2025高考数学专项讲义：平面向量奔驰定理与三角形四心问题（高阶拓展、竞赛适用）（学生版+解析）

第07讲平面向量奔驰定理与三角形四心问题

（高阶拓展、竞赛适用）

（2类核心考点精讲精练）

平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难

度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和线）、

极化恒等式、本节我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。它将三角形的四心与向量完美地融合到一起,

高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。

奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的logo相似

而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。

知识讲解

1.奔驰定理

如图，已知尸为ABC内一点，则有入网1必+5"公03+5“钙,℃=0・

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为"奔驰定理

2.奔驰定理的证明

如图：延长。4与边相交于点。

BD

q一qq

则空.=2理©BODuABDQBOD

q_qq

DCSArnuCODDU.CODuAOC

OD=^OB+—OC

BCBC

___0B+0C

V-LvV+V

0,AOC丁0AOB0AOC丁0AOB

°D_SBOD_S。。。_SBOD+ScODuBOC

r)Aqqq_i_qq

DC^BOA^COA°BOATaCOA°AOC丁0AOB

q

0D=---------螫——OA

S,AOC+.AOB

uBOC+__oc

OA=0B

c+qC_1_CC4.C

0AOC丁0AOB0AOC丁0AOB。AOC丁0AOB

.-.sBOC-OA+S_AOC-OB+SAOB-oc=o

3.奔驰定理的推论及四心问题

推论。是ABC内的一点，且x-OA+y-OB+z-OC=0,则SBOC:SCOA:SAOBx:y:z

有此定理可得三角形四心向量式

(1)三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距

离之比为2：1.

(2)三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.

(3)三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内

心到三边的距离相等，都等于内切圆半径匚

(4)三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，

它到三角形三个顶点的距离相等.

奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心"相关的问题，有着

决定性的基石作用.

已知点。在ABC内部，有以下四个推论：

①若。为一ABC的重心，贝l|OA+O3+OC=0；

②若。为一ABC的外心，贝！lsin2AOA+sin2B-OB+sin2cOC=0;或|。川=|0q=|℃|

③若。为ABC的内心，贝！la.0A+6.OB+c-OC=O;备注：若。为ABC的内心，贝U

sinA-OA+sin3-OB+sinC-OC=0也对.

④若。为ABC的垂心，贝!Jtan4OA+tanaOB+tanCOC=0，^OAOB=OBOC=OCOA

研究三角形"四心”的向量表示，我们就可以把与三角形"四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向

量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合

的数学思想.

考点一、奔驰定理与四心问题综合

典例引领

1.（宁夏・高考真题）已知O,N,P在AABC所在平面内，且|画=|西=匹|,丽+福+正=0,且

PA*PB=PB«PC=PC«PA,则点0,N,P依次是AABC的

（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）

A.重心外心垂心B.重心外心内心

C.外心重心垂心D.外心重心内心

2.（江苏•高考真题）。是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

‘ARAC'

OP^OA+A——+,AG[0,+«））,则P的轨迹一定通过ABC的（）

\\AB\\AC\J

A.外心B.内心C.重心D.垂心

3.设尸是AABC所在平面内的一点，若Aa（CB+C4）=2AB-CP且加=A。?_23CAP则点尸是树。的

（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

ASAC

4.已知点P是AABC所在平面内一点，且满足AP=6/e玲，则直线AP必经过/SABC

ABcosBACcosC

的

A.外心B.内心C.重心D.垂心

5.设。是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足

示大azA8AC

。产=。4+/1（产5------+1=--）,X€IO.*XI,则动点P的轨迹一定通过回ABC的

.4即os3UCjcosC

A.外心B.内心C.重心D.垂心

1.若。是_ABC内一点，S.OAOB^OAOC^OCOB，则。为一ABC的（)

