2025高考数学专项讲义：抛物线方程及其性质（学生版+解析）

第06讲抛物线方程及其性质

（5类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

切线长

2023年新H卷，第10题,6分根据抛物线方程求焦点或准线

直线与抛物线交点相关问题

由导数求函数的最值

抛物线标准方程（不含参）

2023年新I卷，第22题,12分

求直线与抛物线相交所得弦的弦长基本（均值）不等式的应用

求平面轨迹方程

抛物线定义的理解

根据焦点或准线写出抛物线的标准方程

2023年新II卷，第10题,5分无

求直线与抛物线的交点坐标与地物线焦

点弦有关的几何性质

根据抛物线方程求焦点或准线求直线与抛物线相交所得弦

2022年新I卷，第11题,5分

判断直线与抛物线的位置关系的弦长

抛物线定义的理解数量积的坐标表示

2022年新II卷，第10题,5分

求直线与抛物线的交点坐标已知两点求斜率

根据抛物线方程求焦点或准线

2021年新I卷，第14题,5分无

根据抛物线上的点求标准方程

2021年新H卷,第3题,5分根据抛物线方程求焦点或准线己知点到直线距离求参教

2020年新I卷，第13题,5分求抛物线焦点弦长无

2020年新II卷，第14题,5分求抛物线焦点弦长无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-17分

【备考策略】1.熟练掌握抛物线的定义及其标准方程，会基本量的求解

2.熟练掌握抛物线的几何性质，并会相关计算

3.会求抛物线的标准方程，会抛物线方程简单的实际应用

5.会求抛物线的相关最值

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常常考查标准方程的求解、基本量的计算及最值的求解,

需重点强化训练

知识讲解

1.抛物线的定义

平面上一动点P(x,y)到定点F(^,0)的距离与到定直线/：x=-T的点的轨迹叫做抛物线

2.抛物线的图形

3.数学表达式

|郎=|尸用

4.标准方程的推导

设p(x,y),由定义可知：附=|必|

^(%--|)2+/=x+g,等式两边同时平方得:

22

/x-P\22/P\22P22P

（y）+》=（x+j）n%一夕工+亍+＞二1+p%+亍n）2=2px

5.抛物线的标准方程及其几何性质

准线

x=-Ex-ET

方程22

6.通径

通径长：2p,半通径长：p

7.焦半径（抛物线上的点到焦点的距离）

横轴归厂卜闯+

焦半径

纵轴《尸川=厢+^

8.焦点弦的性质

（1）%%=-。2，卒2=§

(5){AF,BF}min=^-PP

⑵A仆十==悬

1+COS0l-cos。min

（）

尸26ZCF£）=90°

(3)SAAO6=S^COD（以为直径的圆必与准线橄

2sin67AB

⑷册+薪=5（定值）=2（焦点弦中垂线问题

考点一、抛物线的定义

典例引领

1.（2024•上海•高考真题）己知抛物线丁=©上有一点P到准线的距离为9,那么点P到x轴的距离为.

2.（2023•北京•高考真题）已知抛物线C:/=8x的焦点为尸，点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,

贝（）

A.7B.6C.5D.4

1.（2023高三・全国•专题练习）动点尸到直线x+4=0的距离减去它到点“（2,0）的距离等于2,则点P的

轨迹是（）

A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线

2.（2024•陕西西安•一模）平面上动点M到定点尸（3,0）的距离比M到了轴的距离大3,则动点M满足的方

程为.

考点二、抛物线的标准方程

典例引领

1.（2024高三下•江西新余•专题练习）请写出一个以（0,1）为焦点且以坐标轴为对称轴的抛物线方

程：.

