2025高考数学专项复习：导数及其应用、基本不等式（教师版）

第大许导教及其成用、泉中恭等式

一:考情分析

命题解读考向考查统计

2022•新高考I卷,10

2022•新高考I卷,15

导数与切线2022•新高考D卷，14

2024•新高考I卷,13

2024•新高考n卷，16(1)

1.局考对导数的考查，重点考查导数的计算、四则运

2022•新高考I卷,22(1)

算法则的应用和求切线方程；能利用导数研究函数的

导数与函数2023•新高考I卷，19

单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般

单调性、最2024•新高考I卷，18(1)

不超过三次)以及借助函数图象，了解函数在某点取

值及恒成立2022•新高考n卷，14

得极值的必要和充分条件，会用导数求函数的极大

问题2022•新高考II卷，22(1)

值、极小值,会求闭区间上函数的最大值、最小值。

2023•新高考n卷，22(1)

2.高考对基本不等式的考查，应适当关注利用基本不

导数与函数

等式大小判断、求最值和求取值范围的问题。2023•新高考n卷，11

极值、极值

2024.新高考D卷，16(2)

点

导数与比较

2022•新高考I卷,7

大小、基本

2022•新高考n卷，12

不等式

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考I卷考查了导数与切线和函数最值的知识点,II卷也考查到了切线，但是是体现在大题16

题的第一问中，同时也考查到了恒成立问题。切线问题备考时注意含参数和公切线的问题即可,难度一般

都是较易和适中。导数考查应关注：利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式证明等问题。导数常

结合函数的零点、最值等问题综合考查，比如含函数单调性问题、恒成立问题等,理解划归与转化思想、分类

讨论思想、函数与方程思想的应用。预计2025年高考还是主要考查导数与切线及单调性问题。

三:试题精讲

一、填空题

[题1](2024新高考I卷T3)若曲线y=e"+c在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(rc+l)+a的切线，则a—

【答案】ln2

【分析】先求出曲线夕=e"+/在(0,1)的切线方程，再设曲线y=ln(2：+l)+a的切点为

(g,ln(g+1)+a),求出式，利用公切线斜率相等求出g,表示出切线方程,结合两切线方程相同即

可求解.

【详解】由"=e"+c得式=6工+1,y'\x=0=e°+l=2,

故曲线夕=e"+T在(0,1)处的切线方程为y=2®+1；

由0=hiQ+l)+a得山=,

设切线与曲线g=ln(6+1)+Q相切的切点为(g,ln(g+l)+Q),

由两曲线有公切线得yr——y—=2,解得XQ——,则切点为(一士,Q+In4,

费+12'227

切线方程为g=2(%++a+ln^-=2x+1+a—ln2,

根据两切线重合,所以a—ln2=0,解得a=ln2.

故答案为：ln2

二、解答题

【题2】(2024新高考I卷•18)已知函数/(力)=ln-^+a/+b(x-l)3

2—x

(1)若b=0,且/(a;)>0,求a的最小值；

【答案】⑴-2

(2)证明见解析

⑶心-春

0

【分析】⑴求出f(x)min=2+a后根据广㈤>0可求Q的最小值；

(2)设P(nz,?i)为y=于(x)图象上任意一点，可证P(?n,?2)关于(l,a)的对称点为Q(2—馆,2。一九)

也在函数的图像上，从而可证对称性；

(3)根据题设可判断/(I)=—2即a=—2,再根据/(x)>—2在(1,2)上恒成立可求得

O

【详解】(l)b=o时,/(力)=ln—----卜QN,其中XE(0,2),

/x

则/'3=9+'=；^+se(o,2)，

因为x(2—x)W(2―：+%/=],当且仅当x=l时等号成立，

故ro)min=2+a,而/(/)>0成立，故Q+2>0即。>一2,

所以Q的最小值为一2.,

[题3](2024新高考n卷•16)已知函数y(x)=ex-ax-ci^.

