2025届高考数学二轮复习：空间几何体（含解析）

2025届高考数学二轮复习专题卷空间几何体

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知球。半径为4,圆&与圆Q为球体的两个截面圆，它们的公共弦长为4,若

则两截面圆的圆心距l«al=（）

A.百B.孚C.3+V3D.2G

2.在棱长为2的正方体ABC。-A31GA中分别为AChBC的中点，则平面截该正方体

的外接球得到的截面的面积为（）

A如B.ZZEc生DW

5555

3.一正四棱锥p—ABC。，=当其外接球半径尺与内切球半径r之比最小时，VP_ABCD为

p.277271

A・久詈B-2®+2Q2A/A/2+1

3

4.如图，在四棱锥S—A5CD中，四边形ABC。为矩形，AB=2五,BC=SC=SD=2,BCYSD,

则四棱锥S-A6CD的外接球的体积为（）

D.4布瓦

5.球面上有三点A,8,C,若AB=6,BC=8,AC=10且球心到△ABC所在平面的距离,等于球的半径

的一半，则该球的球面面积为（）

A--------B.30071C.120071D.1600兀

3

6.宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑.

其中汝窑被认为是五大名窑之首.如图1,这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由

两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示.已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米,

中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的

高之比是3:4,则该汝窑双耳罐的体积是（）

C2304兀D250471

3333

7.樟卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝,在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重

量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得柳卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一

种简单的机械工具,是用于填充器物的空隙使其牢固的木檄、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中

四边形ABCD是边长为2的正方形，且A4力正，ARC1"均为正三角形，FFHCTi,2歹=4,则该木楔

子的外接球的体积为（）

C32兀D.%

A」6兀B.32兀

.亍3

8.在正方体ABCD-4gCQ中,E,F,G分别为BC,CD,DDX的中点，若AB=4，则平面EFG截正方体

所得截面的面积为（）

A.6夜B-6A/3C-12拒D12V3

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.如图，球。的两个截面圆。i和圆。2的圆心分别为a（0,。,—i），a（o,i,o），半径均为2,且圆a

和圆。2所在平面分别与z轴和y轴垂直.若动点P,Q分别在两个圆周上匀速运动，每12秒运动一周,

其中点尸，。的起始点分别为4（0,—2,—1）,5（0,1,2）,点P,。按照图中指针方向运动，运动时间

为f（单位：秒），贝）

A.球O的表面积为2071

B.当/=6时，|尸。卜血

C.存在时刻力使得点P,。在球面上相遇

D.|pe|的最大值为275,且同一个周期内取得最大值的时间差为8秒

10.如图，在棱长为2的正方体ABC。—4gGR中，M、N、P分别是AA-CCrCQ的中点,

。是线段24上的动点（不包含端点），贝1（）

A.四面体5CGP的外接球的表面积为9兀

B.存在点。，使2、N、P、。四点共面

C.过。且与5N垂直的平面截正方体ABC。-4月£。］所得截面面积取值范围为（0,2君］

D.点X是四边形内的动点，且直线PH与直线AD夹角为巴，则点》的轨迹长度为空

43

11.如图，棱长为2的正方体ABC。-A4G。的内切球为球O,E,尸分别是棱A。，8用的中点,

G在棱A3上移动，则下列选项正确的是（）

。，

A.该内切球的球面面积为4兀

B.存在点G,使得0D〃平面EFG

471

C.平面EFC被球0截得的截面圆的面积为—

7

D.当G为A5的中点时，过E,F,G的平面截该正方体所得截面的面积为3班

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.表面积为16兀的球的体积是（结果保留兀）

13.若平行四边形ARC'。'是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形A3CD的直观图.已知

A5'=4,NDA5'=45°，平行四边形ARC'。'的面积为8,则原平面图形ABC。中AD的长度为

14.如图的工艺品是由九个圆柱焊接而成.这些圆柱具有共同的轴,最下边的圆柱的高为10cm、底面

半径为5cm•从由下至上第二个圆柱开始，每个圆柱的底面半径与高都分别是其下面一个圆柱的底面

半径与高的0.8倍，则这个工艺品的表面积（含最下边圆柱的下底面积）约为cm?

（精确到Icn?）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知圆锥的母线长为5cm,高为4cm,求这个圆锥的侧面积和体积.

16.在球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别为49?rcm2,400Kcm2,求此球的半径.

17.写出棱台中任意两个侧面的位置关系.

18.球面上是否存在共线的3个点？为什么？

19.如图所示，已知三棱台ABC-44孰的上、下底面都是等腰直角三角形，CG，平面ABC,

AC=2,A£=I，CG=1•求这个三棱台的全面积.

参考答案

1.答案：D

解析:设圆&与圆。2公共弦为A6,其中点为瓦

则川=«「=442—32囿=22=荷—后=屈，

Ia2To=5,1QJOA|-|OO2|

所以|0闺=屈川2_卜吁="4=百，|。2同=加心问=V13-4=3'

3

所以在RtAOQE中,tanNOEQ==8,所以NOE。=60°,

在RtAOO2E中,tan/OEO,=且，所以ZOEO2=30°,

22

所以在△01£。2中，NOIEQ=90°，所以|O|Q|=^|C>2E|+|<9,E|=79+3=273-

故选:D.

