数学函数与解题技巧练习题

数学函数与解题技巧练习题姓名_________________________地址_______________________________学号______________________-------------------------------密-------------------------封----------------------------线--------------------------1.请首先在试卷的标封处填写您的姓名，身份证号和地址名称。2.请仔细阅读各种题目，在规定的位置填写您的答案。一、选择题1.下列函数中，y是x的一次函数的是：

A.y=2x^23x1

B.y=3x5

C.y=√x2

D.y=log₂x3

2.函数f(x)=x^36x^29x在x=3时取得：

A.极大值

B.极小值

C.驻点

D.不存在极值

3.若函数f(x)=ax^2bxc的图像开口向上，则a的取值范围是：

A.a>0

B.a0

C.a≥0

D.a≤0

4.已知函数f(x)=2x1在x=3时取得最大值，则该函数的单调性为：

A.单调递增

B.单调递减

C.有极值点

D.无单调性

5.函数y=x1的图像为：

A.V形

B.抛物线

C.直线

D.双曲线

6.若函数f(x)=2x1的图像向上平移2个单位，则新的函数解析式为：

A.f(x)=2x1

B.f(x)=2x3

C.f(x)=2x3

D.f(x)=2x2

7.下列函数中，有最小值的是：

A.y=x^24x3

B.y=x^24x3

C.y=x^24x3

D.y=x^24x3

8.若函数f(x)=ax^2bxc的图像经过点(1,4)，则abc的值为：

A.4

B.5

C.6

D.7

答案及解题思路：

1.答案：B

解题思路：一次函数的形式为y=kxb，其中k和b是常数，且k≠0。选项B符合这个形式。

2.答案：A

解题思路：函数f(x)在x=3处取得极大值或极小值，需对其求导f'(x)。求导后得f'(x)=3x^212x9，将x=3代入得到f'(3)=0。再次求导得f''(x)=6x12，将x=3代入得到f''(3)>0，故在x=3处取得极大值。

3.答案：A

解题思路：当a>0时，二次函数的图像开口向上，因此a的取值范围是a>0。

4.答案：A

解题思路：函数f(x)=2x1是一个线性函数，其斜率k=2>0，因此该函数在整个定义域上单调递增。

5.答案：A

解题思路：函数y=x1的图像是一个V形，因为当x为正或负时，y都是x的绝对值加上1。

6.答案：A

解题思路：函数f(x)=2x1向上平移2个单位，即y坐标增加2，因此新的函数解析式为f(x)=2x1。

7.答案：B

解题思路：函数y=x^24x3是一个开口向下的二次函数，其顶点为极大值点，因此有最小值。

8.答案：C

解题思路：将点(1,4)代入函数f(x)=ax^2bxc，得abc=4。二、填空题1.若函数f(x)=ax^2bxc的图像开口向上，则a_______0。

2.函数f(x)=2x1在x=1时取得_______值。

3.函数y=x1的图像关于_______对称。

4.函数f(x)=x^3在x=0时的导数为_______。

5.若函数f(x)=ax^2bxc的图像与x轴相交于点(1,0)，则abc_______0。

答案及解题思路：

1.答案：>

解题思路：对于二次函数f(x)=ax^2bxc，其图像的开口方向取决于a的值。如果a>0，图像开口向上；如果a0，图像开口向下。因此，若函数f(x)的图像开口向上，则必有a>0。

2.答案：1

解题思路：函数f(x)=2x1是一个线性函数。将x=1代入该函数中，即可求得该点的函数值，即f(1)=211=1。

3.答案：y轴

解题思路：函数y=x1是一个绝对值函数。由于绝对值函数在y轴上的值为0，且其图像是关于y轴对称的，因此y=x1的图像也是关于y轴对称的。

4.答案：0

解题思路：对于函数f(x)=x^3，使用求导公式可得f'(x)=3x^2。将x=0代入f'(x)，得到f'(0)=30^2=0。

5.答案：=0

解题思路：因为函数f(x)=ax^2bxc与x轴相交于点(1,0)，即f(1)=0。代入f(x)得到a1^2b1c=0，简化得abc=0。因此，当图像与x轴相交时，abc必须等于0。三、解答题1.已知函数f(x)=2x^23x1，求f(x)在x=1时的函数值。

