2025届高考数学二轮复习：等比数列（含解析）

2025届高考数学二轮复习专题卷等比数列

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。一、单项选择题：本大题共8小题，

每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正

确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.在等比数列｛4｝中，若%=4,%=8,则%=()

A.-32B._16C.32D.16

2.设S“是等比数列｛4｝的前"项和，若$3=4,%+%+。6=6，则邑=()

c.9

3

3.等比数列｛4｝的各项均为正数，且2q+34=l，aj=9a2a6■设

bn=log3al+log3a2+...+log3an>则数列<—>的前项和Sn=()

4n

+1)

i3i

4.若数列｛4｝满足------=0(〃eN+),则称｛4｝为“梦想数列”，已知数列一为“梦想数列”,

a“瓦

且4+a+4=2,贝！j4+&+4=(

5.在各项均为正数的等比数列｛4｝中,％=3,%=2・丹•%，则公比q的值为(

A.aB•石

6.设等比数列｛4｝的前n项和为Sn，且%%=3,%qo=%则上=(

7.如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角

形各边的中点.现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网

中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边长为（）

A，3米B，3米C.23米D.」3-米

481632

8.已知等比数列｛q,｝满足《1+%=10，%+。6=80，则数列｛4｝前8项的和为（）

A.254B.256C.510D.512

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.已知数列｛%｝满足q=l,a“+i则下列结论正确的有（）

A.工+3（为等比数列

UJ

B.｛4｝的通项公式为4=—J

Z-J

c.｛%｝为递增数列

+2

D.<—>的前n项和Tn=2"—3n—4

10.设｛%｝是各项为正数的等比数列，4是其公比，7；是其前〃项的积，且<<4，「=鼻>19,

则下列结论正确的是（）

A.q>lB./=1

C.九〉（D.%与久均为Tn的最大值

11.已知数列｛%｝满足3〃i+5%+7/++（2〃+1）为=〃-3"i,则（）

A.｛%｝为等比数列

B.为递增数列

olOl_o

c.数列｛(—I)z｝的前100项和为己二

D.数列｛|an-100|)的前8项和为10000

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.等比数列｛4｝的各项均为正数，且%，。13=4，则log。％+log,氏++log9a15=.

13.已知数列｛a“｝的前〃项和为S,,且q=l，a“+i—a”=2",则S“=.

14.在数列｛4｝中，q=3，a〃+i=4a“+3，则数列｛4｝的通项公式为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

a3ci

15.已知数列｛%｝满足万方

(1)证明:［工-1］是等比数列；

(2)设优=华立，证明：4+4+.+bn<--

3"8

16.已知数列｛4｝中，满足q=La”+i=2%+1(〃eN+).

⑴证明：数列｛%+1｝为等比数列；

⑵求数列｛%,｝的前w项和S,.

17.已知等比数列｛4｝满足％=1,2=8,5“为数列｛4｝的前〃项和.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若5“=63,求”的值.

18.已知数列｛4｝的前〃项和为S",q=3,且S“+i+3a“=S“+2a”+「

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵若々=(“+l).a“，求数列也｝的前“项和小

19.若数列｛4｝的前〃项和为S”,且2S〃=3a〃—等差数列也｝满足伪=3%也=4+4.

(1)求数列｛4｝,｛%｝的通项公式；

⑵设g=2b，求数列｛c„｝的前W项和7；.

参考答案

I.答案：c

解析：设等比数列｛4｝的公比为％由%=4,%=8,得/=幺=2,

所以a”=%q4=32.

故选:C

2.答案：B

解析：设等比数列｛4｝的公比为g,若q=1,则%+%+4=3«i=&,矛盾，所以q手1,

故%+%+3=&,口)回5=心3则/=：

i-q1-q2

故选：B.

3.答案：B

解析：设等比数列｛氏｝的公比为q,

则q>0,则o；=9%。6=9,—•~9a；q2，

Q'

所以9d=1，所以因为2q+3〃2=3q=1,可得q=g,

所以4=%尸=3%&]=。所以1呜4=1呜，一九’

所以log3a“+1-log3a„=—(n+1)—。=-1,log?%=T，

即数列｛10g3%｝是首项为-1，公差为—1的等差数列，

所以d=log3al+log3a2+...+=-1-2-3--n=一+D，

E222

所以<-->=---------=----1-------，

bnJn(n+1)nn+1

mu222222In

因此S=-2+------+————+------=--------2

223nn+1n+1n+1

故选：B.

4.答案：A

解析：根据题意，梦想数列｛qj满足------=0(.eN+),

‘%a„

即3a〃+i=an,

即数列｛%｝为公比为;的等比数列，

若数列I，为“梦想数列”，

则K=3x--,即口=3b,

b,,b,,+in

即数列他“｝为公比为3的等比数列，

若4+4+4=2,

则+包也2

4+b5=+b2+Z?3)X3=18.

故选：A.

5.答案：D

解析：由g=%，。3•。4得。9=4，

得％•d=a；•q，,

贝Iq2=a；=9均=±3,

又•｛〃"的各项均为正数，，4=3,

故选：D.

6.答案：B

解析：由等比数列性质可得生囚0=&%=9,

设｛4｝的公比为q,则［=经=3,

a1

故鼠=

=l+q5=244.

Ssq(l-01-q5

i—q

故选：B.

7.答案：B

解析:

由题可知，该三角形蜘蛛网中三角形的周长从大到小是以9为首项,

,为公比的等比数列.

2

设最小的正三角形的边长为米，

<17,

则(2]>—,即/<18,得〃W4,

18

故最小的正三角形的边长为=3米.

⑵8

故选：B.