A.垂心B.重心C.外心D.内心

2.已知点。是ABC所在平面上的一点，ABC的三边为a,b,c,aOA+bOB+cOC^'则点。是ABC

的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

3.已知点0为4Ase所在平面内一点，在11ABe中，满足2AB=2AC-AO=\AC[,则点0为

该三角形的（）

A.内心B.夕卜心C.垂心D.重心

4.已知A,B,C是不在同一直线上的三个点，。是平面ABC内一动点，^OP-OA=A.{AB+^BC

Ae[0,-Ko）,则点尸的轨迹一定过.ABC的（）

A.外心B.重心C.垂心D.内心

5.在平面上有—ABC及内一点。满足关系式：++即称为经典的“奔驰定

理”，若一ABC的三边为a,b,c,现有a.Q4+5OB+c.OC=0则。为一ABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

6.已知G,。,8在..ABC所在平面内，满足GA+GB+GC=O,|OA|=|OB|=|OC|,AH-BH=BHCH=CH-AH，

则点G,O,H依次为..ABC的（）

A.重心，外心，内心B.重心、内心，外心

C.重心，外心，垂心D.外心，重心，垂心

考点二、奔驰定理与其他问题综合

典例引领

1.奔驰定理：已知。是AABC内的一点，ABOC,AAOC,AAQB的面积分别为%,SB,Sc,则

SA-O4+SB-O8+SC-OC=0."奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与

"奔驰"轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为"奔驰定理"若。是锐角AABC内的一点，A,

B,C是AABC的三个内角，且点。满足Q4.O8=O8.OC=OC-OA，则必有（）

B.cosAOA+cosBOB+cosCOC=0

C.tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=0

D.sin2A-OA+sinIBOB+sin2C-OC=0

2.（多选）“奔驰定理"因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与

三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是.ABC内一点，

ABMC,AAMC,AWB的面积分别为枭，SB,Sc,且+=以下命题正确的有

A.若%：%：Sc=1：1：1,则M为&AWC的重心

B.若〃为一ABC的内心，则8C.MA+AC.MB+ARMC=0

C.若〃为_ABC的外心，贝"AM+MByABMlMB+A/cTBCnlAM+Mcj-ACnO

D.若M为ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0^贝1Jcos/AMB="

6

1.奔驰定理：已知点。是ABC内的一点，若力。C,二AOC,_AO8的面积分别记为LSz,S，贝I

0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔

驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为"奔驰定理".如图，已知。是2ABe的垂心，且。4+2OB+3OC=0，

贝i]cosC=（）

2.（多选）如图.尸为ABC内任意一点，角AB,C的对边分别为a,4c,总有优美等式

SPBCB4+SMCPB+S.PC=0成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命

题的有（）

A

A.若尸是.；ABC的重心，贝用PA+P8+PC=0

B.若aPA+"8+cPC=0成立，则尸是.ABC的内心

21

C.^AP=-AB+-ACf贝！）5小尸：4曲=2:5

D.若P是,ABC的外心，A=pPA=mPB+nPC，则，〃+he[-夜,1）

6.（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰"轿车，

（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为"奔驰定理"，奔驰定理：已知。是AABC内一点，ABOC,

△AOC,小。2的面积分别为〃，SB，S「且邑•Q4+SB•。。=。.设。是锐角AABC内的一点,

MAC,HABC,0AC8分别是的AABC三个内角，以下命题正确的有（）

A.若OA+2OB+3OC=0，则臬：%：S©=1：2：3

B.若10Al=|丽=2,ZAOB=^,20A+30B+40C=0,贝

111162

71

C.若。为ZkABC的内心，30A+408+50C=0，则/C=^

D.若。为AABC的垂心，30A+40B+50C=0，则cosNAOB=-"

6

IN.好题冲关

一、单选题

1.在..ABC中，动点尸满足永;®?_2AB.c则尸点轨迹一定通过.ABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

2.若。，M,N在‘ABC所在平面内，满足|OA|=|OB|=|OC|,MA-MB=MRAfC=MC-AM,且

NA+NB+NC=0,则点。，M,N依次为，ABC的（）

A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心

C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心

3.已知0为ABC内一点，若分别满足①10Al="q=|OC|；（2）OAOB^OBOC=OCOA;③

OA+O3+OC=0;④*>A+6O8+cOC=0（其中。，仇c为..ABC中，角A,3,C所对的边）厕。依次是；.ABC的

A.内心、重心、垂心、外心B.外心、垂心、重心、内心

C.外心、内心、重心、垂心D.内心、垂心、外心、重心

4.给定SABC,则平面内使得到A,B,C三点距离的平方和最小的点是0ABe的（）

A.重心B.垂心C.外心D.内心

5.若8为..ABC所在平面内一点，且网2+国『=网2+倒2=忸邛+网2则点//是ABC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