(1)当a=l时，求曲线g=/(力)在点处的切线方程;

(2)若/(力)有极小值,且极小值小于。，求a的取值范围.

【答案】⑴(e—1)力—g—1=0

(2)(1,+oo)

【分析】⑴求导,结合导数的几何意义求切线方程；

⑵解法一：求导,分析a40和a>0两种情况,利用导数判断单调性和极值,分析可得Q?+[「a—1

>0,构建函数解不等式即可;解法二:求导，可知rQ)=e「Q有零点，可得a>0,进而利用导数求

/Q)的单调性和极值，分析可得Q?+Ina—1>0,构建函数解不等式即可.

xx

【详解】⑴当a=1时，则f(x)=e—x—1,f\x)=e—l9

可得/⑴=e—2,1⑴=e-l,

即切点坐标为(l,e—2),切线斜率k=e—1,

所以切线方程为y—(e—2)=(e—l)(x—1)，即(e—l)x—y—1=0.

(2)解法一：因为f(x)的定义域为凡且/(①)=e*—a,

若a<o,则r3）>o对任意力GR恒成立，

可知/（2）在R上单调递增，无极值，不合题意；

若Q>0,令1（力）>0,解得x>Ina;令［3）<0,解得x<Ina;

可知/㈤在（一8,Ina）内单调递减，在（Ina,+8）内单调递增，

则/（名）有极小值/（Ina）=a—alna—无极大值，

由题意可得：/（Ina）=a—alna—a3Vo，即滔+Ina-1>0,

构建g（Q）=a+Ina—1,Q>0,则g，（a）=2a+—>0,

可知g（a）在（0,+oo）内单调递增，且g（l）=0,

不等式M+lna—l>0等价于g（a）>g（l）,解得n>l,

所以Q的取值范围为（1,+8）；

解法二：因为/⑸的定义域为R,且广⑺=ex-a,

若/（力）有极小值，则广（力）=e"—Q有零点，

令尸（x）=e*—a=0,可得e*=Q,

可知g=e，与g=a有交点，则a>0,

若a>0,令（'（劣）>0,解得x>Ina;令7（力）<0,解得x<Ina;

可知/（力）在（一8,Ina）内单调递减，在（Ina,+8）内单调递增，

则/（劣）有极小值/（Ina）=a—alna—a：无极大值，符合题意，

由题意可得:/（Ina）=a—alna—a3Vo，即02+Ina—1>0,

构建g（Q）=a2+Ina—l,a>0,

因为则g=a2,4=Ina—1在（0,+oo）内单调递增，

可知g（a）在（0,+oo）内单调递增，且g（l）=0,

不等式a2+Ina—1>0等价于g（Q）>g⑴，解得a>1,

所以a的取值范围为（1,+8）.

高考真题练

一、单选题

.（2022新高考I卷"）设a=0.1e叫b=,c=-ln0.9,则（）

A.a<b<cB.c<fe<aC.c<a<feD.a<c<b

【答案】。

【分析】构造函数/（工）=ln（l+x）—x,导数判断其单调性，由此确定a,b,c的大小.

【详解】方法一：构造法

设/（2）=ln（l+尤）-x（x>-1）,因为f'（x）=—j----1=—T7~，

l-\-XL~\-X

当比e（—i,o）时，/㈤>o,当劣e（o,+8）时73）<o,

所以函数/（⑼=ln（l+2）—2在（0,+00）单调递减，在（-1,0）上单调递增，

所以/（A）v/（O）=O,所以历斗一片V0,故3>ln*=Tn0.9,即b>c,

所以/（—A）</（0）=0,所以ln/+A<0,故/Ve—,所以!e击V!，

、±u/±uiu±uiuy

故aVb,

设gQ）—力£，+ln（l—c）（0VcV1）,贝可g'Q）=（劣+l）e，H---^―-二——十］,

-1-

令h{x)=e*(62—1)+1,hr{x)—ex(x2+2x—l),

当0Vc〈方一1时，h'[x)<0,函数八(力)=e%/—1)+1单调递减，

当四一1V/V1时，"㈤>0,函数从G=ex(x2-l)+l单调递增,

又九(0)=0,

所以当0VcV2—1时，%(%)V0,

所以当0<X<A/2—1时,gf(x)>0,函数gQ)=xex+ln(l—x)单调递增,

所以g(O.l)>g(0)=0,即O.le01>-ln0.9,所以a>c

故选：C.

