湖南省长沙市望城区2024-2025学年七年级上学期1月期末考试数学试卷(含解析)

2024-2025学年湖南省长沙市望城区七年级（上）期末数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若收入30元记作+30元，则﹣10元表示（）A．收入10元 B．收入20元 C．支出20元 D．支出10元解：若收入30元记作+30元，则﹣10元表示支出10元．故选：D．2．（3分）在0，|﹣2|，﹣，1这四个数中，最小的数是（）A．0 B．|﹣2| C． D．1解：∵|﹣2|＝2，∴﹣＜0＜1＜2，∴＜0＜1＜|﹣2|，∴最小的数是：．故选：C．3．（3分）有理数a、b在数轴上如图所示，下列式子错误的是（）A．a＜0＜b B．|a|＞|b| C．a+b＜0 D．ab＞0解：由数轴可得：a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，则a＜0＜b，故选项A正确，不合题意；|a|＞|b|，故选项B正确，不合题意；a+b＜0，故选项C正确，不合题意；ab＜0，故选项D错误，符合题意；故选：D．4．（3分）下列代数式的书写格式符合要求的是（）A．a3 B．2÷a C． D．ab2解：选项A正确的书写格式是3a，故此选项不符合题意；选项B正确的书写格式是，故此选项不符合题意；选项C正确的书写格式是，故此选项不符合题意；选项D正确，故此选项符合题意．故选：D．5．（3分）下列整式中，不是同类项的是（）A．m2n与﹣2m2n B．1与﹣2 C．3x2y和﹣5yx2 D．0.6a与8ab解：A、符合同类项的定义，是同类项；B、符合同类项的定义，是同类项；C、符合同类项的定义，是同类项；D、所含字母不相同，不是同类项；故选：D．6．（3分）我国古代《洛书》中记载了最早的三阶幻方——九宫图．如图所示的九宫图中，每行、每列的三个数字之和都相等，则x的值是（）A．﹣5 B．﹣3 C．2 D．5解：根据题意，得﹣2+3＝x+4，解方程，得x＝﹣3．故选：B．7．（3分）下列图形中，不是正方体表面展开图的是（）A． B． C． D．解：A、B、C中的图形能围成正方体，故A、B、C不符合题意；D、图形围成几何体时，有两个面重合，不能围成正方体，故D符合题意．故选：D．8．（3分）如果a﹣3b＝﹣2，那么代数式7﹣（a﹣3b）的值是（）A．0 B．5 C．7 D．9解：当a﹣3b＝﹣2时，原式＝﹣（a﹣3b）+7＝﹣（﹣2）+7＝9．故选：D．9．（3分）一个角的补角比这个角的余角的3倍少20°，这个角的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．45°解：设这个角为α，则它的补角为180°﹣α，余角为90°﹣α，根据题意得，180°﹣α＝3（90°﹣α）﹣20°，解得α＝35°．故选：B．10．（3分）曹老师有一包糖果，若分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗（b＜a）；若分给（m+10）个学生，则每个学生分3颗，还剩（b+1）颗，则a的值可能是（）A．4 B．5 C．6 D．7解：∵根据分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗可得共有（ma+b）颗糖，根据分给（m+10）个学生，则每个学生分3颗，还剩（b+1）颗，可得共有[3（m+10）+（b+1）]颗糖，∴ma+b＝3（m+10）+（b+1），∴a＝3+，∵a，m为正整数，∴m＝31或1，当m＝31时，∴a＝4，当m＝1时，a＝34，没有这个选项，舍弃．故选：A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）若a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则|c﹣a|+|b+a|﹣|b+c|化简结果为2a+2b．解：由图知，c＜b＜0＜a，|b|＜|a|，∴|c﹣a|+|b+a|﹣|b+c|＝a﹣c+a+b+b+c＝2a+2b．故答案为：2a+2b．12．（3分）手机微信支付因方便快捷已被广泛使用，在“我的钱包”账单里收到微信红包16元记为+16，买文具支付8元则记为﹣8．解：收到16元记为+16，支付8元则记为﹣8．故答案为：﹣8．13．（3分）当x＝1时，2ax3﹣3bx+8的值为9，则9b﹣6a+2的值为﹣1．解：∵当x＝1时，2ax3﹣3bx+8的值为9，∴2a﹣3b+8＝9，即：2a﹣3b＝1，∴9b﹣6a+2＝﹣3（﹣2a﹣3b）+2＝﹣3×1+2＝﹣1，∴9b﹣6a+2的值为﹣1．故答案为：﹣1．14．（3分）按一定规律排列的单项式：﹣3，5a，﹣7a2，9a3，⋯，则第9个单项式是﹣19a8．解：∵﹣3，5a，﹣7a2，9a3，⋯，∴符号的排列规律为：奇数个数的符号为“﹣”，偶数个数的符合为“+”，系数的排列规律为：3，5，7，9，⋯，2n+1，指数的排列规律为：0，1，2，3，⋯，n﹣1，∴9个单项式中奇数个数的符号为“﹣”，系数为2n+1＝2×9+1＝19，指数为n﹣1＝9﹣1＝8，故第9个单项式是：﹣19a8．