2024年中考数学试题分类汇编：圆（解析版）

2024年中考数学真题专题分类精选汇

专题20圆

一、选择题

1.（2024江苏连云港）如图，将一根木棒的一端固定在。点，另一端绑一重物.将此重物拉到/点

后放开，让此重物由n点摆动到3点.则此重物移动路径的形状为（）

A.倾斜直线B.抛物线C.圆弧D.水平直线

【答案】C

【解析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧.

在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点A的运动轨迹是以。为圆心，Q4为半径的一段圆弧，

故选：C.

2.（2024四川凉山）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决

方案是：在工件圆弧上任取两点48,连接Z2,作的垂直平分线交45于点。，交方于

点C,测出48=40cm,CD=10cm,则圆形工件的半径为（）

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

【答案】C

【解析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识.由垂径定理，可得出8。的长；设圆心为。，连接

在中，可用半径08表示出0。的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得

出轮子的直径长.

【详解】：CD是线段N3的垂直平分线，

二直线3经过圆心，设圆心为。，连接08.

及△08。中，BD=-AB=20cm,

—2

根据勾股定理得:

OD-+BD1=0B2^即:

(<95-10)2+202=(952,

解得：03=25；

故轮子的半径为25cm,

故选：C.

3.(2024四川泸州)如图，EA,ED是。。的切线，切点为N,D,点、B,C在。。上，若

ZBAE+ZBCD=236°,则NE=()

A.56°B.60°C.68°D.70°

【答案】C

【解析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助

线是解题关键.

根据圆的内接四边形的性质得ZBAD+ZBCD=180°,由ZBAE+ZBCD=236°得

ZEAD=56°,由切线长定理得区4=ED,即可求得结果.

【详解】如图，连接

C

:四边形45CD是。。的内接四边形,

NB4D+/BCD=180°,

,:/BAE+/BCD=236。,

：./BAE+/BCD-（ABAD+/BCD）=236°-180°,

即N5/£—Z8ZD=56。，

ZEAD=56°,

VEA,EQ是。。的切线，根据切线长定理得，

EA=ED，

：.ZEAD=/EDA=56°,

NE=180°-ZEAD-ZEDA=180°-56°-56°=68°.

故选：C.

4.（2024内蒙古赤峰）如图，4D是。。的直径，48是。。的弦，半径OCLAB,连接S,交

OB于点E,ZBOC=42°,则NOEQ的度数是（）

A.61°B.63°C.65°D.67°

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质.先根据垂径定理，求得

ZAOC=ZBOC=42°,利用圆周角定理求得ND==21。，再利用三角形的外角性质即

2

可求解.

【详解】解：：半径。C,

-"-AC=BC'

：.ZAOC=ZBOC=42°,N/OB=84°,

AC=AC

/.ZD=-ZAOC=21°,

2

：.ZOED=ZAOB—ND=63°,

故选：B.

5.（2024云南省）如图，CD是。。的直径，点A、8在。。上.若AC=BC，//。。=36°，

A.9°B.18°C.36°D.45°

【答案】B

【解析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接08,由北=病可得

ZBOC=ZAOC=36°,进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键.

【详解】连接

X-------、X-------、

1­'AC=BC>

：.ZBOC=ZAOC=36°,

：.ZD=-ZBOC=18°,

2

故选：B.

6.（2024甘肃临夏）如图，48是。。的直径，ZE=35°,则N80D=（）

A.80°B.100°C.120°D.110°

【答案】D

【解析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出44。£>=2/£.

由圆周角定理得到ZAOD=2ZE=70°,由邻补角的性质求出ZBOD=180°-70°=110°.

/E=35°，

ZAOD=2NE=70°，

.•.ZS<9r>=180°-70o=110°.

故选：D.

7.（2024甘肃威武）如图，点aB,C在。。上，ACLOB,垂足为。，若44=35。，则/C的

度数是（）

A

A.20°B,25°C.30°D.35°

【答案】A

【解析】根据NZ=35°得到/。=70。，根据得到NCDO=90。，根据直角三角形的两

个锐角互余，计算即可.

本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键.

【详解】：44=35。，

/.40=70°,

•1,ACLOB,

：.ZCDO=90°,

ZC=90°-Z（9=20°.

