2025届高考数学复习解答题：三角函数与解三角形

解答题：三角备熬与解三角形

目录】

题型一:三角慢等交换与三角函数....................................................1

题型二:正余裁定理解三角形的边与角................................................3

题型三:利用正裁定理求三角形外按圄................................................6

题型四:解三角形中边长或周长的最值范围...........................................8

题型五:解三角形中面积的最值沱国.................................................10

题型六:三角形的角平分线、中线、垂线..............................................12

必刷E..........................................................................17

题型一:三角恒等交换与三角函数

模块

option大题典例，

例1：(24—25高三上•河南・月考)已知向量后=(cos/+sin力，通sin/),?t=(cos/—sin力,2cos/)，函数g(/)=

m•n.

(1)求g(C)的最小正周期;

【答案】⑴兀；⑵[1,2).

【解析】（1）。（力）—rh-n—cos2力—sin?6+2，^sin力cos/，=cos26+V3sin2a?=2sin（2/+?

\6

・・・gQ）的最小正周期T=^~=7t;

^U=2x+^,-：xE[o,y],：.uE[y.-y],

由图知，当14QV2时，g=2sinu(〃e的图象与直线g=Q有两个交点,

实数a的取值范围为[1,2).

解法指导

此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。

1、首先要通过降幕公式降幕，二倍角公式化角：

(1)二倍角公式：sin2a=2sinacosa(S2£Z);cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a(G。

1—cos2a

（2）降累公式：cos2a=l+^s2asin2a=

2

2、再通过辅助角公式“化一”,化为y=Asin(cox+cp)+B

3、辅助角公式：asina+bcosa=Va2+&2sin(«+p),其中tan(p=—.

4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算:

一般将+0看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的问题（零点

问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。

膜块

oplion变式训练，

【变式1】（24—25高三上•江苏常州•月考）如图，已知函数/（力）=2sin（06+0乂0>O,|R|V*）的图象过点

A（O,1）和3（羯一2）（的〉。），且满足|=V13.

(1)求/(c)的解析式；

⑵当cC[一十,1]时,求函数/Q)值域.

【答案】⑴fQ)=2sin(胃/+1);⑵[0,2]

【解析】⑴由A(O,l),-B(ico,—2)(cco>O),|AB|=V13,#rco+9=13,g>0,则x0=2

又/(。)=1，即sin(p)=/,㈤V取得p=专,

由/⑵=-2,得sin(2ft)+))=-1,

根据图象可知20+亲=乎，解得3=等

.•./(2)=2sin(蓍<+[).

(2)-.'xE[―^>1],+yC[o,普]，故sin(人必+专)G[0,1],

/(t)=2sin+专)e[0,2],即/(2)的值域为[0,2].

•M

【吏式2】（24-25高三上.北京.期中）已知函数/（2）=sin2rc+2sinacos/—COS2T.

（1）求/（力）的最小正周期；

（2）求不等式/（力）>-1的解集；

（3）从条件①,条件②,条件③选择一个作为已知条件，求m的取值范围.

①/（力）在（0,772）有恰有两个极值点；

②/（力）在（0,m）单调递减；

③/（力）在（0,加）恰好有两个零点.

注:如果选择的条件不符合要求，0分;如果选择多个符合要求的条件解答，按第一个解答计分.

【答案】⑴兀；⑵,"《苧+时,府—};⑶答案见解析

【解析】（1）因为f（x）=sin2a;+2sin/cos力—cos2a;=2sin力cos/—（cos2a7—sin2rr）=sin2力—COS2T=

A/5"sin（26—）.

所以/（劣）的最小正周期为f=兀

（2）因为f（x）=方sin（2力一（■）>—1,即sin（2/一宁）>—,

则一£+2E&2/一£4苧+2版#GZ,解得力+k兀，

所以不等式/（力）>—1的解集为{力卜兀《力《专■+k7C,kez}.

（3）因为力e（0,小），所以2力一十6

若选择①：因为/（力）在（0,m）有恰有两个极值点.