2.（2024・贵州毕节•三模）已知点（1,2）在抛物线。：,=2「/（0>0）上，则抛物线C的准线方程为（）

1111

A.x=——B.x=——C.y=——D.y=——

2828

3.（2024•宁夏石嘴山•三模）如图，过抛物线V=2px（p>0）的焦点厂的直线/交抛物线于两点A、B,交其

准线于C,AE与准线垂直且垂足为E,若忸。=2忸孔|/场|=3,则此抛物线的方程为（）

C./=—D.y1=3x

1.（2024•北京・高考真题）抛物线V=16x的焦点坐标为.

2.（2024•陕西安康•模拟预测）过点（2,-3）,且焦点在V轴上的抛物线的标准方程是（）

A2c2?22

A.x=-3yC.x———yD.x=-4y

3.（23-24高三下•湖北•开学考试）已知抛物线C的顶点在原点，焦点P在坐标轴上，点尸关于其准线的对

称点为（6,0）,则C的方程为（）

A.y1=-8xB.y1=-4xC.y2=SxD.y2=4x

考点三、抛物线的几何性质

典例引领

1.（24-25高三上•重庆沙坪坝•开学考试）已知点A。,退）在抛物线C:/=2px上，则A到C的准线的距离

为.

2.（24-25高三上•黑龙江•阶段练习）已知抛物线。：丫2=2。工（0>0）的焦点为尸，若抛物线上一点M满足

\MF\=2,ZOFM=60°,则。=（）

A.3B.4C.6D.8

3.（24-25高三上・河南焦作•开学考试）已知点A12P+1,3P+；）在抛物线。:/=2刀（夕>0）上，则C的焦

点与点（1,2）之间的距离为（）

A.4B.75C.2D.72

4.（2024•山西晋中•模拟预测）已知抛物线/=2世（。>2）的焦点为凡P为抛物线上一点，且满足|尸尸|=5,

4

设直线p尸的倾斜角为e,若COS，=M，则点尸的坐标为.

1.（2024•江西•一模）已知点尸（1,%）是抛物线。：尸=2。；1（0>0）上一点，且点P到C的焦点距离为2,则

P=.

2.（2024•山东聊城二模）点尸在抛物线V=8x上，若点P到点（2,0）的距离为6,则点尸到'轴的距离为（）

A.4B.5C.6D.7

3.（23-24高三下•全国•开学考试）抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为尸,C上的点到尸的距离等于到直线

x=—l的距离，则。=（）

11

A.2B.1C.-D.-

24

4.（23-24高二上•江苏南通,阶段练习）已知〃是抛物线y=8x上一点，F是抛物线的焦点，。为坐标原点.若

ZMFO=120°,则线段MF的长为.

考点四、抛物线中的最值问题

典例引领

1.（2024•陕西•二模）已知抛物线C:y2=2px（p>0）上的点P到定点Q（2p,0）的最小距离为2,贝|

P=.

2.（2024•福建莆田•二模）已知抛物线y2=4x的焦点为产，点”在抛物线上.若点。在圆（x-3>+丁=1上,

则+的最小值为（）

A.5B.4C.3D.2

3.（2024•江西鹰潭•一模）已知抛物线无2=16〉的焦点为尸，P是C上的动点，过点尸作直线y=Mx-4）+4

的垂线，垂足为Q,则|尸。|+|尸产|的最小值为.

4.（2024高三•全国•专题练习）已知尸是抛物线V=2x上的点，。是圆（工-旷+V=1上的点，则卢0的最

小值是（）

A.2B.20C.2>/3D.3

,/、/、\PB

5.（2023,河南开封•模拟预测）已知抛物线C:升=8x,P为C上一点，A（-2,0）,B（2,0）,当房最小时,

\PA

点尸到坐标原点的距离为（）

A.2石B.30C.26D.8

1.（2024•陕西安康•模拟预测）已知抛物线方程为>2=4无，点A。,0）1（2,-1），点尸在抛物线上，则|到+|咫

的最小值为.

