2025高考数学专项复习三角函数与正余弦定理压轴题9题型含答案

2025高考数学专项复习三角函数与正余弦定理

压轴题9题型汇总含答案

三宙展裁吕正余移定理人枯败九大殿型汇总

压轴题解读

本专题考查类型主要涉及点为三角函数与解三角形。其中包含了,三角函数的图像与性

命题预测质，三角函数的新定义，三角函数与数列等的结合问题，解三角形相关问题等。

预计2024年后命题会继续在上述几个方面进行。

题型01三角函数的图像与性质题型06实际应用中的正余弦定理问题

题型02三角函数新定义问题题型07实际应用中的三角函数问题

高频考法题型03基本不等式的运用题型08立体几何与三角函数结合问题

题型04三角函数与数列结合问题题型09三角函数中的零点问题

题型05正余弦定理新考点问题

高分必抢

♦题型01三角函数的图像与性质

O0OO

在三角函数/（。）=Asin（0，+p）图象与性质中，。对整个图象性质影响最大，因为。可改变函数的单调区

间,极值个数和零点个数，求解。的取值范围是经常考察的内容,综合性较强，除掌握三角函数图象和性质,

还要准确发掘题干中的隐含条件,找到切入点，数形结合求出相关性质,如最小正周期，零点个数，极值点个

数等,此部分题目还常常和导函数，去绝对值等相结合考查综合能力.

（题国1）（多选）（23-24高三下•浙江•开学考试）函数/3）=285（02+8（0>0,加<堂）相邻两个最高

点之间的距离为兀，（得,0）为/Q）的对称中心,将函数/（，）的图象向左平移者后得到函数y=gQ）的图

象，则（）

A.g（c）在（0,著）上存在极值点

B.方程gQ）=Ux-卷）所有根的和为当

C.若gQ+m）为偶函数,则正数m的最小值为者

D.若g（会）在传，引上无零点,则正数4的取值范围为（0看］U［5,与］

题目0已知/(2)=Asin(3c+0)(A>0,0>0,一^<(p<-^的部分图象如下

图，点P（g,jo）（幽）#0）是图象上一点，贝！1（

•••

A.函数在上单调递增

B.函数/（,）的图象向左平移。个单位长度，所得图象关于沙轴对称

O

C.若/（"）=V5cosQ,则sin2a=±，

tan（2g—£）

D.若点P（g,%）（gW0）处的切线经过坐标原点，则一——"=2

［题目］3）（多沏（2024•浙江宁波•二O已知函数/（c）=sin（。/+0）（。>0）,（）

A.若"=2"=半则/⑸是最小正周期为兀的偶函数

B.若s=2,g为/（2）的一个零点，则■必为/（2）的一个极大值点

C.若0=-'=1是/（⑼的一条对称轴，则3的最小值为年

D.若0=—在［o嘲上单调，则3的最大值为今

遮目可（2024•江苏泰州•模拟预期设函数/（c）=2sin（0L*1（0>0）在［兀,22上至少有两个不

同零点，则实数。的取值范围是（）

A.9+°°）B.岛mU岛+8）

C.［祟，3］U噂,+句D.2,+00）

［题目可（多选）（2024•江苏扬州•模拟顼师设函数/（2）=V3sina）o;cos02；—/cos20工,a>>0,则下列结

论正确的是（）

A.V。e（0,1）,/（切在［-pj］上单调递增

B.若3=1且I/O）一/（工2）|=2,则旦一词min=n

C.若1/（初=1在［0,兀］上有且仅有2个不同的解，则。的取值范围为［W）

D.存在se（0,1）,使得的图象向左平移？个单位长度后得到的函数为奇函数

0

♦题型02三篇函数新定义向摩

（题目|1］（多选）（23-24高三下・浙江•开学考试）在平面直角坐标系中，如果将函数沙=/（切的图象绕坐

标原点逆时针旋转a（OVaW会,a为弧度）后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称/（，）为％旋转函

