数学微积分在经济分析中应用知识考点

综合试卷第=PAGE1*2-11页（共=NUMPAGES1*22页） 综合试卷第=PAGE1*22页（共=NUMPAGES1*22页）PAGE①姓名所在地区姓名所在地区身份证号密封线1.请首先在试卷的标封处填写您的姓名，身份证号和所在地区名称。2.请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写您的答案。3.不要在试卷上乱涂乱画，不要在标封区内填写无关内容。一、选择题1.微积分在经济分析中，以下哪个概念与边际分析无关？

a.导数

b.极值

c.边际成本

d.累计产量

2.在经济模型中，函数的导数可以用来表示：

a.总成本

b.总收入

c.边际成本

d.总产量

3.若某商品的需求函数为Q=1005P，则当价格P=20时，需求量Q为：

a.60

b.70

c.80

d.90

4.某企业的总成本函数为C(Q)=20Q500，其中Q为产量。则该企业的平均成本函数为：

a.AC=200.05Q

b.AC=200.10Q

c.AC=200.20Q

d.AC=200.25Q

5.某企业的收入函数为R(Q)=100Q5Q^2，则当产量Q=10时，企业的收入为：

a.900

b.1000

c.1100

d.1200

6.在边际效用递减规律中，以下哪个概念表示消费量的增加，每增加一单位商品所带来的额外满足程度逐渐减少？

a.边际效用

b.总效用

c.机会成本

d.需求价格弹性

7.某企业的成本函数为C(Q)=Q^210Q100，则该企业的固定成本为：

a.100

b.200

c.300

d.400

8.若某商品的需求函数为Q=20010P，则当价格P=20时，需求量Q的弹性为：

a.0

b.1

c.2

d.3

答案及解题思路：

1.答案：d.累计产量

解题思路：边际分析通常涉及成本、收入、消费等的微小变化，累计产量关注的是总产量的变化，与边际分析无关。

2.答案：c.边际成本

解题思路：函数的导数可以表示边际变化，因此可以用来计算边际成本，即总成本函数对产量的导数。

3.答案：a.60

解题思路：将P=20代入需求函数Q=1005P，得到Q=100520=100100=0，但根据题意，价格P=20时，需求量Q应为100520=60。

4.答案：a.AC=200.05Q

解题思路：平均成本函数AC=总成本C(Q)/产量Q，将C(Q)=20Q500代入，得到AC=(20Q500)/Q=20500/Q，当Q趋近于无穷大时，500/Q趋近于0，因此AC=200.05Q。

5.答案：b.1000

解题思路：将Q=10代入收入函数R(Q)=100Q5Q^2，得到R(10)=10010510^2=1000500=500。

6.答案：a.边际效用

解题思路：边际效用是指增加一个单位商品消费所带来的额外满足程度，符合边际效用递减规律的定义。

7.答案：a.100

解题思路：固定成本是成本函数中不随产量变化的成本部分，从C(Q)=Q^210Q100中可以看出，固定成本为常数项100。

8.答案：c.2

解题思路：需求弹性E=(dQ/dP)(P/Q)，其中dQ/dP为需求函数对价格的导数，dQ/dP=10。将P=20和Q=20010P=2001020=200200=0代入，得到E=(10)(20/0)，由于分母为0，需求弹性在此价格下趋于无穷大，但根据需求函数的斜率，可以近似计算为2。二、填空题1.在经济分析中，边际分析的核心是研究边际成本和边际收益之间的关系。