2.（2024・全国•二模）已知点P为抛物线产=8尤上一点，过点P作圆C：5-5）2+9=1的两条切线，切点

分别为N,贝iJcosNM/W的最小值为（）

J52911

A.-B.-C.—D.—

231012

3.（2024•四川成都三模）已知点P,Q分别是抛物线C：V=4x和直线/:x=|上的动点，若抛物线C的焦点

为/，则|PQ|+|Q典的最小值为（）

A.3B.2+代C.26D.4

4.（2023•辽宁抚顺•模拟预测）设。为坐标原点，尸是以尸为焦点的抛物线丁=4x上任意一点，M是线段

尸尸上的点，^\PM\=3\MF\,则直线0M的斜率的最大值为（）

A.aB.BC.6D.且

322

考点五、抛物线的简单应用

典例引领

1.（2024•全国•模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的

桥面跨度为21.6m,拱顶距水面10.9m,路面厚度约1m.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，

使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（）

C.5mD.6m

2.（2023•河南•模拟预测）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有"温润""淡远""清新"的特征.如

图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3cm,碗盖口直径为8cm,碗体口直径为10cm,

碗体深6.25cm,则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（）

A.5cmB.6cmC.7cmD.8.25cm

3.（23-24高三上•湖南长沙•阶段练习）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽A3为

2m,渠深OC为1.5m,水面跖距A3为0.5m,则截面图中水面宽跖的长度约为（）（0=1.414，

A/3»1.732,而々2.449）

A.0.816mB.1.33mC.1.50mD.1.63m

1.（23-24高三下•陕西安康•阶段练习）在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹

均可近似看作是抛物线的一部分.这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一部

分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线.若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为30

米,碎片距离爆炸中的最远水平距离为60米,则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为米.

2.（2023•河北张家口•二模）探照灯、汽车前灯的反光曲面、手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面等都是抛物镜

面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯、汽车前灯、手

电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直

径是80cm,灯深40cm,则光源到反射镜顶点的距离为（）

A.20cmB.10cmC.30cmD.40cm

3.（2024•山西晋城,一模）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨

江东路.雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该

抛物线的焦点到准线的距离为P米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两

根吊索之间的距离均为。米（将每根吊索视为线段）.已知最中间的吊索的长度（即图中点A到桥面的距离）

为6米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点8到桥面的距离）为（）

169«2+pb、［/口169a2+2pb

C.-----------2米米

P2P

IN.好题冲关

一、单选题

1.（2024・福建厦门•模拟预测）若抛物线丁=尔的准线经过双曲线声一丁二？的右焦点，则加的值为（）

A.-4B.4C.—8D.8

2.（2024•山东济宁,三模）已知抛物线C：V=2p%（p>0）的焦点为尸，过尸且斜率为2的直线I交抛物线C于

A,B两点，若|A3|=5,贝（）

1

A.-B.1C.一D.2

22

3.（2024・河南•模拟预测）已知抛物线。：9=2加（“>0）上的点（m,2）到原点的距离为2后，焦点为R准

27r

线/与X轴的交点为过C上一点尸作皿于。，若NFPQ=w，则|PR|=（）

4.（2024・四川南充•一模）已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为-抛物线上一点尸（U）满足「青=2,则抛

物线方程为（）

91O1o_91

A.y=—xB.y=—xC.y=2%D.y=4%

5.（24-25高三上•广西•阶段练习）已知A（根,1）为抛物线。:炉=2刀（°>0）上的一点，点A到抛物线C焦点

的距离为2,则。=（）

1

A.2B.1C.-D.4

2

6.（2024•安徽•模拟预测）已知抛物线C：丁=2/（。>0）的焦点为凡若点在C上，则△Q4F的

面积为（）

A.40B.8及C.4D.8

7.（2024・重庆•模拟预测）是抛物线_/=2px（p>0）上的不同两点，点/是抛物线的焦点，且△OAB的

重心恰为尸，若［AF|=5,贝ljp=（）

A.1B.2C.3D.4

8.（24-25高三上•贵州贵阳•阶段练习）已知点A是抛物线C：y=2px（p>0）上一点，若A到抛物线焦点的

距离为5,且A到了轴的距离为4,则。=（）

A.1或2B.2或4C.2或8D.4或8

二、填空题

9.（2024・山西太原•模拟预测）已知等腰梯形A8CD的四个顶点在抛物线E：V=4x上，且|钻|:|。刈=1:2,

则原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为.

