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数列解答题巩固提升练习一1．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)（）(2)【解析】（1）因为，（），所以，（），所以，，，…，，（且），所以（且），整理得：（且），即，（且），又因为，所以，（且），当时，适合上式，所以，（）.（2）由（1）知，，所以，即.2.（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）在等差数列中，，，数列的前项和为，且.(1)求数列和的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)，(2)【解析】（1）解：设等差数列的公差为，则，解得，所以，，数列的前项和为，且，当时，则有，当时，由可得，上述两个等式作差可得，即，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则.（2）解：因为，则，①可得，②①②得，故.3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知数列的前n项和为，，且．(1)证明：数列为等比数列，并求其通项公式；(2)若______，求数列的前n项和．从①；②；③，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并解答问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)证明见解析，(2)答案见解析【解析】（1）由，得，且，（i）所以当时，，（ii）（i）（ii），得，所以．当时，，即，又，所以，所以，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以．（2）若选①：，则，所以，所以，所以．若选②：，则若选③：因为，所以，所以数列是以27为首项，为公比的等比数列，所以．4．（2023·广东汕头·统考三模）等差数列和各项均为正数的等比数列满足：，.(1)求数列和的通项公式；(2)数列是由数列和中不同的项按照从小到大的顺序排列得到的新数列，记数列的前项和为，求.【答案】(1)，(2)15220【解析】（1）根据条件，设，，又，解得，故，.（2）当时，，由，得，，又，，，，故在数列的前100项中含有数列中的4项，所以，所以.5．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知数列中，，是与9的等差中项，记为数列的前项和，满足（）.(1)求数列的通项公式；(2)若，求实数的最小值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）依题意，，，当时，，两式相减得，即，当时，，又，有，则当，，因此数列是首项为3，公比的等比数列，而，即，解得，则，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，数列是首项为，公比为的等比数列，，于是不等式化为：，设，，当时，，当时，，即当时，数列递增，当时，数列递减，从而，则，所以实数的最小值为.6．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）记为数列的前n项和，已知.(1)求数列{}的通项公式；(2)数列{}满足且，的前n项和为，证明:.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由，由可

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