数”，则（）

A.VaC（0,5）,函数夕=/都为％旋转函数”

B.若函数/（,）=sin‘,a；e[0,7t]为“a旋转函数”，则aC（0,1]

C.若函数g⑸=ax--为号旋转函数"，则a=1

D.当mW—2e?或？1时，函数%（2）=mxex+l不是“于旋转函数”

题目2〕（2021•襦堡漳州•三模）“墨卡托投影”是由荷兰地图学家墨卡托在1569年拟定，假设地球被围

在一个中空圆柱里,其基准纬线与圆柱相切接触，假想地球中心有一盏灯,把球面上的图形投影到圆柱体

上，再把圆柱体展开，这就是一幅“墨卡托投影”绘制出的地图.在地图上保持方向和角度的正确是“墨卡托

投影”的优点，因此，“墨卡托投影”地图常用作航海图和航空图.通过地面上任意两点和地球中心作一平

面,平面与地球表面相交看到的圆周就是大圆，两点之间的大圆劣弧线是两点在地面上的最短距离.沿着这

段大圆劣弧线航行时的航线称为“大圆航线”.“大圆航线”转绘到“墨卡托投影”地图上为一条曲线.如图，

Pi（BJi）,Pg[?）为地球上的两点中B为点P的正纬度或负纬度，乙为点P的正经度或负经

度，B,3,〃，乙2的符号确定规则如下：0，〃＞0，当乌与吕同在北半球或同在南半球时，星＞0，否

则比＜0；当E与R同在东经区或同在西经区时，，＞0,否则，＜0），记△£=，一〃，S=其中。

为地球中心，已知有下面等式：cosS=sinBfsinB2+cosB1-cosB2-cosAL.某游轮拟从杭州（北纬30°,东经

120。）沿着大圆航线航行至旧金山（北纬38。,西经122。），则大圆航程约为（）（大圆圆心角1度所对应的弧

长约为60nmile）参考数据：sin38°—V3cos38°sin28°七—0.025,sin38°+V3cos38°sin28o〜1.256,sin0.72°

0.0125,cos51.1°^0.628.

A.43nmileB.2334nmileC.3066nmileD.5443nmile

[题目T]（2024•浙江•二W古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢

函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数co骁正割函数sec。=

tan，

—J■，余割函数CSC，=一二，正矢函数“ersin。=1—cos。,余矢函数”ercos。=1—sin。.如图角。始边

cosesm〃

为2轴的非负半轴,其终边与单位圆交点P,A、B分别是单位圆与力轴和y轴正半轴的交点,过点P作

PM垂直，轴，作PN垂直y轴，垂足分别为N,过点A作2轴的垂线，过点B作y轴的垂线分别交G的

终边于T、S,其中人同、己3、83、人归为有向线段,下列表示正确的是（）

•••

A.versinff=AMB.esc。=PSC.coW=BSD.seed=NB

蜃目0（23-24高三上•湖南常檐・阶段练习）已知函数/㈤和汽）的定义域分别为。和2,若对任意

的XQE2都恰有n个不同的实数劣1,42,%…劣九eA，使得g（⑷=/（3（其中i=1,2,3,…n,nEN*）,则称

g㈤为了⑵的-重覆盖函数”.⑴若函数g㈤=^（。<”<4兄）是/（,）=|^,（°<”<4兀）的、重

覆盖函数”，则九=；⑵若g（c）=+33）c+l,为/㈤=]og]Wzl的“2重覆盖函

X

------[log2a;,x>l22+1

数”，记实数a的最大值为则sin[（M+1）兀]=.

、题目回（2023•北京•模拟预测）已知集合_?=｛（，,?/）I（①―cosf）2+（g—411。）2=4,04个《兀｝.由集合_?

中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：

①白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为1+3；

②在阴影部分任取一点则M到坐标轴的距离小于等于3；

③阴影部分的面积为8兀；

④阴影部分的内外边界曲线长为8兀.

其中正确的有.

