2025届高考数学二轮复习：圆与方程（含解析）

2025届高考数学二轮复习专题卷圆与方程

本试卷满分150分,考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.若圆C与x轴相切，且圆心坐标为（1,2）,则圆C的方程为（）

A.x2+y~-2x-4y+l-0B.x2+y2-2x-4y-l=0

C.%2+_y_—2x—4y—3—0D.x~+_y2—2x—4y+3—0

2.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果.其中有这样一个结论：平

面内与两定点距离的比为常数/l/wl）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点

0（0,0）,4（4,0）,动点P（x,y）满足曰=！，则点尸的轨迹q与圆C:（x—1了+（y+1了=1的

\PA\3

公共弦长为（）

A巫B.aC巫D4

1313

3.已知A（2,0）,B（-1,1）,动点满足6|砌=夜.记动点”的轨迹为曲线G则曲线C

的方程为（）

A.X2+J+]6x-4y+8=0B.炉+J-8x+4y+8=0

C-x2+y2-16x+4_y+8=0D./+J+16x-4y-8=0

4.已知圆G：/+V+4ax+4a2-4=0和圆:%2+y2-2勿+Z?2-1=0只有一条公切线，若

a,b^R,且abwO,则二+二的最小值为（）

ab

A.2B.4C.8D.9

5.已知点A（2,0）,B（0,2卜点C为圆九2+,2_6%_6y+i6=o上一点厕△ABC的面积的最大值

为（）

A.12Bp&C.30D.6

6.已知曲线。：必+）?2+27〃氏一2丁+2=0表示圆，且点尸（1,2）在曲线。外,则根的取值范围是（）

3

A.—,+co1)(1,+co)

2

D.(1,+co)

7.已知圆C:x~+y2—6x—8y+21=0,O为坐标原点，以OC为直径的圆C与圆C交于A,8两

点，则下列结论错误的是（）

A.直线AB的方程为3x+4y—21=0

B.|M==一

C.OA,06均与圆C相切

D.四边形CAOB的面积为4721

8.已知a,b,e是平面向量，且e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为TT巴，向量b满足

4

b-^e-b+3=0,则卜—司+卜―e|的最小值是（）

A.>/5-2B.\fs-1C.2D.>J5

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.已知曲线C：ax2+ay2—2x+4a2y=0,下列结论正确的是（）

A.当=0时，曲线C是一条直线

B.当a/0时，曲线C是一个圆

C.当曲线C是圆时，它的面积的最小值为2兀

D.当曲线C是面积为5兀的圆时，同=1

10.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线

被后人称为三角形的“欧拉线''.若△ABC满足AC=5C,顶点A（l,0）,5（—1,2）,且其“欧拉线”

与圆M:（x—3）2+y2=产相切，则下列结论正确的是（）

A.圆M上的点到原点的最大距离为3+J5

B.圆M上存在三个点到直线x-y-1=0的距离为夜

C.若点（x,y）在圆M上，则上的最小值是-J5

D.若圆M与圆V+（y—4=2有公共点，则aG[-3,3]

11.已知直线/:依―y+2左=0和圆。：必+丁=16，则（）

A.直线/恒过定点（2,0）

B.存在k使得直线I与直线“：x-2y+2=0垂直

C.直线/与圆。相交

D.若上=—1,直线I被圆0截得的弦长为4

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知圆C:x2+y2_4x_2y+l=0,圆C的弦A5被点Q（l,0）平分，则弦A3所在的直线方程

是.

13.已知两圆必+丁2=10和（x—l）2+（,—3）2=10相交于A,B两点，则直线AB的方程是

22

14.过原点且倾斜角为60。的直线被圆x+y-4y=0所截得的弦长为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知圆。：炉+产―4x—4y+7=0关于直线x—y+l=0的对称圆的圆心为若直线/过点

。，4）•

（1）若直线/与圆C相切，求直线/的方程；

⑵若直线/与圆。交于42两点，=求直线/的方程.

16.已知圆C经过点A。,3）和6（2,4〉且圆心C在直线2x—y—1=0上.

（1）求圆C的标准方程；

（2）过点加（1,—1）作圆C的切线/,求直线I的方程.

17.已知耳，鸟的圆心分别为耳（—2,0）,6（2,0）,半径分别为小马，弓=2,々=6,P

的圆心为点p(x,y),半径为r.

(1)写出：居，。鸟的标准方程，并判断其位置关系;

(2)若。P与C£外切且一》P与(F2内切，求圆心尸的轨迹方程.