则萼V2m—4《萼，解得圣〈山《坐，

242oo

所以小的取值范围（二,岩］;

若选择②：因为/（力）在（0,772）单调递减

当2%—£e.昼）时,/（%）函数递增，

所以f（a）在（0,m）不可能单调递减，所以②不符合题意；

若选择③：因为/（劣）在（0,772）恰好有两个零点.

则7i<2m—2兀，解得粤~<m&粤~,

488

所以m的取值范围（萼,等］.

\3oJ

题型二:正余弦定理解三角形的边与角

模块

oplion大题典例，

例2：（24-25高三上•福建南平•期中）在锐角AABC中，角。所对的边分别为a,b,c.已知cos2（A+B）=

__3

4

（1）求tan2C;

（2）当c=2a,且b=时，求Q.•••

【答案】(1)—彳；(2)平

【解析】⑴因为cos2(A+B)=—|-,

所以cos2(A+B)-sin2(A+B)，即cos?。—sin2C=-j,

所以cos2。一si"。_1一tai12c___3

cos2C+sin2C1+tan2C4'

所以tan2C=7,

又因为C为锐角，所以tanC=V7,

2tanCV7

所以tan2C==

1—tan2C3

⑵由⑴知tanC=，7且。为锐角，

所以cosC=,

所以=&2+〃_2abcosC,即4c?=a?+.-2ax?x辛,

所以12a2+VTia-7=0.解之得a=卫工

0

解法指导

利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：

1、选定理.

（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；

（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；

（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；

（4）己知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；

（5）已知两边及其一边的对角，求另一边,利用余弦定理；

2、巧转化:化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化;若将条件转化为边之间的

关系,则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.

3、得结论:利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角,三角形的内角取值范围等），并注意利

用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。

模或

option变式训练・

【变式1】（24—25高三上•江苏苏州・月考）记4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a（V2-cosB）

=2bcos2j^.

（1）证明：&+c=V2a;

（2）若a=2,tanBtanC=3,求sinA

【答案】（1）证明见解析；（2屈114=彳1

【解析】⑴由已知结合正弦定理，得sin4，^—cos_B）=2sin_Bcos2等，•••

化简得sin>l(V2—cosB)=sinB(l+cosA),

艮!7sin24cos+cosAsinB+sinB=V2sinA,

所以sin(A+B)+sinB=V2sinA,

又4+B=7r—。，所以sinB+sinC=V2sinA,

故由正弦定理得b-\-c—V2a.

sinBsin。

（2）因为tan_BtanC=3,所以

cosBcosC

所以sinBsinC—cosBcosC=2cosBcosC,

所以一cos(_B+C)=2cosBcosC,

结合石+。=兀一A,可得一cos(_B+C)=cosA,故cosA=2cosBcosC,

由(1)知b+c=V2a=2A/2,

(b+c)24_J__

由余弦定理得cosA=6点，——

2bcbe'

则2_1=2•4+2一1.4+2—2

be4c4b'

化简得16—8bc=(4+c2—62)(4+62一。2)=16—0+c)2(b—c)2,

代入b+c=2V2,整理得16-8bc=16-8(6—c》，所以be=与，

5

91

所以cosA=----1=,

be4

故sinA=V1—cos2A=---.

4

【变式2】（24-25高三上.上海.期中）在4ABC中，角4、石、C所对的边分别为Q、b、c,已知a=5.

⑴若/=看，b=3c,求c;

o

(2)若/.=£,5csiikB=3b,求△4BC的周长.

6

【答案】⑴C=邛^;⑵15+3加或7+31.

【解析】⑴根据余弦定理。2=〃+。2—2bccosA,已知a=5,A=^-,b=3c.

将b=3c,Q=5,COSA=代入余弦定理公式可得：

52=(3c)2+c?—2x3cxcxJ化简得c?=

解得c=，q-(因为边长不能为负，舍去一3个).