・题型03基本不等式的运用

利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件：

（1）"一正二定三相等""一正"就是各项必须为正数；

（2）"二定"就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值,则必须把构成积的

因式的和转化成定值；

（3）"三相等"是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求

的最值,这也是最容易发生错误的地方.

题目Q（2024•浙江台州•二栉在△ABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c.若acosC•=2ccMos力，则

与的最大值为（）

a

A.V3B.yC•苧D.3

;题目0（2023・广东深圳•二O足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的5底线宽AB=

72码,球门宽HF=8码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时,往往需要找到一

点P,使得/EPF最大，这时候点P就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点。处（OA=AB,

，AB）时，根据场上形势判断，有瓦A、加两条进攻线路可供选择.若选择线路,则甲带球

码时，APO到达最佳射门位置;若选择线路加，则甲带球码时,到达最佳射门位置.

■[3]（2023•江西南曷•模拟超测）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之

一.如图,纸片为一圆形，直径4B=20cm,需要剪去四边形CEG。,可以经过对折、沿。C,EC裁剪、展开

就可以得到.

已知点。在圆上且AC=10cm,/ECD=30°.要使得镂空的四边形CEQ。面积最小，4D的长应为

cm.

题目⑷（2023•全国•模拟预测）如图所示，面积为兀的扇形。UW中，分别在2，夕轴上，点P在弧

上（点P与点”，^^不重合），分别在点P,N作扇形O7W所在圆的切线。也交于点Q，其中"与力轴交

于点R,则WQ+IQRI的最小值为（）

A.4B.2V3C.V6D.2•M

题目5）（2023•全国•模拟预言力在△ABC中，乙民4。=看，。为边BC上一点，满足AD=3且AB

—BD•47=0,则ZVIBC面积的最小值为

♦题型04三甭的数与数列结合向IK

题目U・孑江忘州•二灌）已知数列｛飙｝满足a产4，*1=

（1）求&2。24（只需写出数值，不需要证明）；

⑵若数列｛aj的通项可以表示成即=]—，^sin（37i+w）（o<3<3,0G[—py]）的形式，求s,R.

题目可（2024•广东•二O已知正项数列｛册｝,也｝，满足%产*'+1=49（其中c>0）.

（1）若Qi之仇,且的+济。2c,证明：数列｛。九一b九｝和｛an-\-bn—2c｝均为等比数列；

（2）若Q1>仇,©+6产2c,以an,bn,c为三角形三边长构造序列（其中AnBn=c,BnCn=an,AnCn=bn

），记“出©外接圆的面积为S九,证明：Sn>5c?；

O

⑶在⑵的条件下证明:数列｛SJ是递减数列.

题目§（2024•天津•一模）/Q）=血sin（rr+3）—a+,wC（（）,£■）,已知人2）的图象在（0J（0））处的

切线与，轴平行或重合.

（1）求W的值；

（2）若对Vc>0,/（c）<0恒成立，求a的取值范围；

157,

（3）利用如表数据证明：>>in悬<106.

k=lJ'4

78兀78兀79兀79兀

-314ww■

e盘eee

1.0100.9902.1820.4582.2040.454

题目⑷（23-24高三下•江西•开学考试）同余定理是数论中的重要内容.同余的定义为:设a,bCZ,小

GN+且nz>l.若—b）,则称a与b关于模7n同余，记作a三b（modnz）为整除符号）.

⑴解同余方程：力之+2力三0（mod3）（力GZ）；

（2）设（1）中方程的所有正根构成数列｛Q/,其中的〈电<。3<…

①若bn=an+1—an（nENJ,数列｛bj的前几项和为S”求S4048；

E

②若Cn=tana2n+3-tana2n+i（^N+）,求数列｛&｝的前n项和Tn.

7

题目回（2023•山西•模拟温测）已知定义在（—争+oo）上的函数/Q）=Q—k）sin,.

⑴若曲线沙=/3）在点传J传））处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,求％的值；

（2）将/Q）的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列{4},若成等差数歹！J，求上的值.

