2024-2025学年河北省保定市高一年级上册第一次月考数学学情检测试题（含解析）

2024-2025学年河北省保定市高一上学期第一次月考数学学情

检测试题

（考试范围：三角函数、解三角形、平面向量、复数）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.在AABC中，若6,AB=\,&C=5则边上的高为（）

反

A1B.J2C.—D.2

-2

2.在复平面内，复数4对应的点与Z2=——^对应的点关于虚轴对称，则4等于（）

i

A.—2—3zB.—2+3zC.2—3zD.2+3z

3.已知复数z满足|z—i|=l,则目的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,1）C.[0,2）D,[0,2]

4.已知向量N=（l,2）,b=（x,3）,若+则实数X=（）

A.-4B.-11C.11D.4

5,互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴

不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，设Ox,Qy是平面内相交的两条数轴，4,

口分别是与X轴，V轴正方向同向的单位向量，且软，可=三，过点P作两坐标轴的平行线,

其在x轴和歹轴上的截距a,b分别作为点尸的x坐标和y坐标，记P（a,b）,则该坐标系中

M（3,3）和N（2,1）两点间的距离为（）

A3B.2C.V6D.布

sin/Isin/?

6.在V/BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若^—=--=J上/为非零

k34

实数)，则下列结论错送的是()

A.当左=5时，V/5c是直角三角形B.当左=3时，V/2C是锐角三角形

C.当％=2时，V4BC是钝角三角形D.当左=1时，V4BC是钝角三角形

7.已知函数/(x)=costwx-A/Isin5(。〉0)的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是

A.函数/(x)的图象关于点中心对称

函数/(X)的单调增区间为E—=—f(左eZ)

B.

36

函数/(x)的图象可由y=2sin0X的图象向左平移—个单位长度得到

6

(713

D.函数g(x)=/«S)(/>0)在(0力上有2个零点，则实数t的取值范围为五，万

8.如图，平行四边形48CD中，AE=2EB,DF=FC,若闻=玩，CE=n^则万=

()

1一3一

A.—m+—nB.-m--n--m+-nD.

222222

1一3一

—m——n

22

二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量Z=（x,l），3=（4,2）,则下列结论正确的是（）

A.若Z//。则x=2

B.若则x=]

C.若x=3,则向量£与向量B的夹角的余弦值为宣I

10

D.若x=-l,则向量B在向量£上的投影向量为（J5,后）

10.已知角A,B,C是V/3C的三个内角，下列结论一定成立的有（）

A.若sin2/=sin2B,则V4BC一定是等腰三角形

B.若sin/>sinB,则/〉8

C.若V48c是锐角三角形，贝iJsin/>cosB

D.若0<tan/・tan5<l,则V4BC一定是锐角三角形

11.设Z-Z2为复数，则下列说法中正确的有（）

A.若Z]=a+bi,z2-c+di,其中a,b,c,deR,且a>c,b>d,则ZAZ2

B.若加2-3〃?+2+"-l）i（rneR）为纯虚数，则加=2

C.若关于x的方程f+px+quO,P,qeR的一个虚根为2i-l，则夕+q=—5

D.若马=-l+2i,Z2=3+4i,则复数Z1-Z2在复平面内对应的点位于第三象限

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若H=W=La,刃，且（2。+3否）_1_（左0一1），则后=.

13.已知G=（1,2）,B=4）,若值与否的夹角是钝角，则实数x的取值范围是.

14.在V4BC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=l,Z?=3,cosC=-,贝!JV48C

3

外接圆的面积是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在VABC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知sin2/=sinB-cosC+cosB-sinC.

（1）求角A的大小；

(2)若6=2c,V/8C的面积为2百，求V4BC的周长.

16.已知N,B的夹角为60°,且除1=1,|可=2,设应=31-3，n=ta+2b-

(1)若应，限求实数/的取值；

(2)/=2时，求比与万的夹角；

(3)是否存在实数"使得应〃万，若存在，求出实数九

17.己知扇B是非零向量，aL(a-by且同=3收,归卜6.

(1)求2在行方向上的投影向量；

(2)求忸-3..