故选A.

8.（2024湖南省）如图，AB,ZC为。。的两条弦，连接08,OC,若N/=45。，则N50C

的度数为（）

A.60°B.75°C.90°D.135°

【答案】C

【解析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的

一半是解题的关键.根据圆周角定理可知=即可得到答案.

2

【详解】根据题意，圆周角NZ和圆心角N50。同对着前，

ZA=-ZBOC,

2

N4=45°,

ZBOC=2ZA=2x45°=90°.

故选：C.

9.（2024吉林省）如图，四边形/BCD内接于。0,过点、B作BE〃4D，交CD于点、E.若

ZBEC=50°,则。的度数是（）

【答案】C

【解析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

先根据BE//AD得到ND=ZBEC=50°,再由四边形ABCD内接于O。得到

/48。+/。=180°,即可求解.

【详解】ZBEC=50°,

ND=ZBEC=50°,

:四边形/BCD内接于。0,

/.乙48。+/。=180。，

Z^5C=180°-50°=130°,

故选：C.

10.（2024四川宜宾）如图，45是。。的直径，若NCD8=60°,则。的度数等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【解析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等.根据直径所对的圆周

角为直角得到N4C8=90。，同弧或等弧所对的圆周角相等得到=N/=60。，进一步计算即

可解答.

【详解】：/台是。。的直径,

NACB=90°，

•rZCDB=60°,

ZA=ZCDB=60°,

ZABC=90°-ZA=30°,

故选：A.

11.（2024四川宜宾）如图，入43。内接于5c为。。的直径，4D平分/A4c交。。于。.则

AB+C,,..

---------的值为（）

AD

A.V2B.V3c.2V2D.2G

【答案】A

【解析】本题考查了三角形的外接圆，特殊角的三角函数，圆周角定理，图形的旋转等知识点，合理

作辅助线为解题的关键.

作辅助线如图，先证明=ZACD+ZABD=18Q°,从而可以得到旋转后的图形，再证明

是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得结果.

【详解】解：如图，连接AD、CD,

•••3C是。。的直径,

ABAC=ZBDC=90°,

:AD平分NBAC,

：./BAD=ZCAD,

BD=DC>

：.BD=CD,

在四边形4aoe中，ABAC=ZBDC=90°,

，ZACD+ZABD=1SO°,

..•△/OC绕。点逆时针旋转90°,则4民H三点共线，如图所示

AAB+AC=AB+A'B=AA',

:由旋转可知N/'£）5=N/£>C,A'D=AD

：.ZA'DA=ZA'DB+ABDA=ZADC+ZBDA=ZBDC=90°，

・••在等腰直角三角形404中，sin/H=sin45°="，

AA'2

.AA__Z8+ZC_血

"AD~AD-,

故选：A

12.（2024武汉市）如图，四边形48CD内接于OO,ZABC=60°,ABAC=ACAD=45°,

V2

"T

【答案】A

【解析】延长48至点E,使BE=4D，连接AD,连接CO并延长交。。于点尸，连接/尸，即

可证得一。。丝△EBC(SAS),进而可求得zc=cos45°ZE=C，再利用圆周角定理得到

ZAFC=60°,结合三角函数即可求解.

【详解】延长48至点E,使BE=AD,连接5。，连接CO并延长交。。于点尸，连接力尸，

c

•.•四边形48CD内接于OO,

/.NADC+/ABC=ZABC+ZCBE=180P

ZADC=ZCBE

•••ABAC=ACAD=45°

ACBD=ZCDB=45°,ZDAB=90°

••.AD是。。的直径，

NDCB=90°

；•ADCB是等腰直角三角形，

/.DC=BC

BE=AD

AAADC^AEBC(SAS)

:.ZACD=ZECB,AC=CE,

*/AB+AD=2

AB+BE=AE=2

又•；ZDCB=9Q°

：.ZACE=90。

△4CE是等腰直角三角形

；•AC=cos450-AE=>J2

/ABC=60°

/.ZAFC=60°

ZFAC=90°

.『AC2我

・・CF---------=------

sin6003

OF=OC=-CF=—

23

故选：A.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判

定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键.