•题型05正余弦定理新考点问题

（题目］1］（23・24方三下•江苏苏州・阶段练习）已知在△ABC与△ABC中，=4。,A与A在直线口。

的同侧，AB+AC=4B+AC,直线47与直线AB交于O.

（1）若AB=2,AC=1,求sinA的取值范围；

（2）证明：。4＞。4

（2024•河北・二O若△AB。内一点P满足/PAB=NPBC=APCA=依则称点P为△AB。

的布洛卡点，e为△ABC的布洛卡角.如图，已知AABC中，BC=a,AC=b,AB=C，点P为的布洛卡

点，0为△AB。的布洛卡角.

(1)若b=c,且满足求/ABC的大小.

PA

(2)若△48。为锐角三角形.

(i)证明：=一=---------+----------+----------

'7tan。tanZBACtan/ABCtanZACB

(ii)若PB平分/ABC,证明：〃=ac.

题目0（2024•湖南部M•模拟fit测）对于定义在。上的函数/Q）,若存在距离为d的两条平行直线

=kx+仇和l2：y=kx+戾，使得对任意的力E。都有kx+仇&/（6）Wfcr+⑦，则称函数/（力）（/GD）有一个

宽度为d的通道，Zi与。分别叫做函数/3）的通道下界与通道上界.

（1）若/（,）=「，请写出满足题意的一组/（2）通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程；

e+1

（2）若g（力）=%+sin/+cos6,证明：g（%）存在宽度为2的通道；

（3）探究”,）=旦些土&逃6[l,+oo）是否存在宽度为淬的通道？并说明理由.

x2

题目@（2024•云南北明・一模）早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径.假设一种理想状

态:地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆,三个星体的位置如图所示.地球在

及位置时，测出乙5及河=冬;行星用■绕太阳运动一周回到原来位置,地球运动到了用位置，测出ASE.M

=亨，/@5虱=等.若地球的轨道半径为R,则下列选项中与行星加•的轨道半径最接近的是（参考数据：

73^1.7）（）

A.2.17?B.2.27?C.2.37?D.2.472

题目回（2024•上海旅汇•二如图所示，已知△ABC满足BC=8,AC=34B,P为△48。所在平面

内一点.定义点集D={P|AP=3AAB+^-AC,A672}.若存在点P0ED,使得对任意Pe。，满足\AP\

>\A^\恒成立，则|云月|的最大值为.

•题型06实际应用中的正余弦定理问题

画1H（2024•内米古"港粒•一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有

一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙

多远处最合适呢？（单位:米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3

米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（）

A.1.73B.1.41C.2.24D.2.45

题目团（2022•陕西・O圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪

器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为

“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影

长度最短的那一天定为夏至.图乙是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太

阳高度角大约（即/ABC）为30°,夏至正午太阳高度角（即ZADC）大约为75°,圭面上冬至线与夏至线之

间的距离（即的长）为a,则表高（即力。的长）为（）

B.~~CLD.