解答：

将x=1代入函数f(x)中，得：

f(1)=2(1)^23(1)1=231=0

所以，f(x)在x=1时的函数值为0。

2.求函数f(x)=3x^24x1的极值。

解答：

对函数f(x)求导数，得到：

f'(x)=6x4

令f'(x)=0，解得x的值：

6x4=0

6x=4

x=2/3

f''(x)=6

由于f''(x)>0，所以x=2/3时函数f(x)取得极小值。

将x=2/3代入原函数，得到极小值：

f(2/3)=3(2/3)^24(2/3)1=4/38/31=1/3

因此，函数f(x)的极小值为1/3。

3.函数f(x)=x^36x^29x的图像开口向上，求a的取值范围。

解答：

函数f(x)的图像开口向上意味着a的系数大于0。由于f(x)已经是x的三次多项式，且系数a在x^3的项中，所以a的取值范围是：

a>0

4.已知函数f(x)=2x1在x=3时取得最大值，求该函数的单调性。

解答：

由于函数f(x)=2x1是一个一次函数，其斜率为2，斜率大于0，说明函数在整个定义域内是单调递增的。因此，函数在x=3时不可能取得最大值，而是最小值。所以，题目中的条件“在x=3时取得最大值”是错误的。根据函数f(x)的单调性，可以得出：

该函数在整个定义域内是单调递增的。

5.函数y=x1的图像为V形，求其顶点坐标。

解答：

函数y=x1是一个绝对值函数，其图像为V形，顶点位于y轴上。由于x在x=0时取得最小值0，所以顶点坐标为：

(0,1)

答案及解题思路：

1.答案：f(1)=0

解题思路：代入x=1计算函数值。

2.答案：极小值为1/3

解题思路：求导数，令导数为0找极值点，计算二阶导数判断极值类型。

3.答案：a>0

解题思路：根据三次多项式的开口方向判断a的取值。

4.答案：单调递增

解题思路：一次函数的斜率大于0，故函数单调递增。

5.答案：顶点坐标为(0,1)

解题思路：绝对值函数的顶点位于y轴上，且x在x=0时取得最小值。四、证明题1.证明：若函数\(f(x)=ax^2bxc\)的图像开口向上，则\(a>0\)。

证明：

已知函数\(f(x)=ax^2bxc\)的图像开口向上，根据二次函数的性质，开口向上的条件是二次项系数\(a\)大于0。具体证明

假设\(a\leq0\)，即\(a=0\)或\(a0\)。

若\(a=0\)，则函数退化为一次函数\(f(x)=bxc\)，其图像是一条直线，不具备开口向上的性质。

若\(a0\)，则二次函数的图像开口向下，同样不符合题设条件。

因此，当\(a>0\)时，函数\(f(x)=ax^2bxc\)的图像才会开口向上。

2.证明：函数\(f(x)=2x1\)在\(x=1\)时取得最小值。

证明：

观察函数\(f(x)=2x1\)的形式，可以发觉它是一个线性函数，没有二次项，因此它的图像是一条直线。

线性函数在定义域内是单调的，对于\(f(x)=2x1\)，当\(x\)增加时，\(f(x)\)也随之增加，因此\(f(x)\)是一个单调递增函数。

由于\(f(x)\)是单调递增的，它在定义域的任意一点都不会取得最小值，除非这个点就是定义域的端点。但在本题中，\(x\)可以取任意实数值，因此\(x=1\)不是定义域的端点。

但是根据题设，我们需要证明\(f(x)\)在\(x=1\)时取得最小值。实际上，由于\(f(x)\)是单调递增的，它并没有最小值，而是趋向于负无穷大。因此，题目中的陈述有误。

正确答案应该是：函数\(f(x)=2x1\)在其定义域内没有最小值，因为它是单调递增的。

答案及解题思路：

答案：

1.\(a>0\)

2.函数\(f(x)=2x1\)在其定义域内没有最小值，因为它是单调递增的。

解题思路：

1.利用二次函数的性质，通过假设\(a\leq0\)并得出矛盾，证明\(a\)必须大于0。

2.分析线性函数\(f(x)=2x1\)的单调性，得出它在整个定义域内是单调递增的，从而推断出它没有最小值。五、应用题1.某商品的原价为100元，促销时打九折，求打折后的价格。

解答：

打折后的价格=原价×折扣

打折后的价格=100元×0.9

打折后的价格=90元

2.一根绳子长30米，将其分成三段，使第一段比第二段长10米，求第三段的长度。

解答：

设第二段绳子的长度为x米，则第一段为x10米，第三段为30(xx10)米。

因此，第三段的长度=302x10

第三段的长度=202x

由于第一段比第二段长10米，我们可以建立方程：

x10=x20

解得x=10

所以第三段的长度=202×10=0米

3.某工厂生产的产品成本为每件20元，售价为每件30元，求该工厂每件产品的利润。

解答：

利润=售价成本

利润=30元20元

利润=10元

4.一辆汽车以每小时80公里的速度行驶，求2小时内行驶的距离。

解答：

距离=速度×时间

距离=80公里/小时×2小时

距离=160公里

5.某商品的原价为50元，降价10%后，求降价后的价格。

解答：

降价后的价格=原价×(1降价百分比)

降价后的价格=50元×(10.10)

降价后的价格=50元×0.90

降价后的价格=45元

答