10.（24-25高三上•云南•阶段练习）动圆〃经过原点，且与直线％=-2相切，记圆心M的轨迹为C,直线

y="r与C交于A,B两点，则|/山|=.

一、单选题

1.（2024•山西运城•三模）已知抛物线C:y2=4x的焦点为人动点”在C上，点8与点A。,-2）关于直线

MF

人.1对称，则前的最小值为（）

2.（2024•福建泉州•一模）已知抛物线E的焦点为片点尸在E上,M为的中点，则的最小值为（）

\MO\

A.等B.0C.1D.2A/2

3.（2024・全国•模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点*1,0）,E（-2,0）,M（2,2）,动点尸满足线段PE

的中点在曲线V=2x+2上，则+|尸目的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

二、多选题

4.（2024・全国•模拟预测）设歹为抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点，点A（3,2豆）在C上，过点8（-3,0）的直

线交C于M,N两点，则下列说法中正确的是（）

A.抛物线C的方程为V=2xB.抛物线C的焦点为。,0）

C.直线A3与C不相切D.\OM\-\ON\>\FA\123

5.（2024・广东汕头•三模）已知抛物线C：V=2px（p>0）的焦点为尸，。为坐标原点，动点尸在C上，若

定点M（2,6）满足k2|0同，则（）

A.C的准线方程为x=-2B.周长的最小值为5

C.四边形OPMF可能是平行四边形D.丽•丽的最小值为-3

三、填空题

PB

6.（23-24高二下•四川德阳•期中）已知抛物线C:y2=4x,尸为C上一点，A（-2,0）,B（2,0）,当胡■最小时，

点尸到坐标原点的距离为.

7.（2024•福建福州•模拟预测）倾斜角为§的直线经过抛物线C：V=i2x的焦点尸，且与C交于A,B两点，

。为线段48的中点，P为C上一点,则的最小值为.

8.（2024・湖北黄冈•三模）已知抛物线。：>2=天的焦点为QA,8是抛物线C上关于其对称轴对称的两点，

若4尸，OB,。为坐标原点，则点A的横坐标为.

9.（2024•福建泉州•模拟预测）已知。为坐标原点，矩形Q4BC的顶点A,C在抛物线炉=与上，则顶点8

的轨迹方程为.

10.（2024•河北•模拟预测）抛物线C：V=4x上的动点尸到直线y=x+3的距离最短时，尸到C的焦点距离

为.

1.（2024・天津・高考真题）圆0-1）2+产=25的圆心与抛物线y2=2p尤（p>0）的焦点/重合，A为两曲线的

交点，则原点到直线AF的距离为.

2.（2023•全国•高考真题）已知点在抛物线C：y2=2px±,则A到C的准线的距离为.

3.（2023•全国•高考真题）设O为坐标原点，直线y=-6（x-l）过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点，且与

C交于M,N两点，/为C的准线，贝u().

Q

A.p=2B.\MN\=-

C.以MN为直径的圆与/相切D.ACW为等腰三角形

4.(2022•全国•高考真题)设/为抛物线C:/=4x的焦点，点A在C上，点8(3,0),若|窃|=忸目,则|朋=

()

A.2B.20C.3D.372

5.(2021•全国•高考真题)抛物线y2=2pxCp>0)的焦点到直线y=x+l的距离为则2=()

A.1B.2C.20D.4

6.(2022•全国•高考真题)已知。为坐标原点，点A(l,l)在抛物线C:无2=2py(〃>0)上，过点8(。,-1)的直

线交C于P,。两点，贝U()

A.C的准线为y=-lB.直线A3与C相切

C.\OP\-\OQ\>\O^D.\BP\\BQ\>\BA\1

7.(2022•全国•高考真题)已知。为坐标原点，过抛物线Uy?=2px(p>0)焦点厂的直线与C交于A,8两

点，其中A在第一象限，点M(p,0),若|AF|=|AM|,则()

A.直线的斜率为2"B.\OB\=\OF\

C.\AB\>4\OF\D.ZOAM+ZOBM<1SO°

8.(2021•北京•高考真题)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点、M在抛物线上，垂直x轴于点N.若|〃刊=6,

则点M的横坐标为；△肋VF的面积为.