13.（2024上海市）在中，AC=3,BC=4,=5,点尸在。内，分别以4、B、P

为圆心画，圆A半径为1,圆B半径为2,圆尸半径为3,圆A与圆P内切，圆尸与圆B的关系是（）

A.内含B.相交C.外切D.相离

【答案】B

【解析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，

熟记圆的位置关系是解决问题的关键.

【详解】••,圆A半径为1,圆尸半径为3,圆A与圆尸内切，

...圆A含在圆尸内，即上4=3—1=2,

,尸在以A为圆心、2为半径的圆与边相交形成的弧上运动，如图所示：

,当到尸'位置时，圆尸与圆B圆心距离P3最大，为正+42=后，

V17<3+2=5，

，圆P与圆B相交,

故选：B.

14.（2024福建省）如图，已知点48在。。上，4408=72°,直线跖V与。。相切，切点为C,

且。为标的中点，则N/CW等于（）

A.18°B,30°C.36°D.72°

【答案】A

【解析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据。为我的中点，三角

形内角和可求出NOC4=；x（180°-36°）=72°,再根据切线的性质即可求解.

【详解】•••NZO8=72。，C为凝的中点，

ZAOC=36°

V0A=0C

：.ZOCA=|x（l80°-36°）=72°

•.•直线跖V与。。相切，

ZOCM=90°,

ZACM=ZOCM-ZOCA=18°

故选：A.

二、填空题

I.（2024北京市）如图，的直径45平分弦CD（不是直径）.若ND=35。，则

【答案】55

【解析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关

键.

先由垂径定理得到由前=前得到N4==35。，故NC=90°-35°=55。.

【详解】•••直径48平分弦3,

ABA.CD,

X------、X-------、

BC=BC，

NA=4D=35°，

.,.ZC=90°-35°=55°,

故答案为：55.

2.（2024江苏连云港）如图，48是圆的直径，N1、N2、N3、N4的顶点均在48上方的圆弧

上，Zl>N4的一边分别经过点/、B,则Nl+N2+N3+N4=

【答案】90

【解析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为180。，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行

求解即可.

•/AB是圆的直径，

.•.48所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180。，

VZ1>/2、N3、N4所对的弧的和为半圆，

/.Zl+Z2+Z3+Z4=-xl80°=90°,

2

故答案为：90.

3.（2024陕西省）如图，是。。的弦，连接是前所对的圆周角，则//与N05C

的和的度数是________.

【答案】90°##90度

【解析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解

题的关键.根据圆周角定理可得NBOC=2/4,结合三角形内角和定理，

可证明2N/+NOBC+NOCS=180°,再根据等腰三角形的性质可知N05C=NOCS,由此即得

答案.

【详解】：NZ是前所对的圆周角，N50C是前所对的圆心角，

ABOC=24,

ZBOC+Z,OBC+ZOCB=180°,

2ZA+ZOBC+ZOCB=180°,

OB=0C,

ZOBC=ZOCB,

2ZA+ZOBC+ZOBC=180°,

.•.24+2/050=180。，

NA+ZOBC=90°.

故答案为：90°.

4.（2024江苏苏州）如图，A45c是。。的内接三角形，若NO5C=28。，则//=.

【解析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接。C,利用等腰三角

形的性质，三角形内角和定理求出N50C的度数，然后利用圆周角定理求解即可.

【详解】解：连接。C,

•1,OB=OC,ZOBC=28°,

ZOCB=ZOBC=28°,

ZBOC=180°-ZOCB-ZOBC=124°,

：.ZA=-ZBOC=62°,

2

故答案为：62°.

5.（2024山东枣庄）如图，是。。的内接三角形，若OA〃CB,ZACB=25°,则

ZCAB=.

【答案】40。##40度

【解析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用圆周角定理求

出的度数，利用等边对等角、三角形内角和定理求出/。48的度数，利用平行线的性质求

出NQ4C的度数，即可求解.

【详解】连接08，

NA0B=2NACB=50°,

,：0A=0B,

：.ZOAB=ZOBA=1(180°-ZAOB)=65°,

•••0A//CB,

：.Z0AC=ZACB=25°,

NCAB=Z0AB-A0AC=40°,

故答案为：40°.

