数学模型概论校内竞赛讲座

数学模型概论校内竞赛讲座数学模型电子教案中南大学数学科学学院应用数学与应用软件系2021/4/14星期三2数学模型2021/4/14星期三3参考文献[1]李大潜，中国大学生数学建模竞赛，高等教育出版社，1998[2]李尚志，数学建模竞赛教程，江苏教育出版社，1996[3]叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南教育出版社，1998[4]汪国强，数学建模优秀案例选编，华南理工大学出版社，19982021/4/14星期三4七律咏数学模型数学精微何处寻，纷纭世界有模型，描摹万象得神韵，识破玄机算古今。岂是空文无实效，能生妙策济苍生，经天纬地显身手，七十二行任纵横。

---李尚志---2021/4/14星期三5目录1.1引言1.2数学建模竞赛1.3怎样建立数学模型1.4数学建模的方法与步骤

2021/4/14星期三61.1引言随着社会的发展，数学在社会各领域中的应用越来越广泛，作用越来越大，不但运用于自然科学各学科、各领域，而且渗透到经济、军事、管理以至于社会科学和社会活动的各领域。但是，社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才，而更大量需要的是在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识2021/4/14星期三7及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益和社会效益。而这不止是要用到数学，很可能还要用到别的学科领域的知识，要用到工作经验和常识。特别是在现代社会，要真正解决一个实际问题几乎都离不开计算机。可以这样说，在实际中遇到的问题，完全纯粹的只用现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的。所遇到的问题都是数学和其他知识混杂在一起的问题，其中的数学2021/4/14星期三8奥妙不是明显地摆在那里等到你去解决，而是暗藏于深处等你去发现，也就是说，你要对复杂的实际问题进行分析，发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律，将这个实际问题化成一个数学问题，这就称为数学模型，建立数学模型的这个过程就称为数学建模。模型所模仿的都只是真实事物的某些方面的属性。而数学模型，就是用数学语言（数学公式）去描述和模仿实际问题中的数量关系、空间形式等。这种模仿当然是近似2021/4/14星期三9的，但又要尽可能逼真。实际问题中有许多因素，在建立数学模型时不可能、也没有必要将它们毫无遗漏地全部加以考虑，只能考虑其中的最主要的因素，舍弃其中的次要因素。数学模型建立起来了，实际问题化成了数学问题，如果有现成的数学工具当然好，如果没有现成的数学工具就促使数学家们寻找和发展出新的数学工具去解决它，这又推动了数学本身的发展。例如，开普勒由行星运行的观测数据总结-2021/4/14星期三10出开普勒三定律（行星运行的数学模型），牛顿试图用自己发现的力学定律去解释它，但当时已有的数学工具是不够的，这促使了微积分的发明。求解数学模型，除了用到数学推理以外，通常还要处理大量数据，进行大量计算，计算机的出现和发展，给用数学模型解决实际问题打开了广阔的道路。2021/4/14星期三111.2数学建模竞赛

由于认识到培养应用型数学人才的重要性，从1983年起，美国的一些有识之士开始探讨组织一项应用数学方面的竞赛的可能性，经过论证、争论、争取资助等过程，终于在1985年开始有了美国的第一届大学生数学建模竞赛，简称MCM（MathematicalCompetitioninModeling），1987年改2021/4/14星期三12为（MathematicalContestinModeling），竞赛由美国工业与应用数学学会和美国运筹学学会联合主办。从1985年起每年举行一届，在每年的二月下旬或三月初某个星期五到星期日举行。数学建模竞赛，或称数学模型竞赛，不同于传统的纯数学竞赛，它不是挑选数学尖子学生坐在考场里做某些正确答案早已由出题专家们做出来，正锁在某2021/4/14星期三13一保险箱柜里的数学难题，而是并没有固定的考场，参赛的学生可能在图书馆查阅资料，或者正在计算机房操作键盘编写程序，处理大量的实验数据，也可能在讨论问题，发表各自不同的见解，甚至正在非常激烈地争论某个问题。数学建模竞赛就是这样，它名曰数学，当然要用到数学知识，但却与以往的数学竞赛不同，它涉及到物理、化学、生物、医学、电子、农业、管理等各学2021/4/14星期三14科、各领域的知识，但又不是这些学科、领域里的纯知识竞赛。它涉及多学科领域，但又不受任何一个具体的学科领域的局限，它用到各方面的综合知识。具体形式如下：

1.比赛形式：

数学建模竞赛是团体赛，每个参赛队由三人组成，在规定的三天时间内共同完成一份答卷，每个参赛队有一名指导教师，在比赛前负责培训与指导。每次的考题有2021/4/14星期三15两题，都是来自于实际的问题或有很强的实际背景的问题，没有固定的范围，可能涉及各个非常不同的学科领域。每个参赛队从这两个考题中任意选取做一个题。参赛队的三名队员可以相互讨论，可以查阅资料，可以使用计算机和计算机软件，总之，可以使用任何非生命的资源，但不允许三人以外的其他人（包括指导教师）帮助做题。参赛队的答卷是一篇完整的论文，包2021/4/14星期三16括对所选取问题的重新阐述、对问题的条件和假设的阐明和必要补充甚至修改、对为什么要用所述模型的分析、模型的设计、对模型的测试和检验的讨论、模型的优缺点等，还要有一个不超过一页的论文内容的摘要。2.比赛结果：专家评卷时不对论文给分，而是将论文分成一些等级：