(2)已知5csirkB=3b,由正弦定理［“77=—^―-可得5sinCsiiLB=3sin_B.

smBsmG

因为sinBW0,可得sinC=.

5

因为a=5,A=9，QVc时。有两解（C为锐角或钝角）.

6

当。为锐角时，cosC=

5

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,sinA=-1-,cosA=.

则sinB=JX!+乎X弓=4+y.

ZiOZiOJ.U•••

再由正弦定理-^―=-7^—,可得b=Qsinf-=5x4+产x2=(4+373).

smBsmAsmA10

ca―坦asinC3日

盂「可信C=MT=5cX至X2o=6.

sin。

此时三角形周长为a+6+c=5+(4+3V3)+6=15+373.

当。为钝角时，cosC=―3.

5

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=x(一春)+义卷=3A.

由正弦定理一^^=一％,可得b=gm，=5x-3"12x2=(3V3-4).

smBsinAsinA10

c_a

可得c=管呼=5X-|-X2=6.

sinCsinAsinA5

此时三角形周长为a+b+c=5+(3V3-4)+6=7+373.

则△ABC的周长为15+3四或7+3V3.

题型三:利用正弦定理求三角形外接圆

option大题典例，

：(24-25高三上•全国・专题练习)△AB。的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,已知此叶应

ab

2sin°B-sin°A

sin°A

⑴求。的大小；

(2)若△ABC面积为6四，外接圆面积为粤■兀，求△4BC周长.

O

【答案】⑴告；⑵18

［解析］(1),,\+。2-。2_2sin°B—sin04_2b—a

absin°Aa

ab=b2+a2—c2,

川+江―。21

:.cos°C=

2ab2

.:ce(0,兀),.•.C=看.

⑵设△ABC外接圆的半径为A,

由5圆=HR2=弓■兀，得R=N弋,

OO

因为’77=22?=斗③，解得c=7,

smC3

VS^BC=absin°所以ab=24,

又c?=〃+/—而=(0+匕)2—,

所以49=(a+b)2—72，故a+b=11,

所以/\ABC周长a+b+c=18.

解法指导

利用正弦定电心=磊=就7=2R可求解三角形外接圆的半径。

若要求三角形外接圆半径的范围，一般将五用含角的式子表示,再通过三角函数的范围来求半径的范围。

O|lliD]l变式训练，

【变式1］（24—25高三上•海南•月考）如图，平面四边形ABCD内接于一个圆，且AB=5,3。=30，A为钝

（1）求sin/ABO；

（2）若BC=5,求ABCD的面积.

【答案】（1）驾；（2）15

【解析】⑴因为4为钝角，sinA二卷，所以cosA=—J1—=―点,

由余弦定理得(3V5)2=AD2+52-2XAOX5X(―日),

整理得AD+8AD-20=(4D+10)(4D—2)=0,解得4D=2(负根舍去),

2xf_2V5

ADBDADxsinA

由正弦定理得sinZABD=

sin/ABDsinABD3V5—25

（2）由于圆的内接四边形对角互补，所以sinC=sinA=§且C为锐角，则cos（7=3,

55

在三角形BCD中，由余弦定理得：

(3V5)2=52+CD2-2x5xCE>x4,CD2-8GD-20=(CD-10)(CD+2)=0,

o

解得CD=10(负根舍去)，

所以三角形BCD的面积为!xBCxCDxsinC=Jx5x10x=15.

/0

【变式2］（23—24高三下•浙江•模拟预测）如图，在平面内的四个动点A,B,C,D构成的四边形ABC。中，

AB=1,BC=2,CE>=3,AZ?=4.

（1）求△ACD面积的取值范围；•M

⑵若四边形ABCD存在外接圆，求外接圆面积.