6.（2024江苏苏州）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图,

由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点。，右所在圆的圆心C恰好

是4/台。的内心，若/2=26，则花窗的周长（图中实线部分的长度）=,（结果保留兀）

【答案】87t

【解析】题目主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长，过点C作根据正多边形的性

质得出“05为等边三角形，再由内心的性质确定NC4O=/C4£=NCS£=30。，得出

^ACB=120°,利用余弦得出/C=-------=2,再求弧长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解

cos30°

题关键.

【详解】解：如图所示：过点C作

E

AB

V

o

:六条弧所对应的弦构成一个正六边形,

/.XAOB=60°,OA=OB,

AAOB为等边三角形,

:圆心C恰好是AABO的内心，

ZCAO=ZCAE=NCBE=30°,

^ACB=120°,

•••AE=BE=5

・""=2,

120x2x714

JAB的长为:——兀,

1803

4

二花窗的周长为：-7tx6=87l,

3

故答案为：8兀.

7.（2024江苏盐城）如图，是。。的内接三角形，ZC=40°,连接。4OB,则

NOAB=

【答案】50

【解析】本题考查主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，先根据圆周角定理

计算出N/O8=2NC=80°,再根据等边对等角得出N048=N0氏4,最后利用三角形内角和定理

即可求出N0/5.

【详解】ZC=40°,

...ZAOB=2ZC=80°,

'''OA=OB,

NOAB=NOBA,

ZOAB+NOBA+ZAOB=180°,

NOAB=)(180。-ZAOB)=1x(180°-80°)=50°,

故答案为：50.

8.(2024四川眉山)如图，内接于。。，点。在Z5上，ZD平分交。。于。，连

接BD.若45=10,BD=2也，则5c的长为.

【答案】8

【解析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形

的判定和性质，延长/C,BD交于E,由圆周角定理可得ZADB=ZADE=90°,

ZACB=ZBCE=90°,进而可证明AABD^AAED(ASA),得到BD=DE=2亚，即得

BE=4石，利用勾股定理得ZD=4后，再证明得到些=也£,据此即可求

ABAD

解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：延长/C,BD交于E,

■：45是。。的直径，

ZADB=NADE=90°,ZACB=ZBCE=90°,

•••AD平分NBAC,

ABAD=NDAE,

又；AD=AD,

：."BD%AED(ASA),

BD=DE=275，

BE=4行，

48=10,BD=2V5，

4D=JlO?—(2⑸2=4百，

ZDAC=ZCBD,

又：/BAD=NDAE，

Z./BAD=ZCBD,

•••ZADB=/BCE=90°,

:AABDSABEC,

BE_BC

一商―IF'

,475BC

一而一ZTT

:.BC=8,

故答案为：8.

9.（2024重庆市B）如图，48是。。的直径，是。。的切线，点B为切点.连接ZC交。。于

点。，点E是。。上一点，连接BE,DE,过点A作/厂〃BE交AD的延长线于点E.若8c=5,

CD=3,ZF=ZADE,则48的长度是；DE的长度是.

onoQ2

【答案】①.—##6-②.-##2-

3333

【解析】由直径所对的圆周角是直角得到乙4£>8=/5£>。=90。，根据勾股定理求出8。=4,则

CD3

cosC=—=—,由切线的性质得到N/8C=90。，则可证明NC=NA8£>,解直角三角形即可求

BC5

BD20

出48二----------二——；连接4E,由平行线的性质得到/氏4尸=/48£,再由/尸=/4D£,

cosNABD3

2Q208

NADE=Z.ABE，推出NF=NBAF,得到BF=AB=—,则DF=BF—BD=-----4=—.

333

【详解】解：：48是。。的直径，

ZADB=ZBDC=90°,

在RtA5DC中，由勾股定理得BD=-CD2=4，

.「_CD_3

••cosC——,

BC5

•••5。是。。的切线,

/ABC=90°,

ZC+ZCBD=ZCBD+ZABD=90°,

ZC=ZABD,

,nBD420

/Ifj----------------

在RtZUBD中，cosAABD33；

5

如图所示，连接/E,

VAF〃BE，

：.ZBAF=ZABE,

;NF=NADE,ZADE=ZABE,

NF=ZBAF,

BF=AB=——,

3

20Q

DF=BF-BD=——4=一；

33

—二208

故答案为：—；—•

33

【点睛】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理,

解直角三角形，等腰三角形的判定等等，证明=是解题的关键.