18.在平面直角坐标系xOy中，动圆C与圆弓：/+丁2+2工一2'=0内切，且与圆

3

22

C2:x+y-21+7=0外切，记动圆C的圆心的轨迹为H.

⑴求轨迹”的方程；

⑵设。为坐标原点，过点C2且与坐标轴不垂直的直线与轨迹〃交于P,。两点.线段DC?上是否存

在点N(〃,0),使得QP•NP=PQ•NQ?若存在,求出〃的取值范围；若不存在，说明理由；

(3)过点片(4,0)且不垂直于x轴的直线与轨迹〃交A,B两点，点B关于x轴的对称点为E,证明：

直线AE过定点.

19.已知圆C:/+(y—2)2=32,点A(6,0)点P在圆C上运动，B为线段AP的中点.

(1)求点B的轨迹方程E,并说明其轨迹；

⑵若过点(1,2)的直线/被曲线E(点E为轨迹中心)截得的弦长为4,求直线/的方程.

参考答案

1.答案：A

解析：由已知得圆C的半径为2,

故圆C的方程为(尤―iy+(y—2)2=4,

即丁+丁―2%一4丁+1=0.故人正确.

故选：A.

2.答案：C

£

解析：由题意知―=」

g-4)2+:3

化简得G：［x+g)+/=；，

其圆心为G1—g,o］，半径彳=|，

又圆C:(x—l>+(y+l)2=l的圆心为。(1,—1),半径马=1,

所以1"/=早，且,―H<|CG|<|G+H，所以两圆相交,

其公共弦所在的直线方程为3x—2y—3=0,

圆心C到公共弦所在直线的距离d=

故公共弦长为2M=2卜三

故选：C

3.答案：C

解析：因为6|"4|=拒]〃6.即31Hl「

则3[(x—2『+y2]=2[(x+l)2+(y—Ip],整理可得必+,2一16x+4y+8=0-

故选:C.

4.答案：D

解析：由题意可得两圆相内切,

两圆的标准方程分别为(x+2a)2+y2=4,x2+(y-b)2=l,

圆心分别为(—2a,0),(0,b),半径分别为2和1,

故有“/+/=1,.-.4«2+b2=1,

b24a之

当且仅当彳=--时,等号成立,

a2b2

11

薪+记的最小值为9.

故选：D

5.答案：D

解析：因为4(2,0),6(0,2卜所以池：%+y—2=0,

又因为圆的方程为(x—3)2+(y—3)2=2，所以圆心为(3,3卜半径为厂=店,

所以圆上点到直线A5的最大距离为匕=4+直=3JL

所以△ABC的面积的最大值为工义3人义后15r=6，

2

故选：D.

6.答案：D

解析：C:x2+y2+2mx-2y+2=0可化为(x+根J+^-1^)2=rn2-L

2

fm-1>0Q

则1??，解得---1或相>1，

(1+m)+(2-1)>m2-12

即m的取值范围是［_|,_jj(l,+OO).

故选：D.

7.答案：D

解析：由圆。：/+/一6x—8y+21=0,

得(x-3y+(y-4)2=4,

则圆心C（3,4）,半径r=2,

线段0C的中点坐标为）叫。ag

则圆C:+(y-2)2

即x2+y2-3x-4y=0.

x2+y2-3x-4y=0

对于选项A：联立《

x2+y2-6x-8y+21=0

两式作差可得：3x+4y—21=0,

即直线AB的方程为3x+4y-21=0,故A正确;

|3x3+4x4-21|_4

对于选项B：圆心。（3,4）到直线A3的距离为

44A/21MF

则网=24------,故B正确;

对于选项C：因为A,3在以0c为直径的圆上，

则C4LQ4,CBLOB

由圆心与切点的连线与切线垂直，

可得08均与圆C相切，故C正确；

对于选项D：因为C4LQ4,且OC=5,CA=2

则OL=JOC2—6=.5-4=后,

所以四边形CAOB的面积为5=2x-x2xV21=201,故D错误.

故选：D.

8.答案：B

解析：由/?2一46./?+3=0=>/?2—46心+3^2,

/.仅-e）_L（Z?-3e）

设OA=e,OB—b,OC-a,

以。为原点，Q4的方向为x轴正方向，建立如图所示的坐标系,

由伍-e),仅-3e),得点B在以。(2,0)为圆心,以1为半径的圆上,

又非零向量a与e的夹角为乌，

4

设a的起点为原点，则a的终点在不含端点0的两条射线y=±x(x>0)上,

则,_耳+卜_e|=|BC|+|AC|的最小值为|CD|—i++|AC|-1

=A/2X2-2X+1+A/2X2-4X+4

表示点(x,0)到(,和(1,1)的距离之和的最小值的0倍,

则最小值为—1]+=6，

.•.(|CD|+|AC|-I'|=V5-I

故选：B.