2.答案：D

解析：如图，连接耳/，由题意易知E/〃A片,

EF=4片,故四边形ABpE为平行四边形.

设耳C取用G的中点K,连接",

在Rt△用KP中,BF=下‘B]K=LFK=2,

故点K到BF的距离为撞，故点H到B]F的距离为昱,

因此圆心O到平面4政的距离为书.由题易知球0的半径R=G，

故平面\EF截球0得到的截面圆的半径r=J[:=粤，故截面圆的面积S=兀产=菖兀.

故选：D.

3.答案：D

解析：如图，正四棱锥中P—ABCD，正方形ABCD的对角线相交于点M，则平面ABCD，

如图所示，设正四棱锥P—ABCD外接球的球心为。，PM=h，

连接QC，则PQ=CQ=R,

P

因为AB=、叵，所以CM=1，

在RtZsQMC中，CQ2=QM2+CA/2，即氏2=（/z—氏）-+俨=^=3+前,

如图所示，设正四棱锥尸—A5CD内切球的球心为°，PM=h，

取的中点区连接尸石，

设内切球。与面PCD切于点尸，与面ABC。切于点加，易知FePE，/\POF^/\PME-

OFPM-OMh-rJ2/+1-1

则ME

h1

R2+2/z/72+l

所以一=

r172/7+1-1

2A

令］=J2/+1—则2/?=（2+1）2-1n/I?='

r+It

所以o=/L=-^，+5Q=、

rV2A2+1-1t2tN2t

当且仅当工=［即.=行时，等号成立，片取得最小值，

所以兴(V2)+2逝

2

所以％-ABCD=g-X&XJ&+1=N*±1，

故选：D

4.答案：D

解析：因为四边形ABC。为矩形，所以5CLCD,

又5。，50,且S£>CD=D,SD,CDu平面SCO,

所以BC,平面SCD,

又BCu平面ABCD,故平面ABCD_L平面SCO,

又SC2+SD2=CD2,

所以△SCO是等腰直角三角形，

所以其外接圆的圆心是。的中点，

又四边形A8CD为矩形的外接圆的圆心为4C,8。的交点，

所以四棱锥S—A5CD的外接球的球心为AC,8。的交点，

所以外接球的半径为R=舟+Q伪2=6，

2

所以四棱锥S-A5CD的外接球的体积为V=±忒3=4岳.

3

故选：D.

5.答案：A

解析：令△ABC外接圆的半径为匕球的半径为民

由AB=6,6C=8,AC=107¥A32+3C2=36+64=100=AC2，

所以△ABC为直角三角形，则2r=10,即r=5，

因为球心到△ABC所在平面的距离，等于球的半径的一半，

所以夫2—52=(；,解得R=^，所以球的表面积为4口2=等E.

故选：A.

6.答案：D

解析：上、下两圆台的高之比是3:4，.••上圆台的高为14x^—=6厘米,

3+4

下圆台的高为14义」一=8厘米，

3+4

故上圆台的体积为y6,+1°2+,16x1°°);"2兀立方厘米，

13

下圆台的体积为V_8x^(62+102+736x100)_1568立方厘米，

133

故该汝窑双耳罐的体积为

“T.15682504兀4七亩来.

Vl+Vl=312TH——--7i=——--"方厘术.

故选：D.

7.答案：C

解析：

8.答案：D

解析：如图，过点G作EF的平行线交3月于点，过点J作FG的平行线交4用于点I,

过点/作EF的平行线交42于点X，易知点J,/,"都在截面EFG内，

且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为20的正六边形，

所求面积S=6XQX2V2x2V2xsin600)=12百.

故选:D.

9.答案：ABD

解析：对于A,设球。的半径为R,

2

由题意0到圆面a和圆面。2的距离为d=yjR'-2=1,

所以R=所以球。的表面积为S=4兀尺之=20兀，故A正确；

对于B,由题意，A(0,-2,-l),3(0,1,2),G/0,0,-1),O2(0,1,0),

因为动点P,。分别在两个圆周上匀速运动，每12秒运动一周，

27r7T

设尸，。两点运动的角速度为0,所以T=12=」，解得：。=—,

co6

所以尸，。两点分别从A,B同时出发，

7T

按箭头方向沿圆周。1,。，以每秒七弧度的角速度运动，

6

运动/秒后，尸(-2sin亥,-2cos亥,-1),Q(2sin—,1,2cos—),0<^<12,

6666

|PQ「=14sin?]+[l+2cos?1+12cos?+l]

=16sin2—+8cos2—+8cos—+2

666

=18+8cos--8cos2—，

66

当％=6时，|尸0=18+8cos兀一8cos之兀=18—8—8=2,

所以|尸。卜0,故B正确；

对于C,令k=cos气,0<?<12,所以左e[—1,1],

则|=一8左2+8k+18=—8(左一gf+20,

当左=—1时，|PQ『.=—8—8+18=2>0,

I~lmin

所以不存在时刻3使得点P,。在球面上相遇，故C错误；

对于D,当左='时，\pQf=20,cos—=-,f=2或/=10,

2g2

|P（2|niax=2A/5,两个时刻的时间差为8秒，故D正确.