方法二：比较法

解：a=O.le0,1,6=--,c=—ln(l—0.1),

1—0.1

①Ina—Inb=0.1+ln(l—0.1),

令/(T)=x+ln(l—x),xE(0,0.1],

则mi-=『^<o,

1—x1—x

故/Q)在(0,0.1]上单调递减，

可得/(0.1)V/(0)=0，即Ina—InbVO，所以aVb;

②a—c—O.le。i+ln(l—0.1),

令g{x}=xex+ln(l—x),xE(0,0.1],

(1+x)(1—c)e”—1

贝Igf(6)=+e,——

1—x

令k(x)=(1+c)(1—x)ex—1，所以kr(x)=(1—上—2x)ex>0,

所以k[x}在(0,0.1]上单调递增，可得k[x}>fc(0)>0，即gr(x)>0,

所以g(G在(0,0.1]上单调递增，可得g(O.l)>g(O)=O，即a-c>0，所以a>c.

故c<a<b.

【题5】(2023新高考n卷-6)已知函数/O)=ae*—ln/在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为().

A.e2B.eC.e-1D.e-2

【答案】。

【分析】根据(3)=ae”—0在(1,2)上恒成立，再根据分参求最值即可求出.

【详解】依题可知，r3)=ae'—!>0在(1,2)上恒成立，显然a>0,所以

设g(rr)=xex,xG(1,2),所以g'(x)=(rr+l)e">0,所以g(x)在(1,2)上单调递增,

g(x)>g⑴=e，故e>!，即a>^=e-1，即a的最小值为e-1.

故选：C.

二、多选题

「一。】(2022新高考II卷-12)若土，沙满足/+才一2；y=i,则()

A.cc+yWlB.2+V)一2C.a;2+y22D.x2+y2^l

【答案】BC

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.

【详解】因为abW(W&(a,bC_R),由/+才一①夕=1可变形为，(了+“丫—1=<

3（），解得一24%+g<2,当且仅当x—y——\时，x+y=—2,当且仅当x=y=l^,x+y

=2,所以人错误，B正确；

2I2

由力之+才―放=1可变形为（/+才）_1=吗<x2"，解得力2+gY2,当且仅当x=y=±l时取

等号，所以。正确；

因为小+才—二夕=1变形可得（力―微_）I+"|~#=1,设力—_1_=以）54-^~沙=5111仇所以X—COS0+

—^sin0,y=—T^sin^，因“匕/+/=cos?。+-|-sin2^+-^sinOcos。=1H—^sin29—^-cos2。+

V3V33V3V33

1

J

=/+亲in（28—FC整2],所以当/=乎，片一空时满足等式，但是/+才＞1不成立，所

以。错误.

故选：BC.

【题7】（2023新高考n卷•"）若函数/（,）=alno;+,+弓（aWO）既有极大值也有极小值，则（）.

A.be>0B.ab>0C.b2+8ac>0D.ac<0

【答案】BOD

【分析】求出函数/（力）的导数/'（i）,由已知可得/（力）在（0,+8）上有两个变号零点，转化为一元二

次方程有两个不等的正根判断作答.

【详解】函数/（①）—alnx+—+-^-的定义域为（0,+oo）,求导得/（力）=-当~=

xXXXX

ax2—bx—2c

x3，

因为函数/（2）既有极大值也有极小值,则函数7（力）在（0,+oo）上有两个变号零点，而aW0,

因此方程a/2—b/—2c=。有两个不等的正根力1，力2,

A=62+8ac>0

于是，g+电=">0，即有力+8加>0,ab>0,加<0,显然&2儿（0,即儿（0,人错误，86正

“2=一华〉0

确.