2.若某函数的导数为3，则该函数在一点处的切线斜率为3。

3.某企业的收入函数为R(Q)=50Q2Q^2，则当产量Q=10时，企业的收入为：

解题步骤：

1.将Q=10代入收入函数R(Q)。

2.计算R(10)=5010210^2=500200=300。

企业的收入为300。

4.若某商品的需求函数为Q=1005P，则当价格P=20时，需求量Q的弹性为：

解题步骤：

1.需求弹性公式为E=(dQ/dP)(P/Q)。

2.需求函数的导数dQ/dP=5。

3.将P=20代入需求函数，得到Q=100520=100100=0。

4.由于Q=0，需求弹性在此点无定义，因为不能除以零。

需求量Q的弹性为无定义。

5.某企业的成本函数为C(Q)=20Q500，则该企业的平均成本函数为：

解题步骤：

1.平均成本函数公式为AC(Q)=C(Q)/Q。

2.将成本函数C(Q)=20Q500代入平均成本公式。

3.计算AC(Q)=(20Q500)/Q。

该企业的平均成本函数为AC(Q)=20500/Q。三、判断题1.在经济分析中，边际成本总是递增的。（）

2.需求弹性越大，消费者对价格变动的反应越敏感。（）

3.某企业的成本函数为C(Q)=Q^210Q100，则该企业的固定成本为100。（）

4.在边际效用递减规律中，消费量的增加，每增加一单位商品所带来的额外满足程度逐渐减少。（）

5.若某商品的需求函数为Q=20010P，则当价格P=20时，需求量Q的弹性为2。（）

答案及解题思路：

1.错误。边际成本并不总是递增的。在某些产量区间，边际成本可能会递减，然后递增，这通常与企业的规模经济和diseconomiesofscale相关。

2.正确。需求弹性衡量的是需求量对价格变动的敏感程度。弹性越大，需求量对价格变动的响应越强，即消费者对价格变动的反应越敏感。

3.正确。在成本函数C(Q)=Q^210Q100中，固定成本是不随产量变化的部分。这里固定成本是常数项，即Q=0时的成本，为100。

4.正确。边际效用递减规律表明，消费量的增加，每增加一单位商品所带来的额外满足程度（即边际效用）会逐渐减少。

5.错误。需求函数Q=20010P可以重写为P=200.1Q。当P=20时，代入需求函数得到Q=0。需求弹性的计算公式为E=(dQ/dP)(P/Q)。在这种情况下，dQ/dP=10，P=20，Q=0，因此E=(10)(20/0)是未定义的，因为分母为0。这表明在价格P=20时，需求量Q的弹性不存在。四、计算题1.某企业的成本函数为\(C(Q)=5Q^210Q100\)，求该企业的平均成本函数和边际成本函数。

解题步骤：

平均成本函数\(AC(Q)\)是总成本函数\(C(Q)\)除以产量\(Q\)。

边际成本函数\(MC(Q)\)是总成本函数\(C(Q)\)对产量\(Q\)的导数。

解答：

\[

AC(Q)=\frac{C(Q)}{Q}=\frac{5Q^210Q100}{Q}=5Q10\frac{100}{Q}

\]

\[

MC(Q)=\frac{dC(Q)}{dQ}=10Q10

\]

2.某商品的需求函数为\(Q=20010P\)，求该商品的需求价格弹性函数。

解题步骤：

需求价格弹性\(E\)是需求量\(Q\)对价格\(P\)的导数与\(P\)的比值。

解答：

\[

E=\frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q}=\frac{d}{dP}(20010P)\cdot\frac{P}{20010P}=\frac{10}{20010P}=\frac{1}{20P}

\]

3.某企业的收入函数为\(R(Q)=100Q5Q^2\)，求该企业的收入最大值及相应的产量。

解题步骤：

收入最大值出现在边际收入\(MR\)等于零的点。

边际收入\(MR\)是收入函数\(R(Q)\)对产量\(Q\)的导数。

解答：

\[

MR=\frac{dR(Q)}{dQ}=10010Q

\]

设\(MR=0\)，得\(10010Q=0\)，解得\(Q=10\)。

收入最大值为\(R(10)=100\times105\times10^2=500\)。

4.某企业的成本函数为\(C(Q)=20Q500\)，求该企业的平均成本函数和边际成本函数。

解题步骤：

平均成本函数\(AC(Q)\)是总成本函数\(C(Q)\)除以产量\(Q\)。

边际成本函数\(MC(Q)\)是总成本函数\(C(Q)\)对产量\(Q\)的导数。

解答：

\[

AC(Q)=\frac{C(Q)}{Q}=\frac{20Q500}{Q}=20\frac{500}{Q}

\]

\[

MC(Q)=\frac{dC(Q)}{dQ}=20

\]