6.已知。，A,B,C是平面上的4个定点，A,B,C不共线，若点P满足。尸=04+X（AB+AC）,其

中/leR,则点尸的轨迹一定经过一ABC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

7.平面上有-ABC及其内一点。，构成如图所示图形，若将，OAB,AOBC,一曲的面积分别记作S0，Sa,

LlLftUL1UUUU1

sb,则有关系式邑-Q4+S广O3+S/OC=0.因图形和奔驰车的/og。很相似，常把上述结论称为"奔驰定

理”.已知一ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足“.OA+6OB+cOCuO，则。为dBC的

（）

C.重心D.垂心

一、2z、2

c」““上八人击k“no□fOAABOAACYOBBAOB-BCCCCAOCCB

8.已知点。在干面ABC中，且|---------------+―i—i—则

(\AB\\AC\J网

点。是一ABC的（）

A.重心B.垂心C.夕卜心D.内心

9.奔驰定理：已知。是.ABC内的一点，若.BOC、AOC.A03的面积分别记为廿、S,、S3,则

5/。4+邑・03+号。。=0・"奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与"奔驰"

轿车的logo很相似，故形象地称其为"奔驰定理".如图，已知。是.ABC的垂心，且OA+2O3+4OC=0,则

cosB=()

A④1

B.—c

33-I

10.已知。是LABC所在平面上的一点，角A、B、。所对的边分别为。，瓦C,若尸0=^..................-（其

a+b+c

中产是‘ABC所在平面内任意一点），则。点是；,45。的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

1L"奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相

似，故形象地称其为"奔驰定理奔驰定理：已知。是AA8C内的一点，XBOC,AAOC,AAOB的面积分

别为与、SB、SC,则有SAOA+SBQB+SCOC=0,设。是锐角AABC内的一点，SBAC,0ABC,0AC2分

别是AABC的三个内角，以下命题错误的是（）

B.若OA+2O2+3OC=0，则枭：：S©=1：2:3

C.则。为AABC（不为直角三角形）的垂心，贝Utan/a4c-OA+tan/ABC-OB+tanNACHOCuO

1

D.若网=|词=2,ZAOB=^,20A+30B+40C=0>贝1sAsc=|

二、多选题

12."奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与"奔驰"（Mercedesbe〃z）的

log。很相似，故形象地称其为"奔驰定理”奔驰定理：已知。是一ABC内的一点，^BOC,AOC,AOB的

面积分别为SB,Sc,则%OA+%-QB+Sc，℃=°•若。是锐角A3c内的一点，A,B,C是；ABC的

三个内角，且点。满足。40B=02-OC=040C.则（）

C.|OA|:|OB|:|（9c|=cosA:cosB:cosCD.SA:SB:SC=tanA:tanB:tanC

13."奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与"奔驰"轿车的log。很相似,

故形象地称其为"奔驰定理".奔驰定理：已知。是「.ABC内的一点，BOC,.AOC,A03的面积分别为

SA,SB,SC,则有邑•Q4+SB-OB+SCOC=0.设。是锐角，IBC内的一点，NBAC,/ABC,—ACB分别

是.ABC的三个内角，以下命题正确的有（）

B.若。4+2O3+3OC=0，则%=1:2:3

UULUUU5719

C.若|OA|=|O3|=2,^AOB=—,20A+30B+40C=0，则5人g=7

D.若。为ABC的垂心，贝UtanNBAC-OA+tan/ABC-02+tanNAC"OC=0

14.“奔驰定理"因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形

四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是ABC内一点，LBMC,

AMC,的面积分别为枭，SB,Sc,且邑•MA+SB-MB+SC-MC=O.以下命题正确的是（）

A.若L：SB：SC=1：1：1,则M为AAMC的重心

B.若M为_A3C的内心，贝UBC.M4+AC.〃B+AB.MC=0

C.若/B4C=45。，ZABC=60°,/为_帅（7的外心，则与：S8:Sc=6：2:1

D.若/为ABC的垂心，MA+2MB+3MC=0,贝Ucos/BAC=、一

2

15.奔驰定理：已知。是，1BC内的一点，BOC,AOC,AQ5的面积分别为枭，SB,Sc,贝I]