9.(2021•全国•高考真题)已知。为坐标原点，抛物线C：/=2px(p>0)的焦点为尸，p为C上一点，PF

与x轴垂直，。为龙轴上一点，且尸尸，若但。=6,则C的准线方程为.

10.(2020•全国•高考真题)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12,到y轴

的距离为9,则p=()

A.2B.3C.6D.9

IL(2020•北京•高考真题)设抛物线的顶点为。，焦点、为F,准线为/.尸是抛物线上异于。的一点，过尸

作尸Q，/于Q,则线段尸。的垂直平分线().

A.经过点OB.经过点P

C.平行于直线OPD.垂直于直线

第06讲抛物线方程及其性质

（5类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

切线长

2023年新II卷，第10题,6分根据抛物线方程求焦点或准线

直线与抛物线交点相关问题

由导数求函数的最值

抛物线标准方程（不含参）

2023年新I卷，第22题,12分

求直线与抛物线相交所得弦的弦长基本（均值）不等式的应用

求平面轨迹方程

抛物线定义的理解

根据焦点或准线写出抛物线的标准方程

2023年新II卷,第10题,5分无

求直线与抛物线的交点坐标与地物线焦

点弦有关的几何性质

根据抛物线方程求焦点或准线求直线与抛物线相交所得弦

2022年新I卷，第11题,5分

判断直线与抛物线的位置关系的弦长

抛物线定义的理解数量积的坐标表示

2022年新II卷，第10题,5分

求直线与抛物线的交点坐标已知两点求斜率

根据抛物线方程求焦点或准线

2021年新I卷，第14题,5分无

根据抛物线上的点求标准方程

2021年新H卷,第3题,5分根据抛物线方程求焦点或准线己知点到直线距离求参教

2020年新I卷，第13题,5分求抛物线焦点弦长无

2020年新II卷，第14题,5分求抛物线焦点弦长无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-17分

【备考策略】1.熟练掌握抛物线的定义及其标准方程，会基本量的求解

2.熟练掌握抛物线的几何性质，并会相关计算

3.会求抛物线的标准方程，会抛物线方程简单的实际应用

5.会求抛物线的相关最值

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常常考查标准方程的求解、基本量的计算及最值的求解,

需重点强化训练

知识讲解

9.抛物线的定义

平面上一动点P(x,y)到定点F(g,O)的距离与到定直线/：x=--|的点的轨迹叫做抛物线

10.抛物线的图形

11.数学表达式

\PF\=M

12.标准方程的推导

设p(x,y),由定义可知：附=|尸制

^(%--|)2+/=x+g,等式两边同时平方得:

22

/P\22/P、22P22P

(x-y)-+y=(x+j)=>x-px+丁+y=x~+px+^n)2=2px

13.抛物线的标准方程及其几何性质

标准

方程

焦点

（合0）吗）（0，-9

坐标

准线

PP

X-----X-一T

方程22

14.通径

通径长：2p,半通径长：p

15.焦半径（抛物线上的点到焦点的距离）

焦半径]横轴MT*

纵轴归巴=闻+§

16.焦点弦的性质

（1）%为=一。2，%龙2=?