444

〔题目〕1〕（多选）（2024•全国•模器III测）通过研究宋代李诫所著的《营造法式》等古建资料,可以得到中国

宋代建筑的屋顶蕴含着丰富的数学元素,体现了数学的对称美，并且符合两个特点:一、从檐口到屋脊的曲

线为屋面曲线，左、右屋面曲线对称，可用圆弧拟合屋面曲线，且圆弧所对的圆心角为30°±2°；二、从檐口到

坡屋面高度半径

屋脊的垂直距离为坡屋面高度半径，水平距离为半坡宽度,且=0.57土0.3.如图为某宋

半坡宽度

代建筑模型的结构图，其中A为屋脊，3,。为檐口，且所对的圆心角夕=。，力。所在圆的半径为4,

0

四也L732,则（）

A.AC的长为■兀

O

B.AC=2V6^—ypl

C.若AB与AC所在两圆的圆心距为4g,则此建筑的屋顶不符合宋代建筑屋顶的特点

D.若AB与AC所在两圆的圆心距为4,要想此建筑的屋顶符合宋代建筑屋顶的特点，可将圆心角0缩小

题目0（2023•湖北丈汉-模拟预测）剪纸又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之

一，如图，一圆形纸片沿直径AB对折，使圆上两点C、G重合,D,E为直径AB上两点,且NECD=45°,

对折后沿直线DC,EC级剪,展开得到四边形CECQ,若AC=^AB,则当四边形CECQ的面积最小时,

DE_

~AC~-------

题目可（2024•重庆•模拟温测）如图,某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为L7zn）测量重庆瞰

胜楼的高度，测角仪底部A和瞰胜楼楼底。在同一水平线上,从测角仪顶点。处测得楼顶河的仰角，

/-MCE=16.5°（点E在线段MO上）.他沿线段AO向楼前进100m到达B点,此时从测角仪顶点D处测

得楼顶M的仰角AMDE=48.5°,楼尖7WN的视角^MDN=3.5°（N是楼尖底部,在线段MO上）.

⑴求楼高MO和楼尖山W；

（2）若测角仪底在线段4。上的F处时，测角仪顶G测得楼尖2WN的视角最大,求此时测角仪底到楼底的距

离FO.

参考数据：sml6.5°s[48.5°一六,tanl6tan48.5°。,“40x35—37.4,

sin325277

12

♦题型07实际应用中的三篇函数问题

数形结合的重点是“以形助数"，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图,以开拓自己的

思维.使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义,解题时要准确把握条件、结论与几何图形

的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解.

［题目|1］（2023•湖北・模拟fit冽）现代建筑物的设计中通常会运用各种曲线、曲面，将美感发挥到极致.如

图所示是位于深圳的田园观光塔，它的主体呈螺旋形，高15.6机,结合旋转楼梯的设计，体现了建筑中的数

学之美.某游客从楼梯底端出发一直走到顶部.现把该游客的运动轨迹投影到塔的轴截面,得到曲线方程

为y=Asin（a）x+p）（4>0,0>0）（力，y的单位：m）.该游客根据观察发现整个运动过程中,相位的变化量

为牛兀，则。约为（）

A.0.55B.0.65C.0.75D.0.85

W0（多选）（2024•福建•模拟预测）小竹以某速度沿正北方向匀速行进.某时刻时，其北偏西30°方

向上有一距其6米的洒水桩恰好面朝正东方向.已知洒水桩会向面朝方向喷洒长为米,可视为笔直线

段的水柱，且其沿东-北-西-南-东的方向每3秒匀速旋转一周循环转动.若小竹不希望被水柱淋湿

且不改变行进方向和速度，则他行进的速度可以是（）

A.lm/sB.1.2m/sC.2m/sD.8m/s

题耳区（2024•广东佛山・一近年,我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业

建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆。绕圆心做逆时针匀速

圆周运动，角速度大小为2兀rad/s,圆上两点A,B始终满足ZAOB=冬，随着圆。的旋转，A,8两点的位

置关系呈现周期性变化.现定义：力，B两点的竖直距离为A,B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假

设运动开始时刻，即t=0秒时，点4位于圆心正下方:则力=秒时，A,B两点的竖直距离第一次

为0；4，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为〃力）=

~7777777777777777777777777777777

水平面

•••

题目4j（2023•上海金山•一模）网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务.小金正

在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图.

（1）为避免冰箱内部制冷液逆流,要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角a不能超过

与，且底面至少有两个顶点与地面接触.外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形

ABCD,AD^0.8m,AB=2.4巾，而客户家门高度为2.3米,其他过道高度足够.若以倾斜角&的方

式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由.