SA-Q4+S/O3+SC・OC=0.“奔驰定理"是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔

驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为"奔驰定理".若0、P是锐角,ABC内的点，A、B、

C是ABC的三个内角，且满足PA+P8+PC=；CA,OAOB=OBOC=OCOA,则（）

A

A.S^PAB：SNBC-S^PCA=4:2:3

B.ZA-^ZBOC=7t

C.|OA|:|OB|:|oc|=cosA:cosB:cosC

D.tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=0

三、填空题

16.在面上有.ABC及内一点。满足关系式：5谶叱。4+5徵605+5/@0。=0即称为经典的“奔驰定理〃,

若一ABC的三边为。，b,c,现有Q.OA+b.O5+LOC=0，则。为一ABC的一心.

17.已知。是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点尸满足

/\

_0A+OB.CACB.,,,.、4、,,,,,.

0P=---+2|~i-------+L---------,/IGR,则P的轨迹一定经过_ABC的________.（从"重心"，"外

2U/cosAr4cos巴

心"，"内心"，"垂心"中选择一个填写）

18.请你根据“奔驰定理"对以下命题进行判断：

①若尸是一ABC的重心，贝I有PA+PB+PC=0;

②若aP4+6PB+cPC=0成立，贝！1P是ABC的内心；

91

③若AP=—AB+—AC,则ZABP:5AABC=2:5；

④若「是ABC的外心，A=：,PA=mPB+nPC，则加+〃£[-61）；

7

⑤若J1BC的内角A,B,。的对边分别为〃，b,c,且COSA=7，0为ABC内的一点且为内心.若

O

4

AO=xAB+yAC,则x+y的最大值为二.

则正确的命题有.（填序号）

A

B

FC

19.1909年，戴姆勒公司申请登记了"三叉星"做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，

而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知。为

ABC内一点，/\OBC,OAC,的面积分别为%,SB,Sc,贝|有SAO4+SBO3+SCOC=0，我们

7

称之为"奔驰定理"（图二）.已知.ABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,且cosA=g,。为ABC内的一

8

点且为内心.若AO=xAB+yAC,则尤+，的最大值为.

图一图二

20."奔驰定理"因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角

形的四心（重心、内心、外心、垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若尸是11ABe内一点，

BPC,APC,的面积分别为臬鸟跳，则有%+•M+S。・尸。=。.已知。为ABC的内心，且

cosABAC=j,若A0=»JA3+"AC，则〃?+”的最大值为.

第07讲平面向量奔驰定理与三角形四心问题

（高阶拓展、竞赛适用）

（2类核心考点精讲精练）

平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难

度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和线）、

极化恒等式、本节我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。它将三角形的四心与向量完美地融合到一起,

高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。

奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的logo相似

而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。

知识讲解

4.奔驰定理

如图，已知尸为ABC内一点，则有工/\尸rD\_殴,。4+2/\咏・,。6+5“/\I他rMl・0。=0.

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为"奔驰定理

5.奔驰定理的证明

如图：延长。4与边相交于点。

BD

q一qq

则空.=2理©BODuABDQBOD

q_qq

DCSArnuCODDU.CODuAOC

OD=^OB+—OC

BCBC

___0B+0C

V-LvV+V

0,AOC丁0AOB0AOC丁0AOB

°D_SBOD_S。。。_SBOD+ScODuBOC

r)Aqqq_i_qq

DC^BOA^COA°BOATaCOA°AOC丁0AOB

q

0D=---------螫——OA

S,AOC+.AOB

uBOC+__oc

OA=0B

c+qC_1_CC4.C

0AOC丁0AOB0AOC丁0AOB。AOC丁0AOB

.-.sBOC-OA+S_AOC-OB+SAOB-oc=o

6.奔驰定理的推论及四心问题

推论。是ABC内的一点，且x-OA+y-OB+z-OC=0,则SBOC:SCOA:SAOBx:y:z

有此定理可得三角形四心向量式

(1)三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距

离之比为2：1.