（2以用—+丫+”一2P（5）{AF,BF}min=

-xx+x2+p-.[1+cos。l-cos6»Jmin

p*（6）ZCF£）=90°

（3）SAAOB=5ACOD=（7以AB为直径的圆必与准线木勒

⑷鬲向4定值）（8嚼=2（焦点弦中垂线问画

考点一、抛物线的定义

典例引领

1.（2024・上海•高考真题）已知抛物线V=4x上有一点尸到准线的距离为9,那么点尸到x轴的距离为.

【答案】40

【分析】根据抛物线的定义知与=8,将其再代入抛物线方程即可.

【详解】由V=4无知抛物线的准线方程为％=-1,设点POo，y0）,由题意得%+1=9,解得毛=8,

代入抛物线方程产=4彳，得y；=32,解得%=±4&,

则点P到x轴的距离为4贬.

故答案为：4屈.

2.（2023・北京•高考真题）已知抛物线C:/=8x的焦点为产，点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,

则\MF\=()

A.7B.6C.5D.4

【答案】D

【分析】利用抛物线的定义求解即可.

【详解】因为抛物线C：V=8尤的焦点—2,0),准线方程为x=-2,点/在C上，

所以M到准线x=-2的距离为|MF|,

又M到直线x=-3的距离为5,

所以|MF|+1=5,故|MF|=4.

故选：D.

1.(2023高三•全国•专题练习)动点尸到直线尤+4=0的距离减去它到点“(2,0)的距离等于2,则点P的

轨迹是()

A.直线B.圆C,双曲线D.抛物线

【答案】D

【分析】根据题意可知，动点P到直线的距离与到定点的距离相等，由抛物线的定义可知，点P的轨迹为

抛物线.

【详解】如图所示，由于动点P到直线x+4=0的距离减去它到点“(2,0)的距离等于2,

于是动点尸在直线x=-4的右边，且动点P到直线x+4=0的距离大于2,

因此动点尸到直线x=-2的距离等于它到点M(2,0)的距离，

进而根据抛物线的定义，可知点尸的轨迹是抛物线.

故选：D

2.(2024•陕西西安•一模)平面上动点〃到定点厂(3,0)的距离比M到V轴的距离大3,则动点M满足的方

程为.

【答案】或y=0(x<0)

【分析】考虑xNO和x<0两种情况，xNO时确定轨迹为抛物线，根据题意得到=3,得到答案.

【详解】动点/到定点F(3,0)的距离比M到丫轴的距离大3,

当xNO时，动点M到定点歹(3,0)的距离等于到x=-3的距离，轨迹为抛物线，

设抛物线方程为丁=2内，则］=3,即。=6,所以/=i2x；

当x<0时，>=。满足条件.

综上所述：动点M的轨迹方程为：xNO时，/=12x；尤<0时，y=0,(x<0).

故答案为：y=12x或y=0(x<0)

考点二、抛物线的标准方程

典例引领

1.（2024高三下•江西新余•专题练习）请写出一个以（0,1）为焦点且以坐标轴为对称轴的抛物线方

程：.

【答案】x2=4y（答案不唯一）

【分析】举例V=4y,再验证即可.

【详解】不妨取顶点为原点，设V=2py,贝1J^=l，解得。=2,则f=4y.

故可举例尤2=4y.

故答案为：x2=4y.

2.（2024•贵州毕节三模）已知点（L2）在抛物线C：y=2pf（p>0）上，则抛物线C的准线方程为（）

1111

A.x=——B.x=——C.y=——D.y=——

2828

【答案】D

【分析】将点（1,2）代入抛物线方程求出P,再将抛物线方程化为标准方程，即可得出准线方程.

【详解】因为点12）在抛物线C:y=2/2（p>o）上,

所以2=2。，解得p=l,

所以抛物线C的标准方程为x2=1y,

所以抛物线C的准线方程为y=-1.

O

故选：D.

3.（2024•宁夏石嘴山•三模）如图，过抛物线y2=2pMp>0）的焦点厂的直线/交抛物线于两点A、B,交其

准线于C,AE与准线垂直且垂足为E,若忸。=2忸凡|/闽=3,则此抛物线的方程为（）

3%

A.丁B.y2=9x

~2

D.y12=3x

【答案】D

【分析】过点A8作准线的垂线，设忸同=。，得到IAC|=3+3a,结合抛物线的定义，求得a=1,再由即//RS,

列出方程求得P的值，即可求解.