（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收.为了省力，小金选择将冰

箱水平推运（冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）.推运过程中遇到一处

直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米.记此冰箱水平截面为矩形EFGH,1.2m.设2PHG=B，

当冰箱被卡住时（即点N、G分别在射线PR、PQ上，点。在线段EF上），尝试用£表示冰箱高度EF的

长,并求出EF的最小值,最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？

（结果精确到0.1m）

题目回（多匐（2023•山西•模拟预测）如图，扇形493是某社区的一块空地平面图，点P在弧AB上

（异于45两点），PC,OAPDLQB,垂足分别为C,D,/AOB=普，/人。。=&,人。=20米.该社区物

业公司计划将四边形OCPD区域作为儿童娱乐设施建筑用地,其余的地方种植花卉，则下列结论正确的

是（）

A.当a=告时，儿童娱乐设施建筑用地的面积为50V3+100平方米

B.当。=3时,种植花卉区域的面积为3普-100盗平方米

63

C.儿童娱乐设施建筑用地面积的最大值为50（76+V2）平方米

D.种植花卉区域的面积可能是马普-50平方米

♦题型08立体几何与三甭函数结合问题

［题目“1）（多选）（2024•淅江会华•模极H测）已知边长为，的等边△ABC的三个顶点到平面a的距离分别

为1,2,3,且△ABC的重心G到平面a的距离恰有两个可能值，则Z的取值可以为（）

A.2V3B.2V5C.5D.6

］题目@（2024•重庆•三模）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆,该椭圆的长轴为圆柱的轴截面对角

线,短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正

弦曲线.若该段正弦曲线是函数V=v^sin02（0>O）图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为空,

则。的值为（）

cA~~——18

♦、

♦■

A—B.1C.V3D.2

2

题目区（2024•北京丰台•二W”用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,当圆锥的轴与截面所成的角

不同时，可以得到不同的截口曲线”.利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙

上投影出两个相同的椭圆（图1）,光锥的一条母线恰好与墙面垂直.图2是一个射灯投影的直观图，圆锥

P。的轴截面APB是等边三角形，椭圆Q所在平面为则椭圆Q的离心率为（）

•M

D,毕

o

趣目⑷（2024•广东湛江・一财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区,是湛江经济技术开发

区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高

点A,点A在大厦底部的射影为点O,两个测量基点B、C与。在同一水平面上,他测得BC=102V7米，

120°,在点B处测得点力的仰角为。（tan。=2）,在点。处测得点A的仰角为45°,则财富汇大厦

的高度04=米.

BC

题目回（2024•贵州建义•一模）某冰淇淋门面店将上半部是半球（半球的半径为3）,下半部是倒立的圆

锥（圆锥的高为6）的冰淇淋模型放到楣窗内展览,托盘是边长为12的等边三角形ABC金属片沿三边中点

的连线向上折叠成直二面角而成,则半球面上的最高点到平面DEF的距离为.

♦题型09三篇的数中的零点问题

[题目.]1）（2023•天津•二O设函数/（。）=Isin^l,g（c）=e-T.当①e[-2023,2025]时，于（x）与g3的

图象所有交点的横坐标之和为（）

A.4051B.4049C.2025D.2023

题目可（2023•甘肃兰州•模拟演测）已知函数/（宏）=（力—Q）Q—b）+（比一b）（宏一c）+（rc—c）（a?—a）,

其中a=sinBb=sin：cos；,c=sin（cos：）,则以下判断正确的是（）

64414'