【答案】⑴（0,2方）；⑵嘿*

Zoo

【解析】（1）由三角形的性质可知，AB+BOAC,^AC<3,

且AC+CD>AD,即AC>1,所以1VACV3,

AADC中，cos/ABC=，名斐=25

2x3x424

所以cosAADCC信,1）,则sinZADCC（0,手），

S4Aoe=X3X4XsinZADC=6sinZA£>C,

所以ZVI。。面积的取值范围是（0,2/5）;

⑵△ADC中，AC2=9+16-2x3x4xcos/ADC=25-24cos/ADC,

△ABC中，AC2=1+4—2xlx2xcosAABC5-4cosZABC,

即25—24cos/ADC=5—4cos/ABC

因为四边形ABCD存在外接圆，所以AADC+AABC=180°,即cos/ADC=—cos/4BC,

即25-24cos/AZ?C=5+4cos/AOC,得cosZADC=y,sin/ADC=Jl-借j=,

此时人。2=25—24乂率=?,即4。=上弊，

由？*AC_V23W._V23W

由2R-诟z诙-R

四边形ABCD外接圆的面积S=兀守=兀x（吗叵/=空警.

\24）2oo

题型四:解三角形中边长或周长的最值范围

大题典例模

::（24-25高三上•四川绵阳・月考）在锐角△ABO中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,b2=c2-ab.

（1）求证：C=2B；

（2）6=2,求a的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）2<a<4.

【解析】（1）在锐角4ABC中，由余弦定理b2=a2+—2accosB及〃=c?—ab,得2ccosB=a+b,

由正弦定理得2sinCcosB=sinA+sinB=sin（B+C）+sinB=sinBcosC+cosBsinC+sinB,

则sin（C—B）=sinB岫0<C<^,0<B<*^—5<C—3<5,

所以=即。=2B.

⑵在锐角AABC中,由正弦定理得心=焉,则J—2口）=sib,

2sin（B+2B）_2（sinBcos2B+cosBsin2B）

于是a==2cos2B+4cos2B=8cos2B—2,

sinBsinB

fO<2B<f

由2，得专贝cosBE

0〈兀-3B<C-y

所以a的取值范围是2VaV4.

解法指导

利用正、余弦定理等知识求解三角形边长或周长最值范围问题，一般先运用正、余弦定理进行边角互化，然后

通过三角形中相关角的三角恒等变换,构造关于某一角或某一边的函数或不等式，再利用函数的单调性或基

本不等来处理。

变式训练，

【变式1】（24—25高三上•山西・月考）在AABC中，角A,B,C的对边分别是a,6,c,且（fe+c）cosA=

a（cosB—cosC）.

（1）证明：Z=2A

（2）若△ABC是锐角三角形，求之的取值范围.

a

【答案】⑴证明见解析；⑵（空,乎）.

【解析】（1）由题设（sinB+sinC）cos74=sinA（cosB—cosC）,

所以sinBcosA+sinCcosA=sinAcosB—sinAcosC,

贝”sinCcosA+sinAcosC=sinAcosB—sinBcosA,即sin(A+C)=sin(A—B),

又4+。=兀一则sin(7r—B)=sinB=sin(4—B),且ABE(0,兀)，

所以6=_4-604=2石,得证.

0<A<f0<2B<f

⑵由题设＜0<B<^，即<0<B<f，得

/64

号VA+BVTTf<3B<7L

sinB_sinB故”停修.

由立1,而cosBE

asinAsin2B2cosB

【变式2】（24-25高三上•贵州遵义・月考）记△AB。的内角A,。对应的三边分别为a,b,c,且，^sinB+

cosB=1.

⑴求B;

（2）若6=3,求△ABC的周长的取值范围.

【答案】（1）B=等；（2）（6,2盗+3]

O

[解析】⑴因为V3sinB+cosB=1,所以2sin（B+｝）=1,即sin（B+今）=~~,

因为（0,兀）,所以石+袭=萼，即石=警；

663

（2）因为石=与1=3,由正弦定理得」彳二二不=/五=*=2通，

3smAsmGsmBV3_

2

则Q=2V3sinA,c=2V^sin。，又A-\-BC=TC,

则。=兀一B—人=等一A,且AC（0,兀

3

所以a+b+c=2V3sinA+2V3sin^——力)+3=2VssinA+3cos4—V3sin>l+3

•M

=V3sinA+3cosZ+3=2V5sin(4+1)+3

因为Ae(o4)，所以〃+qe管,金，则sin(4+1)e(孚,1],

所以a+b+cE(6,2A/3+3],

综上可知，三角形ABC的周长的取值范围是(6,2代+3].