(2)三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.

(3)三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内

心到三边的距离相等，都等于内切圆半径匚

(4)三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，

它到三角形三个顶点的距离相等.

奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心"相关的问题，有着

决定性的基石作用.

已知点。在ABC内部，有以下四个推论：

①若。为一ABC的重心，贝l|OA+O3+OC=0；

②若。为一ABC的外心，贝！lsin2AOA+sin2B-OB+sin2cOC=0;或|。川=|0q=|℃|

③若。为ABC的内心，贝！la.0A+6.OB+c-OC=O;备注：若。为ABC的内心，贝U

sinA-OA+sin3-OB+sinC-OC=0也对.

④若。为ABC的垂心，贝!Jtan4OA+tanaOB+tanCOC=0，^OAOB=OBOC=OCOA

研究三角形"四心”的向量表示，我们就可以把与三角形"四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向

量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合

的数学思想.

考点一、奔驰定理与四心问题综合

典例引领

1.（宁夏•高考真题）已知0,N,P在AABC所在平面内，且囱=|西=匹|,丽+丽+比=0,且

西•丽=丽•定=斤•西，则点。，N,P依次是AABC的

（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）

A.重心外心垂心B.重心外心内心

C.外心重心垂心D.外心重心内心

【答案】C

【详解】试题分析：因为=所以0到定点A3,C的距离相等，所以O为AABC的外心，由

NA+NB+NC=贝!1Ml+NB=-NC,取AB的中点E,财NA+NB=-2NE=CN,所以2口目=口叫，所以

N是AABC的重心；由=•尸C=PC•尸A，得（尸A-PC）-PB=0,即4。形=0，所以AC_LPB,

同理ABLPC,所以点2为AABC的垂心，故选C.

考点：向量在几何中的应用.

2.（江苏・高考真题）。是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点尸满足

'ABAC、

OP^OA+A--+——,2e[0,+«）,则P的轨迹一定通过"ASC的（）

{\AB\\AC\J

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】B

【分析】根据」巴是以A为始点，向量*-与上乂为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知P点

\AB\|AC||AB||AC|

轨迹，据此可求解.

An\r

【详解】OP-OA=AP,...AP=〃——+—^）

\AB\|AC|

.ABAC…

令----+-----=AM,

IAB|\AC\

则AV是以A为始点，向量a与a为邻边的菱形的对角线对应的向量，

\AB\|AC|

即4M在-胡C的平分线上，

AP=AAM，AP,AM共线，

故点P的轨迹一定通过蜘BC的内心，

故选：B

3.设尸是AABC所在平面内的一点，若A8，（C8+CA）=2ABCP且="■?_23（；Ap.则点尸是AABC的

（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】A

【详解］由AR（CB+CA）=2AB.CP,^AB-（CB+CA-2CP^=0,

即AB•［（C2-CP）+（CA-CP）］=0,

所以AB•（尸3+PA）=0,

设。为AB的中点，则Ag.2PO=0，故AB.PD=0;

因为AB?=AC?一2蛇.AP，

所以（AC+A2）（AC-AB）=23C.AP,

所以BC-（AC+AB—2AP）=0,

设BC的中点为E,同上可知BC.p2=0，

所以P为AB与BC的垂直平分线的交点.

所以尸是AABC的外心.选A.

【点睛】三角形"四心”的向量表示

①在1ABe中，若|OA|=|OB|=|OC|或0，=0/=℃2，则点。是一ABC的外心；

②在U1BC中，若GA+GB+GC=0，则点G是的重心；

③在4ABe中，^（9P-OA=/l（AB+|BC）ae［0,+oo）,则直线"过..ABC的重心；

④在‘ABC中，若HA-HB=HB,HC=HC-HA，则点H是一ABC的垂心;

A5AC

⑤在aABC中，若。尸++则直线AP通过-ABC的内心.