A.函数/（力）有两个零点g,力2（/1</2）,且（61一匕）（劣1一。）〈0,（/2—匕）（劣2—。）>0

B.函数/（/）有两个零点/1，/2（力1<力2），且（力1一Q）（力l匕）〈。，（g—Q）（g—b）>0

C.函数/（力）有两个零点/1，C2（力1V力2），且（/1一匕）（61一。）V0,（/2—Q）（力2—b）V0

D.函数/（力）只有一个零点g,且（力（）—Q）（g—6）>0,（g—b）Qo—c）V0

微目3）（2024•全国•模拟预鑫I）已知函数/（力）=asin7rc+bcos兀力（b>0）的图象关于点（",0）对称，若

6

I/（®1）-/（«2）l=l/（®3）-/（®4）l=|/（3）一/（76）］=4b（0VCiVa；2V噩3〈窃Vg〈麴），则汇◎的最小值为

i=l

题目回（2023•四川建宁•模拟预测）已知函数/（0=/一，函数9（8）=$也（232+0）（。>0）的两相邻

对称中心之间的距离为1,且c=■为函数9=g（c）的一个极大值点.若方程/（t）=g（c）在2£

［-n-l,n+3］（neZ）上的所有根之和等于2024,则满足条件中整数九的值构成的集合为

题目回（2024•湖前岳相•三模）已知△ABC的三个角AB,。的对边分别为a,b,c且c=2b,点。在边

BC上，AD是/氏4。的角平分线，设4D=%AC（其中k为正实数）.

（1）求实数k的取值范围；

（2）设函数/（①）=-^~~ax3――bx2+cx—4

①当后=罕时,求函数人,）的极小值；

O

②设而是/3）的最大零点,试比较3与1的大小.

•M

压轴题预测

、题目⑤（2024•全国•模拟覆测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕.源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代

画像砖等发展而来,明清时代进入巅峰,形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流

派.苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛

等建筑中.图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环如图（2）,砖雕厚度为6cm,AD=80cm,

CD=3AB,CD所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：cn?）（）

图⑵

B.4807r+960C.68807U+960D.3680兀+960

1题目⑶（2024•河南•模拟覆测）对于函数/⑺，当，>0时，/（2）>/'（切.锐角△ABC中，角48,。的

对边分别为a,b,c,且6cosC+ccosB>acosC+ccosA，设，产华，电=粤喀，g=&，则（）

bsmBB

A"g）、/（灰）、/（土3）R/（土1）,/（电）/C（g）

e1e2e3e1e2e3

cfM）_/（电）>/（g）D/（◎）_/（◎）二/（词

'e"-6"e%'e"-e'2e*

题目⑥（2023•宁夏石嘴山•三模）/（,）=Asin（3c+0）,（A>O,3>O,O<0<兀）的部分图象如图中实线

所示，图中圆。与/（土）的图象交于M,N两点，且朋■在沙轴上，则下说法正确的是（）

A.若圆。的半径为萼，则/（,）=孕sin（2c+告）；

B.函数/（工）在（I"）上单调递减；

c.函数/3）的图象向左平移■个单位后关于工=年对称；

D.函数/Q）的最小正周期是斗兀.

题目回（22-23高三上•上海基定・期中）在信息时代,信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的

“功臣”就是正弦型函数.函数/3）=天包呼二产的图象可以近似的模拟某种信号的波形，则下列判

M22—1•M

断中不正确的是（）

A.函数/（,）为周期函数，且兀为其一个周期B,函数/（2）的图象关于点（2兀,0）对称

C.函数/（2）的图象关于直线2二号对称D,函数/（2）的导函数/（①）的最大值为4.