故答案为：﹣19a8．15．（3分）如图所示，用经过A，B，C三点的平面截去正方体的一角，得到一个新的几何体，若这个几何体的面数为a，棱数为b，则a÷b＝．解：根据题意可知，几何体的面数为：a＝1+6＝7，棱数为：b＝12，∴．故答案为：．16．（3分）甲、乙、丙三人分别拿出相同数量的钱，合伙购买某种商品若干件．商品买来后，乙比甲少拿了4件，丙比甲多拿了13件，最后结算时，三人要求按所得商品的实际数量付钱，进行多退少补，已知丙付给甲60元，那么丙应付给乙140元．解：设甲拿了a件商品，则乙为（a﹣4）件商品，丙为（a+13）件商品．则共有商品件数为：a+a﹣4+a+13＝3a+9．则平均每人商品件数为（3a+9）÷3＝a+3．因此，丙付给甲a+3﹣a＝3件商品的钱数为60元．所以，一件商品钱数为20元．因为，丙付给乙a+3﹣（a﹣4）＝7件商品．所以，丙付给乙20×7＝140元．故本题答案：140．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：．解：原式＝﹣1﹣×（﹣8÷4）＝﹣1﹣×（﹣2）＝﹣1+0.4＝﹣0.6．18．（6分）解方程：．解：，去分母，得2x﹣6＝3x+2，移项、合并同类项，得x＝﹣8．19．（6分）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．（1）结合数轴可知：|a|＞|b|；（用“＞”“＜”或“＝”填空）（2）结合数轴，比较﹣a，﹣b，0，a，b的大小，并用“＜”连接起来．（1）解：根据图示可得a＜﹣1＜0＜b＜1，∴|a|＞|b|，故答案为：＞；（2）解：如图所示，∴a＜﹣b＜0＜b＜﹣a．20．（8分）小红做一道数学题：“两个多项式A，B，已知B为4x2﹣5x﹣6，试求A+B的值”时．小红误将A+B看成A﹣B，结果答案为﹣7x2+10x+12（计算过程正确）．（1）试求A+B的正确结果；（2）当x＝﹣4时，求A+B的值．解：（1）∵A﹣B＝﹣7x2+10x+12，且B＝4x2﹣5x﹣6，∴A＝（﹣7x2+10x+12）+（4x2﹣5x﹣6）＝﹣7x2+10x+12+4x2﹣5x﹣6＝（﹣7x2+4x2）+（10x﹣5x）+12﹣6＝﹣3x2+5x+6；∴A+B＝﹣3x2+5x+6+4x2﹣5x﹣6＝x2；（2）当x＝﹣4时，A+B＝（﹣4）2＝16．21．（8分）如图，点O在直线AB上，射线OD在直线AB上方，且∠DOC＝90°，射线OE平分∠BOC．（1）若∠DOE＝150°，求∠AOC的度数；（2）若∠DOE＝α，求∠AOD．（请用含α的代数式表示）．解：（1）∵∠DOC＝90°，∠DOE＝150°，∴∠COE＝∠DOE﹣∠DOC＝150°﹣90°＝60°，又∵射线OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE＝2×60°＝120°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°，∴∠AOC的度数为60°；（2）∵∠DOC＝90°，∠DOE＝α，∴∠COE＝∠DOE﹣∠DOC＝α﹣90°，又∵射线OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE＝2（α﹣90°）＝2α﹣180°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣（2α﹣180°）＝360°﹣2α，∴∠AOD＝∠DOC﹣∠AOC＝90°﹣（360°﹣2α）＝2α﹣270°．22．（9分）自我国实施“限塑令”起，开始有偿使用环保购物袋，为了满足市场需求，某厂家只生产A、B两种款式的环保购物袋，其中每天生产A种购物袋x个，两种购物袋的成本和售价如下表：成本（元/个）售价（元/个）A22.3B33.5（1）若该厂家每天生产A种购物袋5000个，B种购物袋3000个，求每天生产环保购物袋的总成本；（2）若该厂家每天共生产环保购物袋6500个，求每天生产环保购物袋的总成本（用含x的式子表示）；（3）若该厂家每天生产B种购物袋的数量是A种购物袋数量的，则所生产的环保购物袋全部销售完后，每天共可获利多少元？（用含x的式子表示）解：（1）由题意可得：5000×2+3000×3＝19000（元），答：每天生产环保购物袋的总成本为19000元；（2）由题意可得：2x+3（6500﹣x）＝19500﹣x（元），答：每天生产环保购物袋的总成本为（19500﹣x）元；（3）根据题意，得每天生产B种购物袋x个，∵（2.3﹣2）x+（3.5﹣3）×x＝0.7x（元），∴每天共可获利0.7x元．23．（9分）综合与实践：进位制的认识与探究题目背景在学习数学的过程中，我们常常会接触到不同的进位制．最常用的是十进制，而计算机内部使用的则是二进制．进位制的不同，既影响数的表示方式，也影响数的计算方法．通过对进位制的探讨，我们可以更深入地理解数的构成及其运算特点．阅读材料．