巧1

18.已知向量成=(sin2x,cos2x),拓=(2^,5),函数/(%)=应•%

(1)求函数/(x)的解析式和单调递增区间；

(2)若a,b,c分别为V48C三个内角A,B,。的对边，/(Z)=l,6=2,ae[1,|],

试判断这个三角形解的个数，并说明理由；

(3)若皿可,争时，关于x的方程/1x+；|+(2+l)sinx=2(2eR)恰有三个不同的

实根为，％，七，求实数2的取值范围及西+%+》3的值.

19.材料一；我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分

解成一次因式的乘积，且一次因式的个数(包括重复因式)就是被分解的多项式的次数.事实

上，数学中有如下定理：

代数基本定理：任何一元”(〃eN*)次复系数多项式方程/(x)=0至少有一个复数根.

材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元”(〃eN*)次复系数多项式/(x)在复数集中可

以分解为〃个一次因式的乘积.进而，一元〃次多项式方程有〃个复数根(重根按重数计).下

面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系.

设实系数一元二次方程%一+%工+%=0(%W0)在复数集C内的根为不、马,容易得到

a}

X]+'2=------

出.设实系数一元三次方程为/+。2、2+。/+旬=0(%。°)①

旬

XxX2=-

和

在复数集。内的根为再、々'》3，可以得到，方程①可变形为%(工一再)口一了2)(%一》3)=0展

32

开得：(23X一%+X2+X3)X+(23(X[X2+XjX3+%2%3)%一《再了2%3=0(2)

%

X]+%+%3------

a3

a.

比较①②可以得到根与系数之间的关系：《

XxX2+XxX3+x2x3=—

a3

xrx2x3=--

a3

阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题:

(1)对于方程3/+2/—x+5=0在复数集c内的根为4%、七，求x；+x；+x；的值;

(2)如果实系数一元四次方程%/+。3/+%/+吁+%=0(%/0)在复数集C内的根

为西、/、七、5，根据材料二，试找到该四次方程根与系数之间的关系并说明原因;

(3)已知函数g(x)=/+&X+2,对于方程g(x)=左在复数集。内的根为西、》2、七，当

ke[0,l]时，求x；+W+W的最大值.

2024-2025学年河北省保定市高一上学期第一次月考数学学情检测试题

时间120分钟，满分150分

（考试范围：三角函数、解三角形、平面向量、复数）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.在aABC中，若6,48=1,AC=5则边上的高为（）

A.1B.J2C.—D.2

2

【答案】C

【解析】

【分析】先利用余弦定理求得8c的长，再利用三角形等面积法即可求得3C边上的高.

【详解】由余弦定理，得8C=2xixGxcos：=l,

设边上的高为力，则S“BC=j48・/。6①巴=L、1/,解得人=1.

2622

故选：C.

2.在复平面内，复数马对应的点与Z2=——■对应的点关于虚轴对称，则4等于（）

i

A.-2-3zB.-2+3zC.2-3zD.2+3z

【答案】A

【解析】

【分析】由复数的运算可得z2=-2+3i,再求解即可.

【详解】解：由？2=----=（3+2z》=—2+3%,

i

又复数4对应的点与为=——^对应的点关于虚轴对称，

i

则Z]=—2—3z,

故选：A.

【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数在复平面对应的点，属基础题.

3.已知复数z满足|z—i|=l,则目的取值范围是()

A.[0,1]B.[0,1)C.[0,2)D.[0,2]

【答案】D

【解析】

【分析】利用|z-i|=l表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆，目表示圆上的点到原点的距离可得答案.

【详解】因为在复平面内，

|z-i|=l表示到点(0,1)距离为1的所有复数对应的点，

即|z—i|=l表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆，

目表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为0,

最长距离为1+1=2,

则目的取值范围是[0,2].

故选：D.

4.已知向量5=(1,2),B=(X,3),若+则实数X=()

A.-4B.-11C.11D.4

【答案】B

【解析】

【分析】由已知条件结合向量垂直的坐标表示计算即可求解.

【详解】由题N+B=(1+X,5),

因为+所以限(N+B)=lx(i+x)+2x5=0nx=-ll.

故选：B.