题型五:解三角形中面积的最值范围

模块

option大题典例，

例5：(24—25高三上•辽宁沈阳・月考)已知△ABC中，角的对边分别为a,6,c,满足KbsinC—ccosB

=C.

⑴求角A

⑵若△ABC为锐角三角形，且a=2,求△ABC面积的取值范围.

【答案】⑴誉；⑵

O

【解析】(1)因为，^bsin。-ccos_B=c,由正弦定理得，^sin_Bsin。一sinCcos_B=sin。,

因为0VCVTU,可得sinC＞0,所以V3sinB-cosB=1,所以sin(_B—京)=十,

又因为0＜BV兀，所以6=/，解得B=g

663

⑵由⑴知_B=看，且a=2,

o

又由正弦定理得丁旦丁:一其，可得。=T7・sinC,

sinAsinCsmA

△a.八V3sinCV3sin(^-A)空cosA+/siiM)

所以S=acsinB=c=-------------sinO=------------=----------------------=---------------------------------

2sinAsinAsinAsinA

2+2tanA

因为△ABC为锐角三角形，所以且0＜。=牛一可得

23262

所以0＜小;＜或鼻，所以△ABC面积的取值范围是(建,2代)

则tanA>

32tanA2\2/

解法指导

1、常用三角形的面积公式：

⑴s=「总；

⑵S=-^-absinC=-1-acsinB=-1-&csinA；

(3)S=Jr(a+b+c)(r为三角形内切圆半径)；

(4)S=Jp(p—a)(p—b)(p—c),即海伦公式，其中p=^-(a+b+c)为三角形的半周长。••

2、求面积的最值范围，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形面积用所设变量表示出来,再利用

正余弦定理列出方程求解。注意函数思想的应用。

模块

option变式训练，

【变式1】（24—25高三上•江西•期中）已知△ABC中，角48,。所对的边分别为a,b,c,且^

bab

3

4acosB

⑴求cos_B;

⑵若b=4,求△ABC面积的最大值.

【答案】⑴,；⑵4a.

3

【解析】⑴由△衿+"禁得acosC+ccosA=---—

bab4acosB4cosB

由正弦定理，得sinAcosC+sinCcosA=子口与

4cosG

因为sinAcosC+sinCcosA=sin(>l+C7)=sin_B,且0<BV7U,sinB#0,

综上，-3己=1=cosB=-y.

4cosB4

(2)因为fe=4,cosB=-1-,

由余弦定理，得16=Q?+c?—2accosB=a2+c2-^-ac>2ac—^-ac=-1-ac,

所以ac432,当且仅当a=c=4A/2时取等号，

因为sinB=V1—cos2B=—j=,

所以AABC面积5=］切5由54，x32x4=4/7,即△ABC面积的最大值为477.

【变式2】（24—25高三上•河南•月考）在△ABC中，内角A,B。所对的边分别为a,b,c,且满足

a+b_c

cosA+cosBsinC

⑴求。的值;

⑵若△46。内有一点P,满足AAPB=AAPC=ACPB=等，CP=1,求4ABe面积的最小值.