（题目|10]（多选）（2024•全国•模拟预测）在单位圆。：/+才=1上任取一点P⑶y），圆。与多轴正半轴的

交点是A,设将04绕原点O旋转到OP所成的角为。，记,，u关于占的表达式分别为c=/（&）,y=g⑹,

则下列说法中正确的是（）

A”=/（。）是偶函数，y=g（0）是奇函数

B.他+g⑹>1对于夕C[0,■恒成立

C.设h[d）=/⑻+g⑹，若拉（加（3>0）在。C[0,初上有且仅有3个极值点，则・W3V号

D.函数t=2/（。）+g（2。）的最大值为苧

•M

王龟£救鸟正命载曼覆41ML九之4L型汇惠

压轴题解读

本专题考查类型主要涉及点为三角函数与解三角形。其中包含了,三角函数的图像与性

命题预测质，三角函数的新定义，三角函数与数列等的结合问题，解三角形相关问题等。

预计2024年后命题会继续在上述几个方面进行。

题型01三角函数的图像与性质题型06实际应用中的正余弦定理问题

题型02三角函数新定义问题题型07实际应用中的三角函数问题

高频考法题型03基本不等式的运用题型08立体几何与三角函数结合问题

题型04三角函数与数列结合问题题型09三角函数中的零点问题

题型05正余弦定理新考点问题

高分必抢

♦题型01三篇函数的图像与性质

O0OO

在三角函数/（。）=Asin（0，+3）图象与性质中，。对整个图象性质影响最大，因为。可改变函数的单调区

间,极值个数和零点个数，求解。的取值范围是经常考察的内容,综合性较强，除掌握三角函数图象和性质,

还要准确发掘题干中的隐含条件,找到切入点，数形结合求出相关性质,如最小正周期，零点个数，极值点个

数等,此部分题目还常常和导函数，去绝对值等相结合考查综合能力.

（题目|1］（多选）（23-24高三下・浙江•开学考试）函数/⑸=2cos（g+>0,加<方）相邻两个最高

点之间的距离为兀，（得,0）为/Q）的对称中心,将函数/（，）的图象向左平移者后得到函数y=gQ）的图

象，则（）

A.g（c）在（0,著）上存在极值点

B.方程gQ）=Ux-卷）所有根的和为当

C.若gQ+m）为偶函数,则正数m的最小值为者

D.若g（会）在传，引上无零点,则正数4的取值范围为（0看］U［5,与］

【答案】AC

（分析】根据给定条件，求出函数/Q）及gQ）的解析式,结合余弦函数的图象、性质逐项分析判断得解.

【详解】依题意，—=兀，解得。=2,由/（需）=0,得2X需+<p=kjt+GZ,

而Ipl〈1,则k=0,<―—器,f(x)=2cos(2①-，9(x)=2cos[2(rc=2cos2x

对于4当ce（o,需）时，2c—/e（得著）,显然当专=0时,函数强）取得极大值,A正确;

,nGN个交点,

即方程gQ）=十（力一年）共有2n+1个根,所有根的和为271；1兀，不存在n使得2n+l兀=萼，B错误;

3o

对于C,函数g（x+m）=2cos（2%+2m—二）是偶函数，则2?n—亭=自兀,自6Z,

\61o

m=~^~+专'”住Z,因此当ki=0时，正数馆取得最小值者，。正确；

对于。，函数g^x）=28s.一手，当/e信子）时，加一看e（孝—本:—关

由g（fO在（等5）上无零点,得（今一/苧■-y）-[k兀一亭k兀+GZ,

A>3fc-12k+专>3k—1

则，kez,解得生,kez,显然,kez,

W-t<A：7r+fA<2k+2k+寺>0

即—"|〈七〈与次畛于是底{0,1,2},所以正数4的取值范围为（0电U[2,畏U',明，D错误.

故选：AC

题目gj（2024•全国•模拟预测）已知/（2）=Asin（sc+w）（A＞O,。＞0,―1~VpV卷）的部分图象如下

图，点_?（四）,队）（力0。。）是图象上一点，贝！J（）

A.函数/（,）在[一字引上单调递增

B.函数/（c）的图象向左平移5个单位长度，所得图象关于沙轴对称

O

C.若/（N）=V^cosa,则sin2a=±q

tan（2x——）

D.若点P（g,%）（gW0）处的切线经过坐标原点，则一（。基=2

x0

【答案】。

【分析】根据函数图象，求得/（。）=2sin（2a;—■，对于＞1项，只需判断z=20—'对应的函数沙=2sinz

在[—苧的单调性即可；对于B项，求出平移后的函数解析式,判断奇偶性即得；对于C项，由/（受）=

V2cos＜z代入化简得sina=2cosa,再对sin2a进行齐次化变换，代入即得；对于D项，设出切点，利用导数

写出切线方程，代入原点坐标，化简即得.

【详解】由图象可知，/（c）的最大值为2,又人＞0,所以4=2.

设最小正周期为T,由图象可知