5.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这

样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，设Ox,2y是平面内相交的两条数轴，1分别是与x轴，N轴

正方向同向的单位向量，且([，£)=；，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和歹轴上的截距a,b分

别作为点尸的X坐标和N坐标，记尸(。,6),则该坐标系中M(3,3)和N(2,l)两点间的距离为()

C.V6D.V7

【答案】D

【解析】

【分析】结合所给定义计算出击后，结合数量积公式计算即可得.

【详解】由题意可得丽:=31+31，而=2,+小则而7=0而—而=，+21，

+4-6--"•％A=4+1+4xcos'—j(=5+2=7,

123

所以pw|=S.

故选：D.

sni/4Citiz?ciiii

6.在V48C中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,若——=——=——（左为非零实数），则下列

上34

结论错误的是（）

A.当左=5时，V48C是直角三角形B.当左=3时，V45C是锐角三角形

C.当左=2时，V48C是钝角三角形D.当左=1时，V48C是钝角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】由正弦定理化简已知可得a：6：c=h3:4,利用余弦定理，勾股定理，三角形两边之和大于第三

边等知识逐一分析各个选项即可得解.

qitl/4citiZ?qiri

【详解】对于选项A,当左=5时，——=——=——，根据正弦定理不妨设a=5机，6=3机，c=4m,

534

显然V48c是直角三角形，故命题正确；

sin//qin/?qini

对于选项B,当左=3时，——=——=——，根据正弦定理不妨设a=3加，b=3m,c=4m,

334

22222

显然V4SC是等腰三角形，a+b-c=9m+9m-16疗=2疗〉0,

说明NC为锐角，故V48C是锐角三角形，故命题正确；

qinZqinT?ai-n

对于选项C,当左=2时，——=——=——，根据正弦定理不妨设a=2冽，b=3m,c=4m,

234

可得/+/_，=4m2+9m2_16/=—3/<0,说明/C为钝角，故V4BC是钝角三角形，故命题正

确；

sin%sin/?ci-n

对于选项D,当左=1时，——=——=——，根据正弦定理不妨设a=1加，b=3m,c=4m,

134

此时a+b=c,不等构成三角形，故命题错误.

故选：D.

7.已知函数/(x)=cos0x—百sinox®〉。)的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是()

A.函数/(x)的图象关于点［得刀］中心对称

27r7T

B.函数/(x)的单调增区间为hr--,for--(左eZ)

5兀

C.函数/(x)的图象可由y=2sin0X的图象向左平移一个单位长度得到

6

(713~

D.函数g(x)=/«°x)(/>0)在(0,兀)上有2个零点，则实数t的取值范围为五，五

【答案】C

【解析】

【分析】利用辅助角公式及函数图象先化简计算得出函数式，结合三角函数的图象及性质逐一分析选项即

可.

【详解】/(x)=cosa>x-yj3sincox=-2sin(6yx--),

,E一，3E兀5兀、3兀一E2兀

由图可知，—T=---(z----)=一，可得7=兀=—，/.口=2,

43124co

f(x)=-2sin(2x--),二］=-2sin(2x二一/)=0,故A正确；

6<127126

3KC7171

------F2hi<2x----<-----F2左兀,

262

,,2兀兀,

解得-----l-H<x<-----Fkji(k€Z),

36

r\

所以函数/(x)=—2sin(2x—£)在kn-y,k7i-^(左eZ)单调递增，故B正确;

Sjr57r57r

函数＞=2sin2x的图象向左平移」个单位长度得y=2sin2(x+—)=2sin(2x+—),

663

SirJrJr

2sin(2x+y)=2sin(27i+2x-y)=2sin(2x-y),故C错误；

g(x)=/(2tx)=_2sin(4/x-$，xe(0㈤，

当，＞0时，4Zx--e(--,4r7r--),此时g(x)有两个零点，

666

(713

即4/n-qe(私2兀］,可得'c，故D正确.

8.如图，平行四边形48CD中，AE=2EB,DF=FC,若赤=应，近=万，则万=(

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果.

【详解】因为四边形48CD为平行四边形，且AE=2EB,DF=FC,

所以彳斤=而+砺=赤+g皮，即2/=2力+皮①，

XCE=CB+BE=CB+^BA,即3屈=3而+而②，

___________.1_3

由①+②得到24F+3CE=C8,又C5=应，CE=H，所以左=5机一万限

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量£=(x,l),否=(4,2),则下列结论正确的是()

A.若a//3，则x=2

B.若a_LB,则x=万

C.若x=3,则向量£与向量B的夹角的余弦值为迪

10

D.若x=-1,则向量B在向量Z上的投影向量为(、笈,、历)

【答案】AC

【解析】

【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示判断A；利用向量垂直的坐标表示判断B；求出向量夹角

的余弦判断C；求出投影向量判断D.