三、解答题

1.（2024湖北省）中，4c3=90。，点。在/C上，以OC为半径的圆交N5于点。,

交/C于点E.且BD=BC.

（1）求证：48是。。的切线.

（2）连接。交。。于点下，若AD=M,AE=\,求弧CE的长.

【答案】（1）见解析（2）弧CR的长为

【解析】（1）利用SSS证明△08。之△08C,推出NOD8=NOC2=90。，据此即可证明结论成

立；

（2）设。。的半径为x,在RtA/。。中，利用勾股定理列式计算求得x=l,求得/4OD=60°,

再求得NCOF=60。，利用弧长公式求解即可.

【小问1详解】

证明：连接0D,

A0BD^0BC（SSS）,

ZODB=ZOCB=90°,

为。。的半径，

48是。。的切线；

【小问2详解】

解：VZODB=90°,

：.ZODA=9Q°,

设。。的半径为x,

在RtA/O£>中，AO2=OD2+AD2，即（x+lj=/+（省『,

解得x=l，

/.OD=OC=1,0A=2,cosZAOD=-^-,

OA2

ZAOD=60°,

△OBD"4OBC,

ABOD=ACOF=1(180°-60°)=60°,

，弧B的长为处以=工.

1803

【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，三角函数的定义，弧长公式.正确引出辅助线解决问题

是解题的关键.

2.(2024贵州省)如图，48为半圆O的直径，点尸在半圆上，点P在48的延长线上，PC与半

圆相切于点C,与。尸的延长线相交于点。，ZC与。尸相交于点£,DC=DE.

(1)写出图中一个与相等的角：；

(2)求证：OD工AB；

(3)若。4=2。£,DF=2,求P3的长.

【答案】(1)NDCE(答案不唯一)(2)—(3)—

33

【解析】【分析】(1)利用等边对等角可得出/。CE=NDEC,即可求解;

(2)连接OC,利用切线的性质可得出NOCE+N4co=90。，利用等边对等角和对顶角的性质可

得出NAOE=NDCE,等量代换得出44£。+/。。=90。，然后利用三角形内角和定理求出

ZAOE=90°,即可得证；

(3)设OE=2，则可求AO=OF=BO=2x,EF=x,OD=2x+2,DC=DE=2+x,在RtAODC

中，利用勾股定理得出(2+2x)2=(x+2?+(2x)2,求出x的值，利用tanD=^=^|g可求出OP,

即可求解.

【小问1详解】

解：,:DC=DE,

...ZDCE=ZDEC,

故答案为：NDCE（答案不唯一）；

【小问2详解】

证明：连接0C,

D

是切线，

/.0C1CD,即ZDCE+ZACO=90°,

VOA=OC,

ZOAC=ZACO,

•：ZDCE=NDEC,ZAEO=ZDEC,

ZAEO+ZCAO=9Q°,

：.ZAOE=90°,

ODLAB■

【小问3详解】

解：设。£=x,贝尸=8O=2x,

:.EF=OF—OE=x,OD^OF+DF=2x+2,

：.DC=DE=DF+EF=2+x,

在RtZV)。。中，OD2=CD-+OC2>

.,.(2+2x)2=(X+2)2+(2X)\

解得玉=4,x2=0(舍去)

AOD=10,CD=6,OC=8,

..rOPOC

•tanD--=--

ODCDf

.OPS

••=一,

106

40

解得OP=¥，

BP=OP-OB=—.

3

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，解直角三角形的应用等知识，灵活

运用以上知识是解题的关键.

3.（2024甘肃临夏）如图，直线/与。。相切于点。，48为。。的直径，过点A作/于点E,

延长45交直线/于点C.

（2）如果BC=1,DC=3,求。。的半径.

【答案】（1）见解析（2）4

【解析】【分析】（1）连接OD,根据切线的性质可得出0D，/,结合题意可证OD〃ZE,即得

出ZDAE=/ADO,再根据等边对等角可得出NDAO=ZADO,即得出ZDAO=ZDAE,即AD

平分NC4E；

（2）设。。的半径为八则0C=05+5C=r+l,OD=r.再根据勾股定理可列出关于厂的等式,

求解即可.