O

【答案】⑴俳；⑵唱+3

a+bc

【解析】（1）因为

cosA+cosBsinC

由正弦定理得,2Rsm4+21temB27teinC

cosA+cosBsinC

所以sin—+sing=1,sinA—cosA=cosB—sinB,

cosA+cosB

所以，5sin（?l—于）=—，^sin（B—,

艮I7sin（A—壬）=—sin（_B—1）=sin（B—十+兀）=,

又因为ABC是三角形得内角，显然A—今+亨，所以（A—1）+（口+乎）=兀,•M

即A+B=所以

⑵法一：由⑴得：，设PA=rn,PB=n,

在/\PAB中，由余弦定理得，AB2—m2+n2-2mncos^-=m2+n2+mn,

同理在△PBC,AR4C中有：3。=稼+1—2ncos^=4+1+n，

o

AC2=m2+1—2nze=m2+1+m,

o

又因为△AB。是直角三角形，所以AB2=石02+4。2,

所以m2+n2+mn=m2+九2+777,+九+2,即rnn=m+n+2,

7n

所以n=可-，因为n>0,771+2>0,所以？n—l>0,即?7i>l,所以

m—1

--

S△ABC'='SS/\PRC~\~S/\p40=画Trvrb•sin"\~"2"X1,?i,,sin.2X1,???,•sin?

二§（m+九+nm）=§（机+九+1）=§（机+1+）=§+§（机+）,

T+夸乎•（叱只2<7+3卜乎+空色T）+「

）乎+乎.（2而二1yH+2）=乎+§.（2遍+2）=竽+3,

当且仅当m—1=—^―-，即m=九=1+A/3时取等号.

△ABC的面积的最小值为专■+3.

m〃

------------------

法二:在△4BC中，设_R4二：x,PB=y,

2

由余弦定理可得，AC2=x-+力+1,BC=g2+g+1,A_g2=力2+力。+y2

由勾股定理可得H+力+1+92+。+1=22+力沙+靖，即2+1+^=Xy

而$/^/3。=5（1乂2；+1Xy+xy）sin^-=^（x+y+xy）=^-（2xy-2\

由基本不等式/+g＞2^/xy，所以明＞2+,可解得图＞4+2A/3（由上图＞2）,

当且仅当x—y—43+1时等号成立，

所以△ABC面积最小值为6+产.

题型六:三角形的角平分线、中线、垂线

模块

oplion

：（24-25高三上・江苏徐州・月考）已知AABC内角A,B,C的对边分别为a,6,c,且2c=26cosA—a.

(1)求角B;

(2)若BD是角B的平分线，AD=46,CD=2，7,求线段的长.

【答案】⑴氏笔；⑵4.

O

【解析】(1)已知2c=2bcosA-a,由正弦定理-^―=-^―=-^―=2R(R为A4BC外接圆半径),

smAsmBsmC

可得2sinC=2sinBcosA—sinA.

因为A+_B+C=兀，所以。=兀一(A+B),那么sinC=sin(7U—(A+B))=sin(A+B).

根据两角和的正弦公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

贝寸2(sinAcosB+cosAsinB)=2sinBcosA—sinA.

展开可得2sinAcosB+2cosAsinB=2sinBcosA-sinA

移项可得2sinAcosB=—sinA.

因为AE（0,兀），所以sinAW0,两边同时除以sinA得2cosB=—1,解得cosB=—~

又因为Be（o,兀），所以B=等.

o

（2）因为BD是角B的平分线，根据角平分线定理袈=恶，

已知AD=4^7,CD=2^7,所以=4噌=2,设BC=/，则AB=2x.

BC2V7

在△ABC中，根据余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosB,

AC=AD+6/,B=誓，则(677)2=(202+/_2x2,x①x(—A).

o/

即252=4"+"+222=722,解得2=6,所以口。=6,AB=12.

在AABD中,根据余弦定理cos系=AB'牝UD2,

N2AB♦

因为石=等，所以cos导=cos看=看.

9+4一日⑺2

设BD=g,则］=

2x12g

即12g=144+1一112,整理得y2-12y+32=0.

分解因式得(g—8)(g—4)=0,解得y=8或y=4.

22

止Q尢八cnn由CB+BD—CD?36+64—28723,/nnc本上

当夕=8,在△CBD中，2cB-BD=2x6x8=疏=W*cosZDBC,舍去.

222

士-/I左ACRC由CB+BD-CD36+16-28241/crl净？

当夕―4,在△CBD中,2cB迎=2X6X4=而=万="s/Z汨。,，两足.