故选：BCD

三、填空题

（2022新高考I卷-15）若曲线"=Q+a）e,有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.

【答案】（—8,—4）U（0,+oo）

【分析】设出切点横坐标四），利用导数的几何意义求得切线方程,根据切线经过原点得到关于g的方

程，根据此方程应有两个不同的实数根,求得a的取值范围.

【详解】:=（6+Q）e*,.,•式=Q+1+Q）e”,

设切点为（如为），则y（）=（g+Q）eg,切线斜率k=（g+l+Q）e"\

切线方程为：y—（g+Q）e&=（%o+l+a）e的（劣―g）,

•・,切线过原点，・,・一（g+a）e&=（g+l+a）6°（—g）,

整理得：xl+ax0—a=0,

102

,切线有两条，，A=Q2+4Q＞0,解得QV—4或Q＞0,

・・.Q的取值范围是（—00,—4）U（0,+oo）,

故答案为：（—co,—4）U（0,+oo）

【题9】（2022新高考n卷•14）曲线夕=In㈤过坐标原点的两条切线的方程为,.

［答案］y=—xy=——x

ee

【分析】分%＞。和/VO两种情况，当力＞0时设切点为（g/ng）,求出函数的导函数，即可求出切

线的斜率，从而表示出切线方程,再根据切线过坐标原点求出g,即可求出切线方程，当力V0时同

理可得；

【详解】［方法一］:化为分段函数，分段求

分力＞0和6V0两种情况，当力＞0时设切点为（g,lng），求出函数体导函数，即可求出切线

的斜率，从而表示出切线方程,再根据切线过坐标原点求出g,即可求出切线方程，当/V0时同理

可得；

解：因为g=ln同，

当力＞0时g=Inc,设切点为（g,lng），由式=工，所以式|许3=所以切线方程为y—lng=

XXQ

g）,

又切线过坐标原点，所以—ln/o=」-（—g），解得g=e，所以切线方程为g—1=工（力一e）,即g=

力oe

1

—x;

e

当力V0时y=ln（—x），设切点为（/i,ln（—g）），由式=工，所以式|2=的=所以切线方程为y—

X力1

又切线过坐标原点，所以一ln（—0）=—（―J；!）,解得力1=—e,所以切线方程为y—1=（%+e）,

Xi-e

即y=­Lr;故答案为：y=-x;y=——x

eee

［方法二］:根据函数的对称性,数形结合

当力＞0时g=In%,设切点为（/oJng），由式=工，所以“劣=3=所以切线方程为y—lng=

XXQ

又切线过坐标原点，所以一lng=工（一g）,解得力o=e，所以切线方程为g—1=工（力一e）,即g=

力oe

1

e

因为y=ln\x\是偶函数，图象为：

y=-^x

所以当力V0时的切线，只需找至Uy=-x关于g轴的对称直线y=——x即可.

ee

［方法三］：

因为y=ln\x\,

=

当化>0时夕=Ina,设切点为(g,lng)，由式=」■，所以式|许的=所以切线方程为y—ln^0

又切线过坐标原点，所以—lng=工(一g),解得g=e，所以切线方程为y—l=—(rc—e)，即g=

ge

1

一叫

e

当力V0时g=ln(—=)，设切点为(g,ln(—g))，由式=工,所以式|*=的=工，所以切线方程为y—

X力1

ln(-a；i)=—(rr-xi),

X1

又切线过坐标原点，所以—ln(—g)=—(—3；1),解得力1=—e,所以切线方程为y—1=(力+e),

即沙=一--x;

e

故答案为：y=-x;y=--—x.

ee

四、解答题

［题10］(2022新高考I卷,22)已知函数/(劣)=ex—ax和g{x)—ax—In力有相同的最小值.