4.已知点尸是AA5c所在平面内一点，且满足人尸=双逐:―p+E一厂）。©咫，则直线AP必经过AABC

A5cos5ACcosC

的

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】D

【解析】两边同乘以向量2C，利用向量的数量积运算可求得AP.8C=0从而得到结论.

c、

4DA（^

【详解】AP=2'——+i~,——（2e/?）

|AB|COSB|AC|COSC^

两边同乘以向量BC,得APLBC

即点P在BC边的高线上，所以P的轨迹过AABC的垂心，

故选D.

【点睛】本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题.

5.设0是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足

，二lO.-XI,则动点P的轨迹一定通过回ABC的

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】D

ADACARAC

【详解】试题分析：OP=OA+2(--------------+---------------):.OP-OA=A(--------------+---------------),

|AB|cosB|AC\cosCf|AB|cosB|AC\cosC

A5+二)

:.AP=A(

|AB\cosB

AR

APBC=A(--------------+AC)-BC=M^BC+AC，)

|AB|cosB|AC|cosC|AB|cosB\AC\cosC

|AB|-|BC|COS(^--B)|AC|-|BC|COSC

=2(-|BC|+|BC|)=0,.,AP1BC,

IAB\cosB|AC|cosC)

则动点尸的轨迹一定通过AABC的垂心.故C正确.

考点：1向量的加减法;2数量积;3向量垂直.

1.若。是ABC内一点，S.OAOB=OAOC=OCOBf贝!1。为ABC的()

A.垂心B.重心C.外心D.内心

【答案】A

【分析】根据条件，可得Q4-CB=0aC4=0。班=0,即。4_L3C,OB_LAC,OC±AB,从而可得答案.

【详解】因为0408=0400=0008,

所以04.(03-00=03.(04-℃)=0。(04-08)=0,

^OACB=OBCA=OCBA=0,

贝IJQ4_L3C,O3_LAC,OCLAB,

即。是三条高线的交点，为，ABC的垂心.

故选：A.

2.已知点。是."C所在平面上的一点，ABC的三边为。，"c,^aOA+bOB+cOC=0'则点。是至。

的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】B

【分析】在A3,AC上分别取点O,E,使得G=丝，危=如，以A。，AE为邻边作平行四边形的E，

cb

即可得到四边形皿诂是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到A,0,尸三点共线，即可

得到。在N3AC的平分线上，同理说明可得。在其它两角的平分线上，即可判断.

【详解】在A3，AC上分别取点。，E,使得茄=丝，嬴=生，则办=/=1.

cb

以A。，AE为邻边作平行四边形ADFE,如图，

—>—>

则四边形皿诂是菱形，且A>=G+/=竺+型.

cb

为/B4C的平分线-aOA+bOB+cOC=0

:.a-OA+b\OA^AB)+c.(OA+AC)=0，

BP{a+b+c)OA^bAB+cAC=^

•力bUc力be,ABAC.bel

-AO=---------AB+----------AC=----------(——+——)=----------AF-

a+b+ca+b+ca+b+ccba+b-{-c

:.A,0,尸三点共线，即。在—BAC的平分线上.

同理可得。在其它两角的平分线上，

是ABC的内心.

故选：B.

3.已知点0为_ABC所在平面内一点，在1tAsc中，满足2A8.AO=|AB『，2AC-AO=\AC^,则点O为

该三角形的（）

A.内心B.外心C.垂心D.重，L?

【答案】B

【分析】由2AB-40=网2,利用数量积的定义得到“|.cos（A3,AO）=g网，从而得到点0在边A3的

中垂线上，同理得到点。在边AC的中垂线上判断.

【详解】解：根据题意,2AB-Ad=\AB^,即2,40=2网|MCOS（A8,AO）=网,

所以%。|y05<4民4。）=34@,则向量A0在向量上的投影为|A@的一半，

所以点。在边A8的中垂线上，同理，点。在边AC的中垂线上，

所以点。为该三角形的外心.

故选：B.