【小问1详解】

证明：如图，连接0D.

ODLI.

•/AE±l,

：.OD//AE,

：.ZDAE=ZADO.

0A=0D,

ADAO=ZADO,

/.ZDAO=ZDAE,即AD平分ZCAE；

【小问2详解】

解：设。。的半径为r,则0C=05+5C=r+l,OD=r.

在RtAOCD中，OD2+CD2=OC2，

/.r~+32=(r+l/,

解得：r=4,

二的半径为4.

【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，同圆半径相等，平行线的判定和性质，角平分线

的判定，勾股定理等知识.连接常用的辅助线是解题关键.

4.（2024北京市）如图，是。。的直径，点C,。在。。上，OD平分N49C.

（1）求证：OD//BC；

（2）延长。。交。。于点E,连接CE交08于点过点B作。。的切线交£）£的延长线于点P.

OF5

若上一=±，PE=L求。。半径的长.

BF6

3

【答案】（1）见解析（2）-

2

【解析】（1）根据题意，得N40C=NB+NC,结合05=。。，得到NB=NC,继而得到

ZAOC=2ZB,根据OD平分N/OC,得到N/OC=2N/O。，继而得到乙8=NZO。，可证

OD//BC

(2)不妨设OE=5x,8E=6x,则05=0尸+5尸=Hx=OC=,求得

0P^0E+PE=Ux+l,证明△OPESABR。，ZOBM=ZPOB,求得8C=啊，取的中

5

33x33

点、M,连接0/,则a11=——，求得cos/OBAf=—,cosNPOB=—结合切线性质，得到

555

3CROBOB

cosAPOB=—=----解答即可.

5OP0E+PE~0B+\

【小问1详解】

根据题意，得//0C=NB+NC,

OB=0C,

ZB=ZC,

：.ZAOC=2ZB,

/.ZAOC=2ZAOD,

ZB=ZAOD,

OD//BC-,

【小问2详解】

..OF5

PE=1，

.~BF6

不妨设OF=5x,BF=6x,则OB=OF+BF=lTx=OC=OE,

：.OP=OE+PE=llx+l,

•：OD//BC,

/.AOFES^BFC,ZOBC=ZPOB,

,OEOF5

"BC^BF~1)

llx5

"5C6

解得仁等

取BC的中点“，连接OM,

33x

5

OB=OC,

OMIBC,

3

cosNOBM=

OB5

3

/.cosNPOB=—,

5

•/PB是G>0的切线，

OBLPB,

OBOB

cosNPOB=—=----

5OPOE+PEOB+\

3

解得=

2

3

故。。半径的长为一.

2

D

【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线

的性质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握三角形相似的判定和性质，切线的性质，

解直角三角形的相关计算是解题的关键.

5.（2024福建省）如图，在448C中，ZBAC=90°,AB=AC,以N5为直径的。。交于点。,

AELOC,垂足为瓦8£的延长线交40于点尸.

（3）求证：与E尸互相平分.

【答案】（1）y（2）证明见解析（3）证明见解析

AT

【解析】（I）先证得ZC=2ZO,再在RS/OC中，tanZAOC=—=2.在Rt449£中,

AO

AF

tanZAOC=—,可得一=2,再证得结果；

OEOE

（2）过点8作〃/£,交£。延长线于点先证明AZOE也△BOM,可得

AE=BM,OE=OM,再证得NBAE=ZCBE,再由相似三角形的判定可得结论;

（3）如图，连接DE,DF，由（2）LAEBsABEC,可得

A/?2/0Ad

—=—=--=—,ZEAO=ZEBD,从而得出AAOESABDE,从而得出

BEBC2BDBD

/BED=ZAEO=90°,得出ZAFB=/DEF,再上平行线判定得出AF//DE,再证得AE//FD,

从而得出四边形尸是平行四边形，最后由平行四边形的性质可得结果.

【小问1详解】

•;AB=AC,且48是。。的直径，

AC=2A0.