进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用0～9十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一．一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：a0＝1（a≠0）．例如：十进制数（3721）10可以表示为3×103+7×102+2×101+1×100，即；二进制数（101）2可以表示为1×22+0×21+1×20，即．解决问题．（1）理解应用：将二进制数（1011）2表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，并转换为十进制数．（2）拓展延伸：将十进制数89转换为二进制数和八进制数，要求体现转换的过程与结果．（3）创新应用：运用进制数的加法运算法则，计算（10010）2+（102）8（结果用十进制数表示），并说明计算的思想方法．解：（1）＝8+0+2+1＝（11）10＝11；（2）①二进制如下：∴从下往上读取余数，得到（1011001）2．②八进制如下：∵89÷8＝11⋯⋯1；11÷8＝1⋯⋯3；1÷8＝0⋯⋯1．∴从下往上读取余数，得到（131）8．（3）解法1（分步计算）：∵＝（18）10＝18；，∴（10010）2+（102）8＝（18）10+（66）10＝（84）10＝84．方法：运用转化与化同的思想方法，将不同进位制数统一成十进制数之后，按十进制数的方式方法解决问题．分解法2（整体计算）：原式＝（1×24+0×23+0×22+1×21）+（1×82+0×81+2×80）＝（16+0+0+2+0）+（64+0+2）＝（18）10+（66）10（或18+66）＝（84）10（或84）．方法：运用转化与化同的思想方法，将不同进位制数统一成十进制数之后，按十进制数的方式方法解决问题．24．（10分）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”．（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值；（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；（3）若关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1的解．解：（1）∵3x+m＝0，∴x＝﹣，∵4x﹣2＝x+10，∴x＝4，∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，∴4﹣＝1，∴m＝9，故答案为：9．（2）∵“美好方程”的两个解之和为1，∴另一个方程的解为1﹣n，∵两个解的差为8，∴n﹣（1﹣n）＝8或1﹣n﹣n＝8，∴n＝或n＝﹣，故答案为：或﹣．（3）∵x+1＝0，∴x＝﹣2024，∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”，∴方程x+3＝2x+k的解为：x＝1﹣（﹣2024）＝2025，∵关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1可化为（y+1）+3＝2（y+1）+k，∴y+1＝x＝2025，∴y＝2024．故答案为：y＝2024．25．（10分）如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．（1）问运动多少时BC＝8（单位长度）？（2）当运动到BC＝8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是4或16；（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式＝3，若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．解：（1）设运动t秒时，BC＝8单位长度，①当点B在点C的左边时，由题意得：6t+8+2t＝24解得：t＝2；②当点B在点C的右边时，由题意得：6t﹣8+2t＝24解得：t＝4．（2）当运动2秒时，点B在数轴上表示的数是4；当运动4秒时，点B在数轴上表示的数是16．（3）方法一：存在关系式＝3．设运动时间为t秒，1）当t＝3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD＝CD＝4，AP+3PC＝AB+2PC＝2+2PC，当PC＝1时，BD＝AP+3PC，即＝3；2）当3＜t＜时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2，①点P在线段AC上时，BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，AP+3PC＝AC+2PC＝AB﹣BC+2PC＝2﹣BC+2PC，当PC＝1时，有BD＝AP+3PC，即＝3；点P在线段BC上时，B