故的长度为4.

解法指导

1、解三角形角平分线的应用

如图，在XABC中，AD平分/历LC,角A、B,C所对的边分别问a,b,c

13

A

（1）利用角度的倍数关系：4BAC=2/BAD=2/CAD

（2）内角平分线定理：AD为XABC的内角ABAC的平分线，则卷=倦.

说明:三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可

以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。

⑶等面积法:因为+71s°,所以~~c•4Dsin等+-^-b-ADsin等=-^-bcsinA,

所以（b+c）4。=2&CCOS4，整理的：4。=角平分线长公式）

2、解三角形中线的应用

⑴中线长定理:在AAB。中，AD是边上的中线，则AB2+AC2=2（BL>2+AD2）

【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中

（2）向量法:AD"—（b2+c2+2bccosA）

【点睛】适用于已知中线求面积（已知缥的值也适用）.

3、解三角形垂线的应用

⑴即hv刈分别为A43C边a,b,c上的高，则%:闻：用=!」」=—J—:」一:」一

abcsin/sinBsinC

（2）求高一般采用等面积法,即求某边上的高,需要求出面积和底边长度

高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。

模块

变式训练，

【变式1】（24—25高三上•福建福州・月考）的内角所对的边分别为a,b,c,已知

C

sin（A—B）

sin。

⑴求A;

（2）若。为BC中点，人。=*要，AC=3,求△ABC的周长.

【答案】⑴『⑵4+a

【解析】（1）j=sin（"B）,由正弦定理得，sin。—日nB=sin（A1）,

csmCsmCsmC

即sinC-sinB=sin（A-B），因为4+石二兀一（7,所以sinC=sin（A+B）,

所以sin（A+B）—sinB=sin（A—B）,

化简得2cosAsinB=sinB,又sinBW0,

可得COSA=,0<A<7L,•••

则由『=其=+(加+万丫=1(AB2+AC2+2AB-AC^号，

即|AB|2+9+2|AB|x3x寺=13,整理得|AB|2+3|AB|-4=0,解得AB=1或一4(舍去)，

在AABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABxACxcosA=l+9—2xlx3xq=7,

.•.BC=J7,所以△ABC的周长为1+3+J7=4+，7.

【变式2】（24—25高三上•广西南宁・月考）已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知。=

C

sin2B

2sinA+sinB

⑴求角c；

（2）若点D在边4B上，6=2,CD=1,请在下列两个条件中任选一个,求边长AB.

①CD为AABC的角平分线;②CD为AAB。的中线.

【答案】（1）等；（2）24

O

【解析】（1）在4ABC中，由正弦定理知立=宜畛

csmC

所以sin8_sin2B2sinBcosB

sinC2sinA+sinB2sinA+sinB

2cosB

又_Be（0,兀），所以sinB>0：1

’sinC2sinA+sinB'

2sinA+sinB=2cosBsinC,

又A=兀一(_B+C),2sin(B+C)+sinB=2cosBsinC,

2sinBcosC+2cosBsinC+sinB=2cosBsinC,

化简得2sinBcosC+sinB=0,即cos。=―,

又ce(0,无)，所以。=等.

⑵选①，5为△ABC的角平分线，

由S/D+SABOD=S4ABe得：］CA•CD•sinZACD+^-CB-CD-sin/BCD=^-CA-CB-sinZACB,

即,所以a+b—ab,

又6=2,所以a=2,

在△ABC中，由余弦定理得c2=a2+&2-2abeos。=22+22—8cos=12,

o

所以AB—c—2V3.

选②，CD为△ABC的中线，

--------►-------►--------►----------------------------------------------------------►O-------►O-------

则C4+CB=2CD,平方得C4+CB+2CA-CB=4CD,

所以〃+Q2+2abeos。=4X12,所以/+〃一而=4,

又匕=2,所以a=2,

在△4BC中，由余弦定理得c2=a2+&2-2abeos。=22+22—8cos=12,

o

所以AB—c—