•：ABAC=90°,

AQ

■■在RtAylOC中，tscd^AOC=--=2.

AO

AELOC,

：.在RtMOE中，tanZAOC=——.

OE

*=2,

OE

.OE1

,,,----=--•，

AE2

【小问2详解】

过点8作〃/E,交£O延长线于点M.

ZBAE=ZABM,ZAEO=ZBMO=90P.

•;AO=BO,

:./\AOE^/\BOM,

AE=BM,OE=OM.

..OE1

'AE-2'

BM=2OE=EM,

ZMEB=AMBE=45°,

AAEB=ZAEO+AMEB=135°,NBEC=180。—AMEB=135°,

ZAEB=NBEC.

AB=AC,NBAC=90°,

NA5C=45。，

ZABM=NCBE,

/BAE=ZCBE,

AAEBsABEC.

【小问3详解】

如图，连接DE,DF.

c

---48是。。的直径,

ZADB=NAFB=90°,28=2AO.

•/AB=AC,ABAC=90°,

:.BC=2BD,ZDAB=45°.

由（2）知，AAEB^ABEC，

—=—==—,ZEAO=ZEBD,

BEBC2BDBD

AAOEs/\BDE,

/BED=ZAEO=90°.

ZDEF=90°.

NAFB=ZDEF,

AF//DE.

由（2）知，N4EB=135°,

ZAEF=180°-ZAEB=45°.

ZDFB=ZDAB=45°,

ZDFB=ZAEF,

AE//FD,

四边形AEDF是平行四边形,

与E尸互相平分.

【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性

质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基

础知识，考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，考查化归与转化思想等.

6.（2024甘肃威武）如图，48是。。的直径，，点£在4D的延长线上，且

NADC=NAEB.

(1)求证：是。。的切线；

(2)当。。的半径为2,BC=3时，求tanN/座的值.

【答案】(1)见解析(2)tanZAEB=—

3

【解析X分析】(1)连接AD,OG0D，证明08垂直平分3,得出NZED=)°,证明C£>〃8£,

得出/48石=乙4斤。=90°,说明即可证明结论；

(2)根据N5是。。的直径，得出乙4c3=90。，根据J股定理求出

AC7AB2-BC?="2-32=V7，根据三角函数定义求出tanZABC=—,证明

BC3

ZAEB=ZABC,得出tanZAEB=tanAABC=即可.

3

【小问1详解】

证明：连接3£),OC,OD,如图所示：

E

BC=BD，

：.BC=BD,

•/OC=OD,

.•.点。、2在CD的垂直平分线上,

OB垂直平分CD,

ZAFD=90°,

•/ZADC=ZAEB,

CD//BE,

NABE=NAFD=90°,

ABLBE,

；48是。。的直径,

，BE是。。的切线；

【小问2详解】

解：的半径为2,

AB=2x2=4,

：4B是。。的直径，

ZACB=90°,

VBC=3,

AC=4AB^-BC2=742-32=V7，

•••tanZABC=—=—>

BC3

AC=AC'

ZADC=ZABC,

ZAEB=ZADC,

ZAEB=ZABC,

tanZAEB=tanNABC=-

3

【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，求一个角的正切值，圆周角定理，垂直平分线的判

定，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质.

7.(2024深圳)如图，在△48。中，AB=BD,为△48。的外接圆，5E为。。的切线，AC

为。。的直径，连接。。并延长交3E于点£.

D

(1)求证：DE1BE；

(2)若48=5指，BE=5,求。。的半径.

【答案】(1)见解析(2)3后

【解析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质:

(1)连接8。并延长，交2。于点H,连接OD,易证8。垂直平分2。，圆周角定理，切线的性

质，推出四边形32TOE为矩形，即可得证；

（2）由（1）可知。8=5£=5,勾股定理求出由/的长，设。。的半径为r，在RtZk/丽中,

利用勾股定理进行求解即可.