【详解】对于A,由Z//B，得2%一4=0,解得x=2,A正确；

对于B,由]_|_B，得4X+2=0,解得、=-；,B错误；

1]2+27

对于C,若x=3,则a=(3,1),又石=(4,2),则cos〈a,B〉=f一=—/=---广=，C正确；

|||6|V10X2V510

对于D,若x=—1,则3=(—1,1),又3=(4,2),于是用B=—Ix4+lx2=—2，

/7•ha—2(—1])

则向量6在向量a上的投影向量为=:---==—7=7==(1,-1)，D错误.

|a||a|A/2xV2

故选：AC

10.已知角A,B,C是V48c的三个内角，下列结论一定成立的有()

A.若sin2Z=sin28,则V48C一定是等腰三角形

B.若sinZ>sin8,则/>3

C.若V45c是锐角三角形，贝UsinN>cos8

D.若0<tan4,tan8<l,则V4SC一定是锐角三角形

【答案】BC

【解析】

【分析】求出角48的关系判断A；利用正弦定理推理判断B；利用正弦函数的性质判断C；确定角C的

范围判断D.

7T

【详解】对于A,由sin2Z=sin28,得2Z=28或2Z+25=兀，则4=3或/+8=—,

2

因此V48C是等腰三角形或者是直角三角形，A错误；

对于B,在V48C中，由正弦定理及sinZ>sin8,得a〉bo4〉B,B正确;

TT717T

对于C,由V4SC是锐角三角形，得N+5>—,则0<——B<A<-,

222

兀

因此siMg-8)<sinZ,即sinN>cos8,C正确;

,丁，入,口八sin/sin8,

对于D,由0<tanAtanB<1,得0<---------<1在V4BC中,sinVsin8>0,

cosZcos8

则sinZsin8<cosZcos8,即cosZcosB-sinZsinB〉0,于是cos(/+3)>0,

即C0S（7t—C）〉0,cosC<0,因此C是钝角，D错误.

故选：BC

【点睛】关键点点睛：三角形中的几何计算，熟悉应用相关公式是解题的关键.

H.设z-Z2为复数，则下列说法中正确的有（）

A.若Z]=a+bi,z2=c+di,其中a,b,c,deR,且a>c,b>d,则ZAZ2

B.若加2-3加+2+（加2—l）i（切eR）为纯虚数，则冽=2

C.若关于x的方程/+8+1=0,P,qeR的一个虚根为2i-l,则夕+[=-5

D.若为=-1+方，z2=3+4i,则复数z1-Z2在复平面内对应的点位于第三象限

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A：根据复数不能比较大小即可判断；对于B：根据纯虚数的概念列式求解；对于C：可知另

一个虚根为-2i-1,利用韦达定理运算求解；对于D：可得由-Z2=-4-2i,结合复数的几何意义分析判

断.

【详解】对于选项A：因为b〉d,可知z「Z2不可能均为实数，故不能比较大小，故A错误;

对于选项B：若机之―3机+2+（机2一i）ieR）为纯虚数,

m2-3m+2=0

则解得m=2故B正确;

机2—1w0

对于选项C：若关于%的方程/+px+q=0,p,乡£R的一个虚根为2i-l,

则另一个虚根为-2i-1,

_Bp=(2i-l)+(-2i-l)=-2

可侍jq=(2i—1)(—2i—l)=5,所以2+q=7,故C错误;

对于选项D：若々=—l+2i,Z2=3+4i,则z1—z2=—4—2i,

复数Z1-Z2在复平面内对应的点为(-4,-2),位于第三象限，故D正确；

故选：BD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若.=W=l,a_L%,且(2a+33)_L,则左=.

3

【答案】一

2

【解析】

【分析】根据数量积运算求解即可.

【详解】因为(2、+3石)1(石-1),所以(22+34恒一司=0,

W2ka2-2a-b+3ka-b-3b2=0,

3

因为万石=0，所以2左一3=0,左=—.

