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数列解答题巩固提升练习四1．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)；(2)【解析】（1）因为，当时，，即；当时，，即，当时，，所以，化简得：，当时，，即，当时都满足上式，所以．（2）因为，所以，，两式相减得，，，即，．2．（2023秋·天津红桥·高三天津市瑞景中学校考阶段练习）已知为等差数列，为等比数列，．(1)求和的通项公式；(2)设，求数列的前项和.(3)设，求数列的前项和.(4)记的前项和为，求证：；【答案】(1)，；(2)；(3)；(4)证明见解析.【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，得，，解得，或（舍去），所以，.（2）由（1）知，，，则，所以.（3）由（1）知，，于是，两式相减得，所以.（4）由（1）知，，，于是所以.3．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列和满足：，，（为常数，且）．(1)证明：数列是等比数列；(2)若当和时，数列的前n项和取得最大值，求的表达式．【答案】(1)证明见解析；(2)．【解析】（1）因为，即，所以，而，所以，即，即数列是以为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）知，所以．因为当和时，数列的前n项和取得最大值，所以，即，解得．所以．经检验，当时，，当时，，所以先增后减，在和时取得最大值，符合题意．此时．4．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设为数列的前项和，已知，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前项和，当时，．若对于任意，有，求的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1），∴，，∴,∴当时，；当时，也符合上式，∴．（2），∵，∴，当时，满足，当时，存在，（其中，表示不超过的最大整数），使得，则，∴，不满足条件，∴．5．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.(1)求数列的通项公式；(2)设，设数列的前项和，求证：.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.【答案】(1)条件选择见解析，(2)证明见解析.【解析】（1）选择①：因为，则，两式相减得，即，而，，则，因此数列是以为首项，2为公差的等差数列，所以.选择②：因为，则，于是当时，，即，由，得，即有，因此，，即数列是以为首项，2为公差的等差数列，所以.选择③：因为，又，则，即，显然，于是，即是以1为首项，1为公差的等差数列，从而，即，因此，而满足上式，所以.（2）由（1）知，，，因此，则，显然数列单调递减，于是，则，所以.6．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知等差数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)记，其中为数列的前项和.设表示不超过的最大正整数，求使的最大正整数的值.【答案】(1)(2)64【解析】（1）设等差数列的公差为d，由题意可得，解得，所以数列的通项公式.（2）由（1）可得，则

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