9.答案：AB

解析：对于A选项，当q=0时，曲线c的方程为了=0,此时，曲线c是一条直线,A对;

对于B选项，当a/0时，曲线c的方程可化为f+y2一4x+4分=0,

+16/=3+16/>0,此时，曲线C是一个圆,B对;

对于C选项,当曲线C是圆时，其半径为V-+16a

4a-+—>4a2--=2

当且仅当4a2=-L时，即当=土变时，等号成立，即r的最小值为2,

a-2

因此，当曲线C是圆时，它的面积的最小值为兀x22=4兀，C错；

对于D选项,当曲线C是面积为57r的圆时，其半径为r=4a2+与=&，

即4a*+-r-=5，解得a=±l或Q=±LD错.

a22

故选：AB.

10.答案：BD

解析：由题意，△ABC的欧拉线即A3的垂直平分线,

4(1,0),5(-1,2),

2-0

的中点坐标为(0,1),=-----=-1,

则AB的垂直平分线方程为y=x+1,

即“欧拉线”为x-y+1=0.

由“欧拉线”与圆M:(x-3)2+V=产相切，

则圆的方程为：(x—3)2+产=8,

圆心(3,0)到原点的距离为3>2

则圆M上的点到原点的最大距离为3+2a,故A错误;

圆心（3,0）到直线x—y—1=0的距离为d=，i=JL

.•.圆M上存在三个点到直线x—y-1=0的距离为夜，故B正确；

出的几何意义为圆上的点与定点P（-1,0）连线的斜率，

设过（-1,0）与圆相切的直线方程为y=k（x+\],即y+左=0,

由，左+看=20,解得左=±1,

VF+i

上的最小值是-1,故C错误；

X+1

炉+（丁—"）2=2的圆心坐标（0,。），半径为血，

圆"的（x—3）2+必=8的圆心坐标为（3,0）,半径为20,

要使圆三+（丁一。）2=2与圆M有公共点,

:.y[2<^+cr<3A/2,

解得—3WaW3,故D正确.

%+2—0x=-2

解析：对于A、C,由/:6—v+2左=0,得左（x+2）—y=0,令1，解得<

-y=oy=0

所以直线/恒过定点（-2,0），故A错误；

因为直线/恒过定点（―2,0）,而（—2）2+（）2=4<16，即（―2,0）在圆O：+y216内,

所以直线I与圆O相交，故C正确;

对于B,直线4：x—2y+2=0的斜率为;,则当左=—2时，满足直线I与直线/0：x—2y+2=0垂直,

故B正确；

对于D,k=-1时，直线/：x+y+2=0，圆心到直线的距离为d=尸0+2|=④,

#+12

所以直线I被圆O截得的弦长为2/1彳=2卜—(用=2，五，故D错误.

故选：BC.

12.答案：y=—x+1

解析：圆C:f+y2—4x-2y+l=0

变形为C：(x-2)2+(y-l)2=4,

圆心为(2,1),半径为2,

因为圆C的弦A5被点。(1,0)平分，所以CQLA5,

其中七2=F=1,故如=T，

所以弦AB所在的直线方程是y=-(x-1),即y=—无+1.

故答案为：y=-x+l

13.答案：x+3y—5=0

解析：两个圆方程可化为％2+,2=]0,九2+,2-2%—6y=0，

两式相减得2x+6y=10,即％+3丁—5=0.

故答案为：x+3y-5=0.

14.答案：2百

解析：设弦长为/,过原点且倾斜角为60。的直线方程为>=瓜=氐-y=0

整理圆的方程为：Y+(y_2)2=4，圆心为(0,2),半径丁=2

圆心到直线的距离为：用21=1

2

则：g=Vr2-I2=V3>：.l=2百

故答案为：2G

15.答案：（1）%=1或3x+4y-19=0；

(2)x-y+3=0或x+y-5=0

解析：(1)由题意可知圆4%_4y+7=o的圆心坐标C(2,2)，半径r=1，当直线的

斜率不存在时，直线/过点(1,4).

即/的方程为％=1时，此时直线与圆相切，符合题意；

当直线的斜率存在时，设斜率为鼠直线/过点(1,4).