⑴求Q；

【答案】(1)Q=1

(2)见解析

【分析】(1)根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值,根据最小值相等可求Q.注意分类

讨论.

【详解】(1)/(^)=ex—ax的定义域为R,而『(x)=ex—a,

若Q«0,则f\x)>0,此时/(x)无最小值，故a>0.

g{x)=ax—In2的定义域为(0,+co),而g\x)=a——=—―

当.VIna时，3(力)V0,故/㈤在(—00,Ina)上为减函数，

当力>Ina时,尸㈤>0,故/㈤在(Ina,+oo)上为增函数，

故/(%)min=/(lna)=Q_Qlna.

当0V力V」-时,gr(x)<0,故9(力)在(。」)上为减函数,

当名>!时，g'Q)>0,故gQ)在(\,+8)上为增函数，

故g(0min=g(2)=1一In-.

因为/(劣)=e°—a/和g(c)=ac—In/有相同的最小值，

故1—In——a—alna,整理得到弓一-=Ina，其中Q>0,

a1+a

设g(a)=-7~~--Ina,Q>0,贝Ig'(a)=r—^-=—~—^74。，

2

-1+Q，八，(l+a)aQ(1+Q)2

故g(a)为(0,+oo)上的减函数，而g(l)=0,

故g(a)=。的唯一解为a=l,故；+"=Ina的解为a=l.

综上，a=1.

【题11】(2023新高考1卷-19)已知函数/3)=0(6*+0)—6.

(1)讨论/(力)的单调性；

(2)证明：当a>0时，/㈤>21na+.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)先求导,再分类讨论a<0与Q>0两种情况,结合导数与函数单调性的关系即可得解；

(2)方法一：结合⑴中结论，将问题转化为a2—衣―lna>0的恒成立问题，构造函数g(a)=a2—

—lna(a>0)，利用导数证得g(a)>0即可.

方法二:构造函数九(力)=ex—X—1,证得①+1,从而得到f⑸>/+Ina+1+进而将

问题转化为Q2—1~—1IIQ>0的恒成立问题，由此得证.

【详解】⑴因为/(6)=a(ex+a)—力，定义域为凡所以广(力)=aex—1,

当a&0时，由于e*>0,则碇立《0,故/0)=碇立一1〈0恒成立，

所以/(x)在R上单调递减；

x

当Q>0时，令/(力)=ae—1=0,解得x=—Ina,

当xV—Ina时］(/)V0,则于(x)在(—co,—Ina)上单调递减；

当x>—lna时,1(N)>0,则f(c)在(—Ina,+co)上单调递增；

综上：当Q<0时，/0)在R上单调递减；

当a>0时，f(x)在(―co,—Ina)上单调递减,f(x)在(—Ina,+00)上单调递增.

(2)方法一：

由⑴得，/(c)min=/(—Ina)=a(e~lna+a)+Ina=1+a2+Ina,

22

要证/(/)>21na+■，即证1+a+\na>21na+得，即证a——Ina>0恒成立,

2

令g(Q)=0-J-lna(a>0),贝"g，(a)=2Q——=———

令g，(Q)VO,则0VaV^令g，(a)>0,则a>^y-;

所以g(a)在他，呼)上单调递减，在(修,+8)上单调递增，

所以g(Q)min=g(^^)=(^y")—/—>0,则g(a)>。恒成立，

所以当a>0时，/3)>21na+~|■恒成立,证毕.

