1相切，贝”=()

2x

A.1112H—B.—C.—D.4

424

【答案】B

【分析】设出切点坐标P(%o，y°),求导并利用导数的几何意义与两点间的斜率公式计算可得直线斜率.

【详解】设直线尸入与曲线y=hu+二相切于点P(%o，y。)，

2x

111124—1

求导可得y'=--；7方，因此切线斜T率—力=)2，

x2%/o

11八

llLVnH---------0

又切线过原点。(0,0),可得工」2%=2々-1,化简可得以n%-%+1=0,

令g(x)=xlnx-x+l,则g[x)=lnx+l-l=lnx,

当(0,1)时，g'(x)<0,即g(无)在(0,1)上单调递减，

当x6(1,+8)时，g'(x)>0,即g(尤)在(1,+8)上单调递增，

所以g(x)在尤=1处取得极小值，也是最小值，g⑴=。，

因此可得%=1,即可得％=看­=].

故选：B

5.（2024•河南洛阳.三模）（多选）若过点尸（1,0）作曲线y=V的切线，则这样的切线共有（）

A.0条B.1条C.2条D.3条

【答案】C

【分析】设切点为（天,只），利用导数的几何意义及点斜式直线方程求出切线方程，根据过点尸（1,0）建立方

程，求得切点的个数即为切线的条数.

【详解】设切点为（如其），由y=所以y=3x2,得y，1『=3片，

所以切线方程为>一片=3片卜一.）,即y=3年x-2尤;.

3

因为切线过点尸（L。），所以0=3年-2年，解得无。=0或x0=5，

所以过点尸（1，。）作曲线y=V的切线可以作2条.

故选：C

6.（24-25高三・山东日照・期中）已知过点A（a,0）作曲线y=xe，的切线有且仅有两条，则实数。的取值可能

为（）

A.-2B.-3C.-4D.-5

【答案】D

【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，并将点A的坐标代入建立方程，求出方程有

两个不等实根的参数范围即可.

【详解】设切点为（Xo，x（）e&）,由〉=立,,求导得y'=（x+l）e",

则切线方程为：y=（与+l）e两@一5）+/“”，而切线过点（。,0）,

于是0=（%+1）6'%-唾%,又e、e>0，则君-.-a=O,

依题意，方程x：-ax0-a=O有且仅有两个不等实根，则A=</+4a>0,

解得。>0或a<T,所以。=-5符合题意.

7.（23-24高二下•北京西城・阶段练习）已知直线》=叱-2是曲线y=lnx的切线，则切点坐标为（）

A.9，一"B.（e,l）°D.（0,1）

【答案】A

【分析】设切点坐标为（r,ln。，利用导数的几何意义求出切线方程，对比系数即可求出切点坐标.

【详解】设切点坐标为(r,lnf),因为(lnx)'=L所以在点(Qnr)处切线的斜率为1,

xt

所以曲线y=lnx在点处的切线方程为=,

1

1—=e1

即y-ln/=-x-1,所以，解得t=—,

,J-2=lnr-le

所以切点为g，T；

故选：A

8.(24-25高三上•上海•开学考试)经过点尸(1,-2)可以作与曲线2尤3_3x-y=0相切的不同直线共有()

A.0条B.1条C.2条D.3条

【答案】D

【分析】设切点为(不，23%),则切线的斜率为6/-3,又切线过点P(L-2),可得4只-6x：+l=0,设

g(x0)=4^-6^+l,由导数的单调性和零点的存在性可得g(x0)与x轴有3个交点，则有3条切线.

【详解】设切点为(%，-3%),y=6X2-3,

则切线的斜率为6%-3,

又切线过点尸(1，-2),

所以遍-3x0+2=(6xg-3)(A:0-1),

则4第一6焉+1=0,设g(/)=4片一6片+1,

贝1Jg'(%)=12片一12%,令g"o)=O,

解得％=。或%=1,

当&e(-oo,0)和％e(l,+oo)时g'N)>。，函数g(%)单调递增,

当飞e(0,1)时/(%)<0,函数g(%)单调递减，

Xg(-1)=-4-6+1=-9<0,g(0)=1>0,

g(l)=4-6+l=-l<0,g(2)=4x8-6x4+l=9>0,

所以存在石e(fo,0),g(%)=0；Xje(O,l),^(x2)=O；x,G(l,4w),g(x3)=0,

所以g(%)=4片-6片+1与x轴有3个交点，

则经过尸(1，-2)有3条切线.