4.已知A,B,C是不在同一直线上的三个点，。是平面ASC内一动点，若。尸=+

Ae[0,+a>）,则点尸的轨迹一定过.ABC的（）

A.外心B.重心C.垂心D.内心

【答案】B

【分析】设出8C的中点。，利用向量的运算法则化简A8+；2C；0P-0A据向量共线的充要条件得到尸在

三角形的中线上，利用三角形的重心定义：三中线的交点，得到选项

【详解】解：如图，取BC的中点O,连接AD,

11

贝ilAB+jBCuAB+BOnAr）.X（?P-0A=2（AB+-BC）,

OP-OA=AAD,BPAP=AAD.

又/le[0,4<o）,

点在射线AD±..

故P的轨迹过^ABC的重心.

故选：B.

5.在平面上有ABC及内一点。满足关系式：5叩1。4+5曲厂05+53犷0。=0即称为经典的“奔驰定

理”，若ABC的三边为a,b,c,现有a.Q4+'OB+c.OC=0贝IO为ABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】B

【分析】利用三角形面积公式，推出点。到三边距离相等。

【详解】记点。到A3、BC、CA的距离分别为％，电，为,SoBc=；a/h，S0AC,SOAB>

因为2.Be6+S,c•08+•OC=0,贝生%Q+*%•08+；c•好OC=0,即

a-h2OA+b-h3OB+chlOC=6,a-OA+b-OB+c-OC=0，所以"=%=",所以点尸是13ABe的内

心.

故选：B

6.已知G,0,H在，ABC所在平面内，满足GA+GB+GC=O,|OA|=|OB|=|OC|,AH-BH=BHCH=CH-AH，

则点G,O,X依次为二ABC的（）

A.重心，外心，内心B.重心、内心，外心

C.重心，外心，垂心D.外心，重心，垂心

【答案】C

【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形四心的性质即可判断出答案.

【详解】

因为GA+GB+GC=O,所以GA+G3=-GC，

设A8的中点。，则GA+GB=2GD，所以-GC=2G£>，

所以C,G,。三点共线，即G为“ABC的中线CD上的点，且GC=2GD,

所以G为ABC的重心.

因为|OA|=|OB|=|OC|,所以|3=|OB|=|Oq,所以。为;ABC的外心；

因为AH,BH=BH-CH=CH,AH，所以瓦九（48-。8）=0,即〃B.AC=O,

所以HB_LAC，同理可得：HA1BC，HB工AB，所以H为ABC的垂心.

故选：C.

考点二、奔驰定理与其他问题综合

典例引领

1.奔驰定理：已知。是AABC内的一点，NBOC,MOC,AAOB的面积分别为%,SB,Sc,贝I]

SA・QA+SB-OB+SC-OC=0."奔驰定理"是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与

“奔驰"轿车(Mercedesbenz)的log。很相似，故形象地称其为"奔驰定理"若。是锐角AABC内的一点，A,

B,C是AABC的三个内角，且点。满足Q4.O8=O8.OC=OC-Q4，则必有()

A.sinA-OA+sinB-OB+sinC-OC=0

B.cosAOA+cosBOB+cosCOC=0

C.tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=0

D.sin2AOA+sin2BOB+sin2C-OC=0

【答案】C

【分析】利用已知条件得到。为垂心，再根据四边形内角为2万及对顶角相等，得到NAOB=%-C,再根据

数量积的定义、投影的定义、比例关系得到进而求出枭：SP:品的值,

最后再结合“奔驰定理"得到答案.

【详解】如图，因为。4.O3=OB.OC=OC.OA，

所以08(04-。C)=0nOBC4=0,同理OA-8C=0，OCAB=0,

所以。为AABC的垂心。

因为四边形DOEC的对角互补，所以NAO3=%-C,

:.OAOB=I(?A|网COS(%-C)=-|OA||OB|COSC.

同理,OBOC=-\OBWOCIcosA,

OCOA=-\OC\\OA\cosB,

|OA\\OB|cosC=|021|OC|cosA=|OC\\OA\cosB.

.|(MO8|cosC|OB||OC|cosA