2025北京某中学七年级（下）开学考数学试卷

2025北京北师大实验中学初一（下）开学考

数学

（60分钟）

一、填空题（每题5分，共60分）

1.若a+3与1互为相反数，则2=—.

2.已知。表示正数，6表示负数，化简|3—5目—取—|3a+l|=.

2尤+1

3.方程「——2x=—1的解为.

3

4.已知线段48=5,点C在A3的延长线上，点。在A3的反向延长线上，且B为AC的中点，AD为

5C的2倍，则CD=.

5.若ZAO6=170°,ZA（9C=70°,则ZBOC=

6.把％=1和x=—2分别代入式子V+bx+c中，值分别为2和6,则儿=.

7.已知方程V—7y+6=0,则在%=1,%=2,%=-3中，是方程的解.

8.为了便于计算，常把圆柱形钢管堆成等腰梯形状，下面的一层比上面一层多放一根，只要数出顶层的根

数。和层数"，就可以计算这堆钢管的根数.当。=〃=5时，这堆钢管的总根数为；当〃=5时，这

对钢管的总根数为（用。表示）.

9.下列说法中，正确的是（填序号）.

①乘积为1的两个数互为倒数；②两个有理数相减，若差为正数，则被减数大于减数；③符号相反的两个

数是相反数；④任意两个有理数的和一定大于其中的某一个加数.

10.如图，OC平分NAOD,OD平分NBOC,下列等式成立的是.

①=②ZAOD=ZBOC；③ZAOB=3NCOD；®ZAOB=ZAOC+ZAOD

1L使得代数式卜―l|+|x—2|+卜+3|的值最小的x的值（或x的取值范围）是.

12.如图所示的运算程序中，若开始输入的X的值为48,我们发现第1次输出的结果为24,第10次输出的

结果为;第2012次输出的结果为.

二、解答题（共40+6分）

13.如图，长方形ABC。中，点E在边CD上.将ABCE沿比折叠，点C恰好落在边A。上的点尸处.

（1）用等式表示线段A5,DE，所之间的数量关系，并说明理由；

（2）设NCBE=c,求NAFB（用含。的代数式表示）.

14.已知关于无的方程mr—l=2x+l,其中机#2.求所有整数机的值，使得该方程的解x为正整数，并

求此时方程的解.

15.如图，A,B,C,。是平面内的四个点，P为该平面内一点.对于下面的两个结论：

①若PC=a+l,PD=2a,CD=3a,则点P在直线CD外；

②若点尸到点A,B,C,。的距离的和最小，则满足条件的点P有且只有一个.

回答问题：

AD

••

CB

（1）说明①错误的原因；

（2）说明②正确的原因，并在图中作出符合题意的点P.

16.同六早上小健和小乐相约去奥森跑步.小健步行前往，他从家出发时刻与到达奥森时刻手表显示信息

分别如图所示.小乐家离奥森比小健家离奥森远2.1km,他骑自行车前往，出发比小健早了5分钟，且

骑行的平均速度是小健步行的平均速度的2.5倍，最终二人在同一时刻到达奥森.求小健步行的平均速度

和平均步长.

图1图2

17.某班计划用一些长方形的卡纸，为同学们制作棱长为10cm的正方体心愿语盒.设计组提供了如图1所

示的两种心愿语盒的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的心思语盒（不考虑接缝）

心愿语盒A心愿语盒B

图2

材料组准备了以下三种类型的卡纸供选择，规格如下表:

卡纸型号型号I型号II型号ni

卡纸规格（单位：cm）30x40（如图1网格）40x6050x80

制作组要制作16个心愿语盒，通过合理选择展开图的样式、卡纸的型号和数量，发现使所选卡纸的总成

本最低的方案是:

型号I的卡纸1张，型号II的卡纸1张，型号III的卡纸2张.

按照该方案，请在如图型号H和型号III的卡纸上，画出各纸盒的展开图（只画外轮廓即可）.