【小问1详解】

证明：连接5。并延长，交AD于点、H,连接0。，

D

AB=BD,0A=0D,

5。垂直平分40,

；•BH1AD,AH=DH,

：AE■为。。的切线，

•••HBLBE,

•：/C为O。的直径,

ZADC=90°,

二四边形为矩形，

/.DE1BE；

【小问2详解】

由（1）知四边形为矩形，BHJ.AD,AH=DH,

：.AH=DH=BE=5,

BH=yjAB2~AH2=575，

设。。的半径为厂，则：OA=OB=r,OH=BH-OB=5y]5-r,

在中，由勾股定理，得：/二⑸2+卜君—「了，

解得：r=3A/5；

即：。。的半径为3后.

8.（2024广西）如图，已知。。是AA8C的外接圆，AB=AC.点D,E分别是BC,/C的中

点，连接DE并延长至点尸，使DE=EF,连接4F.

AF

(1)求证：四边形45DF是平行四边形；

(2)求证：/尸与。。相切；

3

(3)若tan/氏4C=—,BC=12,求。。的半径.

4

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)10

【解析】【分析】(1)先证明Br>=CD,DE=EF,再证明四△CEO,可得/尸=。。，

/F=/EDC,再进一步解答即可；

(2)如图，连接40,证明4015。，可得40过圆心，结合N9//BD,证明/尸，40,从而

可得结论；

(3)如图，过3作5QLZC于。，连接03,设BQ=3x,则NQ=4x,可得CQ=ZC—ZQ=x,

求解X=F=M0,可得Z8=5X=6而，求解3=，/炉_破=18,设。。半径为「，

V105

可得。£>=18-厂，再利用勾股定理求解即可.

【小问1详解】

证明：..•点。，E分别是5C,ZC的中点，

/.BD=CD,AE=CE,

又,：ZAEF=NCED,DE=EF,

AAEF&ACED,

:.AF=CD,ZF=ZEDC,

：.AF=BD,AF//BD,

二四边形ABDF是平行四边形;

【小问2详解】

证明：如图，连接40，

VAB^AC,。为8C中点,

AD1BC,

•/AF//BD,

：.AF±AD,

而CM为半径，

4F为O。的切线;

【小问3详解】

解：如图，过B作8。，/。于。，连接08,

,BQ=1

"AQ4'

设BQ=3x,则ZQ=4x,

•••AC=AB=^AQ2+BQ2=5x，

CQ=AC—AQ=x,

•••BC=^BQ2+CQ2=VlOx，

•••VlOx=12，

,126所

••x=—-j=-------,

V105

AB=5x=6而，

:AB=AC,BC=12,ADIBC,

：.BD=CD=6,

AD=^AB--BD2=18，

设。。半径为r,

OD=18—〃，

r2=（18-r）2+62,

解得：r=10,

...（DO的半径为10.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形

的判定与性质，切线的判定，垂径定理的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键.

9.（2024黑龙江齐齐哈尔）如图，&45C内接于。O,N5为。。的直径，于点。，将

△CDB沿所在的直线翻折，得到ACEB,点。的对应点为£,延长EC交A4的延长线于点R

（2）若sinNCFS=、一，AB=S,求图中阴影部分的面积.

2

【答案】（1）见解析（2）271-4

【解析】【分析】（1）连接OC,由折叠的性质得=ZBEC=ZCDB=90°,再

证明推出RCLOC,据此即可证明C9是。。的切线；

（2）先求得NCE8=45°,在RtA。。。中，求得CD=OD=2亚,再利用扇形面积公式求解即可.

【小问1详解】

证明：连接OC,

CDVAB,

:.NCDB=90。,

ACDB沿直线BC翻折得到ACEB,

：.ZDBC=ZEBC,NBEC=NCDB=90。,

1/OB,OC是OO的半径，

：.OB=OC,

：.ZOCB=ZOBC,

ZEBC=NOCB,

OC//BE,

：.ZFCO=ZBEC=90°,

RCLLOC于点C,

又•••。。为。。的半径，

...CE是。。的切线；

【小问2详解】

万

解：VsinZCF5=—.

2

ZCFB=45°,

由（1）得NFCO=90°,

NFOC=90°-NCFB=45°,

•/CD1AB,

：.NCDO=90。，

AB=S,

OC=—AB=-x8=4,

22

在RdCO。中，ZAOC=45°,

5

；•CD=OD=OCsinZAOC=4x—=2忘，

2

S八ACLCUDU=—2OD-CD=—2x2V2x2V2=4,