2

3

故答案为：一

2

13.己知G=(l,2),B=(x,—4),若/与B的夹角是钝角，则实数x的取值范围是

【答案】(-8,-2)3-2,8)

【解析】

【分析】根据向量数量积的坐标表示及平行坐标公式判断钝角即可求出参数范围.

【详解】因为@与B夹角为钝角，

可以得出万石=lxx+2x(-4)=x—8<0,解得：x<8,

且万万不平行,则1x(-4)H2X,XH-2,

即x<8且xw—2,即xe(-*2)u(-2,8).

故答案为：(-8,-2)“-2,8)

14.在V45c中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=l,6=3,cosC=-,则V45c外接圆

3

的面积是.

9

【答案】一兀

4

【解析】

【分析】根据给定条件，利用同角公式及余弦定理、正弦定理求出外接圆半径即可.

【详解】在V45C中，由cosC=；,得sinC=Jl—套。=孚,而。=1,6=3,

由余弦定理得c=J/+/—2abcosC=^12+32-2X1X3X1=272,

13

由正弦定理得V48C外接圆R=—---c=

2sine2

9

所以VZ8C外接圆的面积是8=兀&92=—兀.

4

9

故答案为：:兀

4

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在V45C中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知sin2Z=sinacosC+cos5,sinC.

（1）求角A的大小；

（2）若b=2c,V48C的面积为26，求V/5C的周长.

7T

【答案】（1）-

3

（2）6+273

【解析】

【分析】（1）先根据两角和的正弦公式化简题干条件可得sin2N=sinN,进而得到22+2=兀，进而求解

（2）根据三角形的面积公式及余弦定理求解即可.

【小问1详解】

因为sin22=sinB-cosC+cos5-sinC=sin（5+C）=sinN,

71

在V48c中，2N+N=7r,即/=—.

3

【小问2详解】

71

由(1)知，A-—，

3

2

所以SAKC=—bcsmA=—x2cx^-=2G，

“Be222

即c=2,所以b=4,

又。2="+c?-2bccosA=16+4-2x4x2x—=12,即口=2x/3，

2

所以V4SC的周长为q+b+c=2G+4+2=6+2G.

16.已知N,B的夹角为60°,且陌|=1,行|=2,设比=3万一5,n=ta+2b-

(1)若应，拓，求实数f的取值；

(2)/=2时，求应与五的夹角；

(3)是否存在实数/,使得应〃方，若存在，求出实数J

【答案】(1)1=1；

(2)arccos—；

7

(3)存在，t=-6

【解析】

【分析】(1)由/J.♦=>)=0列式求得/值；

(2)分别求出历|、|方|、成•万的值，代入夹角公式求解即可；

(3)利用共线向量定理列式求解即可.

【小问1详解】

解：B的夹角为60°,且团=1,⑸=2,

rrrr1

a-b=\a\\b\cos600=lx2x—=1.

由成_L万,得JJ=(3«-b)-(ta+2b)=3t\a|+(6-t)a-b-2\b|2

=3Z+6—?-8=0,解得/=1；

【小问2详解】

解：由(1)可知1Z=1且|町=1,|K|=2,

当/=2时，|加|二J(3Q—b)2=\l9a2-6a-b-\-b2=V9—6+4=V7，

|n|二J(22+2：)2=/心+烹工+川=J4+8+I6=2s，

m-n=(3a-b)-(2a+26)=6t72+4^-Z?-262=6+4-8=2.

.rr.m-n21

所以cos(m,n)=r„r.=匚、匚=-.

\m\\n\J7x2j77

所以应与力的夹角为arccos，；

7

【小问3详解】

解：由而〃亢，得—+26=/IG。-6）（4w0），

t—32t=-6

即《C。，解得V

2——zt4=—2

所以存在实数，=-6,使得玩〃刀.

17.已知原B是非零向量，aL（a2--b3）,且同=3后,网=6.

（1）求）在B方向上的投影向量;

(2)求21—33.

【答案】（1）¥

(2)675

【解析】

【分析】（1）根据条件得到限3=18,再利用投影向量的定义，即可求出结果;

（2）利用（1）结果及数量积的运算律，即可求出结果.