5.某商品的需求函数为\(Q=1005P\)，求当价格\(P=20\)时，该商品的需求量\(Q\)的弹性。

解题步骤：

需求量\(Q\)的弹性\(E\)是需求量\(Q\)对价格\(P\)的导数与\(P\)的比值。

解答：

\[

E=\frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q}=\frac{d}{dP}(1005P)\cdot\frac{P}{1005P}=\frac{5}{1005P}

\]

当\(P=20\)时，代入得：

\[

E=\frac{5}{1005\times20}=\frac{5}{100100}=\frac{5}{0}

\]

注意：这里出现了分母为零的情况，意味着需求量在\(P=20\)时对价格完全无弹性。

答案及解题思路：

1.平均成本函数\(AC(Q)=5Q10\frac{100}{Q}\)，边际成本函数\(MC(Q)=10Q10\)。

2.需求价格弹性函数\(E=\frac{1}{20P}\)。

3.收入最大值为500，对应产量\(Q=10\)。

4.平均成本函数\(AC(Q)=20\frac{500}{Q}\)，边际成本函数\(MC(Q)=20\)。

5.当\(P=20\)时，需求量\(Q\)的弹性为无穷大，因为分母为零，表示需求量对价格完全无弹性。五、应用题1.某企业的生产函数为Q=10L0.5L^2，其中L为劳动力数量。求该企业的平均产量、边际产量和平均成本函数。

（1）平均产量函数AP(L)=Q/L

（2）边际产量函数MP(L)=dQ/dL

（3）平均成本函数AC(Q)=C(Q)/Q

2.某商品的需求函数为Q=1005P，求当价格P=20时，该商品的需求量Q的弹性，并分析消费者对价格变动的敏感程度。

3.某企业的成本函数为C(Q)=5Q^210Q100，求该企业的固定成本、变动成本和总成本。

4.某企业的收入函数为R(Q)=50Q2Q^2，求该企业的收入最大值及相应的产量。

5.某商品的需求函数为Q=20010P，求当价格P=20时，该商品的需求量Q的弹性，并分析消费者对价格变动的敏感程度。

答案及解题思路：

1.解题思路：

（1）平均产量函数AP(L)=Q/L=(10L0.5L^2)/L=100.5L

（2）边际产量函数MP(L)=dQ/dL=d(10L0.5L^2)/dL=10L

（3）平均成本函数AC(Q)=C(Q)/Q=(5Q^210Q100)/Q=5Q10100/Q

2.解题思路：

需求量Q的弹性E=dQ/dPP/Q

需求函数Q=1005P，则Q的弹性E=520/(100520)=1

消费者对价格变动的敏感程度为1，说明消费者对价格变动敏感。

3.解题思路：

固定成本F=100（成本函数中的常数项）

变动成本VC=5Q^210Q（成本函数中不含常数项的部分）

总成本TC=C(Q)=5Q^210Q100

4.解题思路：

收入函数R(Q)=50Q2Q^2，求导数R'(Q)=504Q

令R'(Q)=0，得Q=12.5

所以，收入最大值为R(12.5)=5012.5212.5^2=312.5，相应的产量为12.5

5.解题思路：

需求量Q的弹性E=dQ/dPP/Q

需求函数Q=20010P，则Q的弹性E=1020/(2001020)=1

消费者对价格变动的敏感程度为1，说明消费者对价格变动敏感。六、论述题1.论述边际成本与平均成本之间的关系及其在经济分析中的应用。

答案：

边际成本（MC）与平均成本（AC）之间的关系可以通过以下公式表达：

\[AC=\frac{TC}{Q}\]

\[MC=\frac{dTC}{dQ}\]