18.设ZAOC=e,ZCOB=/7(0°<«<180°,0°</3<180°),OD,OE分别是NAOC,NCO3的

角平分线，记NDOE=e.如果a,夕互补，或者夕，夕互补，则称ZAOC,NCO3是一对“分补

角”.

NCO3是一对“分补角”，

求夕的值;

（2）如图2,ZAOB^150°,ZAOC,NCO5是一对“分补角”，请直接给出ZAOC的所有可能

值，对于每一个ZAOC的值，要求画出相应的图形，并与之互补的两个角各自的值.

例如：其中一个解如下：如图3,其中NAOC=105°.此时a=105°与6=75°（角。不必画出）互

补.请再写出（并画出）其它所有满足条件的情况.

参考答案

一、填空题（每题5分，共60分）

1.【答案】-4

【详解】：a+3与1互为相反数，

a+3+l=0,

a=-4.

故答案是：-4.

2.【答案】2-4a-4b

【分析】本题主要考查了绝对值的性质，整式的加减，根据。为正数、b为负数可得出。<0,

3-5b>0,3。+1>0进而可化简绝对值，再进行整式的加减运算即可.

【详解】解：为正数、%为负数

b—av0,3—5b>0,3a+1>0

.•.|3-5Z?|-|Z?-^|-|3^+1|

=3—5Z?—（«—Z?）—（3tz+l）

—3—5b—a+Z?—3a—1

=2—4a—4〃

故答案为：2-4a-4〃.

3.【答案】x=l

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键.

按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解答即可.

2九+1

【详解】解：------2x=-l,

3

2x+1—6x=-3,

2%—6x=-3—1,

-4x=T,

x=1.

故答案为：x=l.

4.【答案】20

【分析】本题主要考查了线段的中点、两点间的距离、线段的和差倍分等知识点，弄清楚线段间的关系是

解题的关键.

根据题意画出图形，再根据点B为线段AC的中点求出5C的长，再根据线段为线段5C的2倍即可

得出的长，再根据CD=AD+AB+5C即可解答.

【详解】解：如图：

DABC

•..线段AB=5,8为线段AC的中点，

BC=AB=5，

•••线段AD为线段5c的2倍，

40=250=2x5=10,

CD=AD+AB+BC=10+5+5=20.

故答案为20.

5.【答案】100。或70。

【分析】本题主要考查了角的和差，分类讨论是解题的关键.分两种情况，根据角的和差关系求解即可.

【详解】解：分两种情况：

①NBOC不在ZAOB内，

则ZBOC=360°-ZAOB-ZAOC=360-170°-70°=120°；

②ZBOC在/A05内，

则ZBOC=ZAOB-ZAOC=170°-70°=100°；

故答案为：100。或70。.

4

6.【答案】-

9

【分析】本题考查了解二元一次方程组，把X与相应代数式的值代入得到方程组，求出方程组的解即可得

到6与C的值，代入代数式，即可求解.

【详解】解:由题意得：

l+b+c=2①

4-2b+c=6②

1

b=—

解得：《;3

4

故答案为：—.

9

7.【答案】％=1,%=2，%=-3

【分析】本题考查了方程的解，将乂=1,%=2,%=-3分别代入原方程的左边，验证是否等于右边，

即可求解.

【详解】解：将y=l代入方程，/_7y+6=l—7+6=0,等式成立，因此％=1是方程的解.

将y=2代入方程，得到23—7・2+6=8—14+6=0,等式同样成立，故%=2也是方程的解.

将y=-3代入方程，得到(—3)3—7《—3)+6=—27+21+6=0,等式成立，所以必=-3同样是方程的

解.

故答案为：％=1,%=2,%=-3.

8.【答案】①.355a+10

【分析】本题主要考查列代数式、代数式求值，类比梯形面积的计算公式列出代数式是解题的关键.

首先求得底层根数为a+〃-1,再利用梯形的面积公式列出代数式，然后将。=〃=5、〃=5分别代入代

数式求解即可.