故选：D.

易错点04：利用导数求函数单调区间忽略定义域

，易错陷阱与避错攻略

典例(23-24高二下•宁夏吴忠•期中)函数/(x)=生的单调减区间为()

Inx

A.(-s,e)B.(O,e)C.(l,e)D.(0,1)和(l,e)

【答案】D

【分析】求出函数的导数，再解不等式即得答案.

YInx—1

【详解】函数的定义域为(°，D=(L+8)，求导得/(%)=7rrr，

lux(Inx)

由/'(x)v。，即v0，解得0<%<1或l<x<e,

I(l>ux)，

所以函数/(尤)=F的单调减区间为(°，D和0，e).

Inx

故选:D

【易错剖析】

本题容易忽略定义域为(。，1)=(1，y)而错选B.

【避错攻略】

1.函数单调性的判定方法

设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果尸(x)>0,则y=〃x)为增函数；如果尸(x)<0,则y=/(x)

为减函数.

【解读】①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；

②在某个区间内，/''(x)>0(/'(x)<0)是函数/(X)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必

要条件.例如，函数/(x)=V在定义域(—8,+oo)上是增函数，但广。)=3炉》0.

2.求可导函数单调区间的一般步骤

①确定函数/(x)的定义域；

②求尸(x),令/'(x)=0,解此方程，求出它在定义域内的一切实数；

③把函数于(x)的间断点的横坐标和/"(x)=0的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把

函数/(x)的定义域分成若干个小区间；

④确定了'(x)在各小区间内的符号，根据了'(X)的符号判断函数/(x)在每个相应小区间内的增减性.

3函数在区间上单调与求函数单调区间

尸（x）>0=/（X）单调递增；/（x）单调递增=于'（X）>0；

/（x）<0=，（*）单调递减；，（x）单调递减nf'（x）<Q.

易错提醒：（1）求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后再定义域上求

函数的单调区间；（2）含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等

于。有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内.

举一反三

1.（2024•黑龙江佳木斯•模拟预测）若函数〃x）=：x2-3x-41nx,则函数/（x）的单调递减区间为（）

A.（4,+co）B.（0,1）C.（0,4）D.（1,4）

【答案】C

【分析】求函数/（%）的导数，利用导数小于零并结合定义域得出结果.

【详解】函数=-3x-41nx,定义域为（0,+力），

由尸（力=彳_3_3=3X4=（x4）（x+l）,令/（力<0,解得o〈尤<%

XXX

则函数“X）的单调递减区间为（0,4）.

故选：C.

2.（2024全国•模拟预测）已知函数"x）=ln（x-2）+ln（4-x）,则/（x）的单调递增区间为（）

A.(2,3)B.(3,4)C.(-8,3)D.(3,+巧

【答案】A

【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间.

IA:-2>0/、/、

【详解】由47>0得：2Vx<4,即/（力的定义域为（2,4）；

因为（何=为1_2(3-x)

4-x(x-2)(4-x)

所以当xe（2,3）时,f'（x）>0；当x«3,4）时,尸（x）<0；

所以/（x）的单调递增区间为（2,3）.

故选：A.

3.（24-25高三上•湖南长沙•阶段练习）设/0）=（工2+Qx）lnx+；f,

（1）若。=0,求/（尤）在x=l处的切线方程；

⑵若aeR,试讨论f0）的单调性.

【答案】（1）4彳-2»-3=。

（2）见解析

【分析】（1）当。=。时，先求导，再求广（1）,7（1）,利用点斜式即可写出切线方程；

（2）分aNO,--2＜a＜0,a=-2-,。＜-2女四种情况，结合求导讨论即可求解.

eee

【详解】（1）若Q=0,贝1_]/（%）=公欣+；尤2,=1

又/'（x）=2xlnx+%+%=2工（成+1）,故/"）=