故选：ABD.

10.答案：ACD

解析：对于A选项，将四棱锥尸-BCCjB1补成长方体PEFG—G与BC，

P_____C,

FB

所以，四面体BCG。的外接球的直径即为长方体PEPG-GgBC的体对角线长，即四面体BCGP

的外接球的直径为2R=J]2+2?+2?=3'

所以，四面体3CGP的外接球的表面积为S=4TTR2=9兀，A对；

对于B选项，连接48、人尸、CDX，

因为且3C=4A，故四边形A}BCDX为平行四边形，所以CDJ/A.B，

D\pG

因为p、N分别是G2、QC中点，则PN//CD,,所以PN//AtB,

即A、P、N、2四点共面，

当。与人重合时满足2、N、尸、。四点共面，

但Q是线段2A上的动点（不包含端点）,B错；

对于C选项，如图，在平面4吕。]£>]上作QKLgC],垂足为点K,

过点K作在平面BBgC内KTLBN交BC或者CG于「

因为平面A4G2,平面BCGB],平面44cl2i平面BCC^=Bg,

且QKu平面A⑸GR，所以QKJ_平面BCCR，

又BNu平面BCCiBj所以QKL3N，

因为QKKT=K，QK、KTu平面QKT，所以BN,平面QKT，

平面QKT截正方体ABC。-截面为平行四边形QK7Z，

当T与点C重合时，面积最大，此时KT=J^，QK=2，面积为26，

当。与点A无限接近时，面积接近于0,

过。且与BN垂直的平面截正方体ABC。-A4G2所得截面面积取值范围为（0,2百]，C对;

对于D选项，取4片的中点。，连接PO,则PO//AD，

则PO±平面AA^B，取AB的中点匕

以。为圆心，0/=2为半径作圆，交B]B于X、Y,

则点H的轨迹为以O为圆心，2为半径的部分圆弧XVY'

此时满足直线尸灯与直线A。夹角为巴，

如图，OX=OY=XY=2<故NXOV=殳,

3

所以点》的轨迹长度为四义2=至，D对.

故选：ACD.

11.答案：ACD

解析：对于A,根据已知条件球。以。圆心，

半径H=l,内切球的球面面积为4兀，A正确;

对于B：以O为坐标原点，DA,DC,所在直线

分别为x,y,z所示空间直角坐标系，

则由题意可得0(1,1,1),£(1,0,0),F(2,2,l),£>(0,0,0),C(0,2,0),

设点G(2,a,0),其中0WaW2,

对于0£)=(-1,一1,一1),EF=(1,2,1),EG=(l,«,0),

设平面EFG法向量为〃=(X,y,z),

n±EF,nLEG,

n-EF=x+2y+z=0

则《，

n-EG=x+ay=0

令x=a,则y=-l,z=2-a,

〃=(a,—1,2—a)为平面跖G的一个法向量，

若存在点G,平面EFG,

只需因为〃•<?£>=—a+1+a—2=0不成立，所以B错误;

对于C：设平面EfC法向量为加=(%,%zj,EC=(-1,2,0),

m_LEF,m_LEC,

朋m-EF=再+2yl+4=0

m-EC=+2%=0

令％=2,则％=1,Z]=-4,

机=(2,1,T)为平面EEC的法向量，

又因为=

则。平面跖C的距离为d,

则公生=上旦=q=叵

\m\-4+1+16V217

设平面EFC被球。得的截面圆的半径为r

,=口=与=巫,

V77

471

所以平面所c被球。得的截面圆的面积为把，c选项正确；

7

对于D,当G为AB中点时，

过E,F,G,的平面截该正方体所得截面为正六边形EGEHNP,NE4G=90。,

在RtZ\EAG中，AG=AE=1,所以边长AG=+F=屈，

所以截面面积S]=6xgx后义e'xsin60°=3G，D正确；

故选：ACD.

12.答案：些

3

解析：设球的半径为民则4兀火2=16兀，火=2，

所以球的体积为史义23=码

33

故答案为：些E.

3

13.答案：472

解析：如图，过点D'作ZXE_LA5'于点区则△A£D'为等腰直角三角形,

由平行四边形A'B'C'D的面积为8得A'B'-D'E=8，

A3'=4,..£>'£=2,二AD'=2四，

•••原平面图形ABCD中,ZDAB=90。，AD=24。'=472-

故答案为：4A/2.

14.答案：1014

解析：由题设，第，个圆柱的高4=10x0.8"、,底面半径q,=5x0.8"*

所以，第"个圆柱的侧面积为2叫A=100x0.82"-2兀，底面积为叫2=25x0.82"-2兀，

则侧面积之和为100兀X（1+0.82+0.84++0.816）=I。。兀*J064土857cm2，

1-0.64

22

底面积之和为7t[zj+（L