【详解】解：由题意可得：底层根数为a+〃—1,

贝!1堆钢管的总根数=g(a+a+l)"=g"(2a+〃一l)；

当。=〃=5时，钢管总数为=g〃(2a+〃—l)=gx5(2x5+5—1)=35；

当〃=5时，钢管总数为=；"(2a+〃—1)=；义5(2a+5—l)=5a+10.

故答案为：35,5a+10.

9•【答案】①②

【分析】本题主要考查了有理数的减法、倒数、相反数的定义、有理数加法等知识点，掌握定义及定理成

立时的条件是解题的关键.

根据倒数的定义、有理数的减法、相反数的定义、有理数的加法逐个作出判断即可.

【详解】解：①乘积是1的两数互为倒数是正确的；

②两个有理数相减，差为正，则被减数大于减数，故正确；

③只有符号相反的两个数是相反数，原说法没有限制“只有”这个条件，反例：-1和2符号相反，但不是

相反数，故错误；

④任意两个有理数的和不一定大于其中的一个加数，故错误.

综上，①②正确.

故答案：①②.

10.【答案】①②③④

【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和差等知识点，掌握角平分线的定义成为解题的关键.

根据角平分线的定义、角的和差逐个判断即可.

【详解】解：；OC平分ZAOD,OD平分NBOC,

：.ZAOC=/COD,ZCOD=BOD,ZAOD=2ZCOD,ZBOC=2ZCOD

：.ZAOC=ZCOD=BOD,ZAOD=ZBOC,即①②正确；

ZAOB=ZAOD+ZBOD=2ZCOD+ZCOD=3ZCOD,即③正确；

ZAOB=ZAOC+ZCOB=ZAOC+ZAOD,即④正确.

故答案为；①②③④.

11.【答案】x=l

【分析】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质，分类讨论思想是解题的关键.

-[a(a>0]

根据绝对值的性质分类讨论，即可求解.

【详解】解：当xW—3时，+|x—2|+|x+3|=1—%+2—%—%—3=—3x,

兀=一3时，原式的最小值为9；

当—3<xWl时，—1|+|x—2|+|x+3|=1—x+2—x+x+3=—x+6,

%=1时，原式的最小值为5；

当1<142时，—1|+|x—2|+|x+3|=x—1+2—x+x+3=x+4,

x=2时，原式的最小值为6；

当x>2时，|x—1|+|x—2|+|x+3|=x—1+x—2+x+3=3x,

x=2时，原式的最小值为6；

综上所述，原式有最小值时，x=l,

故答案为：x=l.

12.【答案】①.3②.1

【分析】本题主要考查了代数式求值，发现输出结果的规律是解题的关键.

根据程序框图计算出前11次的输出结果，据此得出除去前2次的输出结果，后面每输出六次为一个周期循

环，然后据此规律即可解答.

【详解】解：1•第1次输出的结果为24,

第2次输出的结果为12,

第3次输出的结果为6,

第4次输出的结果为3,

第5次输出的结果为8,

第6次输出的结果为4,

第7次输出的结果为2,

第8次输出的结果为1,

第9次输出的结果为6,

第10次输出的结果为3,

第11次输出的结果为8,

二除去前2次的输出结果，后面每输出六次为一个周期循环，

•.•（2012—2）+6=335,

.•.第2012次输出的结果为1.

故答案为3,1.

二、解答题（共40+6分）

13.【答案】（1）AB=DE+EF

（2）2a

【分析】本题考查了翻折变换，长方形的性质，余角的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

（1）根据长方形的性质得到A3=CD,根据折叠的性质得到所=CE,结合CD=CE+DE,即可得

到答案；

（2）根据长方形的性质得到NA=/45C=90°，根据折叠的性质得到求得

ZCBF=2a,再表示出NAM,最后根据NAFB是NABF的余角，即可得到答案.

【小问1详解】

解:AB=DE+EF,理由如下：

•••四边形ABCD是长方形，

AB=CD,

•・•将△BC5沿跖折叠，点。恰好落在边AD上的点尸处，

..EF=CE,

:.AB=CD=CE+DE=EF+DE^

【小问2详解】

解：・•・四边形ABCD是长方形，

:.ZA=ZABC=90°,

・•・将沿距折叠，点。恰好落在边AO上的点尸处，

/.Z.CBE-4FBE=a,

/.ZCBF=ZCBE+ZFBE=2a,

:.ZABF=ZABC-ZCBF=90°-2a

ZAFB=90°-ZABF=90°-（90°-2a）=2a.