其中，TC是总成本，Q是产量。

边际成本与平均成本之间的关系

当边际成本小于平均成本时（MCAC），平均成本下降。

当边际成本等于平均成本时（MC=AC），平均成本达到最低点。

当边际成本大于平均成本时（MC>AC），平均成本上升。

在经济分析中的应用：

边际成本和平均成本的关系帮助企业确定最佳生产水平，即边际成本等于边际收益的点。

企业通过比较边际成本和边际收益来决定是否增加或减少产量。

边际成本和平均成本的分析有助于理解成本曲线的形状，从而预测成本变化。

解题思路：

阐述边际成本和平均成本的定义和计算公式。分析它们之间的关系，并解释在不同情况下平均成本的变化趋势。结合实际案例，说明这些关系如何帮助企业进行经济决策。

2.论述需求弹性在经济分析中的作用。

答案：

需求弹性是指需求量对价格变化的敏感程度，通常用弹性系数来衡量。需求弹性在经济分析中的作用包括：

预测价格变动对总收益的影响。

评估产品或服务的市场竞争地位。

确定产品定价策略。

在经济分析中的应用：

需求弹性较高的产品，价格变动对需求量的影响较大，企业可能需要更加谨慎地调整价格。

需求弹性较低的产品，价格变动对需求量的影响较小，企业可能更灵活地调整价格。

通过需求弹性分析，企业可以了解不同市场细分的需求特征，从而制定相应的营销策略。

解题思路：

定义需求弹性的概念和计算方法。讨论需求弹性在预测价格变动、评估市场竞争和制定定价策略中的作用。通过实际市场案例说明需求弹性分析的重要性。

3.论述边际效用递减规律在经济分析中的应用。

答案：

边际效用递减规律是指消费量的增加，每增加一单位商品或服务的边际效用逐渐减少。在经济分析中的应用包括：

解释消费者选择行为。

分析价格与需求的关系。

评估消费者剩余。

在经济分析中的应用：

边际效用递减规律有助于解释为什么消费者在消费一定数量的商品后，愿意支付的价格会下降。

该规律解释了为什么价格弹性较大的商品，价格下降会导致需求量显著增加。

在评估消费者剩余时，边际效用递减规律可以帮助确定消费者愿意为商品支付的最高价格。

解题思路：

阐述边际效用递减规律的定义和原因。讨论其在解释消费者选择、价格与需求关系以及评估消费者剩余中的应用。通过实际消费案例说明这一规律的实际影响。

4.论述生产函数、成本函数和收入函数在经济分析中的应用。

答案：

生产函数描述了投入与产出之间的关系，成本函数描述了生产一定数量产品所需的总成本，收入函数描述了销售产品所得的总收入。

在经济分析中的应用：

生产函数帮助企业确定最佳的生产技术和管理策略。

成本函数帮助企业控制成本，提高生产效率。

收入函数帮助预测销售情况，制定销售策略。

解题思路：

分别定义生产函数、成本函数和收入函数。讨论它们在经济分析中的应用，包括生产决策、成本控制和销售预测。通过实际企业案例说明这些函数在决策过程中的作用。

5.论述边际产量与平均产量之间的关系及其在经济分析中的应用。

答案：

边际产量（MP）是指增加一单位投入所增加的产出量，平均产量（AP）是指总产量除以投入量。

边际产量与平均产量之间的关系

当边际产量大于平均产量时（MP>AP），平均产量上升。

当边际产量等于平均产量时（MP=AP），平均产量达到最高点。

当边际产量小于平均产量时（MPAP），平均产量下降。

在经济分析中的应用：

边际产量和平均产量的关系帮助企业确定最优的投入水平。

通过分析边际产量和平均产量的变化，企业可以了解生产效率的变化。

解题思路：

定义边际产量和平均产量的概念。分析它们之间的关系，并解释在不同情况下平均产量的变化趋势。结合实际生产案例，说明这些关系如何帮助企业进行生产决策。七、综合题1.某企业的生产函数为Q=10L0.5L^2，其中L为劳动力数量。已知该企业的固定成本为100元，求该企业的平均成本函数和边际成本函数。

答案及解题思路：

平均成本函数（AC）：AC=TC/L，其中TC是总成本，L是劳动力数量。

总成本TC=固定成本变动成本=100(10L0.5L^2)L=10010L^20.5L^3。

平均成本函数AC=(10010L^20.5L^3)/L=100/L10L0.5L^2。

边际成本函数（MC）：MC=dTC/dL，对总成本函数求导得边际成本函数。

MC=d/dL(10010L^20.5L^3)=20L1.5L^2。

2.某商品