方法二:

令八(a)=e"一3一1,则h'(x)=ex—l,

由于g=e*在R上单调递增，所以"0)=e"—1在R上单调递增，

又〃(O)=e°—l=O,

所以当力V0时，h'{x}V0;当力>0时，h'(x}>0;

所以九(力)在(—co,0)上单调递减，在(0,+oo)上单调递增，

故出力)>以0)=0,则e]>6+1,当且仅当x=0时，等号成立，

因为/(re)=a(ex+a)—x=aex+—x=e'+i11。+a1—x^x+ina+1+a2—re,

当且仅当x+Ina=0,即力=—Ina时，等号成立，

所以要证/(力)>21na+1■，即证/+Inaa-x>21na+即证a2—-Ina>0,

令g(a)=a2——lna(a>0),贝Ug，(a)=2a——=——

令g，(a)<0,贝"0<a<夸；令g，(a)>0,贝Ia>亨；

所以g(a)在(0,夸)上单调递减，在(空,+8)上单调递增，

所以g(a)min=g(^一专一ln¥^=ln，^>0MJg(a)>。恒成立，

所以当a>0时，/㈤>21na+日恒成立,证毕.

(2022新高考n卷-22)已知函数/Q)=跣切—e。

(1)当a=1时，讨论/(力)的单调性；

【答案】(1)/(劣)的减区间为(一8,0),增区间为(0,+oo).

【分析】(1)求出广(力)，讨论其符号后可得/(/)的单调性.

【详解】(1)当Q=1时,/(力)=(劣一l)e",则(⑺=xex,

当企V0时，尸(2)V0,当力>0时，广0)>0,

故/(2)的减区间为(一8,0),增区间为(0,+00).

[题13](2023新高考n卷-22)⑴证明：当0V力V1时，力一力2Vsin/</；

【答案】(1)证明见详解

【分析】(1)分别构建F(i)—x—sinx,xE(0,1),G(x)=x^—x+sinx,xG(0,1),求导，利用导数判

断原函数的单调性,进而可得结果；

【详解】(1)构建尸(力)=x—sinx,xE(0,1),则F'(x)=1—cosx>0对V/G(0,1)恒成立，

则FQ)在(0,1)上单调递增，可得FQ)>F(0)=0,

所以力>sinrc,/e(0,1);

构建G(劣)=sinc—(x—x2)=x2—x+sinx,xE(0,1),

则G'(N)=2X—1+COSX,XE(0,1),

构建g(力)—Gf(x),xE(0,1),则g'Q)=2—sinx>0对V/e(0,1)恒成立,

则g(力)在(0,1)上单调递增，可得g(c)>g(0)=0,

即GQ)>0对V/G(0,1)恒成立,

则GQ)在(0,1)上单调递增,可得G(x)>G(0)=0,

所以sinn〉/—力2,力e(0,1);

106

综上所述：x—x2<sine<x.

知识点总结

一、导数的运算

1、求导的基本公式

基本初等函数导函数

/3）=C（C为常数）f'(x)=0

/㈤=xa(aGQ)f'(x)=ad-

=ax(a>0°,。aWl)r(c)=a^lna

/(x)=logx0(a>0°,。QWI)/'3)—i

axlna

f(6=e工r(/)=e工

/㈤=Incr3=-

X

f(x)=sina;r®=cosx

f(x)=cosx/'(n)=—sinx

2、导数的四则运算法则

（1）函数和差求导法则：［/（x）±±g'（x）;

（2）函数积的求导法则：［，3）g3）Y=尸3）g（。）+f（x}g'（x）\

⑶函数商的求导法则：gQ）片0,则［冬］=『⑷g叱吁’⑸

、复合函数求导数

复合函数g=/［g（/）］的导数和函数g=/（〃），a=g（力）的导数间关系为y1=yL心

3、切线问题

⑴在点的切线方程

切线方程g—/（g）（6一g）的计算：函数g=/（力）在点4go,/（珀）处的切线方程为g-/Qo）=

1（词3—词,抓住关键年三网.

［k=f\x0）

（2）过点的切线方程

设切点为P（g。0%）,则斜率k=r（g）,过切点的切线方程为：g—9o=r（g）（2一g）,

又因为切线方程过点°九），所以九一伙）=/'（a；o）（m—g）然后解出g的值.（g有几个值，就有

几条切线）

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.