14.【答案】当机=3时，方程的解为x=2或当机=4时，方程的解为x=l

【分析】本题考查解一元一次方程，先求得原方程的解为：x=—2不，再利用要使m为整数，且该方程

m-2

的解为正整数，得出〃2-2=1或2,求得,再取值求解即可.

【详解】解：方程3—l=2x+l,

2

解得：x=----)

m-2

要使加为整数，且该方程的解为正整数，

则〃?—2=1或2,

则=3或4,

2

当爪=3时，方程的解为x=----=2,符合题意；

m-2

当m=4时，方程的解为x=二二=1,符合题意；

m-2

综上所述，当m=3时，方程的解为x=2或当机=4时，方程的解为x=l.

15.【答案】(1)见解析(2)两点之间线段最短，作图见解析

【分析】本题考查了线段的和差，两点之间线段最短，画线段，掌握以上知识点是解题的关键.

(1)由线段的和差即可判断；

(2)当点P线段A3和CD的交点时；由两点之间线段最短即可求解.

【小问1详解】

解:如图，当点P在直线8上时，PC^CD+PD,

_____III

CDP

即a+l=3a+2a,

解得a=二，

4

.•.当。=工时，点尸在直线上，故①说法错误；

4

【小问2详解】

解：当点尸线段A3和的交点时，由两点之间线段最短可知点P到点AB,C,。的距离的和最小,

；•满足条件的点P有且只有一个，

如图所示，连接AB,交于点P,点P即为所求；

16.【答案】小健步行的平均速度为3.6公里/小时，平均步长为0.6米.

【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键.

设小健家离奥森X公里，则小乐家离奥森（x+2.1）公里，根据小乐骑行的平均速度是小健步行的平均速度

的2.5倍，列出一元一次方程求解可得小健家离奥森的距离，然后再求出小健步行的平均速度和平均步长

即可.

【详解】解：设小健家离奥森x公里，则小乐家离奥森（尤+2.1）公里，（45—30）分钟=15分钟=:小时,

（45—30+5）分钟=20分钟■小时，.

x+2.1_x

由题意得：1=TX',解得：x=0.9,

34

小健步行的平均速度为0.9+!=3.6（公里/小时），

4

0.9公里=900米，

平均步长为900+（2043—543）=900+1500=0.6（米）.

答：小健步行的平均速度为3.6公里/小时，平均步长为0.6米.

17.【答案】见解析

【分析】本题考查了正方体的展开图，分别在型号H的卡纸上画出最多的心愿语盒A和心愿语盒B的展开

图即可得出答案.

【详解】解：型号I卡纸，每张这样的卡纸可制作1个心愿语盒A或1个心愿语盒2,

如图，一张型号II的卡纸，可以画出3个心愿语盒2的展开图；

如图，型号III卡纸，每张卡纸可制作6个心愿语盒8,则2张型号III的卡纸可画12个.

型号in

所以型号I的卡纸1张，型号II的卡纸1张，型号皿的卡纸2张一共可画1+3+12=16个心愿语盒.

18.【答案】（1）80°

（2）45。或75。或105°或135°

【分析】本题主要考查了角平分线的定义，补角的定义，角的和差，理解题意并运用分类讨论思想解答是

解题的关键.

（1）由题意可知08不可能在NAOC内部，再画出图形，根据角平分线和“分补角”的定义求解即可；

（2）分OC在/A05内部和外部两种情况，分别画出图形，根据角平分线和“分补角”的定义解答即可.

【小问1详解】

解：：NAOC=120。，ZAOC,NCO3是一对“分补角”，

；・08不可能在NAOC内部，

如图，：。。，0E分别是NAOC,NCO3的角平分线，

ZCOD=-ZAOC=60°,ZCOE=-ZCOB=-B,