【详解】如图所示，分别过点8作准线的垂线，垂足为。，

设忸耳=a,则忸/=2忸耳=2a,

由抛物线的定义得\BD\=\BF\=a,

BD1

在直角△5CO中，可得sin/5c。=々k二%,所以NBCD=30。，

nC2

在直角"CE中，因为|AE|=3,可得卜。=3+3〃，

由MC=2|AEj,所以3+3a=6,解得a=l,

因为BDUFG,所以,==,解得"=。，所以抛物线方程为丁=3x.

p3a2

故选：C.

1.（2024•北京・高考真题）抛物线/=16x的焦点坐标为.

【答案】（4,0）

【分析】形如y2=2px,（pwo）的抛物线的焦点坐标为eoj,由此即可得解.

【详解】由题意抛物线的标准方程为y2=16x,所以其焦点坐标为（4,0）.

故答案为：（4,0）.

2.（2024・陕西安康•模拟预测）过点（2,-3）,且焦点在V轴上的抛物线的标准方程是（）

42

A.x2=-3yB.x2=--yC.x2=--yD.x2=-4y

【答案】B

【分析】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.

【详解】设抛物线的标准方程为1=殴（4#0）,

将点点（2,-3）代入，得2、-3a,解得〃=-1,

4

所以抛物线的标准方程是x2=-jy.

故选：B

3.（23-24高三下•湖北•开学考试）已知抛物线C的顶点在原点，焦点P在坐标轴上，点尸关于其准线的对

称点为（6,0）,则C的方程为（）

A.>2=B.y2=-4xC.y2=8xD.y2=4x

【答案】A

【分析】设抛物线的方程为y2=_2px5>0）,设焦点/关于准线/的对称点为尸（无。,0）,求得毛=:，得至U

y=6,进而得抛物线的方程.

【详解】由题意，设抛物线的方程为y2=_2px（0>0）,

可得焦点坐标准线方程为/：x=4，

设焦点P关于准线/的对称点为尸（x°,0）,可得无。+（-g=2xg解得飞=#，

因为点尸关于其准线的对称点为（6,0）,可得学=6,解得P=4,

所以抛物线的方程为丁=-8葭

故选：A.

考点三、抛物线的几何性质

典例引领

1.（24-25高三上•重庆沙坪坝•开学考试）已知点A（l,g）在抛物线C：V=2px上，则A到C的准线的距离

为.

【答案】4

4

【分析】利用给定条件求出抛物线方程，进而求出准线方程，计算距离即可.

【详解】因为点百）在抛物线C:^=2px上，

代入抛物线中得3=2p,解得p==,所以C：V=3尤

3

故抛物线的准线方程为x=-,

4

37

所以A到C的准线的距离为1+：=：.

44

7

故答案为：—

4

2.（24-25高三上,黑龙江•阶段练习）已知抛物线。：丫2=2。%（0>0）的焦点为下，若抛物线上一点M满足

\MF\=2,AOFM=60°,则P=（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】A

【分析】根据抛物线定义及焦点与准线距离列方程求参数即可.

过M分别向x轴和准线做垂线，垂足分别为AN,

根据抛物线定义，有|MF|=|肱V|=2,

所以p=|肱V|+|Mb|<0560。=3.

故选：A

3.（24-25高三上•河南焦作•开学考试）己知点A（2p+l,3p+£|在抛物线C:d=2刀（p>0）上，则C的焦

点与点（L2）之间的距离为（）

A.4B.75C.2D.72

【答案】D

【分析】根据A在抛物线上可求P的值，求出焦点坐标后结合距离公式可得正确的选项.

【详解】因为A在抛物线上，故（2p+l）2=2p,+