【小问1详解】

因为所以=a2-a-b=0,又同=3夜，得到晨3=18,

Ia-bb18r1r

又仰=6,所以2在行方向上的投影向量为下「・/=盘'=”

【小问2详解】

由(1)展3=18，

所以125—342=4a2-125-^+%2=4x18-12x18+9x36=180,

得至!］忸-3可=6亚.

巧1

18.已知向量应=(sin2x,cos2x),亢=,函数/(%)=玩,五.

(1)求函数/(X)的解析式和单调递增区间;

(2)若。，b,。分别为V48C三个内角A,B,C的对边，/(2)=Lb=2,试判断

这个三角形解的个数，并说明理由；

(3)若xe[-时，关于x的方程/(x+2]+(N+l)sinx=4(4eR)恰有三个不同的实根不，

63I6J

%2，％3，求实数几的取值范围及花+%2+%3的值.

jrJT7T

【答案】(1)/(x)=sin(2x+-),[--+H,-+^](^eZ)；

636

3兀

(2)答案见解析(3)X的取值范围为G+l44<3，西+/+七的值为万.

【解析】

【分析】(1)利用向量的数量积运算求得解析式，再利用正弦函数性质求出单调区间.

(2)利用正弦定理分段讨论判断三角形解的数量.

(3)利用诱导公式及二倍角的余弦公式变形方程，再借助正弦函数的性质求解即得.

【小问1详解】

---y/31JI

/(x)=m•n=——sin2x+—cos2x=sin(2x+一)，

226

令一4+2左兀<2x+—<—+2kji,k€Z,解得一百+左兀<x<四+左兀,左GZ,

26236

JT7T

所以/(X)的单调递增区间为[——+E,—+E](keZ)

36

【小问2详解】

jr717rl

在AABC中，f(A)=sin(24H—)=1,由0</<兀，得一<24H—<----，

6666

则2幺+巴=巴，解得Z=巴，

626

°hAQIri/i

假设三角形存在，由正弦定理——=^,得sin5=-------,

SIIL4smSa

①当ae4,1)时，siiLB=->l,三角形无解；

2a

171

②当a=1时，sin5=-=1,B=-，三角形有唯一解；

a2

③当ae(l,2)时，sinff=—e(―,1),止匕时bsiih4<a<6,2有两个不同的值，三角形有两解.

a2

④当ae[2,g]时，a>b,A>B,三角形有唯一解，

所以当时，三角形无解；当。=1或ae[2：]时，三角形有唯一解；当ae(1,2)时，三角形有两

解.

【小问3详解】

兀

由(1)知/(%)=sin(2x+—),

6

TTTTTT

方程/(x+—)+(2+l)sinx=2化为sin[2(x+—)+—]+(!+l)sinx=2,

666

即cos2x+(X+l)sinx=2,整理得2sin2x-(2+l)sinx+2-1=0,

2-1

即[2sinx-(2-l)](sinx-1)=0,则sinx=1或sinx=----,

2

TT?7r

又X时，给定方程有三个不同的实根，

63

TT

且当sinx=1时，不妨记其解为的，则西=5，

2—1TT27r

因此sinx=〒在[-]了]上有两个不同的实根为马，工3，

由xe[-g，W],得siiue[G,l)，贝1<1，解得G+1W/1<3，

631222

由正弦函数图象性质知乙，关于X=；对称，即/'=巴,则/+%3=兀，

222

71371

X]+%+%3=万+兀=~2~，

3兀

所以几的取值范围为G+1V4<3，为+%2+%3的值为万.

19.材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因

式的乘积，且一次因式的个数(包括重复因式)就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理：

代数基本定理：任何一元〃(〃eN*)次复系数多项式方程/(x)=0至少有一个复数根.

材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元〃(〃eN*)次复系数多项式/(x)在复数集中可以分解为“

个一次因式的乘积.进而，一元〃次多项式方程有〃个复数根(重根按重数计).下面我们从代数基本定理

出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系.

a.

X]+%2=---

a

设实系数一元二次方程。2/+附+4=0(的。°)在复数集C内的根为再、了2,容易得至人2

xxx2=-

。2

设实系数一元三次方程生/+出彳2+a1x+a0=0(a3*0)(T)

在复数集C内的根为不、