8.答案：C

35

解析：设等比数列｛〃〃｝公比为q,则a3=a、q2,a4=axq,a6=axq

a«+/)=10，解得,=2

则题意得

〃1八1+92)=80]q=2

贝Is止女士£1=50

81-q1-2

故选:C.

9.答案：ABD

册

解析：因为q=l,an+1

2+3an

所以一L=2+361rl2

------H3，

aaa

n+lnn

11

所以——+3=2—+3

%+17

又因为2+3=4,

%

所以数列］工+3,是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确;

UJ

，+3=4x2"T=2"1,即4=—J—,故B正确；

+1

an"2"-3

/11

因为an+｝-an=2的2_3_2„+i_3，

（2,!+1-3）-（2,!+2-3）_2'"1

（2,,+2-3）（2,1+1-3）-（2,!+2-3）（2"+1-3）

因为〃之1,所以2"2—3>0,2,1+1-3>0,2"+1>0

所以。用一。“<0,所以｛4｝为递减数列，故C错误；

—=2"+1-3,贝17；=（2?+23+24++2'用）一3”，

4(1—2")

----3〃=2"+2_3〃-4,故D正确.

1-2

故选：ABD.

10.答案：BD

解析：由题意知，A：由及得%〉1,由4=《得48="=1，

所以"=q<l,又q〉O,所以0<q<l,故A错误;

0y

B：由（二笃得。8="=1，故B正确；

17

C：因为｛%｝是各项为正数的等比数列，夕£（0,1）,

有4>%>>ay>a8=1>a9>ai0>，

4=%的吗。

所以—（。8。9）—a。<1，

所以几<",故c错误;

<T

D：TX<T2<7<TS>T9>T10>

则7；与笃均为7；的最大值，故D正确.

故选：BD

11.答案：ABC

解析：对于A,当〃=1时，q=3,当时，34+503+703++（2〃一1）%_],

所以（2-+1）•%="—（力—1）•3"=（2〃+1）•3”,即4=3",

当〃=1时也满足该式，故%=3",｛%｝是等比数列，故A正确；

对于B,2=（』],易知其为单调递增数列，故B正确;

2"y1）

对于C,

-3「1-（-3）1叫3101-3

所以｛（-1）"«„）的前100项和为」--------^=-—故C正确;

1+34

100-3n,l<n<4

对于D,寓一100|=|3"-100卜<

3”-100,5<〃<8'

则M-100|）的前8项和为—3-32-33-34+35+36+37+38,

（3+32+33+34）（34-1）=9600,故D错误.

故选：ABC.

12.答案：15

解析：由已知得数列｛%｝是各项均为正数的等比数列,

则%•%5=a2,《4='=〃：=〃3,%3=4%=2，

5

所以log?q+log2a2++log2《5=log2t/g=151og22=15•

故答案为：15.

13.答案：T+i-n-2

解析：数列｛4｝中，由1—%=2〃,得当〃之2吐an-an_,=2〃」,

l-2n

则cin=4+（%一1）+（%—%）++（%—%一1）=1++2?++2”।-----二2〃-1，

1-2

显然q=1满足上式，因此an=2〃-1,

所以S”=甘一〃=2日一〃一2.

故答案为：2"+I_A_2

14.答案：4"-1

解析：方法1：令%M+左=4（%+左），即4+］=44+34与4-1=44+3，比较得左=1，又

%+1=4,故数列｛q+1｝是以4为首项，4为公比的等比数列，

所以a“+l=4x4"T=4"，所以4=4"-1；

方法2：因为可什］=4an+3，所以%=4a“_i+3（〃22），

所以4+1—%=4（a„-a„_1）（n＞2）＞

所以｛a“+i—是等比数列，首项a,-q=4。］+3-6=3%+3=12，公比q=4，

所以a“+i—a“=12X4"T，即4a“+3—a“=12X4”T，即4=4"-1，故答案为4"_卜

15.答案：（1）证明见解析

（2）证明见解析

□3〃

解析：⑴因为‘，则为=———>0,a=——>0,...

1+2〃]31+2出

以此类推可知，对任意的〃£N*，%＞。，

由已知得」一2a“+1即」-1J_2

3a+3

an+l34an+ln

11（1、

所以」_一i=_L-L-i

an+i31）%3

所以J_—1是首项为！,公比为1的等比数列.

33

⑵由⑴知二一1二修,，。=工,

4⑴"3"+1

）_3"+i_3（11]

‘"一（3"+1）（3,,+1+1）一213'+1—3,,+1+1）

_3f111111A3f11A3

*5『历+而k+FTFF^片

16.答案：(1)证明见解析

(2)2n+1-n-2

解析:(1)证明：a“+i+1=(2%+l)+l=2(a“+1)

于是可+i+l=2(“eN*)

a“+l

因为4=1,

即数歹1]｛4+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

因为4+l=(q+l)・2"T=2",

所以4=2"—1

n

(2)由⑴知an=2-l,

所以S“=21—1+22—1+23—1++2”—1

:9——

1-2

1

17.答案：(1)an=2"-

⑵〃=6

解析：(1)设等比数列｛4｝的公比为名则g=qq3=/=8,

解得:q=2,

•••%=2小

(2)e1-2"

Sn=-------=63>

2"=64，

解得:〃=6.

18.答案：(1)4=3"

/八e(2n+l^c“+i3

(2)T=------3——

"I4J4

解析：(1)由题意得Sn+l—Sn+3a”—an+l+3an=2tzn+1,Xq=3r0,

所以=3。“,色包=3,

"明

所以｛4｝是首项为3,公比为3的等比数列,

故%=3".

(2)由⑴知优=5