二、单调性基础问题

4、函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数"=/（,）在某个区间内可导，如果/，3）＞0,则y=/Q）为增函数;如果r

（①）＜0,则y=/（2）为减函数.

5、已知函数的单调性问题

①若/（，）在某个区间上单调递增，则在该区间上有r3）＞0恒成立（但不恒等于o）；反之,要满足了'（，）＞o,

才能得出在某个区间上单调递增；

②若/㈤在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之,要满足r3）＜o,

才能得出了（0在某个区间上单调递减.

三、讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

(1)求导化简定义域(化简应先通分,尽可能因式分解;定义域需要注意是否是连续的区间)；

(2)变号保留定号去(变号部分:导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒负，无

需单独讨论的部分)；

(3)求根作图得结论(如能直接求出导函数等于0的根,并能做出导函数与①轴位置关系图，则导函数正负区

间段已知，可直接得出结论)；

(4)未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；

(5)正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；

(6)一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；

求二阶导往往需要构造新函数,令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导.

(7)借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；

类型二:含参数单调性讨论

(1)求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解,定义域需要注意是否是一个连续的

区间)；

(2)变号保留定号去(变号部分:导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒负，无

需单独讨论的部分)；

(3)恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；

(4)根的分布来定参(此处需要从两方面考虑:根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；

(5)导数图像定区间；

四、极值与最值

1、函数的极值

函数/Q)在点新附近有定义,如果对g附近的所有点都有/(c)V/(g),则称/(g)是函数的一个极大值，记

作U极大值=/(0)•如果对x0附近的所有点都有/(z)>/(g),则称f(xo)是函数的一个极小值,记作"极小值=

/(%).极大值与极小值统称为极值，称g为极值点.

求可导函数/(⑼极值的一般步骤

(1)先确定函数/(c)的定义域；

⑵求导数广⑸；

(3)求方程/3)=0的根；

(4)检验在方程r(z)=o的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正,在右侧附近为负，那么函

数y=/(，)在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数y=f(x)在这个

根处取得极小值.

注:①可导函数/(多)在点x0处取得极值的充要条件是：3是导函数的变号零点，即r(g)=0,且在3左侧与

右侧，r(G的符号导号.

②/'(g)=。是g为极值点的既不充分也不必要条件，如/(2)=x3,f'(0)=0,但g=。不是极值点•另外，

极值点也可以是不可导的，如函数/㈤=国，在极小值点g=0是不可导的，于是有如下结论：g为可导函

数f(£)的极值点0r(割)=0;但r(g)=0*r()为/(①)的极值点.

、函数的最值

函数夕=/(多)最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数/(2)最小值为极小值与靠近极大值

的端点之间的最小者.

2

导函数为f(x)=ax+bx+c=a(x—Q—a;2)°(m<ah<a：2<n)

⑴当a>0时，最大值是/(g)与/(n)中的最大者;最小值是/但)与/(m)中的最小者.

(2)当a<0时，最大值是/(电)与于(m)中的最大者;最小值是/(矶)与/(n)中的最小者.

一般地，设夕=/(力是定义在［巾。°n］上的函数，夕=/(c)在(m。°九)内有导数，求函数^=

108

/(2)在[nz。°汨上的最大值与最小值可分为两步进行：

(1)求沙=/(必)在(m。°九)内的极值(极大值或极小值)；

(2)将y=于⑸的各极值与/(m)和/(九)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

【导数及其应用常用结论】

2、恒成立和有解问题

⑴若函数/(⑼在区间。上存在最小值/(0mto和最大值/Q)max,则

不等式/(①)>a在区间。上恒成立

不等式/O)>a在区间。上恒成立=/(土)

不等式〃土)<b在区间。上恒成立=/(2)1mx<匕；

不等式/(,)<6在区间。上恒成立O/3)max&b；

(2)若函数/(2)在区间。上不存在最大(小)值，且值域为(山,。°九)，则

不等式/(2)>a。(或/(c)>a)在区间。上恒成立0m•>a.