设直线的方程为y—4=左(尤—1),

即化为一般式：kx-y-k+4=0,直线/与圆C相切,

则d=R左一：一左+4|,即]=|2左一2—左+4],解得上

J-2+1J-2+14

所以/的方程为：—y+；+4=0，即3x+4y—19=o.

综上，当直线/与圆C相切，直线/的方程为兀=1或3x+4y—19=0.

(2)圆。：必+产―4x—4y+7=0的圆心坐标C(2,2)，半径厂=1，

设Q(a,3，因为圆C关于直线％—y+l=0的对称圆的圆心为

a+2b+2八

----------+l1=0

22a=l

所以解得圆。的圆心为(1,3)，半径为L

b-2b=3

、a—2

当直线/斜率不存在时，直线/的方程为％=1，此时直线/过圆。的圆心，|A5|=2w夜，不符合

题意；

当直线/斜率存在时，设斜率为上,直线/过点(1,4).

设直线I的方程为y—4=左(％—1)，即化为一般式：立一丁一人+4=0,

圆心D到直线I的距离d=也三士4.

VFTi

若直线,与圆。交于42两点，=

根据勾股定理可得d~+(―)2=户,

2

/一丁+4]正,解得左=±i，

所以直线I的方程为x—y+3=0或x+y—5=0

16.答案：（l）（%_2）2+（y_3）2=l

（2）兀=1或15x—8y—23=0

解析：⑴设圆C的方程为（x—ap+Q—32=/（厂＞o）,

（1-a）2+（3-Z?）2-r2a=2

则＜（2-d+（4-4=r2，解得"=3,

2a—0—1=0l/T

故圆C的方程为（x—2）2+（y_3）2=i

⑵由⑴知，圆心为C（2,3卜半径为r=l，

若直线I的斜率不存在，则直线I的方程为％=1,此时，圆心C到直线I的距离为1,合乎题意;

若直线I的斜率存在,设直线I的方程为＞+1=k（％—1）,即日—y—左—1=0,

由题意可得,解得k=身,

Jr+ide+is

此时，直线/的方程为y+l="（x-1）,即15x-8y-23=0.

综上所述，直线I的方程为％=1或15%—8y—23=0.

17.答案：（1）答案见解析

22

（2广+匕="无〜4）

1612、）

解析：（1）「耳，耳的圆心分别为大（—2,0）,耳（2,0）,

半径分别为、r2,4=2,弓=6

所以耳的标准方程为（x+2）2+9=4；

F2的标准方程为（元―2）2+丁=36,

可得|耳耳|=4,可知但且|=型一石=6-2=4,

所以",QF2内切.

（2）因为动圆P的半径为r,

因为动圆P与I6外切且oP与匚鸟内切，

则r<6,且尸耳|=r+2+(6—。=8>闺招|,

由椭圆的定义可知，动点尸在以耳(—2,0),月(2,0)为焦点,

8为长轴长的椭圆上，

22

设椭圆的方程为鼻+斗=1(。〉6〉0),半焦距为C,

ab

则。=4,c=2,则入2=16—4=12,

又因为，:%区内切，则点尸不能在切点处，

即椭圆应去掉点(-4,0),

22

所以动圆的圆心P的轨迹方程为土+匕=1(XW

1612,

⑵存在，«e(0,-)

4

(3)证明见解析

解析：(1)设动圆C的半径为凡

由于£：V+y2+2x—1=0的圆心半径分别为C](―L0)，4=5,

31

且与圆。2：X+V—2x+彳=0的圆心和半径分别为G(1，0)，4=5

71

由题意可得|。£|=5-氏，|。。21=氏+5

故|ccj+1CGI=4>|GGI=2,因此点c轨迹满足椭圆方程,

且以G，。2为焦点，以4为长轴长的椭圆，

故2〃=4,2c=2,

〃=2,c=l,b=y/3

22

二1

(2)设直线PQ的方程为：y=k(x-l),左WO,

22

代入二+匕=1,

43

得：(3+4左2)%2—8左2%+4左2—12=0,

A=(―8左2)2—4(3+4左2)(4左2—12)〉0恒成立.

设PQi，%)，e(x2,y2),线段尸。的中点为Ww，%)，

x,+x24k2，/八3k

则&3=------=------7,%=-1)=-------

23+4左2*33+4左2

由QPNP=PQNQ,

得：PQ(NQ+NP)=PQ(2NR)=Q,

直线NR为直线PQ的垂直平分线,

3”14”2

直线NR的方程为：v+------=——(%-------),

-3+4左2k3+4V

1

令y=0得：N点的横坐标〃

3+4左2