微专题 二次函数几何问题

数学

贵州专版2025第三章函数微专题二次函数几何问题(8年3考：2022·24(3)，2021·24(2)，2019·24(2))栏目导航二次函数与线段问题类型一二次函数与面积问题类型二例1如图，抛物线y＝ax2＋bx－4(a≠0)与x轴交于A(4，0)和B(－1，0)两点，与y轴交于点C，P是直线AC下方的抛物线上一动点.典例精析典例精析二次函数与线段问题类型一根据有关信息求函数表达式(1)求抛物线及直线AC的表达式；

(1)求抛物线表达式：把A(4，0)，B(－1，0)代入y＝ax2＋bx－4，解方程组即可求得；求直线AC的表达式：通过抛物线表达式求出点C的坐标，设直线的表达式为y＝kx＋b1，把A(4，0)，C(0，－4)代入，即可求得；利用表达式表示并计算线段长度(2)过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；解：令P(m，m2－3m－4)，则E(m，m－4)，∴PE＝(m－4)－(m2－3m－4)＝－m2＋4m＝－(m－2)2＋4.∴当m＝2时，PE有最大值为4.∴P(2，－6).(2)设P(m，m2－3m－4)，则E(m，m－4)，则PE＝－(m－2)2＋4，由此求出最值即可；垂直于一次函数的线段最大值问题(3)若过点P作PF⊥AC于点F，求线段PF的最大值；

长度之和最小问题(4)若P是该抛物线对称轴上的一个动点，求出使△PBC周长最小的点P的坐标.

(4)联系“将军饮马“模型，连接PA，由A，B关于对称轴l对称，得BC＋PB＋PC＝BC＋PA＋PC≥BC＋AC，则AC与对称轴l的交点即为所求的点P，从而可求得点P的坐标.1.确定线段长关系式(根据已知线段关系求点坐标)：①先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点.②再联立二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数.③继而表示出线段的长度(如果该线段与坐标轴平行的话，则利用横、纵坐标相加减确定；如果与坐标轴不平行的话，先转化为有边在与坐标轴平行的三角形中，再利用勾股定理，锐角三角函数或相似确定).方法指导2.线段数量关系问题：根据前面所得的线段长的关系式，结合题干列出满足线段数量关系的方程，解方程求解即可(注意排除不符合题意的数值).3.线段最值问题：①求一条线段的最值时，首先想到用二次函数表示出线段的长度，进而求得最值.②求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，首先联想到“将军饮马“等模型.例2如图，抛物线y＝ax2＋3x＋c(a≠0)与x轴交于点A(－2，0)和点B，与y轴交于点C(0，8)，P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E.典例精析典例精析二次函数与面积问题类型二根据有关信息求函数表达式(1)求抛物线与直线BC的表达式；

(1)求抛物线表达式：把A(－2，0)，C(0，8)代入y＝ax2＋3x＋c(a≠0)，解方程组即可求得；求直线BC的表达式：通过抛物线表达式求出点B的坐标，设直线的表达式为y＝kx＋b，把点B和点C的坐标代入，即可求得；已知面积求抛物线上点的坐标(2)当点P在该抛物线上什么位置时，满足S△ABP＝60，并求出此时点P的坐标；

(2)求出线段AB的长度，再根据S△ABP＝60，求得点P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的表达式，即可求得点P的坐标；抛物线内接三角形的面积问题(3)是否存在点P，使△BCP与△ABC的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)求△BCP的面积最大值.

解法一：设出动点P的坐标，然后用代数式表达各线段的长.通过公式计算，表示出三角形的面积，利用二次函数性质求最值即可.此