不等式/(2)<6。(或/(a)Wb)在区间。上恒成立

(3)若函数/(为在区间。上存在最小值和最大值/(c)max,即/(工)[小,汨，则对不等式有解问题有

以下结论：

不等式a</(8)在区间。上有解QaV/(c)max；

不等式aw/(,)在区间。上有解OaW/Q)max；

不等式a>/(工)在区间O上有解=a>y(x)min;

不等式口)/(2)在区间。上有解Qa>/O)min；

(4)若函数/(①)在区间。上不存在最大(小)值，如值域为(山,。。九)，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式a</(a;)。(或a</(c))在区间。上有解<=>a<7i

不等式(或b>/(c))在区间。上有解

(5)对于任意的处e[a,。°b],总存在电e[m,。°九]，使得/(g)&g。)o/Qi)111ax49(电)皿；

⑹对于任意的[a,。°b],总存在ge[m,。°汨，使得/(电)>93)=/Q)min>9(C2)min；

⑺若存在的C[a,。°b],对于任意的。2c[m,。°汨,使得/Q)Wg(>2)Q/01)minWg(H2)min；

(8)若存在ge[a,。。b],对于任意的电/[m,。°汨，使得/(电)>g(g)=/01)ma*>g(①2)mw；

(9)对于任意的电e[a,。°b],x2e[m,°°汨使得/(g)<g(±2)=/(g)max<9(g)min；

(10)对于任意的ge[a,。°b],x2e[m,°°汨使得/(的)>93)of⑶)0s^>9(电)加；

(H)若存在0e[a,。。b],总存在gC[m,,。°汨,使得f(处)《。3)of31)min《g(c2)max

(12)若存在[a,。。6],总存在gC[zn,。°汨，使得/(电)>。(电)=/(g)max>g(>2)mhr

名校模拟练

一、单选题

【题14】(2024•河北保定・三模)曲线/(①)=e"—3①在点(OJ(O))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面

积为()

AXBXQXD工

8643

【答案】。

【分析】根据导数的几何意义求得曲线的切线方程，结合三角形面积公式计算即可.

【详解】由/㈤=e-3Z,得[㈤=优—3,则/(0)=1,尸(0)=-2,

所以曲线/(2)=e"—在点(0,/(0))处的切线方程为y=—27+1.

令夕=0,得c=-1■，令力=0,得y=l,

故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为5x］xl=/

故选：C

(X2—3X,XE[0,2],

【题15】(2024•陕西西安•三模)已知函数/(乃=则f(x)在点(5J(5))处的切线方程

[2f(x—2),xE(2,+℃),

为()

A.4a;—?/—28=0B.4,+夕-12=0C.x—4y—12=0D.z+4y-22=0

【答案】B

【分析】根据分段函数结合导函数求出r(5),再根据点斜式得出直线方程.

【详解】当6e(0,2]时，/(土)=2x—3,

当zC(4,6]时,/(必)=2/(rc-2)=4/。-4),则尸Q)=41f(rr-4),

所以〃5)=4/(1)=-8,7⑸=4叶⑴=-4.

则所求的切线方程为y—(—8)=-4(rr—5)，即4刀+0-12=0.

故选：B.

【题16】(2024•河北保定•三模)已知二次函数夕=ax(x-b)(6片0且b片1)的图象与曲线y=Imc交于点P,

与a;轴交于点4异于点O),若曲线V=lno;在点P处的切线为Z,且/与AP垂直，则a的值为()

A.——B.11C.—VeD.12

e

【答案】B

【分析】利用导数求解直线I的斜率，即可根据垂直关系得面•kPA=-l,结合Int=at(t-b),即可求

解.

【详解】易知人(6,0),设P(t,lnt),

寐立y=Ina;与夕=ax(x—6)可得Ina:=ax(x—b),故Int=at(t—b),

由夕=lmc得y'=工，所以向=J,kPA=^~,

xtt-b

因为Z_LPA，所以及・k2==—1,即