Outstanding（特等奖）

2021/4/14星期三17Meritorious（一等奖）

HonorableMention（二等奖）

SuccessfulParticipation(成功参赛奖)

评卷的标准不是看答案对不对，而主要看论文的思想方法好不好，以及论文是否清晰，它看重的是下面三个步骤：

建立模型：实际问题数学问题；

数学解答：数学问题数学解；

模型检验：数学解实际问题的解决。2021/4/14星期三18Outstanding（特等奖）的论文作为优秀论文在专业杂志上发表而所有参赛的队员和教练都得到一张奖状。2021/4/14星期三191.3怎样建立数学模型什么是数学模型？简言之就是用数学的语言和方法对实际问题的抽象和描述。牛顿万有引力定律便是数学模型的一个很好的例子。一般来说，一个好的数学模型应该具备下列特点：1.对所给问题有较全面的考虑

在一个实际问题中，往往有很多2021/4/14星期三20因素同时对所研究的对象发生作用，因此要对这些因素进行全面综合考虑，一般分三步进行：（1）列举各种因素；（2）选取主因素计入模型；（3）考虑其他因素的影响，对模型进行修正。2.创造性地改造已有模型或自创新模型2021/4/14星期三21MCM中的问题一般来源于实际工作中遇到的未解决的问题，没有现成的理论或模型可套用。因此，评价一个数学模型的优劣往往要看论文的创造性，即是否结合实际提出自己的独到见解。但因为时间有限，很难自创新的数学方法来解决问题，所以往往是在现有的模型上作出创造性的改进。3.善于在简单与复杂、精确与普适等相反特征之间取得调和2021/4/14星期三22

数学模型应当是对实际问题的本质刻划，如果考虑问题过于简单，则没有抓住问题的本质。相反，如果将所有因素不分主次一概计入模型，不仅显得十分庞杂，，而且事实上无法求解，反而掩盖了问题的本质。对于优化模型可以设计一些可调参数使模型具有较广的适用性。但参数过多，则会降低模型的精确性，而且显得过于主观，要想建立一个好的模型，就必须在相反的极端之间加以权衡，这有赖于对问题本质的深刻理解。2021/4/14星期三234.注重结果分析，考虑其在实际中的合理性

数学建模是一个从实际到数学，再从数学到实际上的过程。由于现有的模型仅依赖于题中数据，从模型得到的结果是否符合实际，是模型好坏的重要标志。5.善于对模型进行检验

数学模型建立起来了，也用数学方2021/4/14星期三24法或数值方法求出了解答，是不是就万事大吉了呢？不是，既然数学模型只能近似地反映实际问题中的关系和规律，到底反映得好不好，还需要接受检验。如果数学模型建立得不好，没有正确地描述所给的实际问题，数学解答再正确也是没有用的，因此，在得出数学解答之后，还要让所得的结论接受实际检验，看它是否合理，是否可行等等。如果不符合实际，还得设法找出原因，修改原来的模型，重新求解和检验，直到比较2021/4/14星期三25合理可行，才能算是得到了一个解答，可以付诸实施。但是，十全十美的答案是没有的，因此，已得到的解答一定还有改进的余地，还可以根据实际情况，继续研究和改进。一般地用数学建模求解实际问题，要注意上述5个方面的问题，但对于一个具体的模型的建立也不是一定要完全按这些步骤进行。总之，抓住了本质的东西，建立的模型才具有合理性。2021/4/14星期三26

一个模型的优劣，最根本的是在于是否采用恰当的方法，合理地描述了实际问题，而不是取决于是否用到了高深的数学知识。

2021/4/14星期三271.4建立数学模型的具体方法与步骤一、数学建模方法大体分为两大类：1.机理分析法2.测试分析法根据对现实对象特性的认识，分析因果关系，找出反映内部机理的规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。机理分析法2021/4/14星期三28

将研究对象视为一个内部机理信息未知的“黑箱”系统，根据测量系统的输入输出数据，运用统计分析等方法，按事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得好的模型，这个过程也称为系统辨识。测试分析法2021/4/14星期三29二、数学建模的步骤

了解问题的实际背景，明确建模的目的，搜集必要的信息（现象、数据）等。模型准备两种方法结合运用：用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数。2021/4/14星期三30用精确的语言对问题作出假设，即对问题作必要的、合理的简化，如将问题线性化、均匀化等，这是关键的一步。模型假设根据分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具构造各个量之间的等式（不等式）关系或其他数学结构。模型构造2021/4/14星期三31对求解结果进行数学上的分析及预报，甚至给出最优决策